Apostila de Tipos de Estruturas - UFF

Prévia do material em texto

SISTEMAS ESTRUTURAIS II
Universidade Federal Fluminense
Departamento de Engenharia Civil
Sistemas Estruturais II
Profª.: Eliane Maria Lopes Carvalho
Monitora: Daniela Ribeiro da Costa Silva
OBJETIVOS
Tipos de Estruturas
VA VB
HB
número de reações de apoio
=
número de equações de equilíbrio
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
São estruturas que apresentam as mínimas condições de manutenção
do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A
estrutura isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o
rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática.
Exemplo:
Temos:
3 Reações de Apoio → VA , VB e HB
3 Equações de Equilíbrio → ∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
VBVA
As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as condições
mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da solicitação de
qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode ser projetada, por
serem inadmissíveis para as construções devido à sua INSTABILIDADE.
ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS
número de reações de apoio
<
número de equações de equilíbrio
Exemplo:
Temos:
2 Reações de Apoio → VA e VB
3 equações de Equilíbrio → ∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
HB
VBVA
HA
As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na pratica
e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura
possui reserva de segurança, apresentando portando condições além das
necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o rompimento de um
de seus vínculos, a estrutura manterá a sua estaticidade.
É necessário impor condições de compatibilidade de deformação para
obter mais equações e resolver o sistema.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
número de reações de apoio
>
número de equações de equilíbrio 
Exemplo:
Temos:
4 Reações de Apoio → VA, HA, VB e HB
3 Equações de Equilíbrio →∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
Solicitações em 
Estruturas Isostáticas 
Submetidas a Diferentes 
Tipos de Carregamentos
ESFORÇOS SIMPLES
P1, P2, P3, P4 → forças externas
Seja um corpo submetido a um conjunto de forças em equilíbrio:
Seção S
E D
P2 P1
P4
P3
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO S
a) Secciona-se o corpo por um 
plano que intercepta segundo 
uma seção S, dividindo-o em 2 
partes: E e D.
b) Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, 
basta que apliquemos, na seção S, um sistema estático equivalente ao das 
forças da parte retirada.
c) Aplicando as equações de equilíbrio a qualquer das duas partes, obtêm-se 
os esforços atuantes nas seções.
y
my
Qy
xmxQx
z
Qz
mz
y
my
Qy
z
x
mx Qx
Qzmz
Seção S
E D
P2 P1
P4P3
P2
P3
E
P1
P4D
Tipos de Esforços
ESFORÇO NORMAL
Soma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de
cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal
pode ser de dois tipos: tração ou compressão.
Tração Compressão
Convenção de Sinais:
+ -
Tração Compressão
N N N N
Conclusão: um esforço cortante Qy ou Qz, é positivo quando, calculando
pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo
dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado
direito da seção, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z.
Em caso contrário, o esforço cortante será negativo.
Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo z:
Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante Negativo
+
Q
Q Q
Q
-
Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo y:
ESFORÇO CORTANTE
Soma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças
situadas em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura.
O esforço cortante pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z.
Convenção de Sinais:
MOMENTO TORÇOR
Soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados desta
seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de
gravidade.
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
Convenção de Sinais:
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
+ -
T T T T
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em Relação ao eixo z:
Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em relação ao eixo y:
Momento Fletor Positivo
Convenção de Sinais:
Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo
+ -m m m m
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da
seção em relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento
fletor, um dos bordos da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão.
Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno
do eixo x ou em torno do eixo y.
MOMENTO FLETOR
RESUMINDO:
No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples:
a) Esforço Normal N;
b) Esforços Cortantes Qy e Qz;
c) Momento Torçor T;
d) Mementos Fletores my e mz
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
No caso de estruturas planas, que apresentem
carregamentos atuantes apenas no seu próprio eixo, temos a
atuação somente dos seguintes esforços:
- N → Esforço Normal ( seja de tração ou de compressão)
- Qy → Esforço Cortante em relação ao eixo y
- Mz → Momento Fletor em relação ao eixo z
Convenção de Sinais
para a Elaboração
de Diagramas
Esta é a convenção de sinais que devemos utilizar para elaborar
os diagramas de esforços solicitantes.
Convenção Referente 
ao Sinal Positivo
Convenção Referente 
ao Sinal Negativo
Traçado de Diagramas 
em Viga Isostática 
Submetida a Carga 
Concentrada
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a
uma carga concentrada P.
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = P
∑MB = 0 → VA . L – P . b = 0, logo: VA = Pb/L
∑MA = 0 → VB . L – P . A = 0, logo: VB = Pa/L
Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P → OK
VB = Pa
L
VA = Pb
L
P
x
S1
y
S2
L
a b
B
C
A
Cálculo dos Esforços na Seção S1:
Q1 = VA = Pb/L → constante
m1 = VA . x = Pb/L . x → Equação de uma reta
Cálculo dos Esforços na Seção S2:
Q2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = 
Pb/L – (Pb/L +Pa/L) = Pb/L – Pb/L – Pa/L = - Pa/L → cte
m2 = VA . y – P ( y – a )= Pb/L . y – P ( y – a )→ Equação de uma reta 
Calculando os esforços nas seções S1 e S2:
Q2
m2
Q1
m1
VA = Pb
L
x
S1
A
P
x
S1
y
S2
C
A
VA = Pb
L
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
+
-
Pb
L
Pa
L
O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido
das forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado
esquerdo, inicialmente temos:
- No ponto A, a força cortante Pb/L para cima,
- Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo.
- E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima.
Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura 
submetida apenas a cargas concentradas é uma constante 
B
A
C
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
mA = 0 e mB = 0
mC esquerda= VA. a = Pb/L . a = 
Pba/L → Equação da reta
mC direita = VB . b = Pa/L . b = 
Pab/L → Equação da reta
m máx = Pab
L
+
Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura 
submetida apenas a cargas concentradas é retilíneo.
Traçado de Diagramas
em Viga Isostática 
Submetida a Carga 
UniformementeDistribuída
A B
q
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a
uma carga uniformemente distribuída q.
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = q . L
∑MB = 0 → VA . L – qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2
∑MA = 0 → VB . L – qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2
Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL → OK
Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga
inclinada com componente horizontal, não existem reações no eixo x.
Portanto,neste caso não há diagrama de esforço normal.
VA = qL
2
VB = qL
2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
Traçado de Diagramas 
em Vigas Inclinadas 
Submetidas a Carga 
Concentrada
Temos:
L = a² + b²
VA = VB = q . L
2
Tg a = b
a
A
a
VB cos a
VB sen a
VA cos a 
VA sen a
VA
VB
q
B
L
Apresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada,
sendo o apoio da esquerda de 20 gênero e o da direita de 10. Colocamos
ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento é L.
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
Cálculo do Esforço Normal: 
N(x) = -VA . sena + q . sena . x (equação da reta) 
p/x = 0 → NA = - qL . sena
2
p/x = L → NB = -qL . sena + q . sen a . x
2
→ NB = qL . sena
2
+
-
qL sena
2
qL sena
2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
Q(x) = VA . cosa – q . cosa . x (equação da reta)
p/x = 0 →QA = qL . cosa
2
p/x = L →QB = qL . cosa – q . cosa . x
2
→QB = -qL . cosa
2
+
-
qL . cosa
2
qL . cosa
2
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor: 
m(x) = VA. cos a .x – q.cos a . x . x
2
m(x) = qL . cos a .x – q.cos a . x²
2 2
+
q . cosa. L²
8
Cálculo do Momento Máximo:
m máx = qL/2 . cosa . L/2 – q. cosa . ½ . (L/2)²
m máx = q. cosa . L²/4 – q. cosa . L²/8 = q.cosa . L²/8
Carga Triangular
P
BA
S
PS 
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = ½ . P . L
∑MB = 0 → VA . L – ½ . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL²/6L = PL/6
∑MA = 0 → VB . L – ½ . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3
Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 → OK
VA = PL
6 VB = PL
3
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a
uma carga triangular.
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
VA = Pl
6
L
PS = P. x
S
Cálculo dos Esforços na seção S:
PS/x = P/L → PS = Px/L
Cortante:
QS = VA – ½ . PS . x = PL/6 – ½ . Px/L . x
QS = PL/6 – Px²/2L → Parábola do 2º grau
PL
6
PL
3
+
-
A
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
mS = PL/6 . x – ½ . PS . x . x/3 = PL/6 . x – ½ . Px/L . x . x/3
mS = PL/6 . x – PX³/6L → Parábola do 3º grau
Cálculo do Momento Máximo: 
→ O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo,
para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos:
QS = PL/6 – Px²/2L = 0 → x² = L²/3 → x = 0,577 . L
m máx = PL/6 . 0,577L – P.(0,577L)³/6L
m máx = 0,09622L² - 0,032PL² 
m máx = 0,064PL² 
+
m máx = 0,064PL²
0,064PL²