PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA APLICADA A VOLUME DE CONTROLE

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Módulo VII - 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle: Princípio de 
Conservação da Massa. Regime Permanente. 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume 
de Controle: Regime Permanente, Dispositivos de Engenharia com Escoamento e Regime 
Transiente. 
 
 
Conservação da Massa 
 
 A massa, assim como a energia, é uma propriedade que se conserva, e não pode ser 
criada nem destruída durante um processo. Em sistemas fechados, o princípio de conservação da 
massa é usado implicitamente pela exigência de que a massa do sistema permaneça constante. 
Em volumes de controle, ou sistemas abertos, a massa pode atravessar a fronteira do sistema e 
devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume de controle. 
 
 
Vazão Mássica e Vazão Volumétrica 
 
 Vazão mássica ou fluxo de massa, ṁ, é a quantidade de massa que escoa através de uma 
área por unidade de tempo. Esse fluxo de massa pode ser expresso por: 
 
�̇� = ∫ 𝜌𝑉𝑛𝑑𝐴𝑐
𝐴𝑐
 [𝑘𝑔/𝑠] 
 onde ρ é massa específica do fluido escoando, Vn é a componente da velocidade normal a 
secção de área transversal ao escoamento e Ac é a secção de área transversal ao escoamento. 
 
 A velocidade nunca é uniforme ao longo da secção transversal de um tubo, devido à 
condição de não-deslizamento nas paredes. Para isso, definimos a velocidade média de 
escoamento dado por: 
 
𝑉𝑚é𝑑 =
1
𝐴𝑐
∫ 𝑉𝑛𝑑𝐴𝑐
𝐴𝑐
 
 
 Finalmente, para um escoamento com fluido incompressível ou para escoamento 
compressível com ρ uniforme temos: 
 
�̇� = 𝜌𝑉𝑚é𝑑𝐴𝑐 [𝑘𝑔/𝑠] 
 
 De maneira semelhante, vazão volumétrica é o volume de fluido escoando através de uma 
área por unidade de tempo. 
 
�̇� = ∫ 𝑉𝑛𝑑𝐴𝑐
𝐴𝑐
= 𝑉𝑚é𝑑𝐴𝑐 = 𝑉𝐴𝑐 [𝑚
3/𝑠] 
 
 
Conservação da Massa para um Volume de Controle 
 
 A transferência líquida de massa, ou do fluxo de massa, para ou de um volume de controle 
durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida da massa, ou do fluxo de massa, total 
dentro do volume de controle durante Δt. 
 
∆𝑚𝑉𝐶 = ∑ 𝑚𝑒 − ∑ 𝑚𝑠 [𝑘𝑔] 
 
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
= ∑ �̇�𝑒 − ∑ �̇�𝑠 [𝑘𝑔] 
 onde os subscritos e e s representam os valores que estram e saem do volume de 
controle. 
 
 Para um escoamento unidimensional temos que: 
 
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
= ∑ 𝜌𝑉𝑒𝐴𝑒
𝑒
− ∑ 𝜌𝑉𝑠𝐴𝑠
𝑠
= ∑
𝑉𝑒𝐴𝑒
𝑣𝑒
𝑒
− ∑
𝑉𝑠𝐴𝑠
𝑣𝑠
𝑠
 [𝑘𝑔] 
 
 Já para o caso de escoamento permanente, durante o processo, a quantidade de massa 
contida dentro do volume de controle não muda com o tempo. Assim a quantidade de massa que 
entra em um volume de controle tem que ser igual a quantidade que sai. 
 
∑ �̇�𝑒 = ∑ �̇�𝑠 
 
 No caso do escoamento em regime permanente com corrente única, como ocorre em 
muitos dispositivos de engenharia, a equação se reduz para: 
 
�̇�1 = �̇�2 → 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2 
 
 Para fluidos incompressíveis a massa específica não tem variação considerável no 
decorrer do processo e com isso podemos reduzir ainda mais a equação para: 
 
∑ �̇�𝑒 = ∑ �̇�𝑠 
 
 Neste caso também é comum a presença de apenas uma corrente: 
 
�̇�1 = �̇�2 → 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 
 
 Não podemos deixar de comentar que não existe o princípio de conservação de volume e 
portanto as vazões volumétricas podem ser diferentes. 
 
 
Conservação da Energia para um Volume de Controle 
 
 O desenvolvimento do balanço de energia para um volume de controle pode ser obtido 
modificando-se o balanço da taxa de energia para sistema fechado de forma a levar em conta a 
transferência de energia, chegando a: 
 
𝑑𝐸𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇� − �̇� + �̇�𝑒 (𝑢𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − �̇�𝑠 (𝑢𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) 
 onde Q̇ e Ẇ representam a taxa líquida de transferência de energia por calor e trabalho 
através da fronteira do volume de controle no instante t. Os dois demais termos representam as 
taxas de transferência de energia interna, cinética e potencial dos fluxos de entrada e saída. 
 
 O trabalho para volume de controle é convenientemente separado em duas contribuições. 
Uma associada à pressão do fluido à medida que a massa é introduzida nas entradas e removida 
nas saídas, e outra designada por ẆVC que inclui todos os outros efeitos. Para o primeiro efeito a 
equação é dada por: 
 
�̇�𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜,𝑠𝑎í𝑑𝑎 = 𝑝𝑠𝐴𝑠𝑉𝑠 𝑒 �̇�𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜,𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑝𝑒𝐴𝑒𝑉𝑒 
𝐴𝑉 =
�̇�
𝜌
= �̇�𝑣 
 
 Com isso o taxa de energia por trabalho total é dada por: 
 
�̇� = �̇�𝑉𝐶 + 𝑝𝑠𝐴𝑠𝑉𝑠 − 𝑝𝑒𝐴𝑒𝑉𝑒 = �̇�𝑉𝐶 + �̇�𝑠𝑝𝑠𝑣𝑠 − �̇�𝑒𝑝𝑒𝑣𝑒 
 
 Portanto para um escoamento unidimensional a taxa de energia para um volume de 
controle é: 
 
𝑑𝐸𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇�𝑒 (𝑢𝑒 + 𝑝𝑒𝑣𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − �̇�𝑠 (𝑢𝑠 + 𝑝𝑠𝑣𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) 
 
𝑑𝐸𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇�𝑒 (ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − �̇�𝑠 (ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) 
 
 Como ocorre para a conservação da massa, na prática podem existir vários locais na 
fronteira através dos quais a massa entra e sai. 
 
𝑑𝐸𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒 (ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒)
𝑒
− ∑ �̇�𝑠 (ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠)
𝑠
 
 
 Para regime permanente, isto é, sem variação com o tempo temos: 
 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒 (ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒)
𝑒
− ∑ �̇�𝑠 (ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠)
𝑠
 
 
�̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒 (ℎ𝑒 +
𝑉𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒)
𝑒
= �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑠 (ℎ𝑠 +
𝑉𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠)
𝑠
 
 
 Para regime permanente com uma entrada e saída, o fluxo de massa é idêntico, 
resumindo-se para: 
 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇� [(ℎ1 − ℎ2) +
(𝑉1
2 − 𝑉2
2)
2
+ 𝑔(𝑧1 − 𝑧2)] 
 
 Se o fluido sofrer uma variação desprezível em suas energias cinética e potencial enquanto 
escoa através de um volume de controle e equação de energia se reduzirá a: 
 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇�(ℎ1 − ℎ2) 𝑜𝑢 �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 = �̇�(ℎ2−ℎ1) 
 
 
Bocais e Difusores 
 
São normalmente utilizados em motores a jato, foguetes, ônibus espaciais e até mesmo 
mangueiras de jardim. Um bocal é um dispositivo que aumenta a velocidade de um fluido à custa 
da pressão. Um difusor é um dispositivo que aumenta a pressão de um fluido pela sua 
desaceleração. 
A taxa de transferência de calor entre o fluido que escoa em um bocal ou um difusor e sua 
vizinhança é geralmente muito pequena, e, portanto desprezível, assim como uma eventual 
variação na energia potencial. Também não envolvem trabalho, e com isso a equação de energia 
para esses dispositivos fica: 
0 = (ℎ1 − ℎ2) +
(𝑉1
2 − 𝑉2
2)
2
 
 
 
Turbinas e Compressores 
 
 Turbinas são dispositivos que retiram energia de escoamento de um fluido transformando 
em trabalho. Já os compressores, assim como as bombas e os ventiladores, são utilizados para 
aumentar a pressão do fluido, porém diferem nas tarefas executadas. Ventilador aumenta a 
ligeiramente a pressão de um gás, compressor é capaz de aumentar bastante a pressão de um 
gás e bombas funcionam de forma parecida a um compressor, mas para líquidos. 
 Para todos os casos a transferência de calor é desprezível, bem como a variação nas 
energias cinética e potencial. Com isso a equação de energia pode ser representada como: 
 
�̇�𝑉𝐶 = �̇�(ℎ1 − ℎ2) 
 
 
Válvulas de Estrangulamento 
 
 É qualquer dispositivo que restringem o escoamento e causam uma queda significativa de 
pressão do fluido. Porém, essa queda de pressão não envolve nenhum trabalho, mas sim através 
de uma grande queda de temperatura. O escoamento através de um estrangulamento pode ser 
considerado adiabático e isentrópico, e as variações das energias cinética e potencial 
desprezíveis. Com tudo isso podemos representar a equação da energia nesses dispositivos 
como:ℎ1 = ℎ2 
 
𝑢1 + 𝑃1𝑣1 = 𝑢2 + 𝑃2𝑣2 
 
 
Câmara de Mistura e Trocadores de Calor 
 
 Câmara de mistura e onde ocorre a mistura de duas correntes de fluidos. Em geral são 
isoladas não promovendo troca de energia térmica e não envolve trabalho. Como as variações 
das energias cinética e potencial são desprezíveis a equação de conservação da energia torna-se 
análoga à equação de conservação da massa. 
 Já os trocadores de calor são dispositivos que duas correntes trocam calor sem se 
misturarem. Não envolvem interações de trabalho e as variações das energias cinética e 
potencial são desprezíveis, reduzindo a equação da energia para: 
 
0 = �̇�𝑉𝐶 + ∑ �̇�𝑒ℎ𝑒
𝑒
− ∑ �̇�𝑠ℎ𝑠
𝑠
 
 
 
Regime Transiente 
 
 São processos em que os valores das propriedades, as taxas de transferência de calor e 
de trabalho e vazões mássica podem variar com o tempo. 
Para o balanço de massa temos: 
 
∫ (
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
) 𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫ (∑ �̇�𝑒
𝑒
)
𝑡
0
𝑑𝑡 − ∫ (∑ �̇�𝑠
𝑠
)
𝑡
0
𝑑𝑡 
𝑚𝑉𝐶(𝑡) − 𝑚𝑉𝐶(0) = ∑ 𝑚𝑒
𝑒
− ∑ 𝑚𝑠
𝑠
 
 
 Integrando a equação de energia temos: 
 
𝑈𝑉𝐶(𝑡) − 𝑈𝑉𝐶(0) = 𝑄𝑉𝐶 − 𝑊𝑉𝐶 + ∑ 𝑚𝑒
𝑒
ℎ𝑒 − ∑ 𝑚𝑠
𝑠
ℎ𝑠 
 
 
 
Exemplos 
 
 
 
1) Um aquecedor de água operando em regime permanente possui duas entradas e uma saída. 
Na entrada 1, o vapor d’água entra a p1 = 7 bar, T1 = 200°C com vazão mássica de 40 kg/s. 
Na entrada 2, água líquida a p2 = 7 bar, T2 = 40°C entra através de uma área A2 = 25 cm
2. 
Líquido saturado a 7 bar sai em 3 com uma vazão volumétrica de 0,06 m3/s. Determine a 
vazão mássica na entrada 2, em kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s. 
 
Resolução: 
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3 
ṁ3 = ρ3A3V3 = (A3V3/v3) 
ṁ1 + ṁ2 = (A3V3/v3) 
Da tabela v3 = 1,108x10
-3 m3/kg 
40 + ṁ2 = (0,06/1,108x10
-3) 
ṁ2 = 14,15 kg/s 
 
ṁ2 = (A2V2/v2) 
Da tabela v2 = 1,0078x10
-3 m3/kg 
14,15 = (0,0025 V2/1,0078x10
-3) 
V2 = 5,7 m/s 
 
ρ1A1V1 + ρ2A2V2 = ρ3A3V3 
(A1V1/v1) + (A2V2/v2) = (A3V3/v3) 
 
 
 
2) O vapor d’água entra em uma turbina operando em regime permanente com uma vazão 
mássica de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de 1000 kW. Na entrada, a pressão 
é de 60 bar, a temperatura é 400°C e a velocidade é 10 m/s. Na saída, a pressão é 0,1 bar, o 
título é 0,9 e a velocidade é 30 m/s. Calcule a taxa de transferência de calor entre a turbina e a 
vizinhança em kW. 
 
Resolução: 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇� [(ℎ1 − ℎ2) +
(𝑉1
2 − 𝑉2
2)
2
+ 𝑔(𝑧1 − 𝑧2)] 
z1 = z2 
Das tabelas termodinâmicas na entrada para vapor superaquecido h1 = 3177,2 kJ/kg e na saída 
há mistura de vapor e líquido que dá h2 = 2345,4 kJ/kg 
�̇�𝑉𝐶 = 1000 𝑘𝑊 − 4600
𝑘𝑔
ℎ
(
1ℎ
3600𝑠
) [(3177,2 − 2345,4)
𝑘𝐽
𝑘𝑔
+
(102 − 302)
2
 (
𝑚2
𝑠2
) (
1 𝑘𝐽
1000 𝑁𝑚
)] 
�̇�𝑉𝐶 = −62,3 𝑘𝑊 
 
3) Ar é admitido em um compressor que opera em regime permanente com uma pressão de 1 
bar, 290 K e uma velocidade de 6 m/s através de uma entrada cuja área é de 0,1 m2. Na saída 
a pressão é de 7bar, 450 K e a velocidade é 2 m/s. A transferência de calor do compressor 
para sua vizinhança ocorre a uma taxa de 180 kJ/min. Empregando o método de gás ideal, 
calcule a potência de entrada do compressor. 
 
Resolução: 
0 = �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑉𝐶 + �̇� [(ℎ1 − ℎ2) +
(𝑉1
2 − 𝑉2
2)
2
] 
�̇� = 𝜌1𝑉1𝐴1 =
𝑉1𝐴1
𝑣1
=
𝑉1𝐴1𝑝1
(�̅� 𝑀⁄ )𝑇1
=
(0,1𝑚2)(6 𝑚/𝑠)(105 𝑁/𝑚2)
(
8314
28,97
𝑁𝑚
𝑘𝑔𝐾)
(290 𝐾)
= 0,72 𝑘𝑔/𝑠 
 
Das tabelas termodinâmicas temos que h1 = 290,16 kJ/kg e h2 = 451,8 kJ/kg 
 
�̇�𝑉𝐶 = (−180 
𝑘𝐽
𝑚𝑖𝑛
 |
1 𝑚𝑖𝑛
60 𝑠
|) + 0,72
𝑘𝑔
𝑠
[(290,16 − 451,8)
𝑘𝐽
𝑘𝑔
+
(62 − 22)
2
𝑚2
𝑠2
|
1 𝑘𝐽
103𝑘𝑔
𝑚2
𝑠2
 
|] 
�̇�𝑉𝐶 = −119,4 𝑘𝑊 
 
 
 
4) Um tanque, com 0,85 m3 de volume, inicialmente contém água em uma mistura bifásica 
líquido-vapor a 260°C e com um título de 0,7. O vapor d’água saturado a 260°C é lentamente 
retirado através de uma válvula reguladora de pressão de topo do tanque à medida que a 
energia é transferida por meio de calor para manter a pressão constante no tanque, Esse 
processo continua até que o tanque esteja cheio de vapor saturado a 260°C. Determine a 
quantidade de calor transferida em kJ. Despreze todos os efeitos das energias cinética e 
potencial. 
 
Resolução: 
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
= −�̇�𝑠 
𝑑𝑈𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇�𝑉𝐶 − �̇�𝑠ℎ𝑠 
𝑑𝑈𝑉𝐶
𝑑𝑡
= �̇�𝑉𝐶 + ℎ𝑠
𝑑𝑚𝑉𝐶
𝑑𝑡
 
∆𝑈𝑉𝐶 = 𝑄𝑉𝐶 + ℎ𝑠∆𝑚𝑉𝐶 
𝑄𝑉𝐶 = (𝑚2𝑢2 − 𝑚1𝑢1) − ℎ𝑠(𝑚2 − 𝑚1) 
 
Das tabelas termodinâmicas temos que u1 = 2157,8 kJ/kg, v2 = 0,02993 m
3/kg, u2 =2599,0 kJ/kg e 
v2 = 0,04221 m
3/kg 
 
𝑚1 =
𝜗
𝑣1
=
0,85
0,02993
= 28,4 𝑘𝑔 
𝑚2 =
𝜗
𝑣2
=
0,85
0,04221
= 20,14 𝑘𝑔 
 
𝑄𝑉𝐶 = (20,14𝑥2599 − 28,4𝑥2157,8) − ℎ𝑠(20,14 − 28,4) 
𝑄𝑉𝐶 = 14162 𝑘𝐽