Exercícios

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Universidade Federal do Piau´ı - CCNII - CEST
Disciplina: Probabilidade e Estat´ıstica I- Prof(a): Cleide Mayra
Lista de Exerc´ıcios
1. Suponha uma populac¸a˜o com N elementos. Vimos que se extrairmos uma amostra
de tamanho n, com reposic¸a˜o, e calcularmos a me´dia amostral X, enta˜o E(X) = µ
e V ar(X) = σ2/n, onde µ e σ2 sa˜o a me´dia e a variaˆncia da populac¸a˜o, respecti-
vamente. No entanto, se a amostragem for feita sem reposic¸a˜o, enta˜o E(X) = µ
continua a valer, mas
V ar(X) =
σ2
n
N − n
N − 1
O fator (N −n)/(N −1) e´ chamado fator de correc¸a˜o para populac¸o˜es finitas. Note
que se n for muito menor que N , enta˜o esse fator e´ aproximadamente igual a um,
e amostras com ou sem reposic¸a˜o sa˜o praticamente equivalentes. Considere, agora,
uma populaa˜o P = {1, 3, 5, 5, 7}, logo N = 5. Retire amostras de tamanho n = 2,
sem reposic¸a˜o, e construa a distribuic¸a˜o amostral de X = (X1 + X2)/2. Obtenha
E(X) e V ar(X) e verifique que esta e´ dada pela fo´rmula acima.
2. Os comprimentos de pec¸as produzidas por determinada ma´quina teˆm distribuic¸a˜o
normal com uma me´dia de 172mm e desvio padra˜o de 5mm. Calcule a probabilidade
de uma amostra aleato´ria simples de 16 pec¸as ter comprimento me´dio
a) entre 169mm e 175 mm;
b) maior que 178 mm;
c) menor que 165 mm.
3. A ma´quina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuic¸a˜o
normal, com me´dia µ e desvio-padra˜o de 10g.
a) Em quanto deve ser regulado o peso me´dio µ para que apenas 10% dos pacotes
tenham menos do que 500g?
b) Com a ma´quina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4
pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2kg?
4. No exerc´ıcio anterior, depois de regulada a ma´quina, prepara-se uma carta de cont-
role de qualidade. Uma amostra de 4 pacotes sera´ sorteada a cada hora. Se a me´dia
da amostra for inferior a 497g ou superior a 520g, a produc¸a˜o deve ser interrompida
para ajuste da ma´quina, isto e´, ajuste do peso me´dio.
a) Qual e´ a probabilidade de uma parada desnecessaria?
b) Se a ma´quina se desregulou para µ = 500g, qual a probabilidade de continuar-se
a produc¸a˜o fora dos padro˜es desejados?
5. Um fabricante produz ane´is de um motor de um carro. Sabe-se que o diaˆmetro do
anel e´ distribu´ıdo normalmente com σ = 0, 001 milimetro. Uma amostra aleato´ria
de 15 ane´is tem um diaˆmetro me´dio de x = 74, 036mil´ımetros. Construa um
intervalo bilateral de confianc¸a de 99% para o diaˆmetro me´dio do anel de pista˜o.
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6. Um engenheiro civil esta´ analisando a resisteˆncia a` compressa˜o do concreto. A
resisteˆncia a` compressa˜o e´ distribu´ıda normalmente com σ2 = 1.000(psi)2. Uma
amostra aleato´ria de 12 corpos de prova tem uma resisteˆncia me´dia a` compressa˜o
de x = 3.250psi. Construa um intervalo bilateral de confianc¸a de 95% para a
resisteˆncia me´dia a` compressa˜o.
7. Um gerente de produc¸a˜o deseja estimar a proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas em uma de
suas linhas de produc¸a˜o. Para isso, ele seleciona uma amostra aleato´ria simples de
100 pec¸as dessa linha de produc¸a˜o, obtendo 30 defeituosas. Determine o intervalo de
confianc¸a para a verdadeira proporc¸a˜o de pec¸as defeituosas nessa linha de produc¸a˜o,
a um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
8. Em uma amostra aleato´ria de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de
automo´veis, 10 teˆm um acabamento de superf´ıcie que e´ mais rugoso do que as es-
pecificac¸o˜es permitidas. Consequentemente, uma estimativa pontual da proporc¸a˜o
de mancais na populac¸a˜o que excede a especificac¸a˜o de rugosidade e´ p̂ = x/n =
10/85 = 0, 12. Contrua um intervalo bilateral de confianc¸a de 95% para p.
9. Um produtor fabrica eixos para um motor de automo´vel. O desgaste (0,0001 pole-
gada) dos eixos depois de 100.000 milhas e´ de interesse, visto que e´ prova´vel ter
um impacto nas reinvindicac¸o˜es de garantia. Uma amostra aleato´ria de n = 15
eixos´e´ testada e x = 2, 78. Sabe-se que σ = 0, 9 e que o desgaste e´ normalmente
distribu´ıdo. Teste H0 : µ = 3 versus H1 : µ 6= 3, usando α = 0, 05.
10. Sabe-se que a vida, em horas, de uma bateria e´ aproximadamente distribu´ıdo nor-
malmente, com desvio padra˜o σ = 1, 25hora. Uma amostra aleato´ria de 10 baterias
tem uma vida me´dia de x = 40, 5 horas. Ha´ evideˆncia que suporte a alegac¸a˜o de
que a vida da bateria excede 40 horas? Use α = 0, 05?
11. Suponha que 1000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos
ou muito satisfeitos com os produdos e servic¸os de certa corporac¸a˜o. Teste a H0 :=
0, 9 versus H1 : p 6= 0, 9, com α = 0, 05.
12. Em uma amostra aleato´ria de 85 mancais de eixos de motores de automo´veis, 10 tem
uma rugosidade no acabamento de superf´ıcie que exce as especificac¸o˜es. Esses dados
apresentam forte evideˆncia de que a proporc¸a˜o de mancais que exibem rugosidade
no acabamento de superf´ıcie excede 0,10? Use α = 0, 05?
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