Ex 01 Lagrange e Braquistócrona

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Exercício de Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
 
Aluno – Roberto Outa 
Pós-Engenharia Mecânica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
Programa de Pós Graduação Engenharia Mecânica – Ilha Solteira 
A Equação de Euler-Lagrange & O Problema da Braquistócrona 
 
Aluno – Roberto Outa 
 
 
 
Exercício de Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
 
Aluno – Roberto Outa 
Pós-Engenharia Mecânica
Questão 01 - Equação de movimento de Lagrange 
 
A equação de Lagrange ocupa um lugar especial na mecânica analítica. Eles representam as 
equações de movimento nos termos de coordenadas generalizadas e podem ser obtidos unicamente de 
duas expressões escalares, a energia cinética e o trabalho virtual, uma característica compartilhada do 
principio de Hamilton. 
Existem várias maneiras em que as equações de Lagrange podem ser derivadas, diretamente da 
generalização do principio de d`Alembert, ou por meios do principio de Hamilton. Ao qual escolhemos a 
segunda abordagem. 
Nas derivações das equações de movimento, pelo meios do principio de Hamilton, existem duas 
etapas que devem ser efetuados repetidamente, ou seja, eliminando a generalizada velocidade virtual 
oriundo da formulação da integração por partes, assim obtendo uma integral nos termos de generalização 
virtual de deslocamento único, e em seguida chamar a arbitrariedade da generalização da equação do 
deslocamento virtual para zero. 
A equação de Lagrange pode ser derivada de uma maneira natural realizada por duas etapas 
indicadas acima para um sistema dinâmico qualquer, em vez de deriva-los para cada exemplo especifico. 
A energia cinética para o sistema de partículas pode ser expressa na forma geral 
 
Onde é o deslocamento do vetor e é o vetor velocidade da partícula típica de massa 
 2 3 2. Nosso interesse, sempre, é na formulação nos termos de coordenadas generalizadas e 
nas velocidades generalizadas e é sempre dado pela equação 3 . Além disso, 
usando a analogia com a equação 
 
 
 2 3 
 
 , podemos escrever a 
equação como 
 
 
 
 
 
 2 3 
Introduzindo as equações (3) na (5), dentro da (1), podemos expressar a energia cinética nos termos de 
deslocamento generalizado e velocidades, seguindo 
 
 
 
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Então a variação na energia cinética é simples 
 
 
 
 
 
 
 2 3 
Além disso, da equação do trabalho virtual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , o trabalho 
virtual realizado pela aplicação de forças pode ser escrito nos termos forças generalizadas e deslocamentos 
virtuais na forma abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Onde as forças generalizadas 2 3 , são dadas pela equação 
 
 
 
 
 
 2 3 . 
 
Introduzindo a equação (7) e (9) dentro da extensão do principio de Hamilton a equação 
 
 
 
 
 2 3 2 
 
pode ser escrita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
para 2 3 
 
 
 
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O termo se interpõe no caminho da derivação da equação do movimento. Para eliminar isto, 
podemos executar a integração por partes, considerando as condições finais para obter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 3 
 
Introduzindo a equação (14) na equação (13), teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando chamada a arbitrariedade do deslocamento virtual, concluímos que a equação (15) satisfaz todo 
 , fornecendo assim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 3 
 
A equação (16) é a famosa equação de movimento de Lagrange na sua forma geral, e note que inclui 
tanto as forças generalizadas conservativas e não conservativas. É comum praticar para distinguir as forças 
conservativas e não conservativas 
 2 3 
mas usando a equação e recordando que a energia potencial 
depende da coordenada única, podemos escrever 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a força generalizada conservativa tem a forma 
 
 
 
 2 3 
Por isso, introduzindo a equação (17) na (19) dentro da equação (16), obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 3 2 
 
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Finalmente, por causa da energia potencial não depende da velocidade e a equação (20) pode ser escrito 
como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 3 2 
 
onde é o Lagrangiano. 
A equação de Lagrange pode ser usada para qualquer sistema discreto cujo movimento presta para a 
descrição nos termos de coordenadas generalizadas, que inclusas em corpos rígidos, na mesma maneira que 
pode o princípio de Hamilton. Eles também podem ser extendidos para distribuir sistemas paramétricos, 
mas para tais sistemas não são versáteis as extensões do principio de Hamilton. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencia Bibliográfica 
MEIROVITCH, Leonard – Principles and Thechniques of Vibrations – pg 88 a 91 
 
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Questão 02 - O Problema da Braquistócrona 
 
O problema da braquistócrona, proposto por John Bernoulli em 1696, consiste em encontrar uma 
curva que una dois pontos e situados num mesmo plano vertical com a propriedade de que uma partícula 
inicialmente em repouso que se deslize sobre essa curva leve o menor tempo possível para ir, sob a ação da 
gravidade, de até O ponto é suposto estar acima do ponto, mas não na mesma vertical. Quando e se 
encontram na mesma vertical. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Descrição do caminho mais rápido 
 
O primeiro passo na resolução deste problema é encontrar o tempo que a partícula leva para se 
deslocar sobre uma curva qualquer que una A à B pois, a partir disso, poderemos variar entre todas as 
possíveis curvas para encontrar aquela de menor tempo. Esquematizando no plano coordenado, temos: 
 
Figura 2: Deslocamento da partícula sob a ação da gravidade 
 
Note que orientamos o eixo “y” no sentido oposto ao usual. Isto é conveniente pois, neste caso, a 
força exercida pela gravidade ficaorientada no sentido positivo. O sistema de coordenadas também foi 
escolhido de modo que o ponto “A” fique localizado na origem. 
A 
B 
 
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Sabemos da Física que quando uma partícula atua sob a ação da gravidade, o trabalho realizado para 
se deslocar de “A” até um ponto “P” é igual à variação da energia cinética. Assim, denotando por o módulo 
da velocidade (velocidade escalar) da partícula no ponto “P” por ‘y” o seu deslocamento vertical e por “m” a 
sua massa, temos 
 
 
2 
 
mas, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido ”s” (no esquema acima) pelo tempo, ou seja, 
 
 
 
 2 
Usando o fato que o comprimento do arco percorrido para ir de através de 
uma curva que é representada pelo gráfico de uma função é dado por 
 
 
 
 
obtemos, 
 
 
 
Assim denotando por t o tempo gasto neste trajeto, ficamos com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
Assim para se deslocar de , o tempo total gasto é 
 
 
 
 
 
O problema se resume a encontrar uma função que minimize o tempo acima e o 
procedimento usual para a sua resolução é fazer o calculo variacional. Mais precisamente, precisamos 
encontrar uma função que satisfaça 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , onde 
 
 
 
 
O problema se resume a encontrar uma função , que satisfaça, 
 
 
 
 
 
 
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Figura 03 – buscando uma equação para o problema 
 
Como a partícula tem de descrever a trajetória mais rápida e sua velocidade é variável, temos, 
 
 
 
Como 2 , combinando a identidade trigonométrica 
 
 
 
 
Obtemos então 
 
 2 
 
 
Simplificando a equação 
 
 , onde K é uma constante positiva. 
O propósito de James Bernoulli mostrou apenas que a curva que solucionaria o problema da 
braquistócrona deveria satisfazer a equação 
 
 cuja solução já era conhecida naquela época. 
A solução geral é dada na forma paramétrica por 
 
Onde a é uma constante que fica determinada de modo que a curva passe pelo ponto B. A curva 
dada pelas acima representa uma cicloide que é a mesma curva que se obtém quando um ponto fixado de 
um círculo de raio a descreve quando este círculo rola sobre uma reta. 
 
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Figura 4 - ciclóide 
Podemos descrever que o tempo que uma partícula incialmente em repouso leva para percorrer um 
arco de cicloide até o seu vértice mais baixo independe da sua posição inicial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
HAWS, L. and Kiser, T. Exploring the Brachistochrone Problem, Amer. Math. Monthly 102, 328 - 336, 1995. 
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica, 1/2, (1987), McGraw-Hill, São Paulo 
FAMAT em Revista - Número 03 - Setembro de 2004 - O Problema da Braquistócrona – Vieira, Flaviano B.P.