Cálculo Avançado

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CÁLCULO 
AVANÇADO
PROF. JEAN CARLOS RODRIGUES
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Jean Carlos Rodrigues
CÁLCULO 
AVANÇADO
Marília/SP
2022
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
 Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.
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emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
09
19
29
44
55
65
77
87
95
109
119
129
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO VETORIAL
APLICAÇÕES DO CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL NA FÍSICA
CÁLCULO APLICADO NO TEOREMA DE 
TRABALHO E ENERGIA MECÂNICA
CÁLCULO APLICADO AO TEOREMA DO 
IMPULSO E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
CAMPOS ESCALARES X CAMPOS VETORIAIS
CÁLCULO VETORIAL: IMPORTANTES 
FERRAMENTAS
TEOREMA FUNDAMENTAL DAS INTEGRAIS 
DE LINHA
INTEGRAIS DE LINHA: APLICAÇÕES E 
LIMITAÇÕES
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
NOS ESPAÇOS BIDIMENSIONAIS E 
TRIDIMENSIONAIS
DERIVADAS DIRECIONAIS E O GRADIENTE: 
PARTE 1
DERIVADAS DIRECIONAIS E O VETOR 
GRADIENTE: PARTE 2
TEOREMAS DE GREEN E DE STOKES
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
140
150
160
CAMPOS CONSERVATIVOS E O OPERADOR 
ROTACIONAL
O TEOREMA DE GAUSS OU TEOREMA DA 
DIVERGÊNCIA
REVISÃO DOS TEOREMAS DO CÁLCULO 
VETORIAL
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INTRODUÇÃO
O cálculo avançado traz diversas ferramentas matemáticas novas e também 
algumas conhecidas do cálculo diferencial e integral de forma bastante aplicada. É 
importante reforçar, neste momento, que os conceitos e modelos matemáticos do 
cálculo avançado, caso trabalhados com rigor e dentro dos formalismos científicos, 
podem exigir alto grau de abstração e enorme maturidade científica para serem bem 
absorvidos. Entretanto, o objetivo deste estudo é ampliar o léxico físico-matemático, 
além de promover o desenvolvimento do pensamento crítico e reflexivo. 
Em primeiro momento, será apresentada a teoria do cálculo vetorial, juntamente 
com os alguns tipos de campos vetoriais e suas aplicações. Campos vetoriais são 
uma ferramenta importante para descrever muitos conceitos físicos, como gravitação 
e eletromagnetismo, que afetam o comportamento de objetos em uma grande região 
de um plano ou do espaço. Eles também são úteis para lidar com o comportamento 
em grande escala, como tempestades atmosféricas ou correntes oceânicas de 
profundidade. Os campos vetoriais têm muitas aplicações porque podem ser usados 
para modelar campos reais, como campos eletromagnéticos e gravitacionais. Uma 
compreensão profunda da física ou engenharia é impossível sem uma compreensão 
dos campos vetoriais. Além disso, os campos vetoriais têm propriedades matemáticas 
que valem a pena serem estudadas por si. Em particular, campos vetoriais podem 
ser usados para desenvolver várias versões de dimensões superiores do Teorema 
Fundamental do Cálculo.
Em seguida faremos uma considerável revisão em algumas leis da física como, por 
exemplo, no princípio do trabalho e energia, visto que a motivação para a existência 
de vários teoremas do cálculo avançado foi algum problema que surgiu dentro da 
filosofia natural. As integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. 
Elas também nos permitem fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental 
do Cálculo. 
Examinaremos o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que é uma 
generalização útil do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de 
campos vetoriais conservativos. Também veremos como testar se um determinado 
campo vetorial é conservativo e determinamos como construir uma função potencial 
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para um campo vetorial conhecido como conservativo. O teorema de Green é uma 
extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para duas dimensões. Tem duas formas: 
uma de circulação e uma de fluxo, ambas requerem que a região (D) na integral dupla 
seja fechada. O teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma 
curva plana fechada (C) e uma integral dupla sobre a região delimitada por (C). A 
Divergência e rotacional são duas operações importantes em um campo vetorial. Eles 
são importantes para desenvolver algumas versões de dimensão superior do Teorema 
Fundamental do Cálculo. Além disso, curvatura e divergência aparecem nas descrições 
matemáticas da mecânica dos fluidos, eletromagnetismo e teoria da elasticidade, 
que são conceitos importantes em física e engenharia. Por fim, aprenderemos que o 
teorema de Stokes, trata-se de uma generalização de dimensão superior do teorema 
de Green. Este teorema, assim como o Teorema Fundamental para Integrais de Linha 
e o Teorema de Green, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para 
dimensões superiores. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície no 
espaço com uma integral de linha em torno do limite de S.
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO VETORIAL
Imagem da capa: Campo Vetorial sobre uma Esfera
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f5/Vector_Field_on_a_Sphere.png >
O cálculo vetorial é uma importante área de estudo da física, da matemática e 
da engenharia. É utilizado com a intenção de analisar vetores em duas ou mais 
dimensões. Compreende um conjunto de teorias e modelos matemáticos que são 
aplicados para compreender os mais diversos fenômenos naturais. 
Segundo Stewart (2013) no cálculo vetorial, são utilizadas algumas operações 
consideradas fundamentais, são as seguintes: 
• O gradiente: É aquela operação que serve para poder calcular qual é o índice e 
a direção de mudança inserida em um campo escalar. Entendemos ainda que 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f5/Vector_Field_on_a_Sphere.png
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o gradiente de um campo escalar é o mesmo que o gradiente de um campo 
vetorial. 
• O rotacional: Uma operação na qual se busca poder calcular qual é a inclinação 
que adquire a distribuição espacial do que conhecemos como magnitude 
vetorial. O rotacional de um campo vetorial é outro campo vetorial.
• A divergência: Esta operação é utilizada com a ideia de se analisar qual é a 
inclinação da distribuição espacial de uma grandeza vetorial. 
• Laplaciano: É aquela operação que nos ajuda a relacionar uma magnitude vetorial 
que está em um ponto específico do espaço com alguma outra magnitude. Tudo 
isso faz desta operação um operador diferencial considerado de segunda ordem. 
Campos vetoriais são uma ferramenta importante para descrever muitos conceitos 
físicos, como gravitação e eletromagnetismo, que afetam o comportamento de objetos 
em uma grande região de um plano ou do espaço. Eles também são úteis para lidar 
com o comportamento em grande escala, como tempestades atmosféricas ou correntes 
oceânicas de profundidade. Como podemos modelar a força gravitacional exercida 
por vários objetos astronômicos? Como podemos modelar a velocidade das partículas 
deágua na superfície de um rio? A Figura 1 mostra um campo gravitacional exercido 
por dois objetos astronômicos, como uma estrela, um planeta ou um planeta e uma 
lua. Campo vetorial (azul) e seu campo potencial escalar associado (vermelho). O 
ponto P entre a Terra e a Lua é o ponto livre de força.
Figura 1: campo gravitacional (vetorial) exercido por dois objetos astronômicos
Fonte: Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Earth-moon-field.svg 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Earth-moon-field.svg
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Em qualquer região da figura, o vetor associado a um ponto, dá a força gravitacional 
resultante exercida pelos dois objetos sobre um objeto de massa unitária. Os vetores 
de maior magnitude na figura são os vetores mais próximos do corpo maior. O objeto 
maior tem maior massa, então ele exerce uma força gravitacional de maior intensidade 
que o objeto menor.
A Figura 2 mostra os vetores do campo de velocidades da água de um rio em 
pontos de sua superfície. O vetor associado a um determinado ponto da superfície 
significa a velocidade da água nesse ponto. 
Figura 2: campo de velocidades da água na superfície de um rio.
Fonte: autor (2020)
Como os vetores à esquerda da figura são pequenos em magnitude, a água está 
fluindo lentamente nesta região da superfície. À medida que a água se move da esquerda 
para a direita, encontra algumas corredeiras ao redor de uma rocha. A Rapidez da água 
aumenta, e um redemoinho ocorre em parte das corredeiras. Cada figura ilustra um 
exemplo de campo vetorial. Intuitivamente, um campo vetorial é um mapa de vetores.
Definição:
Um campo vetorial F dentro ℝ² é uma atribuição de um vetor bidimensional F (x, y) 
a cada ponto (x, y) de um subconjunto D pertencente a ℝ². O subconjunto D é o
Domínio do campo vetorial (STEWART, 2013).
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Um campo vetorial F dentro ℝ³ é uma atribuição de um vetor tridimensional F (x, y 
e z) a cada ponto (x, y e z) de um subconjunto D pertencente a ℝ³. O subconjunto D 
é o Domínio do campo vetorial (STEWART, 2013).
Um campo vetorial ℝ2 pode ser representado de duas maneiras equivalentes. A 
primeira maneira é usar um vetor com componentes que são funções de duas variáveis, 
conforme relação a seguir:
F (x, y) = ⟨P (x, y), Q (x, y) ⟩
A segunda forma é usando vetores unitários.
F (x, y) = P (x, y) i +Q (x, y) j
Para ser considerado um campo vetorial, as funções inerentes a cada componente 
do vetor devem ser contínuas (STEWART, 2013).
Para facilitar o entendimento, analise a função bidimensional:
F (x, y) = (2y2+x−4) i + cos(x) j
Observe que este é um exemplo de campo vetorial já que ambos os componentes 
são funções contínuas. E para calcular o vetor que está associado ao ponto (0, - 1), 
basta substituir os valores dos pontos por x e y, então:
F (x, y) = (2y2+x−4) i + cos(x) j
F (0,−1) = (2(−1)2+0−4) i + cos (0) j = 
F (0,−1) = −2i + j
Podemos agora representar um campo vetorial em termos de seus componentes, 
mas representá-lo visualmente por esboços é mais complexo, porque o domínio de 
um campo vetorial é em ℝ2. Portanto, o “gráfico” de um campo vetorial dentro ℝ2 vive 
no espaço quadridimensional. Como não podemos representar visualmente o espaço 
quadrimensional, desenhamos o vetor campo em ℝ2 no próprio plano. Para fazer isso, 
desenhe o vetor associado a um dado ponto no plano. Por exemplo, suponha que o 
vetor associado ao ponto (4, - 1) é ⟨ 3, 1 ⟩. Em seguida, desenhamos o Vetor ⟨ 3, 1 ⟩ 
no ponto (4, - 1). Devemos traçar vetores suficientes para ver a forma geral, mas não 
tantos que o esboço se torne visualmente poluído. Se fôssemos traçar o vetor em cada 
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ponto da região, preencheríamos algumas regiões que não contribuíram tanto. Em 
vez disso, podemos escolher pontos nas interseções das linhas de grade e traçar 
uma amostra de vários vetores de cada quadrante de um sistema de coordenadas 
retangulares em ℝ2. Alguns exemplos de campos vetoriais seriam: os campos radiais 
e os campos rotacionais. Campos radiais modelam certos campos gravitacionais e 
campos de fontes de energia, e os campos rotacionais modelam o movimento de 
um fluido em um vórtice. Em um campo radial, todos os vetores apontam para a 
origem. Além disso, a magnitude de qualquer vetor depende da sua distância até a 
origem (STEWART, 2013). 
Como exemplo, observe-se a função vetorial (campo vetorial 
radial). Para esboçar o campo vetorial, escolha alguns pontos de cada quadrante e 
calcule o vetor. A tabela 1 a seguir mostra alguns pontos em um plano e os vetores 
correspondentes.
Tabela 1: pontos da função para o esboço o campo vetorial
Fonte: autor (2022)
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Figura 3 mostra o campo vetorial gerado a partir da tabela 1. Cada vetor é perpendicular 
ao círculo correspondente. 
Figura 3 Uma representação visual do campo vetorial radial 
Fonte: autor (2022)
A Figura 4 mostra alguns círculos sobrepostos no campo vetorial para facilitar a 
verificação que cada vetor é perpendicular ao círculo correspondente.
 
. 
Figura 4 círculos sobrepostos no campo vetorial radial
Fonte: autor (2022)
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Para aprofundarmos mais na análise, agora faremos o esboço de um campo vetorial 
rotacional. Considere a função vetorial F (x, y) = ⟨y, −x⟩.
Criando a tabela 2 (veja a seguir) usando uma amostra representativa de pontos 
em um plano e seus vetores correspondentes.
 
Tabela 2: pontos da função para o esboço o campo vetorial
Fonte: autor (2022)
Observe, por meio da figura 5, que o vetor F (x, y) = ⟨y, −x⟩ aponta para o sentido 
horário. Além disso, a título de curiosidade, os vetores ⟨x, y⟩ e ⟨-y, x⟩ são perpendiculares, 
este fato pode ser comprovado, realizando o produto escalar entre eles e verificando 
que o resultado dará zero.
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Figura 5 Uma representação visual do campo vetorial rotacional F (x,y) = ⟨y,-x⟩.
Fonte: autor (2022)
Na figura 6 foram adicionados círculos de referência para facilitar a visualização 
do comportamento do vetor F (x,y) = ⟨y,-x⟩ que aponta para o sentido horário.
Figura 6 Círculos sobrepostos no campo vetorial rotacional
Fonte: autor (2022)
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A figura 7 ilustra a perpendicularidade entre os vetores ⟨x, y⟩ e ⟨-y, x⟩, este fato pode 
ser comprovado, realizando o produto escalar entre eles e verificando que o resultado 
dará zero.
Figura 7: campo vetorial rotacional F (x, y) = ⟨y, −x⟩ com a ilustração do vetor perpendicular 
Fonte: autor (2022)
O vetor ⟨y, −x⟩ tem comprimento (por Pitágoras) r = √ x2+y2. Assim, temos uma 
descrição completa da rotação deste campo vetorial. o vetor associado ao ponto (x, 
y) é o vetor com comprimento tangente ao círculo com raio
Os esboços dos campos vetoriais ilustrados nos exemplos anteriores são 
frequentemente usados para analisar grandes sistemas de tempestades, incluindo 
furacões e ciclones. No hemisfério norte, as tempestades giram no sentido anti-horário 
e no hemisfério sul, as tempestades giram no sentido horário. (Este é um efeito causado 
pela rotação da Terra em torno de seu eixo e é chamado de Efeito Coriolis). A Figura 8 
mostra uma foto do Furacão Isabel para demonstrar o Efeito Coriolis do qual o texto 
trata. Uma vez que o ar é colocado em movimento pela força do gradiente de pressão, 
ele sofre uma aparente deflexão de seu caminho, como visto por um observador 
na Terra. Essa deflexão aparente é chamada de “força de Coriolis” e é resultado da 
rotação da Terra.
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Figura 8:Furacão Isabel e Efeito Coriolis
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em: < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Hurricane_isabel_and_coriolis_force.jpg >
À medida que o ar se move de alta para baixa pressão no hemisfério norte, ele é desviado 
para a direita pela força de Coriolis. No hemisfério sul, o ar que se move de alta para baixa 
pressão é desviado para a esquerda pela força de Coriolis. A quantidade de deflexão que 
o ar faz está diretamente relacionada à velocidade com que o ar está se movendo e sua 
latitude. Portanto, ventos que sopram lentamente serão desviados apenas uma pequena 
quantidade, enquanto ventos mais fortes serão desviados mais. Da mesma forma, os 
ventos que sopram mais perto dos polos serão desviados mais do que os ventos na 
mesma velocidade mais próximos do equador. A força de Coriolis é zero no equador.
Considerações Finais
Um campo vetorial atribui um vetor F (x, y) a cada ponto (x, y) em um subconjunto 
D pertencente a ℝ2 ou ℝ3. Os campos vetoriais podem descrever a distribuição de 
grandezas vetoriais, como forças ou velocidades sobre uma região do plano ou do 
espaço. Eles são de uso comum em áreas como física, engenharia, meteorologia 
e oceanografia. Podemos esboçar um campo vetorial examinando a sua equação 
para determinar as intensidades ou magnitudes relativas em vários pontos e depois 
desenhar uma quantidade de vetores suficiente para determinar um padrão visual 
que seja conclusivo.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Hurricane_isabel_and_coriolis_force.jpg
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CAPÍTULO 2
APLICAÇÕES DO 
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL NA FÍSICA
Imagem da capa: Gráfico tridimensional do valor absoluto da função gama complexa
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png >
Em primeiro momento, apresentamos a teoria do cálculo vetorial, juntamente com 
os alguns tipos de campos vetoriais e suas aplicações. Estudamos que os Campos 
Vetoriais são uma ferramenta importante para descrever muitos conceitos físicos, 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Gamma_abs_3D.png
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como gravitação e eletromagnetismo, que afetam o comportamento de objetos em 
uma grande região de um plano ou do espaço. Eles também são úteis para lidar com 
o comportamento em grande escala, como tempestades atmosféricas ou correntes 
oceânicas de profundidade. Os campos vetoriais têm muitas aplicações porque 
podem ser usados para modelar campos reais, como campos eletromagnéticos e 
gravitacionais. Uma compreensão profunda da física ou engenharia é impossível 
sem uma compreensão dos campos vetoriais. Além disso, os campos vetoriais têm 
propriedades matemáticas que valem a pena serem estudadas por si. Em particular, 
campos vetoriais podem ser usados para desenvolver várias versões de dimensões 
superiores do Teorema Fundamental do Cálculo.
Nesta e nas próximas aulas, faremos uma considerável revisão em algumas leis da 
física como, por exemplo, nas leis do movimento e também, no princípio do trabalho 
e energia, visto que a motivação para a existência de vários teoremas do cálculo 
avançado foi algum problema que surgiu dentro da filosofia natural. As integrais de 
linha, por exemplo, têm muitas aplicações em engenharia e física. Estas nos permitem 
fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental do Cálculo e contribuem 
bastante para todos os problemas que envolvem trabalho realizado por uma força 
sobre um corpo ao longo de uma curva ou caminho. Entretanto, para iniciarmos as 
integrais de linha, precisamos garantir que os conhecimentos teóricos da física, bem 
como as aplicações básicas do cálculo diferencial e integral estejam bem consolidados. 
Regras Básicas de Integração
Ao longo desta e das próximas aulas, precisaremos utilizar bastante algumas regras 
de derivação e integração. À medida que os problemas surgirem, uma revisão com 
exemplos será realizada. Por momento, vamos recordar estas 6 regras de integração? 
1. Integral de uma constante
Para demonstrar, observe a operação contrária, a seguir:
 .
Exemplos:
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2. Integral de uma função polinomial
Para demonstrar o resultado, observe:
Exemplos:
3. Integração do produto de uma constante por uma função
Exemplo:
 C
4. Integral da soma e da diferença entre funções
Exemplo:
5. Integral de função exponencial 
Exemplo:
6. Integral da função racional 
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Exemplo:
Por meio do Teorema Fundamental do Cálculo é possível resolver vários problemas 
e calcular as áreas sob funções diversas.
Calcular 
Calcular 
Calcular 
Calcular 
Estas operações de integração servem como base para o entendimento de muitas 
outras que serão apresentadas no curso de cálculo avançado.
Trabalho e Energia
Trabalho e energia estão entre os conceitos mais importantes da física e 
desempenham papéis igualmente importantes em nosso cotidiano. Em Física o trabalho 
tem uma definição precisa que difere do nosso uso cotidiano: o trabalho é realizado 
por uma força agindo em um corpo somente quando o ponto de aplicação da força 
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se move através de uma distância e há um componente de força ao longo da linha 
de movimento, então quando uma força é exercida sobre um trenó e se move através 
da neve, o trabalho é feito no trenó. Mas, se o trenó fosse imobilizado (preso a uma 
árvore, por exemplo) a mesma força fosse exercida sobre ele como no caso anterior, 
nenhum trabalho no trenó seria verificado, pois o ponto de aplicação da força não 
se move por uma distância. Intimamente associado ao conceito de trabalho está o 
conceito de energia, que é a capacidade de realizar o trabalho. Quando um sistema 
realiza o trabalho em outro, a energia é transferida entre os dois sistemas. No caso do 
trenó, o trabalho realizado é parcialmente convertido em energia a partir do movimento 
(energia cinética) e parcialmente em energia térmica devido ao atrito entre a neve e 
o trenó; ao mesmo tempo, a energia química interna da pessoa que faz o empurrão 
diminui com o processo. O resultado líquido é a transformação da energia química 
interna do corpo da pessoa em energia cinética do trenó, mais a energia térmica 
produzida pelo atrito. No caso de um atleta que realiza um salto com vara, a energia 
química interna do salto é convertida em energia cinética (durante a corrida anterior); 
parte desta energia cinética é convertida em energia potencial elástica (deformação 
da vara durante a elevação do atleta) e o resto em energia potencial gravitacional que, 
por sua vez, é convertida em energia cinética quando cai e finalmente convertido em 
energia térmica quando chega ao chão.
Trabalho Realizado Por Uma Força
Quando aplicamos uma força a um corpo, podemos relacioná-la ao tempo de 
atuação, assim, surge o conceito de impulso ou podemos relacioná-lo ao espaço, de 
onde nasce o conceito de trabalho. Diremos que uma força agindo em uma partícula 
produz trabalho, quando ao menos um componente desta força provoca deslocamento 
do corpo. (HALLIDAY et al, 2015).
Primeiro estudaremos todos os casos com forças constantes e em seguida 
aplicaremos os teoremas do cálculo para a solução de problemas envolvendo forças 
variáveis. Na figura 1 há um corpo que desliza ao longo do eixo x com uma certa 
velocidade. Em um certo ponto, uma força é aplicada.
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Figura 1:Caixa sendo arrastado ao longo do eixo x sob a ação de uma força.
Fonte: adaptado de Wikimedia Commons
Disponível em: < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/20-P-FA-JK-20.png>
A força oblíqua que atua sobrea caixa, pode ser decomposta em dois componentes, 
um normal (FY) e outro tangencial (FX) em relação ao movimento. Uma observação 
importante é que somente o componente horizontal da força (FX) é que realizará trabalho 
sobre o corpo, visto que se encontra na direção do movimento. O trabalho infinitesimal 
é definido como o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento do ponto 
de aplicação da força. A expressão matemática que define o trabalho realizado por 
uma força sobre uma partícula ao longo de um caminho a-b é mostrada a seguir.
 (1)
Onde W é o trabalho realizado sobre o corpo e F, é a força que realiza o trabalho. 
Se a trajetória de um corpo for curvilínea, então existe uma força F que modifica o 
vetor velocidade e faz com que este seja sempre tangente à trajetória. Se a força for 
constante (em módulo, direção e sentido), integrando podemos encontrar o trabalho 
total, conforme mostra a equação 2.
No Sistema Internacional de Unidades, a força tem como unidade o newton (N), o 
comprimento tem como unidade o metro (m) e unidade sob a forma de produto N.m 
recebe o nome de Joule (J), que equivale ao trabalho realizado por uma força de 1N 
para deslocar um corpo de 1m numa trajetória paralela à ação da força. Dessa forma, o 
trabalho total realizado por uma força constante que atua em um corpo que se desloca 
no espaço segundo dada trajetória entre as posições 𝐴 e 𝐵 pode ser calculado por:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/20-P-FA-JK-20.png
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 (2)
Sendo d o deslocamento total do corpo e que corresponde com a variação da 
posição.
E 𝜃 é o ângulo que a força 𝐹 aplicada descreve com a horizontal, direção do 
deslocamento do corpo e 𝑑 é a distância percorrida. Se 0 ≤ 𝜃 ≤ 90°, então o produto 
𝐹. 𝑑 > 0, ou seja, o trabalho realizado pela força 𝐹 é positivo e, dessa maneira, é uma 
força motora, conforme mostra a figura 2.
Figura 2: Trabalho de uma força constante sobre um corpo em uma trajetória retilínea
Fonte: Autor (2021)
Se 𝜃 = 90°, então 𝐹. 𝑑 = 0 e o trabalho 𝐹⃗ é nulo. Isso implica que a força 𝐹⃗ aplicada 
não contribui, nem prejudica o deslocamento elementar do corpo por estar perpendicular 
ao sentido do seu deslocamento, conforme ilustra a figura 3.
Figura 3: Trabalho igual a zero de uma força constante sobre um corpo
Fonte: Autor (2021)
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Se 90° ≤ 𝜃 ≤ 180°, então 𝐹. 𝑑 < 0, ou seja, o trabalho realizado pela força 𝐹⃗ é 
negativo e, portanto, é uma força resistente. Um exemplo típico de força resistente 
é a força de atrito, que se desenvolve contra o sentido de escorregamento do corpo, 
conforme figura 4.
Figura 4: Trabalho negativo de uma força constante sobre um corpo em uma trajetória retilínea
Fonte: Autor (2021)
Se a força é variável, então a integral deve ser resolvida para a curva. Se a força é 
constante (em direção, módulo e direção) como no caso do peso de um corpo nas 
proximidades da superfície da Terra, a integral deixa de ser curvilínea.
Tendo em vista a introdução realizada até aqui, vamos antecipar uma aplicação do 
cálculo avançado na física mecânica? É importante reforçar que em breve o conteúdo 
referente a teoria das integrais de linha será abordado. 
Suponha que uma força realiza trabalho sobre uma partícula, deslocando-a ao 
longo do caminho “C” ilustrado na figura 5. Então, a área em azul, abaixo da linha ou 
do caminho, representa o valor do trabalho realizado por esta força (equação 3). Esta 
área é calculada por meio de uma integral de linha. Uma integral de linha é uma integral 
na qual a função a ser integrada é determinada ao longo de uma curva no sistema 
de coordenadas. Podemos integrar uma função de valor escalar ou função de valor 
vetorial ao longo de uma curva. O valor da integral de linha pode ser calculado somando 
todos os valores dos pontos no campo vetorial (FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, 2007).
Definição (integral de linha para campos vetoriais). Considere o campo vetorial F 
(x,y,z) = f (x,y,z) i + g (x,y,z) j + h (x,y,z) k para o qual as funções f (x,y,z),g (x,y,z) e h 
(x,y,z) são supostas contínuas e a curva C é suave por partes é representada por r (t), 
t ∈[a,b]. Define-se a integral de linha de F ao longo de C por: (STEWART,2013, p.1068).
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 (2)
Figura 5: Área em azul representa o trabalho realizado por uma força F para deslocar uma partícula ao longo do caminho C.
Fonte: adaptada de Stewart (2013, p. 954).
Fórmula integral de linha para campo escalar
Para um campo escalar com função f: U ⊆ Rn → R, uma integral de linha junto com 
uma curva suave C ⊂ U é definida como:
∫C f(r) ds = f [r(t)] |r’(t)| dt
Sendo, r: [a, b] →C é uma parametrização arbitrária da curva.
r(a) e r(b) dão as extremidades de C e a < b.
Fórmula integral de linha para campo vetorial
Para um campo vetorial com função, F: U ⊆ Rn → Rn, uma integral de linha junto 
com uma curva suave C ⊂ U, na direção “r” é definida como:
∫C F(r). dr = F[r(t)]. r’(t)dt.
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Considerações Finais
As integrais de linha têm várias aplicações. Uma integral de linha é usada para 
calcular a área da superfície nos planos tridimensionais. Algumas das aplicações das 
integrais de linha no cálculo vetorial são as seguintes (GUIDORIZZI, 2013):
• Uma integral de linha é usada para calcular a massa do fio.
• Ajuda a calcular o momento de inércia e o centro de massa do fio.
• É usado na Lei de Ampére para calcular o campo magnético em torno de um 
condutor.
• Na Lei da Indução Magnética de Faraday, uma integral de linha ajuda a determinar 
a tensão gerada em um loop.
• A integral de linha ajuda a calcular o trabalho realizado por uma força sobre um 
objeto em movimento em um campo vetorial.
Nesta aula revisamos algumas operações de integração, além do conceito de 
trabalho de uma força. Por último, antecipamos de maneira introdutória uma aplicação 
do cálculo avançado na física mecânica, que são as integrais de linha. 
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CAPÍTULO 3
CÁLCULO APLICADO NO 
TEOREMA DE TRABALHO E 
ENERGIA MECÂNICA
Figura: Uma massa menor orbitando no espaço-tempo distorcido por uma massa maior Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/CNX_UPhysics_13_07_spacecurve.png >
Qualquer força aplicada em um corpo que promova o seu deslocamento realiza 
trabalho. Essa definição prática de trabalho carrega de forma implícita a relação 
entre a direção de aplicação da força e o deslocamento do corpo. Por isso, é comum 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/CNX_UPhysics_13_07_spacecurve.png
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que os alunos se equivoquem nos cálculos envolvendo trabalho. Assim, seguem em 
detalhes alguns casos importantes. Uma força externa é uma força qualquer, de origem 
indefinida, que pode ser aplicada em um corpo. Na Figura 1 são apresentados quatro 
arranjos da aplicação de uma força externa F em um corpo com massa M. Desprezando 
a atuação de quaisquer outras forças, dissipativas ou motoras nos sistemas, todo 
deslocamento provocado é resultado da interação da força F com o corpo, ou seja, da 
realização de trabalho. Todavia, alguns pontos importantes precisam ser destacados:
I. Na Figura 1 a), o trabalho resultante é dado por W = F. d, pois o ângulo de ⃗ F 
com a horizontal é zero, o que implica que o módulo integral da força é agente 
de trabalho motor.II. Na Figura 1 b), o trabalho resultante é dado por W=F.d. cos(O), isso implica que 
somente uma parcela da força, aquela correspondente a componente horizontal 
da força ⃗ F é agente de trabalho.
III. Na Figura 1 c) o trabalho resultante é zero. Note que o bloco não se move. A 
concepção de trabalho na Física é relativamente diferente do entendimento 
baseado no senso comum e é restrita aos casos em que há modificação no 
estado de movimento. Sem movimento, o trabalho é nulo.
IV. Na Figura 1 d) o trabalho resultante também é nula já que cos 90° = 0. Mas não 
se prenda à matemática, note que a força aplicada na vertical força o bloco 
contra o solo e, portanto, não promove qualquer tipo de deslocamento.
Figura 1 Ilustração com quatro arranjos da aplicação de uma força 𝐹 em um corpo de massa 𝑀
Fonte: autor (2021)
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Trabalho Realizado Pela Força Peso
A força peso é o resultado da força atrativa produzida pela Terra sobre um corpo 
próximo a sua superfície que o faz deslocar-se em direção ao seu centro de massa, ou 
seja, na vertical. Por consequência, o trabalho da força peso deve ser sempre calculado a 
partir do deslocamento vertical desse corpo, independentemente da trajetória realizada. 
A figura 2 mostra um diagrama do trabalho de elevação no campo gravitacional de 
um planeta.
Figura 2 Ilustração diagrama do trabalho de elevação no campo gravitacional de um planeta
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em: < https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Lifting-work-in-the-gravitational-field.svg/2560px-Lifting-work-in-the-gravitational-
field.svg.png >
Na ausência de forças dissipativas, ou forças externas, o trabalho total é dado pelo 
trabalho da força peso:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Lifting-work-in-the-gravitational-field.svg/2560px-Lifting-work-in-the-gravitational-field.svg.png
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6a/Lifting-work-in-the-gravitational-field.svg/2560px-Lifting-work-in-the-gravitational-field.svg.png
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Tomando a energia potencial gravitacional igual a zero no referencial da superfície, 
a equação ficará.
Na Figura 3 são apresentadas três trajetórias diferentes para o corpo, a primeira 
uma queda livre, a segunda um plano inclinado e a terceira uma superfície sinuosa. 
Nos três casos, o desnível percorrido é o mesmo e equivale a ℎ. Portanto, o trabalho 
da força peso é:
Figura 3: Ilustração três trajetórias diferentes para o corpo dentro do campo gravitacional
Fonte: autor (2021)
Note, entretanto, um detalhe muito interessante. No caso da trajetória sinuosa, 
em determinados momentos o corpo descreve uma subida. Nesses intervalos de 
tempo, o ângulo da força peso com o sentido da trajetória passa a ser de 180° o que 
implica que cos180°= -1 e o trabalho da força peso passa a ser negativo, deixando 
momentaneamente de ser motor e passando a ser resistente. Desprezando-se a 
ação de forças dissipativas, como o atrito, a energia mecânica se mantém constante, 
reafirmando o Princípio da Conservação da Energia.
ANOTE ISTO
Forças Conservativas: são aquelas que realizam trabalhos independentemente do 
caminho escolhido entre dois pontos distintos e ele aparece como energia cinética 
ou energia potencial. Exemplo: Força Peso.
Forças Dissipativas (não conservativas): são as forças que atuam no sistema, 
transformando energia mecânica em outras formas de energia, como a energia 
térmica. Exemplo: Força de Atrito, Resistência do ar, Força Viscosa de líquidos.
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A Lei de Gravitação universal do Sir Isaac Newton reza que os corpos com massa, 
como o planeta terra, exercem força atrativa direcionada para seu centro sobre quaisquer 
corpos que estejam dentro do seu campo gravitacional. A função que associa a força 
gravitacional a cada ponto do espaço, fornece um campo vetorial denominado campo 
de força. Assim, dois corpos com massas m e M, respectivamente, atraem-se com 
força igual a 2r
GmM

,sendo: G a constante gravitacional e r é a distância entre os centros 
de ambos os corpos. Assim, se o corpo gerador de campo gravitacional de massa M 
encontra-se na origem do sistema de coordenadas XYZ e r (x,y,z) é o vetor posição, 
então o vetor unitário será
u= -r/ |r |. Desta maneira:
F(r)= 2r
GmM
 u = r
r
r
GmM


 2− = 3r
GmM
− .r
Campos vetoriais com esta forma são chamados de campos de quadrado inverso.
A título de exemplificação, vamos trazer outra ferramenta do cálculo avançado 
para contribuir com a discussão sobre campo conservativos. Considere uma função 
vetorial tridimensional F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k, onde M, N e P 
representam funções escalares sendo suas derivadas parciais pertencentes a uma 
região D. O rotacional da função vetorial F, denominado rot F ou 𝛁 F trata-se de outra 
função vetorial dada por
rot F =𝛁 F = 






∂
∂
−
∂
∂
z
N
y
P
i + 






∂
∂
−
∂
∂
x
P
z
M
j + 






∂
∂
−
∂
∂
y
M
x
N
k.
A definição do rotacional da função vetorial F na configuração de um determinante 
será:
rot F=𝛁 F = PNM
zyx
kji
∂
∂
∂
∂
∂
∂


E por qual motivo esta definição surgiu aqui? O motivo é simples. Uma das formas 
de se verificar se um campo é ou não conservativo é por meio do seu rotacional. Um 
campo vetorial será conservativo se ele for irrotacional, ou seja, caso seu rotacional 
seja igual a zero. Interessante, não?
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É importante mencionar neste momento que esta e outras ferramentas do cálculo 
avançado serão trabalhadas de forma mais aprofundada em um momento oportuno 
do curso.
Trabalho Da Força De Atrito
A força de atrito se desenvolve sempre no sentido contrário ao escorregamento, ou 
seja, oposto ao movimento, sendo um trabalho resistente. Na Figura 4 apresenta-se 
um objeto se deslocando espontaneamente em um plano inclinado. 
Figura 4: Trabalho realizado pela força de atrito que é oposta ao movimento
Fonte: autor (2021)
Opostamente ao movimento e paralela à rampa, observa-se uma força resistente, 
de maior ou menor intensidade, que depende do coeficiente de atrito gerado entre 
os materiais da rampa e do objeto. O trabalho da força de atrito pode, então, ser 
calculado por:
Trabalho de Forças Variáveis – Método Gráfico
Alguns tipos de forças, como a força elástica, são naturalmente variáveis em 
decorrência de propriedades constitutivas e/ou construtivas do seu promotor, como as 
molas e materiais elásticos; outras, podem ser variáveis por uma questão de interesse 
prático ou comercial. Nesses casos, a simplificação matemática da definição de trabalho 
não pode ser empregada, sendo necessária a utilização do cálculo diferencial. Todavia, 
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por definição, a integral de linha da força aplicada ao longo da posição do corpo equivale 
à soma das pequenas parcelas de força aplicadas ao longo de todo deslocamento do 
corpo. Assim, de posse de um gráfico da força em função do deslocamento, a área 
sob a curva é numericamente igual ao trabalho. Na Figura 5, um gráfico de 𝐹 𝑥 𝑑 é 
exibido. Perceba que 𝐴1 é composta por forças positivas e 𝐴2 por forças negativas 
que representam, respectivamente, as forças motoras e resistente.
 
Figura 5: Trabalho de uma força variável 
Fonte: autor (2021)
O trabalho útil das forças aplicadas no sistema ilustrado na Figura 4 pode ser 
calculado através da soma dos trabalhos motores (+) e dos trabalhos resistentes (-).
Teorema da Energia Cinética
Uma força realiza trabalho se ela gera uma ação capaz de modificar o estado de 
movimento de um corpo. Dessa forma, é intuitivo imaginar que um corpo em equilíbrio 
(estático ou dinâmico) ou emmovimento só pode ter seu estado de movimento alterado 
se houver uma alteração em sua aceleração. Assim, a partir do entendimento de que a 
aplicação dessa força pode acelerar ou desacelerar o corpo, percebe-se que o trabalho 
proporciona uma mudança no estado de energia desse corpo. Suponha uma força constante 
aplicada em um corpo na direção paralela ao seu deslocamento (θ = 0). Por definição de 
trabalho, tem-se que W= F.d. Aplicando-se a 2ª Lei de Newton nesse contexto, a equação 
do trabalho fica:
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Utilizando a equação de Torricelli, que é uma função alternativa da velocidade, 
independente do tempo, para o movimento retilíneo uniformemente variado tem-se:
V² = V0² + 2 . a . ∆S
V² = V0² + 2 . a . d
Substituindo essa expressão na equação do trabalho, encontra-se:
Conclui-se, portanto, de forma analítica que só há trabalho, ou seja, alteração do 
estado de movimento de um corpo, se houver uma variação de sua energia cinética. 
Pode-se mostrar que a energia cinética de um corpo é dada pela fórmula:
Utilizando o cálculo diferencial e integral é possível encontrar a expressão da energia 
cinética. Considere que sobre uma partícula esteja atuando uma força F. Caso esta 
força varie a velocidade do corpo, ela estará realizando trabalho. Assim:
Substituindo a segunda lei de Newton na integral e lembrando que a aceleração é 
a derivada primeira da velocidade em relação ao tempo, a expressão ficará:
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Realizando a integração e considerando que o corpo partiu do repouso (velocidade 
inicial igual a zero) teremos a relação para a energia cinética.
Onde m é a massa do corpo e v o módulo de sua velocidade. A partir desta expressão 
de energia segue-se que:
• A energia cinética é sempre maior ou igual a zero. Não há energias cinéticas 
negativas.
• Para uma determinada velocidade, a energia cinética é diretamente proporcional 
à massa do corpo e para uma determinada massa é diretamente proporcional 
ao quadrado do módulo de sua velocidade. Vê-se que a influência da velocidade 
é maior que a da massa.
• A energia cinética de um corpo depende do módulo de sua velocidade, mas não 
da direção ou sentido. Todos os objetos de mesma massa que se movem com 
a mesma velocidade têm a mesma energia cinética.
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• A energia cinética de um corpo depende do sistema de referência do qual é 
estudado (visto que sua velocidade depende desse sistema de referência)
Trabalho Realizado por Força de Mola e A Energia Potencial Elástica
A Energia Potencial Elástica (Eelast.) está associada ou “armazenada” na propriedade 
elástica de alguns materiais que, após serem deformados pela ação de uma força 
externa, podem restaurar sua forma original. Corresponde ao trabalho que a força 
elástica realiza para reconstituir a mola ao seu comprimento original, transformando 
a energia potencial elástica em energia cinética, observe a figura 6.
Figura 6: Movimento de um sistema massa-mola
Fonte: autor (2020)
A mola exerce sobre um corpo uma força variável, a força elástica, que é proporcional 
à sua deformação. Assim, para se calcular o trabalho da força elástica, pode se fazer 
o uso de gráfico de 𝐹⃗ ao longo da posição, conforme a figura 7.
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Figura 7: Gráfico força versus deformação para o sistema massa-mola.
Fonte: autor (2020)
A área denominada A no gráfico da Figura 7 corresponde ao trabalho realizado. 
Utilizando o cálculo diferencial e integral é possível encontrar a expressão da energia 
potencial elástica. Considere que F seja a força necessária para deformar a mola de 
r ou de x (variável mais comum para deformação).
Substituindo a lei de Hooke na integral a expressão ficará:
Realizando a integração, considerando que na condição inicial, a mola não estava 
deformada, obtém-se a equação da energia potencial elástica.
onde k é a constante elástica da mola em N/m,e x é a deformação.
Potência
A potência é definida como trabalho por unidade de tempo. Na prática, é fácil 
perceber esse conceito e como a presença do tempo é fator essencial para atribuição 
de valores. Já parou para pensar por que durante uma corrida, quando você se cansa, 
passa a caminhar? Em ambos os exemplos, o trabalho é o mesmo, o deslocamento de 
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um lugar a outro através da aplicação de uma força. A diferença está na quantidade de 
ciclos realizados em um mesmo intervalo de tempo. A potência é, portanto, à medida 
do quanto de trabalho é realizado por unidade de tempo, assim: 
em que 𝑃 é a potência, dada em Watts (W) no Sistema Internacional, W é o trabalho, 
em J, e t é o tempo. Lembrando que o uso do operador diferencial é importante para 
o caso de forças variáveis. A potência também pode ser representada em outros 
sistemas de unidade com aderência grande de mercado como cv (Cavalo-Vapor), para 
motores automotivos, hp (horse-power) para motores em geral e 𝐵𝑡𝑢 para aparelhos 
de ar-condicionado.
ISTO OCORRE NA PRÁTICA
Não é segredo que um dos elementos mais importantes para gerar movimento 
em um automóvel é o motor. Um carro com um motor mais potente e com maior 
torque, tende a atingir velocidades mais altas em menor tempo, visto que é capaz 
de realizar mais trabalho por unidade de tempo.
Vamos praticar alguns exemplos para fixar todas estas informações?
Um homem puxa para cima um bloco apoiado no chão de massa 40,0 𝑘𝑔 aplicando-
lhe uma força constante que forma um ângulo de 60° em relação a horizontal (figura 
8). A trajetória do bloco é uma reta e o coeficiente de atrito entre a pista horizontal 
e o bloco é de 0,2. Se em um deslocamento de 8,0 𝑚 o trabalho realizado pela força 
aplicada pelo homem é de 1000,0 𝐽, calcule: o valor da força aplicada e o trabalho da 
força de atrito.
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Figura 8: Forças atuantes no corpo
Fonte: autor (2021)
Esse exercício é uma aplicação direta da fórmula do trabalho e requer somente o 
cuidado de identificar corretamente as forças aplicadas e os ângulos de ação da força.
Um homem empurra para baixo um bloco apoiado no chão de massa 20,0 𝑘𝑔 
aplicando-lhe uma força constante que forma um ângulo de 30° em relação a horizontal. 
A trajetória do bloco é uma reta e o coeficiente de atrito entre a pista horizontal e 
o bloco é de 0,3. Se em um deslocamento de 5,0 𝑚 o trabalho realizado pela força 
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aplicada pelo homem é de 950,0 𝐽, calcule: o valor da força aplicada e o trabalho da 
força de atrito.
Figura 9: Forças atuantes no corpo
Fonte: autor (2021)
Esse exercício tem resolução semelhante ao anterior, mas com força motora 
posicionada de forma invertida.
A relação da força normal com o peso e 𝐹𝑦 é obtida aplicando a condição de 
equilíbrio na vertical (∑ 𝐹𝑦 = 0). 
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Um corpo é empurrado sobre uma superfície horizontal por uma força variável 
que atua paralelamente à superfície e obedece a relação F=4.x (SI). Que trabalho terá 
realizado essa força, quando o corpo tiver se deslocado da posição de 2,0 m até a 
posição de 4,0 m?
Uma força variável, o trabalho pode ser calculado através da área do gráfico. Todavia, 
na ausência desse elemento, o único caminho é mesmo através da integração:
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CAPÍTULO 4
CÁLCULO APLICADO AO 
TEOREMA DO IMPULSO E DA 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO
Imagem: momento angular orbital de la luz
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em: https://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angular_orbital_de_la_luz#/media/Archivo:Helix_oam.pngA imagem da capa ilustra uma aplicação do conceito de momento angular para 
a luz. Cada coluna mostra uma estrutura diferente de um raio de luz helicoidal, seus 
espaços de fase e suas distribuições de intensidade correspondentes.
Outro assunto que será abordado nesta aula, as colisões, também possuem muitas 
aplicações. Uma delas é bastante conhecida dentro da área automotiva.Para a indústria 
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automotiva, um dos principais testes pelo qual os veículos devem passar é o crash test 
ou “teste de colisão”. São realizados testes variando diversos parâmetros tais como: 
velocidades e local de colisão, visto que isso é necessário para calibrar os cintos de 
segurança, airbags e outros diferentes mecanismos de segurança que possam estar 
presentes nos veículos - afinal, uma batida sob baixa velocidade não exigiria a ativação 
de uma medida tão drástica quanto um airbag -, além de verificar a resistência de partes 
como os parachoques. Dentre as diversas análises realizadas, a verificação do tempo 
necessário para o airbag inflar e esvaziar o airbag é uma das mais importantes para 
que tudo isso ocorra bem, apesar do intervalo de tempo pequeno, visto que bater de 
frente com o airbag totalmente inflado não reduziria os danos sofridos pela pessoa. A 
intenção é justamente reduzir o tempo de contato da pessoa com qualquer superfície, 
visto que isso, sim, diminui a força exercida contra ela
A quantidade de movimento, também chamada de momento linear, é uma grandeza 
que envolve a massa e a velocidade de um corpo. Ela está diretamente relacionada ao 
conceito de impulso, que trata da força que é aplicada a um corpo por um determinado 
período de tempo. Estes conceitos são essenciais para que possamos compreender 
as colisões, então os abordaremos de forma breve antes de iniciarmos o principal foco 
da aula. Suponha que um jogador de futebol irá cobrar uma falta. Ele irá posicionar a 
bola a uma certa distância, correr até ela e chutá-la. O contato entre o pé do jogador 
e a bola durará apenas uma fração de segundo e, durante essa fração, a força que 
o jogador usou para chutar a bola foi aplicada a ela. Este é o chamado impulso: o 
tempo de contato durante o qual foi aplicada uma determinada força a um corpo 
(KESTEN; TAUCK, 2015).
Considerando a segunda lei de Newton, ou seja, a equação de movimento para 
uma partícula de massa m:
O Princípio do impulso e do momento linear (integração temporal da equação do 
movimento) será dado por:
 (1)
Ou
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L = mv na equação de movimento é definido como momento linear da partícula. 
Em alguns livros, este termo aparece como quantidade de movimento “Q”.
Impulso
• A Integral I = ∫ F dt no teorema mostrado é denominado como o impulso linear 
e mede o efeito de uma força durante o tempo em que ela age.
• Se força for expressa em função do tempo, impulso = avaliação direta da integral
, conforme mostra a figura 1.
Figura 1: Curva para a função força variando no tempo
Autor (2022)
Se a força for constante, o aspecto do gráfico ficará de acordo com a figura 2:
 
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Figura 2: Gráfico para a caso a força seja constante
Autor (2022)
O impulso inicial da partícula em t1 mais a soma vetorial de todos os impulsos 
aplicados à partícula durante o intervalo de tempo t1 a t2 é equivalente ao momento 
final da partícula em t2. Os componentes escalares x, y, z da equação anterior são:
O impulso é uma grandeza vetorial, tendo a mesma direção e sentido que o vetor 
força. Pode ser representado pela letra I, mas não é raro encontrar livros que usem 
a letra J em seu lugar. 
A unidade do impulso pode ser dada em N.s. Quando aplicamos uma força em 
algum corpo por um certo instante - como, por exemplo, quando damos uma tacada 
numa bola numa mesa de bilhar, ou então quando empurramos a porta da geladeira 
para que ela feche, estamos realizando os conceitos de impulso. Já a quantidade de 
movimento, que é representada pela letra Q, se refere à multiplicação da massa de 
um corpo pela velocidade do mesmo. Voltando ao exemplo do jogador de futebol, 
vamos considerar apenas a perna que ele usa para o chute neste momento. Vamos 
supor que a perna do jogador pese cerca de 10 kg, enquanto a velocidade com que 
ela se move no instante do chute seja de 30 m/s. Podemos calcular a quantidade de 
movimento através da equação:
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Essa quantidade de movimento será transferida para a bola no momento do chute. 
Uma bola de futebol pesa cerca de 450 g. Se estivermos falando de um sistema 
fechado, no qual toda a quantidade de movimento seja transferida, então poderemos 
calcular a velocidade com que a bola se movimenta usando a igualdade
Ou seja, num sistema em que não haja resistência do ar, atrito ou qualquer dissipação 
de energia no momento do choque entre o pé do jogador e a bola, esta se movimenta 
a uma velocidade de 666,67 m/s. Na realidade, parte da energia cinética será perdida 
e, consequentemente, a bola não se moverá a uma velocidade tão alta.
ANOTE ISSO
A energia cinética de um sistema pode variar ou não, dependendo do formato de 
colisão com o qual estivermos lidando. Porém, se considerarmos os corpos como 
um sistema isolado, o momento linear do sistema será conservado no instante da 
colisão.
ISTO ACONTECE NA PRÁTICA
O ex-jogador brasileiro Roberto Carlos tinha como uma de suas principais 
características um chute forte. Em mais de uma ocasião, o jogador contou com 
a ajuda de efeitos da Física em seus gols. A velocidade com que a bola se movia 
era tão alta que ocorria o chamado “efeito Magnus”, o qual fazia com que a bola 
realizasse curvas inesperadas.
Disponível em: https://go.eadstock.com.br/k1
https://go.eadstock.com.br/k1
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O impulso realizado em um corpo pode ser calculado através da variação de 
quantidade de movimento deste mesmo corpo. Caso ele esteja em repouso no início, 
o impulso será igual à quantidade de movimento final, entretanto, caso o corpo já 
esteja em movimento no início, é necessário realizar o cálculo conforme a equação 3:
O teorema do princípio do impulso e da quantidade de movimento para um sistema 
de partículas é:
Multiplicando ambos os lados por dt e integrando-se entre os limites t = t1, vi = (vi)1 
e t= t2, vi = (vi)2
Os momentos lineares iniciais do sistema adicionados vetorialmente aos impulsos 
de todas as forças externas que atuam no sistema durante o período de tempo t1 a 
t2 são iguais ao momento linear final do sistema.
• Localização do centro de massa G do sistema:
• Tomando os derivativos de tempo:
Analisando vetorialmente, o Momento linear total do sistema de partículas mais os 
impulsos externos agindo no sistema de partículas durante o intervalo de tempo de 
t1 a t2 será igual ao momento linear final da partícula agregada.
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Impacto ou Colisão
O termo “colisões” tem exatamente o mesmo significado para a Física e para o 
nosso entendimento cotidiano. Qualquer situação na qual haja um choque entre dois 
corpos, de forma que pelo menos um deles esteja em movimento, será considerada 
uma colisão. O impacto ocorre quando dois corpos colidem entre si durante um período 
muito curto de tempo, fazendo com que forças relativamente grandes (impulsivas) 
sejam exercidas entre dois corpos.
Impacto central – a direção do movimento dos centros de massa das duas partículas 
colidindo é ao longo de uma linha que passa pelos centros de massa das partículas, 
conforme ilustra a figura 3
Figura 3: partículas iniciando a colisão central
Fonte: autor(2019)
Impacto oblíquo – quando o movimento de uma ou ambas as partículas estão em 
ângulo com a linha de impacto, conforme ilustra a figura 4.
Figura 4: partículas iniciando a colisão oblíqua
Fonte: autor (2019)
Análise do Impacto Central
Supondo que as partículas tenham condição inicial tal que inicial, (vA)1 > (vB)1, 
conforme ilustra a figura 5.
Figura 5: partículas iniciando a colisão
Fonte: autor (2019)
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Durante a colisão, as partículas passam por um período de deformação, com impulso 
de deformação igual, mas oposto ∫ P dt, conforme ilustra a figura 6.
Figura 6: partículas no período de deformação durante a colisão
Fonte: autor (2019)
Na deformação máxima, ambas as partículas se movem com velocidade comum 
v, por um instante ínfimo, conforme ilustra a figura 7.
Figura 7: partículas na fase de movimento da colisão
Fonte: autor (2019)
Em seguida, ocorre um período de restituição (as partículas retornam à forma 
original ou permanecem deformadas). O impulso de restituição ∫ R dt empurra as 
partículas, onde ∫ P dt > ∫ R dt, conforme ilustra a figura 8.
Figura 8: partículas na fase do impulso de restituição da colisão
Fonte: autor (2019)
Logo após a separação, a velocidade final das partículas será (vB)2 > (vA)2, conforme 
ilustra a figura 9.
Figura 9: partículas na fase de separação da colisão
Fonte: autor (2019)
Para determinar as velocidades, aplique a conservação da quantidade de movimento 
para o sistema de partículas:
mA (vA)1 + mB (vB)1 = mA (vA)2 + mB (vB)2 
Caso necessário, para encontrar as velocidades finais (os valores iniciais das 
partículas serão conhecidos na maioria dos casos), considere a fase de deformação:
mA (vA)1 - ∫ P dt = mA v
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Para a fase de restituição:
mA (vA)1 - ∫ R dt = mA (vA)2
Razão do impulso de restituição ao impulso de deformação = coeficiente de 
restituição, e:
Para partícula B:
 ou seja, 
Em geral, valor de e= entre zero e um:
A velocidade de afastamento é a velocidade com a qual os corpos se afastam um do 
outro após o choque, enquanto a velocidade de aproximação é a velocidade com a qual 
eles se aproximam um do outro imediatamente antes da colisão. Independentemente de 
qual foi o tipo de choque, e nunca será maior do que 1. Como sempre, as velocidades 
devem levar em consideração o sentido do vetor. Caso elas tenham sentidos contrários, 
deverão, obrigatoriamente, ter sinais diferentes. Por conta disso, deve-se sempre 
considerar um referencial. 
Impacto Elástico (e = 1): 
Se a colisão entre as duas partículas for perfeitamente elástica, o impulso de 
deformação ∫ P dt = igual e oposto ao impulso de restituição ∫ R dt
As colisões elásticas - chamadas de “perfeitamente elásticas” por alguns autores - 
são a única forma de colisão na qual a energia cinética é conservada após o choque 
entre os dois corpos. Na prática, não existe uma colisão perfeitamente elástica em 
uma escala visível a olho nu, visto que sempre haverá, ao menos, um mínimo de 
dissipação de energia, geralmente em forma de energia sonora. Em escala atômica, as 
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colisões entre átomos podem corresponder a este formato (KESTEN; TAUCK, 2015). 
Sabemos que, no momento de uma colisão entre dois corpos, os quais chamaremos 
de 1 e 2, a quantidade de movimento é conservada. Sendo assim, podemos assumir 
a igualdade apresentada na equação 5:
QI1 + QI2 = QF 1 + QF 2
m1.V1 + m2.V2 = m1.V1’+m2.V2’ (5)
A diferença da colisão elástica em relação às demais é que a energia cinética do 
sistema será conservada, assim:
 (6)
Em situações específicas de colisões elásticas nos quais o corpo 2 encontra-se 
em repouso e o corpo 1 encontra-se em movimento antes da colisão, podem ser 
feitas algumas considerações matemáticas. Quando m1 > m2, ambos os corpos 
irão se movimentar, após a colisão, para o mesmo sentido que o corpo 1 estava 
se movimentando, as velocidades irão depender das massas. Em casos nos quais 
m1 = m2, o corpo 1 ficará estático e o corpo 2 seguirá no mesmo sentido e com a 
mesma velocidade que do corpo 1 anterior à colisão. Finalmente, se m1 < m2, o corpo 
1 irá assumir sentido contrário ao da sua velocidade anterior à colisão, enquanto o 
corpo 2 irá se movimentar no mesmo sentido da velocidade do corpo 1 anterior à 
colisão. Reforçando, estas situações expostas valem apenas para colisões elásticas, 
o mesmo não pode ser afirmado para as demais colisões. Em relação ao coeficiente 
de restituição, em uma colisão elástica o mesmo sempre será igual a 1, visto que a 
velocidade relativa com que os corpos se aproximam um do outro será exatamente 
a mesma velocidade relativa de afastamento.
Colisões Inelásticas Ou Impacto plástico (e= 0)
Nenhum impulso de restituição dado às partículas (∫ R dt = 0); após a colisão, ambas 
as partículas se mantêm juntas, movendo-se com velocidade comum. As colisões 
inelásticas, também chamadas de colisões parcialmente elásticas, são aquelas que 
encontramos com maior frequência. A grande diferença em relação às colisões elásticas 
está no fato de que ocorre perda de energia cinética no sistema após a colisão, seja 
em forma de calor, seja em forma de energia sonora. Deve-se citar que a regra da 
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conservação do momento linear ainda é válida, visto que a mesma se aplica ao instante 
exato da colisão, e não ao que acontece após a mesma. Sendo assim, imagine que, 
ao jogar bilhar, a bola branca rolou em direção a uma outra bola qualquer. As duas se 
chocam e seguem caminhos diferentes. É possível sabermos a massa de cada uma 
delas, mas suas velocidades após a colisão irão depender diretamente do coeficiente 
de restituição dos corpos envolvidos. Quanto maior for seu módulo, maior será a 
velocidade com a qual ambos se afastarão, e maior terá sido a quantidade de energia 
mecânica conservada pelos corpos. Em todas as hipóteses, o coeficiente de restituição 
será maior do que 0 e menor do que 1, visto que, embora a energia mecânica não 
seja toda conservada, ainda ocorre uma velocidade de afastamento entre os corpos.
Colisões perfeitamente inelásticas
As colisões perfeitamente inelásticas são um caso específico de colisões inelásticas. 
Nestas hipóteses, os corpos colidem e permanecem unidos. Então, pode-se considerar 
eles como um único corpo e, justamente por este motivo, não há velocidade de 
afastamento entre os corpos, o que torna o coeficiente de restituição igual a zero 
(SERWAY & JEWETT JR., 2017). Considerando essa informação, podemos usar a 
equação 7 para descrever o momento linear deste tipo de colisão:
m1⋅V1+m2 .V2=(m1 + m2)⋅Vfinal (7)
Esta situação, apesar de menos comum do que uma colisão inelástica simples, 
pode ser vista em ocasiões reais. Por exemplo, é possível que, caso um carro colida 
com a traseira de outro, os dois permaneçam unidos por um certo período, isso já 
seria suficiente para configurar uma colisão perfeitamente inelástica.
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CAPÍTULO 5
CAMPOS ESCALARES 
X CAMPOS VETORIAIS
Imagem da capa: Diagrama detalhando o gradiente de uma superfície parabólica F (x, y) = x² - y². A imagem superior é o campo escalar correspondente ao 
campo vetorial, logo abaixo.
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em < https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential#/media/File:Electrodynamics_vector_calculus_review_gradient.svg> 
https://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential#/media/File:Electrodynamics_vector_calculus_review_gradient.svg
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Arespeito da imagem da capa, trata-se de um diagrama detalhando o gradiente 
de uma superfície parabólica F (x, y) = x² - y². A imagem superior é o campo escalar 
correspondente ao campo vetorial, logo abaixo. A forma paraboloide hiperbólica tem 
sido usada em estruturas de engenharia (figura 1) em várias ocasiões, pois é facilmente 
construída a partir de seções retas de madeira, aço ou outros materiais convencionais
Figura 1: L’Oceanogràfic em Valência, o grande complexo de aquários da Europa
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/L%27Oceanogr%C3%A0fic_Valencia_2019_4.jpg>
Um paraboloide possui apenas pontos de superfície hiperbólicos, então sua curvatura 
gaussiana é negativa. O paraboloide hiperbólico é descrito matematicamente, pela 
seguinte forma: z = x² -y².
Como podemos observar, a física, a matemática e a tecnologia caminham juntas.
Dito isto, vamos entender melhor os campos escalares e os campos vetoriais, 
visto que revisamos diversos conceitos e definições da física e do cálculo diferencial 
e integral.
Dada uma região D do espaço, podemos associar a cada ponto de D uma grandeza 
escalar (temperatura, pressão, densidade, distância, dentre outras) ou uma grandeza 
vetorial (força velocidade, aceleração posição, deslocamento etc). Dizemos, então, 
que define-se sobre D um campo escalar ou um campo vetorial, respectivamente. 
Geralmente identificamos um campo escalar ou vetorial com a função escalar ou 
vetorial que o define.
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Definição para campos escalares:
 Seja f uma função escalar definida em uma região D do espaço-2D ou espaço-3D. 
A região D, juntamente com as grandezas escalares e as imagens de cada ponto de 
D em f, são forma ao campo escalar. Dizemos também, que a função f define um 
campo escalar sobre D.
Exemplos:
1. Se D é um sólido no espaço e d é a densidade em cada ponto (x, y, z) de D, d 
define um campo escalar em D.
2. Uma piscina P na forma de um paralelepípedo com base quadrangular de lado 
medindo 3m e de altura medindo 1.8m está cheia. Cada partícula da água em 
P está sujeita a uma pressão que é proporcional à distância desta partícula até 
a superfície da água. Desta forma, é possível definir uma função escalar p da 
água da piscina em IR obtendo, consequentemente, um campo escalar. 
3. D é uma chapa metálica na forma de círculo com raio r, cuja temperatura em 
cada um de seus pontos é inversamente proporcional à uma unidade somada 
com sua distância até o centro do círculo. Isto define uma função escalar T 
(que associa a cada ponto da chapa a sua temperatura) e um campo escalar. 
Definição para campos vetoriais: 
Seja F uma função vetorial definida de uma região D do espaço-2D ou espaço-3D 
no próprio espaço. A região D juntamente com as grandezas vetoriais, imagem de 
cada ponto de D em F, é chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define 
um campo vetorial sobre D.
Exemplos:
1. Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da atmosfera 
terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V define um campo vetorial em 
D, chamado campo de velocidade.
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2. Consideremos D como o espaço ocupado pela água em um riacho. A função 
que associa a velocidade de cada partícula de D em certo instante, também 
define um campo de velocidade em D.
3. A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de 
atração para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função 
que associa essa força a cada ponto da atmosfera D define um campo vetorial 
em D chamado campo de força. No caso, esse campo de força é o famoso 
campo gravitacional da terra. 
Representação gráfica de campos vetoriais.
A função vetorial dada por F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) define um campo vetorial no 
espaço-2D. Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano 
XY, selecionamos alguns pontos (x, y) e desenhamos os vetores a eles associados, 
preferencialmente, com a origem do vetor no próprio ponto. 
ANOTE ISTO
É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não 
podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê as 
informações sobre o comportamento do campo em geral.
Consideremos o campo vetorial F dado por F (x, y) = (-y, x) e selecionado alguns 
pontos aleatoriamente temos a tabela 1 e o campo vetorial da figura 2.
(x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1)
F (x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3)
Tabela 1: pontos para o campo vetorial
Fonte: autor (2022)
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Figura 2: campo vetorial associado aos pontos da tabela 1
Fonte: autor (2022)
Os vetores deste campo vetorial representam um campo de velocidade de uma 
roda em movimento, conforme ilustra a figura 3.
Figura 3: campo de velocidades associado ao campo vetorial mostrado
Fonte: autor (2022)
Sendo r (x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o vetor posição do ponto (x, y) do 
espaço-2D, temos r (x, y) e F (x, y) = (-y, x), são ortogonais em cada ponto, pois (x, y). 
(-y, x) = x (-y) + y x = 0. A título de ilustração, ampliando, consideravelmente, o número 
de pontos do campo vetorial F (x, y) = (-y, x), obteremos a figura 4.
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Figura 4: campo de velocidades associado ao campo vetorial mostrado
Fonte: autor (2022)
Podemos também usar o Maple para representar campos vetoriais. Seguidamente 
é conveniente indicar campos vetoriais usando a notação do vetor através da função 
vetorial que fornece o vetor posição de um ponto no espaço-2D (ou espaço-3D).
Da Lei da Gravitação Universal de Newton, dois corpos de massas m e M se atraem 
com uma força F de grandeza |F|= GmM /r2 onde G é uma constante e r é a distância 
entre os dois corpos. Assim, se o objeto de massa M se encontra na origem de um 
sistema de coordenadas XYZ e r (x, y, z) é o vetor posição do objeto de massa m, 
então r = |r| = | e a força F(r) exercida pelo objeto de massa M sobre o outro tem a 
direção e o sentido do vetor unitário u = -r / |r |.
Assim: F(r) = u = = r.
Se m e M são constantes e fazendo –GmM = c, obteremos:
F(r) = = u.
Campos com esta forma geral, são denominados como campos de quadrado inverso. 
Podemos citar como exemplo, de campo vetorial para c >0, o campo elétrico gerado 
por uma carga positiva, conforme mostrado na figura 5.
Figura 5: Linhas de campo para uma carga positiva
Fonte: autor (2022)
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Podemos citar dois exemplos de campos vetoriais para c < 0, o primeiro ilustrado, 
na figura 6, é o campo gravitacional. Uma representação tridimensional do campo 
gravitacional criado pela massa M. Observe que as linhas estão distribuídas 
uniformemente em todas as direções. E que a intensidade do campo gravitacional 
(comprimento do vetor g) reduz à medida que a distância em relação a massa M 
aumenta.
Figura 6: representação tridimensional do campo gravitacional criado pela massa M
Fonte: autor (2020)
Observe que no campo vetorial da gravidade, a direção de g é paralela às linhas 
de campo em qualquer ponto. A intensidade de g em qualquer ponto é inversamente 
proporcional ao espaçamento entre linhas. Outra maneira de afirmar isso é que a 
magnitude do campo em qualquer região é proporcional ao número de linhas que 
passam por uma unidade de área de superfície, efetivamente uma densidade de linhas. 
Como as linhas são igualmente espaçadas em todas as direções, o número de linhas 
por unidade de área de superfície a uma distância r da massa é o número total de 
linhas dividido pela área de superfície de uma esfera de raio r, que é proporcional a 
r². Assim, esta imagem representa perfeitamentea lei do inverso do quadrado, além 
de indicar a direção do campo. Na imagem de campo, dizemos que uma massa m 
interage com o campo gravitacional de massa M. Estes conceitos ajudam muito no 
entendimento das leis de Maxwell do eletromagnetismo.
O segundo exemplo é o de um campo elétrico gerado por uma carga negativa. 
Consegue se lembrar, que no ensino médio, somente era informado que, nas cargas 
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positivas, o campo era radial para fora e, nas cargas negativas, era para dentro? Pois 
bem, uma das explicações tem relação com o fato das cargas negativas provocarem 
campos elétricos com o c < 0, conforme ilustra a figura 7.
Figura 7: Linhas de campo para uma carga pontual negativa
Fonte: autor (2022)
Para uma descrição mais precisa dos campos escalares, sobretudo, no espaço 
tridimensional, temos que reforçar alguns conceitos sobre: derivadas parciais, derivada 
direcional e gradiente.
Muitas vezes estamos interessados em saber como determinada função foi afetada 
à medida que mudamos uma variável (tempo, altitude etc) em uma quantidade 
infinitesimal, dx. A mudança em uma função, df, é encontrada por 
Na maioria dos problemas reais, as funções (temperatura, pressão, força etc), 
dependem de mais de uma variável. Infelizmente, determinar a mudança em uma 
função multivariável é um pouco mais complicado do que para funções de variável única 
(ordinária). Em particular, a taxa de variação (derivada) depende de quais variáveis são 
alteradas e como elas são alteradas. Duas perguntas novas e interessantes também 
surgem nestes problemas:
1. Qual é a taxa máxima de variação para a função?
2. Como as variáveis devem acontecer para obter esta taxa máxima?
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Para começar a responder estas perguntas, para funções que dependem apenas 
das três dimensões espaciais, começamos determinando a variação na função em 
apenas uma variável por vez. 
Para desenvolver as respostas para as perguntas acima colocadas. Usando nosso 
conhecimento do produto escalar na forma cartesiana, vemos que podemos reescrever 
nossa equação para a variação total em uma função espacial como:
O último termo é o vetor de deslocamento na forma cartesiana. Assim, temos que 
a variação total em uma função é
O primeiro termo é um operador com três componentes como um vetor. Verificando 
suas propriedades de rotação, é possível demonstrar que é um vetor. 
Del Operador em Forma Cartesiana - ∇
O operador del é realmente definido pelo gradiente e terá formas mais complexas 
em outros sistemas de coordenadas. 
Gradiente de uma Função Escalar - ∇f
Agora temos nosso resultado final para a variação total em uma função espacial 
como: 
Esta equação define tanto o gradiente de uma função escalar como o operador del. 
Não faz referência ao sistema de coordenadas que está a ser utilizado.
Podemos concluir que o gradiente de uma função escalar é um vetor. Além disso:
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• A magnitude do gradiente de uma função escalar é igual à maior taxa de mudança 
da função escalar.
• A direção do gradiente da função escalar está na direção da maior taxa de 
mudança da função.
Tendo em vista todas estas definições e ferramentas, nosso próximo passo será 
complementar estes conceitos e resolver vários exemplos passo a passo.
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CAPÍTULO 6
CÁLCULO VETORIAL: 
IMPORTANTES FERRAMENTAS
Imagem da capa: os gradientes como setas abaixo da representação da grade curva de uma função de duas variáveis: f (x, y) = - (cos² x + cos² y) ²
Fonte: Wikimedia Commons
Disponível em <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Gradient_Visual.svg/2560px-Gradient_Visual.svg.png>
Sobre a imagem da capa, ela ilustra os gradientes, como setas abaixo da representação 
da grade curva da função de duas variáveis f (x, y) = - (cos² x + cos² y)².
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Parametrização de Retas e Curvas
Neste momento, apresentaremos uma outra forma algébrica de representar 
funções no plano. Ao parametrizarmos uma curva, escrevemos de forma algébrica 
uma função de duas variáveis em função de um certo parâmetro (𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), 
𝑡). Esse parâmetro 𝑡, representa um ponto de coordenadas (𝑥, 𝑦) pertencentes à essa 
curva. Quando variamos 𝑡, teremos uma sequência de pontos (𝑥, 𝑦) = (𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡)) com 
a mesma representação gráfica da curva inicial, chamada de curva parametrizada, 
conforme ilustra a figura 1.
Figura 1: Curva parametrizada
Fonte: Autor (2020)
A seguir, apresentaremos algumas maneiras de parametrizar diferentes curvas que 
são comuns no Cálculo Diferencial e Integral.
Parametrização de um segmento de reta
Para parametrizar um segmento de reta, é necessário conhecer as extremidades 
de um segmento (ponto inicial e ponto final). Precisamos também determinar o vetor 
diretor da reta que contém esse segmento, conforme ilustra a figura 2.
Figura 2: Segmento de reta e vetor diretor
Fonte: Autor (2020)
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Seja o segmento de reta com extremidades 𝐴 = (−3, −2) e 𝐵 = (5, 1). A parametrização 
é dada da maneira apresentada no exemplo a seguir.
Determinação do vetor diretor (⃗𝑨𝑩) da reta que contém o segmento:
AB=𝐵 − 𝐴 = (𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0) = (5 − (−3), 1 − (−2)) = (8, 3)
Todo segmento de reta parametrizado, possui equação do tipo: x(t)=x0 +at.
onde (𝑥, 𝑦), são as coordenadas do ponto inicial do segmento de reta y(t) = y0 
+ bt e (𝑎, 𝑏) são as coordenadas do vetor diretor. O parâmetro para esse tipo de 
parametrização, deverá variar entre 0 ≤ t ≤ 1. Dessa forma, basta substituir estas 
coordenadas na equação e teremos a equação da curva parametrizada.
Assim temos, que para qualquer valor de 𝑡 variando entre 0 ≤ 𝑡 ≤ 1, existirá um 
ponto (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) pertencente ao segmento.
Parametrização de curvas
Para parametrizar uma curva definida por um polinômio do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+𝑐, 
devemos definir um ponto inicial (𝑥0, 𝑦0) e um final (𝑥1, 𝑦1) pertencente a curva, feito 
isso, chamamos a variável independente de 𝑡 e substituímos na equação da curva.
E essa parametrização pode ser feita para qualquer função polinomial. Como 
exemplo, vamos parametrizar a parábola 𝑦 = 𝑥2 − 3, do ponto (−1, −2) até o ponto (1,2).
Para 𝑥:
𝑥 (𝑡) = 𝑡
Para 𝑦:
𝑦 (𝑡) = 𝑡 − 2 ≤ 𝑡 ≤ 2 
𝑡 = 𝑥2 – 3
𝑥 = √ (𝑡 + 3), onde: − 2 ≤ 𝑡 ≤ 2
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A circunferência é outra curva que também pode ser parametrizada, vale destacar 
a importância de sua parametrização, muito utilizadas para resolver integrais de linha 
que serão trabalhadas a seguir.
Vale destacar que essa parametrização será para circunferências com centro na 
origem e o parâmetro 𝑡 será dado em radianos e seu sentido será sempre o anti-
horário. Para uma circunferência com centro fora da origem, temos:
onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência. Parametrizando a 
metade de uma circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 = 4, do ponto (−2,0) até o ponto 
(2,0). Para 𝑥:
Derivadas parciais de 1ª ordem em qualquer ponto
Outra ferramenta matemática de expressiva importância dentro do cálculo avançado 
são as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Dessa forma, iremos realizar 
uma rápida revisão nos principais conceitos e definições. Considere f(x,y) uma função 
com variáveis x e y. Dito isto, a derivada parcial da função f em relação à variável x 
considerando o conjunto de pontos (x,y) e mantendo-se y constante, será
 (considerando a existência de limite).
Observe que se trata de uma derivada parcial de primeira ordem da função em 
relação a x. Além disso, define-se a derivada parcial da função