Lista 2 de Cálculo I (Limite e Continuidade)

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologias Agroalimentar - CCTA
Unidade Acadeˆmica de Cieˆncias e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: Ca´lculo I
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerc´ıcios 02: Limites, Continuidade e Aplicac¸o˜es
Parte I: Limites e Continuidade
1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−1
(x3 − 2x2 + 3x)
b) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
c) lim
x→1
x2 − 1
x+ 1
d) lim
x→9
x2 − 81
x− 9
e) lim
x→−5
x2 − 25
x+ 5
f) lim
x→−9
x2 − 81
x− 9
g) lim
x→0
x2 − x
x
h) lim
x→7
x2 − 7x
x− 7
i) lim
x→4
x2 − 2x+ 6
x2 − 5x+ 10
j) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
x− 3
k) lim
x→3
x2 − 2x− 3
x2 + x− 12
l) lim
x→−2
x2 + 7x+ 10
x2 + 4x+ 4
m) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
n) lim
x→4
x2 − 9x+ 20
x2 + x− 20
o) lim
x→2
2x2 − 5x+ 2
5x2 − 7x− 6
p) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
q) lim
x→0
(4 + x)2 − 16
x
r) lim
x→0
(1
x
− 1
x2 + x
)
s) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12
t) lim
x→1
x4 + x2 − x− 1
x− 1
u) lim
x→1
(x√x− x+√x− 1
x− 1
)
v) lim
x→0
(2−√4− x
x
)
w) lim
x→0
(1
x
− 1
x2 + x
)
x) lim
x→0
1− cosx
x
y) lim
x→1
sen [pi(x− 1)]
x− 1
z) lim
x→0
1− cos(2x)
x
z) lim
x→0
1− cos(2x2 + 2x)
x2 + 3x
2. Dada f(x) =
{
3 + x2, se x ≤ −2
11− x2, se x > −2,
verifique se existe lim
x→−2
f(x).
3. Dada f(x) =

x2 − 2x+ 3
x+ 2
, se x ≤ 3
x+ 3, se x > 3,
verifique se existe lim
x→3
f(x).
4. Dada f(x) =

3 + x2, se x < −2
0, se x = −2
11− x2, se x > −2,
verifique se existe lim
x→−2
f(x).
5. Dada f(x) =
{
|x− 1|, se x 6= 1,
3, se x = 1,
verifique se existe lim
x→1
f(x) e esboce o gra´fico de f .
6. Calcule os limites infinitos e no infinito:
a) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
b) lim
x→+∞
x2 + 4x− 3
−x2 + 4
c) lim
x→+∞
x+ 4
3x2 − 5
d) lim
x→1−
x− 2
x− 1
e) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
f) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
g) lim
x→0
(1
x
− 1
x2
)
h) lim
x→0−
√
3 + x2
x
i) lim
x→−2+
x2 − 5
x3 − 2x+ 4.
2
7. Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais e esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) =
1
x
b) f(x) =
x+ 2
x− 3
c) f(x) =
x− 2
x− 4
d) f(x) =
6− x
3− 2x
e) f(x) =
4x2
x2 − 9
f) f(x) =
2x2 − 6
x2 − 1
g) f(x) =
−3
(x+ 2)2
h) f(x) =
−3x√
x2 + 3
i) f(x) =
1 + x
x2 − 1
8. Dada a func¸a˜o

−x+ 3, se x < 2
5, se x = 2
x2 − 1, se x > 2,
determine se f e´ cont´ınua em x = 2 e esboce o gra´fico.
9. Dada a func¸a˜o f(x) =

2− x, se x < −1
x, se − 1 ≤ x < 1
(x− 1)2, se x ≥ 1,
determine se f e´ cont´ınua em x = −1 e em
x = 1.
10. Dada a func¸a˜o f(x) =

3x+ 5, se x < −2
x2 − 5, se − 2 ≤ x ≤ 5
5x− 5, se x > 5,
verifique se f e´ cont´ınua em x = −2 e em
x = 5.
11. Determine a para que a func¸a˜o f(x) =
{
2x− a, se x < 2
6x− 11, se x ≥ 2;
seja cont´ınua em x = 2.
12. Determine a e b para que a func¸a˜o f(x) =

ax− x2 + b, se x ≤ 1
2x− 2ax2 + 2b, se 1 ≤ x ≤ 3
ax2 − ax− 2b, se x ≥ 3,
seja cont´ınua em x = 1 e em x = 3.
13. Calcule os limites envolvendo composic¸o˜es de func¸o˜es:
a) lim
x→1
ex
3−3x+2 b) lim
x→pi
2
sen
(
cos x+ sen x− 1
)
c) lim
x→0
e2x − 1
x+ 2
d) lim
x→pi
3
ln
(
cosx− 3 cos(3x)
)
.
14. Calcule os limites envolvendo func¸o˜es exponenciais e logar´ıtmicas:
a) lim
x→0
(1 + 3x)
1
x
b) lim
x→∞
ex − 1
x
c) lim
x→0
e2x − 1
x
d) lim
x→0
(1 + sen x)cotg x
e) lim
x→∞
x
√
x
f) lim
x→0+
x ln(x)
15. Mostre que
lim
x→0
sen(ax2 + bx)
cx2 + dx
=
b
d
, d 6= 0 e lim
x→0
1− cos(ax2 + bx)
cx2 + dx
= 0.
16. Suponha que lim
x→a f(x) = L. Mostre que limx→a |f(x)| = |L|.
3
17. Suponha que f : [a, b]→ R e´ uma func¸a˜o limitada em [a, b]. Mostre que
a) lim
x→0
xf(x) = 0;
b) Se lim
x→a g(x) = 0, enta˜o limx→a g(x)f(x) = 0. Deˆ um contraexemplo para mostrar que se f na˜o e´
limitada, enta˜o essa conclusa˜o na˜o e´ poss´ıvel.
18. Mostre que se |f(x)| ≤ g(x) e lim
x→a g(x) = 0, enta˜o limx→a f(x) = 0.
19. Se lim
x→a f(x) e limx→a
[
f(x) + g(x)
]
existem, o que se pode afirmar de lim
x→a g(x)?
20. Deˆ um exemplo de duas func¸o˜es f e g tais que lim
x→a f(x) e limx→a g(x) na˜o existem, mas que
lim
x→a[f(x) + g(x)] existe.
21. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f tal que lim
x→a |f(x)| existe, mas que limx→a f(x) na˜o exista.
22. Se lim
x→a[f(x) + g(x)] = 2 e limx→a[f(x)− g(x)] = 1, calcule limx→a f(x)g(x).
23. Determine as constantes a e b para que as seguintes afirmac¸o˜es sejam verdadeiras
a) lim
x→+∞
[x2 + 1
x+ 1
− (ax+ b)
]
= 0 b) lim
x→−∞
ax3 + bx2 + x+ 1
3x2 − x+ 2 = 1.
24. Determine as ass´ıntotas obl´ıquas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x+
1
x
b) f(x) =
3x3 + 3x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1
c) f(x) = 3−√x2 + 1.
4
Parte II: Aplicac¸o˜es de Limites e Continuidade
01) (POLUIC¸A˜O DO MAR) Um cano rompido em uma plataforma pretol´ıfera do Mar do Norte
produz uma mancha de o´leo circular que tem y metros de espessura a uma distaˆncia de x metros do
local do vazamento. A turbuleˆncia torna dif´ıcil medir diretamente a espessura da mancha no local do
vazamento (x = 0), mas para x > 0 observa-se que
y =
0, 5(x2 + 3x)
x3 + x2 + 4x
.
Supondo que a distribuic¸a˜o de o´leo no mar seja cont´ınua, qual e´ a espessura estimada no local do
vazamento?
02) (ETOLOGIA) Em algumas espe´cies de animais, a ingesta˜o de alimentos e´ afetada pelo grau de
vigilaˆncia que o animal mante´m enquanto esta´ comendo. Para resumir, e´ dif´ıcil comer bem se voceˆ
esta´ em guarda o tempo todo contra predadores que podem comeˆ-lo. Em um modelo, se o animal
esta´ se alimentando de plantas que permitem uma mordida de tamanho S, a ingesta˜o de alimentos,
I(S) e´ dada por uma func¸a˜o da forma
I(S) =
aS
S + c
,
onde a e c sa˜o constantes positivas. O que acontece com a ingesta˜o I(S) quando o tamanho S da
mordida aumenta indefinidamente (quando S →∞)?
03) (ANA´LISE CUSTO-BENEFI´CIO) Em certas situac¸o˜es, e´ necessa´rio comparar os benef´ıcios de
uma certa medida com o custo necessa´rio para executa´-la. Suponha, por exemplo, que para remover
x% da poluic¸a˜o causada por um derramamento de petro´leo seja preciso gastar C milhares de reais,
onde
C(x) =
12x
100− x.
a) Quanto custa remover 25% da poluic¸a˜o? E 50%?
b) O que acontece quando x se aproxima de 100 pela esquerda (x→ 100−)? E´ poss´ıvel remover toda
a poluic¸a˜o?
04) (PRODUC¸A˜O) O gerente de uma empresa determina que t meses apo´s comec¸ar a fabricac¸a˜o de
um novo produto o nu´mero de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde
P (t) =
6t2 + 5t
(t+ 1)2
.
O que acontece com a produc¸a˜o a longo prazo (quando t→∞)?
5
05) (PSICOLOGIA EXPERIMENTAL) Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de
psicologia realizou um experimento em que um rato teve que atravessar va´rias vezes o mesmo
labirinto. Suponha que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na ene´sima tentativa
tenha sido da ordem de
T (n) =
5n+ 17
n
minutos. O que acontece com este tempo quando o nu´mero n de tentativas aumenta indefinidamente
(quando n→∞)?
06) (COLOˆNIA DE BACTE´RIAS) A populac¸a˜o (em milhares) de uma coloˆnia de bacte´rias t
minutos apo´s a introduc¸a˜o de uma toxina e´ dada pela func¸a˜o
f(t) =
{
t2 + 7 para 0 ≤ t < 5,
−8t+ 72 para t ≥ 5.
a) Em que instante a coloˆnia deixa de existir?
b) Explique por que a populac¸a˜o deve ser 10.000 em algum instante no intervalo 1 < t < 7.
c) A func¸a˜o f(t) e´ cont´ınua em t = 5?
07) (PRODUTIVIDADE) Se uma cultura e´ plantada em um solo cujo teor de nitrogeˆnio e´ N , a
produtividadeY pode ser modelada pela func¸a˜o de Michaelis-Menten
Y (N) =
AN
B +N
, N ≥ 0,
onde A e B sa˜o constantes positivas. Mostre que a produtividade tende para o valor constante A
quando o teor de nitrogeˆnio aumenta indefinidamente? (Por este motivo, A recebe o nome de
produtividade ma´xima poss´ıvel).
08) (POLUIC¸A˜O DO AR) Estima-se que daqui a t anos a populac¸a˜o de um certo bairro sera´ p mil
habitantes, onde p(t) = 20− 7
t+ 2
. Um estudo ambiental mostra que a concentrac¸a˜o me´dia de
mono´xido de carbono no ar sera´ c partes por milha˜o quando a populac¸a˜o for p mil habitantes, onde
c(p) = 0, 4
√
p2 + p+ 21.
a) Determine c em func¸a˜o de t;
b) Qual sera´ o n´ıvel de poluic¸a˜o c a longo prazo (quando t→∞)?
6
Respostas:
Questa˜o 1: a) −6 b)
√
14
3
c) 0 d) 18 e) −10 f) 0 g) −1 h) 7 i) 7
3
j) 0 k)
4
7
l) ∞ m) 1
2
n) −1
9
o)
3
13
p)
√
2
4
q) 8 r) 1 s)
1
7
t) 5 u) 1 v)
1
4
w) 1 x) 0 y) pi z) 0 z) 0
Questa˜o 2: Sim
Questa˜o 3: Na˜o
Questa˜o 4: Sim
Questa˜o 5: Sim
Questa˜o 6: a)
1
2
b) −1 c) 0 d) +∞ e) +∞ f) +∞ g) −∞ h) −∞ i) −∞
Questa˜o 7: a) A.H: y = 0 A.V: x = 0; b) A.H: y = 1 A.V: x = 3; c) A.H: y = 1 A.V: x = 4;
d) A.H: y = 12 A.V: x =
3
2 ; e) A.H: y = 4 A.V: x = 3 e x = −3; f) A.H: y = 2 A.V: x = 1 e
x = −1; g) A.H: y = 0 A.V: x = −2; h) A.H: y = 3 e y = −3 A.V: Na˜o existe; i) A.H: y = 0
A.V: x = 1 e x = −1
Questa˜o 8: Na˜o
Questa˜o 9: Na˜o; Na˜o
Questa˜o 10: Sim; Sim
Questa˜o 11: a=3
Questa˜o 12: a = −1
2
, b = −9
2