Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Lista de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de Qualidade Isadora Cassador Coˆnsoli Silva 1 1 Lista 4 Gra´ficos de controle por varia´veis Nu´mero 1a: Construa gra´ficos de controle X¯ e R usando os dados do ”enun- ciado original”. O processo esta´ sob controle estat´ıstico? Figure 1: Figure 2: De acordo com os limites de controle obtidos e dos gra´ficos plotados acima, quando usamos as amostras dadas pelo enunciado permitiu-nos determinar que o processo aparenta estar sob controle durante a selec¸a˜o das m amostras, em que respeitaram os limites de controle ale´m de na˜o apresentar tendeˆncias ou ciclos. b. Estime a me´dia e o desvio padra˜o do processo. 2 Uma informac¸a˜o importante e´ que nosso n = 5, o que implica em d2 = 2, 326 e d3 = 0, 864. Para o gra´fico de R, temos que a partir da amplitude me´dia R¯, podemos estimar o desvio padra˜o do processo: σˆ0 = SD = R¯ d2 = 0,4632,326 ∼= 0, 1991 E (W ) = µw = d2 = 2, 326 LSCR = (d2 + d3) σˆ0 = (d2 + d3)SD = (d2 + d3) R¯ d2 = (2, 326 + 3× 0, 864) 0,4632,326 = 0, 9789 ∼= 0, 979 LMR = µR = R¯ = d2σˆ0 = d2 R¯ d2 = R¯ = 0, 463 LICR = (d2 − d3) σˆ0 = (d2 − d3)SD = (d2 − d3) R¯d2 = (2, 326− 3× 0, 864) 0,463 2,326 ⇒ 0 Enquanto que para o gra´fico de X¯ temos os seguintes resultados: σˆX¯0 = σˆX0√ n = R¯ d2 √ n = 0,463 2,326×√5 ∼= 0, 08902 µˆ0 = ¯¯X = 16, 2705 LSCX¯ = µˆ0 + 3 σˆ0√ n = 16, 2705 + 3× 0, 08902 ∼= 16, 5377 LMX¯ = µˆ0 = ¯¯X = 16, 2705 LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 16, 2705− 3× 0, 08902 ∼= 16, 0034 c. O peso do enchimento parece seguir uma distribuic¸a˜o normal? A partir do gra´fico apresentado na figura 3 na˜o temos certeza se os dados seguem mesmo uma distribuic¸a˜o normal, por isso testaremos o teste de Lilliefors para verificar a normalidade dos dados lillie.test(x) Lilliefors(Kolmogorov − Smirnov)normalitytest data : x D = 0.1132, p− value = 0.004345 Note que rejeitamos H0, hipo´tese nula em que os dados seguem uma dis- tribuic¸a˜o normal, ao n´ıvel de 5% de significaˆncia. 3 Figure 3: d. Se as especificac¸o˜es sa˜o 16,2 ± 0,5, quais suas concluso˜es sobre a capaci- dade do processo produzir itens conformes? Cˆp = LIC − LSC 6σˆx = [(0, 5)− (−0, 5)] 6× 0, 1991 ∼= 0, 84 Podemos notar enta˜o que o processo na˜o e´ capaz de satisfazer especificac¸o˜es. Pˆ = ( 1 Cˆp ) × 100% = 1 0, 84 × 100% = 1, 19 Isto e´, o processo utiliza-se cerca de 1% da banda especificac¸a˜o e. Que frac¸a˜o de recipientes produzidos por esse processo estara´ provavel- mente abaixo do limite inferior de especificac¸a˜o de 15,7 oz? P (x < LSC) = P (x < 15, 7) = φ ( 15, 7− 16, 2705 0, 1991 ) = φ (−2, 87) = 0, 00205 Nu´mero 2 Duas pec¸as sa˜o montadas conforme exibido na figura. Suponha que as dimenso˜es x e y sejam normalmente distribu´ıdas com me´dias µx e µy e desvios-padra˜o σx e σy respectivamente. As pec¸as sa˜o produzidas em ma´quinas 4 diferentes e sa˜o montadas aleatoriamente. Gra´ficos de controle devem ser man- tidos sobre cada dimensa˜o para a amplitude de cada amostra (n = 5). Ambos os gra´ficos de amplitude esta˜o sob controle. a. Para 20 amostras no gra´fico de amplitude controlando x e 10 amostras no gra´fico de amplitude controlando y temos que 20∑ i=1 Rxi = 18, 608 20∑ i=1 Ryi = 6, 978 Estime σx e σy. σˆx = R¯x d2 = m∑ i=1 Rxi m d2 = 18,608 20 2,326 = 0, 4 σˆy = R¯y d2 = m∑ i=1 Ryi m d2 = 6,978 10 2,326 = 0, 3 b. Se a probabilidade de uma folga (isto e´, x–y) menor que 0,09 deve ser 0,006, que distaˆncia entre as dimenso˜es me´dias (isto e´, µx−µy) deve ser especi- ficada? d = x− y σˆ2z = σˆ 2 x + σˆ 2 y ⇒ σˆz = √ σˆ2x + σˆ 2 y = √ 0, 42 + 0, 32 = 0, 5 φ ( 0,09−d σˆz ) = 0, 006 φ−1 ( 0,09−d 0,50 ) = φ (0, 006)( 0,09−d 0,50 ) = −2, 5121 d = 1, 346 3. Os dados da Tabela 3.18 sa˜o a me´dia amostral e a amplitude amostral (R) de 30 amostras de tamanho 5, referentes ao diaˆmetro de um eixo. a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de amplitude (R) e da 5 me´dia (X¯); m = 30 n = 5 d2 = 2, 326 d3 = 0, 864 ¯¯X = 4, 90 R¯ = 4, 40 σˆ0 = R¯ d2 = 4,402,326 ∼= 1, 89 LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = 9, 29502 LMR = R¯ = 4, 40 LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = −0, 50274⇒ LICR = 0 LSCX¯ = µˆ0 + 3 σˆ0√ n = 7, 4357 LMX¯ = µˆ0 = ¯¯X = 4, 90 LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 2, 3643 b. Se a me´dia do processo se desloca para 7,50, qual a probabilidade de que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico de (X¯), na primeira amostra apo´s a mudanc¸a? σX¯ = σˆ0√ n = R¯ d2√ n = 4,40 2,326√ 5 ∼= 0, 846 X¯ ∼ N (7, 50; 0, 846) α = P ( Z > LSCX¯−µX¯σX¯ ) + P ( LICX¯−µX¯ σX¯ ) = P ( Z > 7,4357−7,500,846 ) + P ( Z < 2,3643−7,500,846 ) α = P (Z > −0, 076) + P (Z < −6, 07) = φ (−0, 076) = 1− 0, 47210 = 0, 5279 P (M = 1) = 0, 5279× (0, 47210)0 = 52, 79% c. Se a me´dia do processo se desloca para 7,50, qual a probabilidade de que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico de , antes da quarta amostra apo´s a mudanc¸a; P (M = 1) = 0, 5279× (0, 47210)3 = 0, 8947 = 89, 47% 6 d. Se o desvio-padra˜o do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico da amplitude, na primeira amostra apo´s a mudanc¸a? PdR = P (R > LSCR¯|n = n0, σ = λσˆ0) = P ( W > d2+3d3λ |n = n0 ) PdR = P ( W > 4,921,91 = 2, 578|n = 5 ) = P (W > 2, 55|n = 5) = 1− 0, 6283 = 0, 3717 ∼= 0, 37 (tabelaB) P (M = 1) = 0, 37× (0, 63)0 = 0, 37 = 37% e. Se o desvio-padra˜o do processo muda para 3,61, qual a probabilidade de que descubramos tal mudanc¸a com o gra´fico da me´dia , na primeira amostra apo´s a mudanc¸a? k = 3, 61 δ = 0 λ = σ1σ0 = 3,61 1,89 ∼= 1, 91 PdX¯ = P ( Z ≤ −(k+δ √ n) λ ) + P ( Z < (−k+δ√n) λ ) PdX¯ = 2× P ( Z < kλ ) = 2P ( Z < 3,611,91 = 1, 89 ) = 2 (0, 05873) = 0, 11746 ∼= 12% P (M = 1) = 0, 12× (0, 88)0 = 0, 12 f. Como fica o item (e) se, ale´m de o desvio-padra˜o mudar para 3,61, a me´dia deslocar-se para 6,00? n = 5 k = 3, 61 δ = µX¯−µ0σ0 = 6−4,90 3,61 ∼= 0, 305 λ = σ1σ0 = 3,61 1,89 ∼= 1, 91 PdX¯ = P ( Z ≤ −(k+δ √ n) λ ) + P ( Z < (−k+δ√n) λ ) = P [ Z < −(3,61+0,305 √ 5) 1,91 ] + P [ Z < (−3,61+0,305 √ 5) 1,91 ] = PdX¯ = P (Z < −2, 2471) + P (Z < −1, 53298) = P (Z < −2, 25) + P (Z < −1, 53) = 0, 01222 + 0, 06301 = 0, 07523 PdR = 1− P ( W ≤ 5,651,91 = 2, 958|n = 5 ) = 1− 0, 7739 = 0, 2261 Pdtotal = PdX¯ + PdR − PdX¯PdR = 0, 07523 + 0, 2261− 0, 2261× 0, 07523 = 0, 28432 P (M = 1) = 0, 28432× (1− 0, 28432)0 = 0, 28432 7 4) Os volumes em cent´ımetros cu´bicos de treˆs garrafas de refrigerante foram medidos a cada meia hora de produc¸a˜o durante 15 horas. Os volumes esta˜o na Tabela 3.20. a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de amplitude (R) e da me´dia (X¯); σˆ0 = R¯ d2 = 1,631,693 = 0, 9628 LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = (1, 693 + 3× 0, 888)× 0, 9628 = 4, 195 LMR = R¯ = 1, 63 LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = (1, 693− 3× 0, 888)× 0, 9628 < 0⇒ LICR = 0 LSCX¯ = µˆ0 + 3 σˆ0√ n = 249, 88 + 3× 0,9628√ 3 = 251, 55 LMX¯ = µˆ0 = ¯¯X = 249, 88 LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = 249, 88− 3× 0,9628√3 = 248, 21 8 Figure 4: Figure 5: Note que no gra´fico de X¯ temos uma amostra fora de especificac¸a˜o, que e´ a amostra 11. 9 Figure 6: Figure 7: Nos gra´ficos acima tiramos a amostra 11 que estava acima do limite superior de controle. 10 b. Caso a me´dia do processo aumente para 250,8, qual a probabilidade de o gra´fico da me´dia sinalizar tal desajuste? (supor que o desvio-padra˜odo processo na˜o se alterou). σX¯ = σˆ0√ n = 0,9628√ 3 = 0, 556 X¯ ∼ N (250, 8; 0, 556) Z = ( LSCX¯−µX¯ σX¯ ) = ( 251,48−250,8 0,556 ) = 1, 22 Z ∼ N (0, 1) P ( X¯ > LSCX¯ ) = P ( Z > LSCX¯−µX¯σX¯ ) = P (Z > 1, 22) = φ (1, 22) = 0, 11123 (tabelaA2) E qual a probabilidade de o gra´fico da amplitude sinalizar tal desajuste? Neste caso, temos que calcular P (W ≤ w0|n = n0) = P (W ≤ d2 + 3d3|n = 3) = 0, 994 (tabelaB) α = 1− P (LICR ≤ R ≤ LSCR|σ = σ0) = 1− P (W ≤ w0|n = n0) = 1− 0, 994 = 0, 006 c. Caso a me´dia do processo aumente para 250,8 qual a probabilidade de o gra´fico da me´dia e/ou o da amplitude sinalizar tal desajuste? (Suponha que a me´dia do processo na˜o se altera e que o risco α foi fixado em 0,1%). σX¯ = σˆ0√ n = 1,5√ 3 = 0, 866 X¯ ∼ N (250, 8; 0, 866) Z = ( LSCX¯−µX¯ σX¯ ) = ( 251,48−250,8 0,866 ) = 0, 785 Z = ( LICX¯−µX¯ σX¯ ) = ( 248,14−250,8 0,866 ) = −3, 07 PdX¯ = P (Z ≤ z) = P (Z ≤ 0, 785) ∼= 0, 216 (tabelaA2) λ = σ1σˆ0 = 1,5 0,9628 = 1, 56 PdR = P (R > LSCR¯|n = n0, σ = λσˆ0) = P ( W > d2+3d3λ |n = n0 ) PdR = P ( W > 4,361,56 = 2, 8|n = 3 ) = P (W > 2, 80|n = 3) = 1− 0, 8828 = 0, 1172 ∼= 0, 12 (tabelaB) Pd (total) = PdX¯ + PdR − PdX¯PdR = 0, 12 + 0, 216− (0, 12× 0, 216) = 0, 31 d. Caso o desvio-padra˜o do processo aumente em 30%; qual a probabilidade de o gra´fico da me´dia sinalizar tal desajuste? (supor que a me´dia do processo 11 na˜o se altere e que o risco α foi fixado em 0,1%) PdX¯ = P ( Z ≤ − (k + δ √ n) λ ) +P ( Z < (−k + δ√n) λ ) = −3, 29 1, 3 = φ (−2, 53) = 0, 01141 5. Os dados da tabela 3.24 correspondem a um meˆs de amostras, cada uma com n = 6, de um processo de produc¸a˜o de ane´is de vedac¸a˜o. As medidas correspondem aos u´ltimos treˆs d´ıgitos . Por exemplo, X¯ = 297 significa 1,4297 cm e R = 16 significa 0,0016 cm. Foram calculados R¯ = 25, 73 e ¯¯X = 259, 59 a. Calcule os limites de controle para os gra´ficos de X¯ e R que voceˆ passara´ a usar para monitorar o processo σˆ0 = R¯ d2 = 25,732,534 ∼= 10, 154 LSCR = (d2 + 3d3) σˆ0 = R¯+ 3d3 R¯ d2 = (25, 73 + 3× 0, 848)× 10, 154 = 51, 56 LMR = R¯ = 25, 73 LICR = (d2 − 3d3) σˆ0 = R¯− 3d3 R¯d2 = (25, 73− 3× 0, 848)× 10, 154 = −0, 1015⇒ LICR = 0 LSCX¯ = µˆ0 + 3 σˆ0√ n = ¯¯X + 3 R¯ d2√ n = 259, 59 + 3× 10,154√ 6 = 272, 03 LMX¯ = µˆ0 = ¯¯X = 259, 59 LICX¯ = µˆ0 − 3 σˆ0√n = ¯¯X − 3 R¯ d2√ n = 259, 59− 3× 10,154√ 6 = 247, 15 b. E´ retirada uma amostra por dia. Suponha que ocorra alterac¸a˜o da me´dia do processo para 1,4268 cm. Qual a probabilidade de que se passem quatro dias seguidos sem que o gra´fico sinalize essa alterac¸a˜o ocorrida? (Suponha que o desvio-padra˜o do processo na˜o se altere; apenas a me´dia). Alterac¸a˜o da X¯ do 12 processo: 1,4268cm X¯ = 268 R¯ = 25, 73 n = 6 d2 = 2, 534 LMX¯ = 259, 59 σˆ0 = R¯ d2 = 25,732,534 ∼= 10, 15 ∆ = X¯−LMX¯σˆ0 = 268−259,9 10,15 ∼= 0, 83 Pd = P (Z < −3 + ∆× √ n) + P (Z < −3−∆×√n) = P (Z < −0, 89) + P (−5, 03) = 0, 18673 Notamos enta˜o que a probabilidade de se passarem 4 dias seguidos sem que o gra´fico sinalize a alterac¸a˜o e´ de 18,67%. c. Para melhorar o desempenho dos gra´ficos, o supervisor decidiu que, daqui para a frente, as amostras passara˜o a ser de 12 unidades. Quais devem ser os novos limites para os gra´ficos? X¯ = 268 R¯ = 25, 73 n = 6 d2 = 2, 534 LMX¯ = 259, 59 σˆ0 = R¯ d2 = 25,732,534 ∼= 10, 15 ∆ = X¯−LMX¯σˆ0 = 268−259,9 10,15 ∼= 0, 83 Pd = P (Z < −3 + ∆× √ n) + P (Z < −3−∆×√n) = P (Z < −0, 89) + P (−5, 03) = 0, 18673 CMS1 = 1 Pd = 10,1867 = 5, 35 d. Algumas pessoas criticaram a decisa˜o do supervisor, dizendo que seria melhor manter as amostras de 6 unidades cada uma, passando pore´m a retirar 2 amostras por dia, em vez de apenas uma. Qual das duas alternativas (uma amostra de 12 unidades por dia, ou 2 amostras de 6 unidades por dia) leva ao 13 menor tempo me´dio de detecc¸a˜o, pelo gra´fico de X¯ , de eventuais alterac¸o˜es da me´dia do processo para 1,4268 cm? n = 12 k = 3 d2 = 3, 258 σˆ0 = R¯ d2 = 25,733,258 ∼= 7, 89748 ∆ = X¯−LMX¯σˆ0 = 268−259,9 7,89748 ∼= 1, 065 Pd = P (Z < −3 + ∆× √ n) + P (Z < −3−∆×√n) Pd = P (Z < 0, 689268) + P (Z < −6, 6893) = 0, 75490 (tabelaA2) CMS1 = 1 Pd = 10,75490 = 1, 324 Dessa forma, podemos perceber que para n=12 demora menos tempo, pois 1, 324 < 5, 35 14
Compartilhar