Fundamentos da Álgebra Revisão de 1a5

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Fundamentos da Álgebra
Revisão da Aula 1 a 5
Aula 1
OPERAÇÕES BINÁRIAS E GRUPO
Exercício 1: Seja a operação binária ∆ definida por: 
Mostre que a operação ∆ é uma operação interna em Z. 
Exercício 2 
Aula 2
TÁBUA DE UM GRUPO FINITO E OPERAÇÕES NO CONJUNTO Zm
Exercício: 
Determine x no conjunto Z5 tal que a equação 3x +1 = 2
 
Aula 3
SUBGRUPOS E GRUPOS CÍCLICOS
Exercício 1: 
Determine o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo geradopelo elemento 4.
Exercício 2: 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto 
G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
Aula 4
SUBGRUPO NORMAL E GRUPO QUOCIENTE
Exercício 1: 
Considere um grupo comutativo e H = subgrupo de.
Determine o conjunto das classes laterais à esquerda de H.
Solução:
0 + H = {0 + 0, 0 + 2, 0 + 4} = {0,2,4} = H + 0
1 + H = {1 + 0, 1 + 2, 1 + 4} = {1,3,5} = H + 1
2 + H = {2 + 0, 2 + 2, 2 + 4} = {2,4,0} = H + 2
3 + H = {3 + 0, 3 + 2, 3 + 4} = {3,5,1} = H + 3
4 + H = {4 + 0, 4 + 2, 4 + 4} = {4,0,2} = H + 4
5 + H = {5 + 0, 5 + 2, 5 + 4} = {5,1,3} = H + 5
G/H = {H, 1 + H, 2 + H}
Exercício 2: 
Considere o grupo G = (Z10, +). Vamos considerar também o
subconjunto H2 = {0,2,4,8,6} de G.
H2 é candidato a subgrupo de G, pois pelo Teorema de
Lagrange H2 tem 5 elementos e 5 divide 10. 
Verificando se H2 = {0,2,4,8,6} é subgrupo G = (Z10, +).
0 é um elemento de H e é o elemento neutro de G.
O simétrico de 2 em G é 8, pois 2 + 8 = 10 = 0 e 8 H2
O simétrico de 4 em G é 8, pois 4 + 6 = 10 = 0 e 6 H2
O simétrico de 8 em G é 8, pois 8 + 2 = 10 = 0 e 2 H2
O simétrico de 6 em G é 8, pois 6 + 4 = 10 = 0 e 4 H2
Portanto, H2 é um subgrupo de G.
Exercício 3: 
Exercício 4: 
Aula 5 
HOMOMORFISMOS DE GRUPOS, ISOMORFISMOS DE GRUPOS E GRUPOS DE PERMUTAÇÕES.
Exercício 1: 
Verifique se a função f(x) = x2 definida de R em R é um homomorfismo de grupo.
f(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≠ x2 + y2 = f(x) + f(y).
Portanto, f não é homomorfismo, pois f(2 + 3) = 52 = 25 e
f(2) + f(3) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Logo, f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3) 
Exercício 2: 
Verifique se a função f(x) = x2 definida de R em R é um 
homomorfismo de grupo.
f(x + y) = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ≠ x2 + y2 = f(x) + f(y).
Portanto, f não é homomorfismo, pois f(2 + 3) = 52 = 25 e
f(2) + f(3) = 22 + 32 = 4 + 9 = 13.
Logo, f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3) 
Exercício 3: 
Determine o núcleo do homorfismo de grupo abaixo.
f(x) = 1/x2 definida de (R*,.) em (R*,.).
Elemento neutro do contradomínio: e = 1
f(x)= 1 → 1/x2 = 1 → x2 = 1 → x = 1 e x = -1
Portanto, N(f) = {1, -1}
Exercício 4: