TESTE DE CONHECIMENTO AULA 1 A 5

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AULA 1
		1
          Questão
	
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
		
	
		As afirmações I e III são falsas
	 
		A afirmação III é verdadeira
	
		A afirmação III é falsa
	
	A afirmação I é verdadeira
	
		A afirmação II  é verdadeira
	
		2
          Questão
	
	
	
		
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Não existe elemento neutro
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	
		3
          Questão
	
	
	
		
	
	3
	
	4
	
	12
	
	5
	 
	1
	
		4
          Questão
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Existe elemento neutro e = 1
	 
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Não existe elemento neutro
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	
		5
          Questão
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
		
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	 
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
		6
          Questão
	
	
	O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
		
	
	Associativa.
	
	Elemento neutro.
	
	Distributiva.
	
	Elemento inverso.
	 
	Comutativa.
	
	
		7
          Questão
	
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
		
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
		8
          Questão
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
		
	
	e = 6
	
	e = -2
	
	e = 4
	 
	e = 3
	
	e = 1
AULA 2
	 
		1
          Questão
	
	
	Calcule o produto (27).(45) considerando Z10.
		
	
	3
	
	7
	 
	5
	
	10
	
	35
	
	
		2
          Questão
	
	
	Considere o grupo < Z5, +> . Construa a tabela de operações e identifique quem são os elementos simétricos.
	Tábua de operações
	+
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	1
	 
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	 
 
		
	
	0=2;1=2;1= 4; 2=0;3=0;3= 2; 4`= 1
	
	0=3;1=3;1= 2; 2=4;3=4;3= 0; 4`= 2
	 
	0=0;1=0;1= 4; 2=3;3=3;3= 2; 4`= 1
	 
	0=1;1=1;1= 2; 2=3;3=3;3= 1; 4`= 0
	
	0=4;1=4;1= 0; 2=3;3=3;3= 2; 4`= 1
	
Explicação: Os elementos simétricos são aqueles que, operado com outro, resulte no elemento neutro do grupo.
	
	
		3
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	
	
	 
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
		4
          Questão
	
	
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	
	1, 3 e 4
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	 
	1, 2 e 5
	
	
		5
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
		6
          Questão
	
	
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
		
	
	6
	
	8
	
	5
	
	48
	 
	4
	
	
		7
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11.
 
		
	
	{(1,4)}
	 
	{(0,6)}
	
	{(-14/13;119/39)}
	
	{(-3,7)}
	
	{(2,3)}
	
	
		8
          Questão
	
	
	Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯  em Z3.
		
	
	e = ¯¯¯¯¯−1-1¯
	
	e = ¯33¯
	
	e = ¯¯¯¯¯−2-2¯
	 
	e = ¯22¯
	 
	e = ¯1
AULA 3
	 
		1
          Questão
	
	
	
		
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	A afirmação I é verdadeira
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	A afirmação III é falsa
	
	
		2
          Questão
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
		
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
		3
          Questão
	
	
	Seja (Z6, +) um grupo. Verifique  se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de
(Z6, +).
		
	
	H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6.
	 
	H não é subgrupo de (Z6, +).
	
	H é subgrupo de (Z6, +).
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +).
	
	H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H.
	
	
		4
          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine a ordem do elemento d.
		
	
	o(d) = 1
 
	
	o(d) = 4
 
	
	o(d) = 5
	
	o(d) = 2
 
	 
	o(d) = 3 
 
	
	
		5
          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
		
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
	 
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	
		6
          Questão
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	
	x = a
	 
	x = f
	
	x = d
	
	x = b
	
	x = c
	
	
		7
          Questão
	
	
	Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
		
	 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos  h1h2 ∈∈H   e
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeitaa seguinte propriedade:   
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos  h1h2 ∈∈H.  
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈∈ H  temos  h1h2 ∈∈ H.
 
 
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H.
	
	
		8
          Questão
	
	
	Considere o grupo (Z*7, .)  e  a = 5. Determine a2 .
		
	
	1
	 
	4
	
	0
	
	25
	
	3
AULA 4
		1
          Questão
	
	
	
		
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	
		2
          Questão
	
	
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
		
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	H é cíclico
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	
		3
          Questão
	
	
	Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
		
	
	{i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	
	 
		4
          Questão
	
	
	Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
		
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
		5
          Questão
	
	
	Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
		
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
AULA 5
		1
          Questão
	
	
	
		
	
	 1234241312342413
	
	1234312412343124
	 
	 12344213
	
	 1234143212341432
	 
	1234324112343241
 
 
	
	
		2
          Questão
	
	
	Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
		
	 
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {2}
	
	N(f) = {4}
	
	N(f) = {1}
	
	
		3
          Questão
	
	
	Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N*  tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		4
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos.
		
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆)   se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1.
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1
	 
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1.
	
	Dizemos que f é um homomorfismo de grupos  se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1.
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆),  e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1.
	
	
		5
          Questão
	
	
	
		
	
	1234143212341432
	
	1234312412343124
	
	1234324112343241
	
	1234241312342413
	 
	12344213
	
	
		6
          Questão
	
	
	Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N*  tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 
		
	 
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		7
          Questão
	
	
	Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
		
	
	N(f) = {2}
	
	N(f) = {1}
	
	N(f) = {3}
	 
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {4}
	
	
		8
          Questão
	
	
	Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos.
 
		
	
	Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde  f é um homomorfismo de grupos.
	 
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆).  Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	 
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆).  se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀∀ ∈∈ G1  onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção.