Um Breve Resumo em Teoria dos Grupos

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Universidade Estadual Paulista - UNESP
UM BREVE RESUMO EM:
Teoria dos Grupos e de Galois
Q
(√
2,
√
3
)
Q
(√
6
)
Q
(√
2
)
Q
(√
3
)
Q
{1}
{1, fg} {1,g}{1, f}
{1, f,g, fg}
Pedro Bortolucci
16 de setembro de 2021
Conteúdo
1 Grupos 2
1.1 Definição de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Adição e Multiplicação Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 O Teorema de Lagrange 6
2.1 Classes Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 O Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Subgrupos Normais e o Grupo Quociente 9
3.1 Subgrupos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Grupos Finitamente Gerados 11
4.1 Grupos Cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Grupos Finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Princípio da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Isomorfismo de Grupos 14
5.1 Teoremas de Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Automorfismo de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Produto Direto e Permutações 18
6.1 Produto Direto Externo e Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7 Teoremas de Sylow 21
7.1 Normalizador e Centralizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.2 Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8 Os Teoremas de Sylow 24
9 Grupos Solúveis 27
9.1 Sequência Subnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.2 Grupos Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.3 Subgrupos Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
CONTEÚDO TG&G
9.4 Grupos Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10 Grupos Finitamente Gerados 31
10.1 Grupos Abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.2 Decomposição de Grupos Abelianos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.3 Grupos Abelianos Livres
Finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.4 Decomposições de Grupos Abelianos
Finitamente Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
Capítulo 1
Grupos
A teoria dos Grupos é um ramo da Álgebra Moderna que está interessada no estudo
das estuturas algébricas chamadas de Grupos. Um grupo, nada mais é um conjunto
no qual uma operação é definida, essa operação, satisfaz algumas propriedades, como
associatividade, a existência de um elemento neutro e a existência de um elemento
simétrico. Os grupos estão fortemente ligados com a noção de simetria, um estudo
muito bonito da teoria dos grupos, vem dos diagrmas de Cayley que nos permite uma
melhor visualização de grupos finitos. Além disso, por conta de sua natureza voltada
para a simetria, os grupos aparecem fortemente na física de particulas, na química, na
computação e até mesmo na biologia.
Nosso objetivo neste texto, será passar de maneira concisa os principais conceitos e
resultados no estudo da teoria dos grupos, não haverá grande interesse nas demons-
trações que, sem dúvida, podem ficar como exercícios ao leitor.
1.1 Definição de Grupos
Sejam G e F conjuntos não vazios:
(1) O produto cartesiano de G por F é definido como G× F = {(a,b); a ∈ G e b ∈ F};
(2) Uma relação binária de G em F é um subconjunto de G× F.
(3) Uma aplicação de G em F, f : G→ F, é uma relação tal que para todo a ∈ G, existe
um único b ∈ F, tal que f(a) = b.
(4) Uma operação binária sobre G é uma aplicação ∗ : G → G → G, onde para todo
x,y ∈ G, ∗(x,y) = x ∗ y ∈ G.
Sejam G um conjunto não vazio com ∗ uma operação sobre G e a ∈ G,
(1) O elemento a é chamado de regular à esquerda, se a ∗ b = a ∗ y com x,y ∈ G,
implicar em x = y (análogo para regular à direita).
2
1.1. DEFINIÇÃO DE GRUPOS TG&G
(2) O elemento a é chamado de regular se é, simultâneamente, regular à direita e à
esquerda.
(3) O elemento a é chamado simetrizável, se existir um elemento a ′ ∈ G, tal que
a ∗ a ′ = a ′ ∗ a = e, com e o elemento neutro da operação ∗. Neste caso, a ′ é
chamado simétrico de a.
Definição 1.1.1. Um conjunto não vazio, G, é chamado de semi-grupo em relação à
operação ∗, se ∗ é associativa.
Se ∗ também for comutativa, G é chamado semi-grupo comutativo.
Definição 1.1.2.
Um conjunto G é um monóide, se é um semi-grupo com elemento neutro. Observe
que um monóide também pode ser comutativo.
Proposição 1.1.1. Todo elemento simetrizável do monóide (G, ∗), é regular.
Observação. Seja G um conjunto não vazio, munido de uma operação ∗, e que possua
elemento neutro e. O conjunto dos elementos simetrizáveis de G é denotado por G∗ =
{a ∈ G; ∃a ′ ∈ G tq a ∗ a ′ = a ′ ∗ a = e}.
Definição 1.1.3. Seja G um conjunto não vazio munido da operção ·, (que por simpli-
cidade denotaremos a · b = ab). (G, ·) é um grupo se é um monóide no qual todo
elemento é simetrizável.
Se G satisfaz a propriedade de comutatividade, dizemos que G é um grupo abeliano.
Propriedades:
(1) O elemento neutro e ∈ G é único;
(2) O simétrico de a é único para todo a ∈ G.
Seja G um conjunto não vazio munido de uma operação associativa. Um elemento
x ∈ G é dito idempotente se xx = x. Se G é um grupo, o único elemento idempotente de
G é o elemento neutro e.
Definição 1.1.4. Seja G um grupo.
(1) O grupo G é chamado de finito se G for um conjunto finito. Caso contrário, G é
um grupo infinito.
(2) Se G for um grupo finito, o número de elementos de G (também denotado por
#G ou |G|) é chamado ordem de G e denotado por o(G).
3
1.2. ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO MODULAR TG&G
1.2 Adição e Multiplicação Modular
Definição 1.2.1. Sejam a,b ∈ Zm. A adição de a e bmódulom é definida por a+mb = r,
onde r é o resto da divisão de a+ b porm.
Propriedades: Sejam a,b, c ∈ Zm. Em relação à +m, temos
(1) a+m (b+m c) = (a+m b) +m c;
(2) a+m b = b+m a;
(3) a+m 0 = a;
(4) Se a ∈ Zm então tomandom− a ∈ Zm temos a+m (m− a) = 0.
Portanto, (Zm,+m) com m > 1 é um grupo abeliano. De modo análogo, podemos
definir a multiplicação módulo m ·m, e de fato, notamos que (Zp − {0}, ·m) com p primo,
é um grupo comutativo. Em geral, Z∗m, o conjunto dos elementos inversíveis de Zm é
um grupo comutativo.
1.3 Subgrupos
Definição 1.3.1. Sejam G um grupo eH um subconjunto de G não vazio. O conjuntoH
é chamado subgrupo de G e denotado por H 6 G, se:
(1) H é fechado com a operação de G;
(2) H é um grupo com a operação induzida de G.
Um grupo G admite pelo menos dois subgrupos triviais G e {e}.
Sejam G um grupo e H subgrupo de G
(1) Os elementos neutros de G e H coicidem;
(2) O elemento simétrico de b em H e em G é único.
Proposição 1.3.1. Seja G um grupo. H ⊆ G é subgrupo de G se, e somente se, a,b ∈ H ⇒
ab ′ ∈ H, onde b ′ é o simétrico de b.
Observação. Sejam G um gupo e a ∈ G.
(1) O conjunto H = {am; m ∈ Z} é subgrupo de G chamado de subgrupo gerado por
a, e denotado por 〈a〉.
(2) Se am 6= e, ∀m ∈ Z, então H é infinito.
(3) Se am = e para algum m ∈ Z então H é finito e, o menor h positivo, tal que
ah = e é a ordem de a e denotado por o(a).
4
1.3. SUBGRUPOS TG&G
Seja G um grupo e S = {a1, . . . ,an} ⊆ G um subconjunto. O conjunto
[S] = [a1, . . . ,an] = {a
k1
1 · · ·a
kn
n ; ki ∈ Z para i = 1, . . . ,n}
é o menor subgrupo de G que contém o conjunto S, onde S é chamado conjunto de
geradores do subgrupo [S]. Em particular, se a ∈ G, o subgrupo [a] é chamado gerado
por a, como a observação anterior.
O subgrupo [S] ⊆ G é chamado subgrupo de tipo finito gerado por S, e o grupoG é do
tipo finito, se G = [S], para algum S ⊆ G. Em particular, se G = [a] para algum a ∈ G,
G é chamado de grupo cíclico, e a é chamado o gerador de [a]= 〈a〉.
5
Capítulo 2
O Teorema de Lagrange
2.1 Classes Laterais
Dados dois subconjuntos A e B de um grupo G, denotamos
AB = {ab; a ∈ A e b ∈ B}
A−1 = {a−1; a ∈ A}
Assim, temos que A(BC) = (AB)C e (AB)−1 = B−1A−1, quando A = {a}, usamos
simplesmente, aB. Além disso,
(1) xA = yB se, e somente se, y−1xA = B;
(2) H é subgrupo de G se, e somente se, HH = H e H−1 = H;
(3) Se H é subgrupo de G, xH = H se, e somente se, x ∈ H se, e somente se, Hx = H.
Definição 2.1.1. Sejam H 6 G, a,b ∈ G. a é dito congruente à b módulo H se ab−1 ∈ H,
e denotado por a ≡ b (mod H).
A relação definida na definição anterior, é de equivalência e portanto, podemos
definir as classes de equivalência dos elementos de G:
ā = {b ∈ G; b ≡ a (mod H)}.
Definição 2.1.2. Dado a ∈ G, indicamos por aH e chamamos de classe lateral à esquerda
módulo H, definida por a, o seguinte subconjunto
aH = {ax; x ∈ H}.
Observe que de modo análogo, podemos construir classes laterais à direita móduo
H, os resultados são os mesmos para os dois tipos.
Proposição 2.1.1. A união de todas as classes lateria módulo H é igual à G.
6
2.2. O TEOREMA DE LAGRANGE TG&G
Proposição 2.1.2. Se a,b ∈ G, então aH = bH se, e somente se, a−1b ∈ H.
Proposição 2.1.3. Se aH e bH são duas classes laterais módulo H, onde a,b ∈ G, então
aH ∩ bH = {e} ou aH = bH.
Proposição 2.1.4. Se a ∈ H, então a classe lateral aH é equipotente à H, ou seja, aH e H tem
o mesmo número de elementos.
Observação. Sejam G um grupo e H 6 G
(1) Se a ∈ G⇒ aH 6= ∅;
(2) Se G é abeliano, então aH = Ha;
(3) A aplicação f : aH → Ha−1 dada por f(ah) = ha−1, para todo a ∈ G é uma
bijeção.
(4) Duas classes laterais tem a mesma cardinalidade, ou seja, f : aH → bH dada por
f(ah) = bh, para todo h ∈ H, é uma bijeção para todo b ∈ G.
Podemos então dizer que o conjunto das classes laterais à esquerda formam uma
partição de G, em particular, as classes laterais são todas equipotentes. Além disso,
como existe uma bijeção entre aH e Ha−1, segue que o conjunto das classes laterais à
esquerda, é equipotente ao conjunto das classes laterais à direita.
Definição 2.1.3. O conjunto quociente de G por H, denotado por
G
H
, é o conjunto das
classes laterais à esquerda, aH, com a ∈ G, ou seja, G
H
= {aH; a ∈ G}. O número de
elementos de
G
H
é chamado de índice deH emG e é denotado por [G : H], que é o mesmo
para as classes laterais à direita e à esquerda.
2.2 O Teorema de Lagrange
Teorema 2.2.1 (O Teorema de Lagrange). Se H é um subgrupo do grupo finito G, então
o(H) divide o(G), ou seja, o(G) = o(H)[G : H].
Corolário 2.2.1. Se a ∈ G e H = 〈a〉, então a ordem de a divide a ordem de G e o quociente
nessa divisão é [G : H].
Corolário 2.2.2. Se a ∈ G, então ao(G) = e.
Corolário 2.2.3. Se G é um grupo finito cuja ordem é um número primo p, então G é cíclico e
seus únicos subgrupos são os triviais.
Corolário 2.2.4. Se G é um grupo finito e H, K são subgrupos de G tais que H ⊂ K, então
[G : H] = [G : K][K : H].
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2.2. O TEOREMA DE LAGRANGE TG&G
Observação. Veja que em S3 os únicos subgrupos têm ordem 1, 2, 3 e 6. Os de ordem
1 e 6 são os triviais e os de ordem 2 e 3 são cíclicos, uma vez que têm ordem prima.
Assim, o Teorema de Lagrange, ajuda a determinar os subgrupos de grupos finitos.
Teorema 2.2.2. Se um elemento g ∈ G tem ordem r, então gs = e se, e somente se, s é um
múltiplo de r.
Corolário 2.2.5. Sejam G um grupo, g ∈ G tal que o(g) = r e k, l ∈ Z. Assim, gk = gl se, e
somente se, k ≡ l (mod r).
Teorema 2.2.3. Seja G um grupo. Se g ∈ G tem ordem r, então gs tem ordem r
mdc(r, s)
.
Corolário 2.2.6. Sejam G um grupo e g ∈ G tal que o(g) = r. Se k|r, então o(gk) = r
k
.
Corolário 2.2.7. Sejam G um grupo e g ∈ G tal que o(g) = r. Se mdc(r,k) = 1, então
o(gk) = r.
Teorema 2.2.4. Sejam G um grupo abeliano e g,h ∈ G. Se g tem ordem r, h tem ordem s e
mdc(r, s) = 1, então gh tem ordem rs.
8
Capítulo 3
Subgrupos Normais e o Grupo
Quociente
3.1 Subgrupos Normais
Definição 3.1.1. Seja H um subgrupo de um grupo G, o subgrupo H é um subgrupo
normal de G se gH = Hg para todo g ∈ G, denotamos por HCG.
Definição 3.1.2. Um grupo é chamado de simples se não possui subgrupos normais não
triviais.
Teorema 3.1.1. Seja G um grupo e H um subgrupo de G. Temos que HC G se, e somente se,
aHa−1 ⊂ H para todo a ∈ G.
Corolário 3.1.1. SejamG um grupo eHCG. Assim, gHg−1 ⊆ H se, e somente se, gHg−1 = H
para todo g ∈ G.
Observação. O centro de G
Z(G) = {x ∈ G; xa = ax∀a ∈ G}
é um subgrupo normal de G. Note também que G é abeliano se, e somente se, Z(G) =
G.
O subgrupo G(1) = 〈{xyx−1y−1; x,y,∈ G}〉 é normal em G. G(1) é chamado de
subgrupo dos comutadores. Veja que se [x,y] = xyx−1y−1 é um comutador de G, então
G(1) é o menor subgrupo de G contendo todos os comutadores de G. G é simples se, e
somente se, G(1) = {e}.
Note que Sn pode ser visto como um subgrupo de A2n. Mas An é simples e Sn não
é, ou seja, nem todo subgrupo de grupo simples é um grupo simples.
Teorema 3.1.2. Sejam G um grupo e H subgrupo de G. Assim, H C G se, e somente se,
aHbH = abH para todo a,b ∈ G.
Isso nos permite definir o grupo quociente. Já que agora podemos trabalhar com as
operações entre as classes laterais de maneira canônica.
9
3.2. GRUPO QUOCIENTE TG&G
3.2 Grupo Quociente
SejamG um grupo eHCG. As seguintes propriedades são verdadeiras para quaisquer
a,b ∈ G:
Propriedades
(1) (aH)(bH) = abH;
(2) [(aH)(bH)] (cH) = (aH) [(bH)(cH)];
(3) (aH)(eH) = (eH)(aH) = (aH);
(4) (aH)(a−1H) = eH = (a−1H)(aH).
Assim, podemos definir
G
H
= {aH; a ∈ G} é um grupo, chamado de grupo quociente
de G por H.
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Capítulo 4
Grupos Finitamente Gerados
4.1 Grupos Cíclicos
Sejam G um grupo e a ∈ G e n ∈ Z. Relembramos que a n-ésima potência de a,
denotada por an é dada por
a0 = e
an = an−1a se n > 1
an = (a−n)−1 se n 6 0
Proposição 4.1.1. Seja um grupo. Se a ∈ G, então 〈a〉 = {am; m ∈ Z} é subgrupo de G.
Definição 4.1.1. Sejam G um grupo e H = 〈a〉.
(1) O subgrupo H = 〈a〉 é chamado de subgrupo gerado por a e a é chamado gerador
de H.
(2) Se am 6= e para todom ∈ Z, então H é infinito.
(3) Se am = e para algum m ∈ Z, então H é finito e o menor h que satisfaz ah = e é
chamado de ordem de a, denotado por o(a).
(4) Um grupo G é chamado de finito se a quantidade de elementos de G é finita.
(5) A ordem de um grupo finito é sua cardinalidade e denotada por o(G).
Definição 4.1.2. Um grupoG é chamado de cíclico se existe um a ∈ G, tal queG = 〈a〉.
Observação. Sejam G um grupo, a ∈ G em,n ∈ Z,
(1) G é cíclico, então G é abeliano. Mas a recíproca é falsa.
(2) Um grupo cíclico pode ter mais de 1 gerador.
(3) Se G é um grupo aditivo gerado por a, então G = {ma; m ∈ Z}.
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4.2. GRUPOS FINITAMENTE GERADOS TG&G
Veja que Zn com n > 0 é cíclico gerado por 1̄. Em geral Zn = 〈k〉 se, e somente se,
mdc(k,n) = 1. Assim, Zn possui φ(n) geradores distintos, onde φ é a função de Euler.
A função φ de euler é dada por
φ(x) = #{n ∈ N; n 6 x e mdc(n, x) = 1} = #Z∗n.
Proposição 4.1.2. Se G é um grupo e H ⊆ G é subgrupo. Se G é cíclico, então H é cíclico.
Proposição 4.1.3. Sejam G um grupo eH ⊆ G um subgrupo. Se G é cíclico então G
H
é cíclico.
SejaG um grupo finito cuja ordem é pelo menos 2. Se h 6= e é um de seus elementos
e H = {h, h2, h3, . . .}, repare que se hi = hj, temos que hi−1 = hj−1. Assim, como #G <∞ pois o(G) < ∞, então deve existir k ∈ Z tal que h = hk, logo, e = kh−1 ⇒ e ∈ H.
Assim, H = 〈h〉 é subgrupo de G.
Proposição 4.1.4. Se G é um grupo não abeliano e Z(G) o seu centro, então [G : Z(G)] 6= p
para todo primo p.
Proposição 4.1.5. Seja G um grupo finito. Se G não possui subgrupos não triviais, então G
tem ordem prima.
4.2 Grupos Finitamente Gerados
Sejam G um grupo e S ⊂ G um subconjunto não vazio. O conjunt
〈S〉 = {am1i1 · · ·a
mr
ir
; r ∈ N, aij ∈ S emj ∈ Z}
é um subgrupo de G. Assim, se x ∈ 〈S〉, então x = am11 · · ·amrn , onde ai ∈ S para
todo i = 1, . . . ,n. Em particular, se S é finito dado por S = {a1, . . . ,an}, então, 〈S〉 =
{am11 · · ·amnn ; m1, . . . , mn ∈ Z}.
Definição 4.2.1. Seja G umgrupo e S ⊂ G um subconjunto não vazio
(1) O conjuunto H = 〈S〉 ⊆ G é chamado gerado por S.
(2) O conjunto S é chamado conjunto gerador de H.
(3) O grupo H é chamado de tipo finito se H = 〈S〉, para algum S ⊆ G finito. Se
S = {a}, H é um grupo cíclico.
Note que a intersecção de uma família qualquer de subgrupos de um grupoG ainda
é um subgrupo deG. Além disso, dado um subconjunto não vazio S ⊆ G, a intersecção
de todos os subgrupos deG que contém S é um subgrupo deG e é igual à 〈S〉. Por isso,
〈S〉 é o menor subgrupo de G contendo S.
12
4.3. PRINCÍPIO DA CONTAGEM TG&G
4.3 Princípio da Contagem
Sejam G um grupo e H subgrupo de G e g ∈ G. O conjunto gH é definido por gH =
{gh; h ∈ H}. Com objetivo de generalizar esse conceito, sejam H e K subgrupos de G, e
seja HK = {hk; h ∈ H e k ∈ K}.
Proposição 4.3.1. HK = KH se, e somente se, HK é subgrupo de G.
Corolário 4.3.1. Se G é abeliano e H, K 6 G, então HK < G.
Teorema 4.3.1. Se H e K são subgrupos finitos de um grupo G, então #(HK) =
o(H)o(K)
o(H ∩ K)
.
Corolário 4.3.2. Se H e K são subgrupos de um grupo finito G com o(H) >
√
o(G) e o(K) >√
o(G), então H ∩ K 6= e.
Mais adiante, veremos os mais importantes teoremas do estudo de grupos, os teo-
remas de Sylow. Abaixo, veremos uma versão fraca desses teoremas:
Exemplo. Seja G um grupo com o(G) = pq com p e q primos, então G tem no máximo
um subgrupo de ordem p. Esses resultado segue do teorema e corolário anteriores.
13
Capítulo 5
Isomorfismo de Grupos
Definição 5.0.1. Sejam G1 e G2 dois grupos e f : G1 → G2 uma aplicação dita homomor-
fismo de grupos se f(xy) = f(x)f(y), para todo x,y ∈ G1.
Definição 5.0.2. Seja f : G1 → G2 homomorfismo de grupos.
(1) Se G1 = G2 f é chamada de endomorfismo.
(2) Se f é injetora, f é chamada de monomorfismo.
(3) Se f é sobrejetora, f é chamada de epimorfismo.
(4) Se f é bijetora, f é chamada de isomorfismo,G1 eG2 são ditos isomorfos e denotados
por G1 ' G2.
(5) Se G1 = G2 e f é bijetora, f é chamada de automorfismo.
Definição 5.0.3. Seja f : G1 → G2 homomorfismo de grupos. O kernel ou núcleo de f é
definifo por ker(f) = {g ∈ G1; f(g) = e2}. A imagem de f é definida por Im(f) = f(G1) =
{f(g); g ∈ G1} = {h ∈ G2; ∃g ∈ G1 tq f(g) = h}.
Se G é um grupo e HCG. Então π : G→ G
H
dada por π(g) = gH é chamada projeção
canônica. Também, temos que H = ker(π). Se H = ker(π), então:
xH = yH⇔ y−1x ∈ H⇔ π(x) = π(y).
5.1 Teoremas de Isomorfismo
Proposição 5.1.1. Sejam G um grupo e H ⊆ G um subgrupo. Se H C G, então a aplicação
µ : G→ G
H
dada por µ(g) = gH é um epimorfismo com ker(µ) = H.
Proposição 5.1.2. Seja G1 um grupo. Um subgrupo H de G1 é normal se, e somente se,
H = ker(ϕ) para algum homomorfismo ϕ : G1 → G2.
14
5.1. TEOREMAS DE ISOMORFISMO TG&G
Teorema 5.1.1 (Primeiro Teorema do Isomorfismo). Se ϕ : G1 → G2 é um epimorfismo,
então
G1
ker(ϕ)
é isomorfo à Im(ϕ).
Proposição 5.1.3. Seja G um grupo cíclico comm elementos, então G ' Zm.
Proposição 5.1.4. Seja G = 〈g〉 cíclico.
(1) A aplicação f : Z→ G dada por ϕ(k) = gk é um epimorfismo.
(2) Se G é infinito, G ' Z.
(3) Se G é finito de ordem n e H é subgrupo de G de ordemm, então H = 〈g nm 〉.
(4) Se G é finito de ordem n em|n então existe um único subgrupo de G de ordemm.
Corolário 5.1.1. SejaG um grupo cíclico gerado por g. Se gm 6= gn sempre quem 6= n, então
ϕ é injetora. (ϕ : Z→ G com ϕ(n) = gn).
Teorema 5.1.2 (Euler). Sejam n > 0 um inteiro. Se mdc(a,n) = 1, então aφ(n) ≡ 1
(mod n), onde φ é a função de Euler.
Teorema 5.1.3 (Pequeno Teorema de Fermat). Se p é primo e p - a, então ap−1 ≡ 1
(mod p).
Seja ϕ : G1 → G2 homomorfismo. Se H 6 G1 ⇒ ϕ(H) 6 G2. Por outro lado, se
K 6 G2, então ϕ−1(K) 6 G1. O sugrupo ϕ−1(K) de G1 é chamado de imagem inversa de
K. Em particular, se K = {e2}, então ϕ(e1) = ker(ϕ).
Lema 5.1.1. Se H 6 G1, então ϕ−1ϕ(H)) = Hker(ϕ).
Lema 5.1.2. Se H 6 G1 tal que ker(ϕ) ⊆ H, então H = ϕ−1(ϕ(H)).
Lema 5.1.3. Se ϕ : G1 → G2 é epimorfismo e K 6 G2 ⇒ K = ϕ(ϕ−1(K)).
Lema 5.1.4. Se K < G2 ⇒ ϕ(ϕ−1(K)) = K ∩ϕ(G).
Proposição 5.1.5. Sejaϕ : G1 → G2 um homomorfismo de grupos sobrejetor e K um subgrupo
de G2.
(1) A aplicação H → ϕ(H) é uma bijeção dos subgrupos de G1 que contém ker(ϕ) no
conjunto dos subgrupos de G2, a inversa é dada por K→ ϕ−1(K).
(2) ϕ−1(K) é normal em G1 se, e somente se, K é normal em G2. Neste caso,
G1
ϕ−1 ∗ (K)
'
G2
K
.
Corolário 5.1.2. SejaG um grupo. SeH ⊆ G é um subgrupo normal, então existe uma bijeção
entre os subgrupos de G que contém H e os subgrupos de
G
H
.
15
5.1. TEOREMAS DE ISOMORFISMO TG&G
Teorema 5.1.4. Seja ϕ : G1 → G2 um epimorfismo de grupos. Se K é um subgrupo normal de
G2 e H = {x ∈ G1; ϕ(x) ∈ K}, então
G1
H
' G2
K
.
Corolário 5.1.3. Seja ϕ : G1 → G2 epimorfismo. Se KCG2 e H = {x ∈ G1; ϕ(x) ∈ K} então
o grupo quociente
G1
H
'
(
G
ker(ϕ)
)
(
H
ker(ϕ)
) .
Proposição 5.1.6. Se H ⊆ K são subgrupos de um grupo G, então
(1)
K
H
é subgrupo normal de
G
H
.
(2)
(
G
H
)(
K
H
) é isomorfo à G
K
.
Proposição 5.1.7. Se G é um grupo e H, K subgrupos de G tal que K ⊆ NG(H) então
HK
H
é
isomorfo à
K
H ∩ K
.
Se (Gi)i∈I é uma família de grupos, então o produto cartesiano
∏
i∈I
Gi é um grupo.
Para cada j ∈ I, a aplicação πj :
∏
i∈J
Gi → Gj dada por π
(
(xi)i∈I
)
= xj é um epimorfismo
de grupos.
Proposição 5.1.8. Se H é um grupo e para cada i ∈ I existe um homomorfismo de grupos
fi : H→ Gi, então existe um único homomorfismo de grupos f : H→
∏
i∈I
Gi tal que πj : f = fj
para todo j ∈ I.
Lema 5.1.5. Seja ϕ : G1 → G2 um homomorfismo com N = ker(ϕ).
(1) Se H 6 G contendo N, então ϕ−1(ϕ(H)) = H.
(2) Se K 6 ϕ(G1), então ϕ(ϕ−1(K)) = K.
Lema 5.1.6. Sejam G um grupo e H subgrupo normal de G. Se K é um subgrupo de
G
H
, então
K = {x ∈ G; xH ∈ K} é subgrupo de G.
Sejam G1 e G2 grupos. Se ϕ : G1 → G2 é isomorfismo de grupos e G1 é cíclico, então
G2 é cíclico, já que se 〈a〉 = G1, então 〈ϕ(a)〉 = G2.
16
5.2. AUTOMORFISMO DE GRUPOS TG&G
5.2 Automorfismo de Grupos
Já definimos automorfismo. Agora, seja Aut(G) = {ϕ : G → G; ϕ é automorfismo},
então (Aut(G), ◦) é um grupo.
Seja Ig : G → G dada por Ig(x) = gxg−1, Ig é chamado automorfismo interno de G
e Ig ∈ Aut(G), para todo g ∈ G. O conjunto Int(G) = {Ig; g ∈ G} é um subgrupo
de Aut(G). Além disso, Ig = Ie se, e somente se, g comuta com todo elemento de G.
Agora, se g1, g2 ∈ G então Ig1g2 = Ig1 ◦ Ig2 . Assim, ϕ : G→ Aut(G) dada por ϕ(g) = Ig
é um homomorfismo, onde Im(ϕ) = Int(G). Além disso, ker(ϕ) = Z(G), o centro de
G. Segue então do Teorema do Isomorfismo que:
Im(ϕ) = Int(G) ' G
Z(G)
.
Definição 5.2.1. Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é chamado característico se
σ(H) ⊆ H para todo σ ∈ Aut(G).
Sejam G grupo e g ∈ G:
(1) Int(G)C Aut(G).
(2) Tg : G → G dada por Tg(x) = gx é chamada translação à esquerda de G e é um
automorfismo. T(G) = {Tg; g ∈ G} é subgrupo de Aut(G).
Além disso, g ∈ Z(G)⇔ Ig = Ie. G é abeliano⇔ Int(G) = {Ie}. HCG⇔ Ig(H) ⊂ H
para todo g ∈ G.
17
Capítulo 6
Produto Direto e Permutações
6.1 Produto Direto Externo e Interno
Sejam G1 e G2 grupos e seja G = G1 × G2 o produto cartesiano de G1 e G2. Para
(x1, x2), (y1,y2) ∈ G, definimos a operação:
(x1, x2)(y1,y2) = (x1y1, x2y2).
Segue que (G, ·) é um grupo. No caso geral, definimos de modo análog o grupo
G = G1 × · · · ×Gn, bem como G =
∏
i∈I
Gi
Definição 6.1.1. O grupo G = G1 × · · · × Gn é chamado de produto direto externo dos
grupos G1, . . . ,Gn.
O grupoG = G1×· · ·×Gn é abeliano se, e somente se, cadaG1, . . . , gn for abeliano.
Observação. Sejam G1 e G2 grupos com elementos neutros respectivamente e1 e e2,
temos que
(1) G1 × {e2} e {e1}×G2 são subgrupos de G.
(2) A aplicação f : G2 → {e1}×G2 dada por f(a) = (e1,a) é um isomorfismo.
(3) De modo análogo G1 ' G1 × {e2}.
SejamG1 eG2 grupos finitos. SeG1×G2 é cíclico com gerador (a,b), então o(a,b) =
mmc
(
o(a),o(b)
)
, uma vez que
(
(a,b)
)mmc(o(a),o(b))
= (e1, e2) e se
(
(a,b)
)k
= (e1, e2)
com 0 < k < mmc(o(a),o(b)), então ak = e1 e bk = e2, ou seja, o(a)|k e o(b)|k e, deste
modo, mmc(o(a),o(b))|k, o que é absurdopois k < mmc(o(a),o(b)).
Proposição 6.1.1. Sejam G1 e G2 grupos. Se o produto direto externo G1 ×G2 é cíclico, então
G1 e G2 são cíclicos.
Proposição 6.1.2. Sejam G1 e G2 grupos finitos, onde o(G1) = m e o(G2) = n. Se G1 e G2
são cíclicos e mdc(m,n) = 1, então o produto direto externo G1 ×G2 é cíclico.
18
6.1. PRODUTO DIRETO EXTERNO E INTERNO TG&G
Corolário 6.1.1. Sejam G1, . . . , Gn grupos finitos. O produto direto externo G1 × · · · × Gn
é cíclico se, e somente se, cada Gi é cíclico e as ordens de Gi e Gj são números primos entre si
para todo i 6= j.
Considere agora, G = G1 × Gn produto direto externo de n grupos. Para cada i ∈
{1, . . . , n} seja G̃i = {(e1, e2, . . . ,gi, . . . , en); gi ∈ Gi}, onde ej ∈ Gj para todo j = 1, . . .n
é o elemento neutro. Assim,
(1) G̃i para i = 1, . . .n é subgrupo normal de G.
(2) G̃i é isomorfo à Gi para todo i = 1, . . . ,n.
(3) G = G̃1 · · · G̃n.
(4) Todo elemento g ∈ G tem uma representação única g = g̃1 · · · g̃n, g̃i ∈ G̃i para
todo i = 1, . . . ,n.
Definição 6.1.2. Seja G um grupo e G1, . . . ,Gn subgrupos normais de G tais que
(1) G = G1 · · ·Gn.
(2) Se g ∈ G, então g = g1 · · ·gn com gi ∈ Gi para i = 1, . . . ,n é escrito de maneira
única.
Então, o grupo G é chamado de produto direto interno de G1, . . . , Gn.
Lema 6.1.1. Se Gi ∩ Gj = {e} para todo i, j ∈ {1, . . . , n} com i 6= j então gigj = gjgi para
todo gi ∈ Gi e gj ∈ Gj com i 6= j. (Aqui, cada Gi é normal no produto direto interno G).
Lema 6.1.2. Se Gi∩ (Gi+1 · · ·Gn) = {e} para todo i ∈ {1, . . . ,n} então gigj = gjgi para todo
gi ∈ Gi e gj ∈ Gj i 6= j.
Proposição 6.1.3. Se G = G1 · · ·Gn, são equivalente:
(1) Gi ∩ (G1 · · ·Gi−1Gi+1 · · ·Gn) = {e} para todo i.
(2) Gi ∩ (Gi+1 · · ·Gn) = {e} para todo i.
(3) Se g ∈ G, então g é escrito de maneira única como g = g1 · · ·gn, onde gi ∈ Gi para
todo i.
Corolário 6.1.2. Se G = G1 · · ·Gn é um produto direto interno, então Gi ∩ Gj = {e} para
todo i 6= j.
Se e é elemento neutro de G e G = G1 · · ·Gn, então:
(1) Gi ∩Gj = {e} para todo i 6= j.
(2) xy = yx para todo x ∈ Gi e todo y ∈ Gj, com i 6= j.
19
6.1. PRODUTO DIRETO EXTERNO E INTERNO TG&G
(3) gh = g1h1 · · ·gnhn onde g = g1 · · ·gn, h = h1 · · ·hn ∈ G.
Proposição 6.1.4. G é um produto direto interno de G1, . . . ,Gn se, e somente se,
(1) Para todo g ∈ G, escrevemos g = g1 · · ·gn de maneira única, com gi ∈ Gi para todo i.
(2) Para todo i 6= j, se x ∈ Gi e y ∈ Gj, então xy = yx.
Teorema 6.1.1. Se G é produto direto interno de G1, . . . , Gn e H = G1 × · · · × Gn, então
G ' H.
20
Capítulo 7
Teoremas de Sylow
7.1 Normalizador e Centralizador
Nessa seção consideramos G um grupo e apresentamos resultados sobre o normaliza-
dor e o centralizador de G e de suas aplicações. Um grupo G age sobre G de diversas
maneiras, ja vimos algumas nos capitulos anteriores, são os automorfismos internos e
as translações. As classes de conjugação de x ∈ G é definida por
Cl(x) = {gxg−1; g ∈ G}.
Além disso, x ∈ Z(G) se, e somente se, Cl(x) = {e}.
Proposição 7.1.1. Sejam G um grupo e a ∈ G. O conjunto NG(a) = {g ∈ G; ag = ga} é
um subgrupo de G.
Definição 7.1.1. O conjunto NG(a) é chamado de normalizador de a em G.
Observação. O centro de G é o subconjunto de G formado por todos os elementos que
comutam com todos os elementos de G, já o normalizador de um elemento de G, é o
conjunto formado pelos elementos de G que comutam com o dado elemento. Assim,
fica claro que Z(G) ⊆ NG(g) para todo g ∈ G.
Proposição 7.1.2. Seja H 6 G. O conjunto NG(H) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} é um
subgrupo de G.
Corolário 7.1.1. NG(H) é o menor subgrupo de G em que H é normal.
Definição 7.1.2. O subgrupo NG(H) de G é chamado normalizador de H em G.
Agora, se G é um grupo e g ∈ G, então {e} ⊂ Z(G) ⊆ NG(H) ⊆ G. Além disso,
NG(H) = G se, e somente se, g ∈ Z(G). Também, G é abeliano se, e somente se,
G = Z(G).
Proposição 7.1.3. Sejam G um grupo, H e K subgrupos de G tais que H, K ⊆ NG(H),
(1) HK é subgrupo de G.
21
7.2. TEOREMA DE CAUCHY TG&G
(2) HK ⊆ NG(H).
(3) HCHK.
(4) H ∩ KC K.
Definição 7.1.3. Sejam a, b ∈ G. Os elementos a e b são chamados de conjugados, se
existe um elemento g ∈ G, tal que a = gbg−1.
A relação de conjugação é de equivalência e uma classe de equivalência, chamada
de classe de conjugação de a ∈ G é definida por Cl(a) como anteriormente.
Teorema 7.1.1. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então |Cl(a)| =
∣∣∣∣ GNG(a)
∣∣∣∣ = [G : NG(a)].
Corolário 7.1.2. Se G é um grupo finito e a ∈ G, então
o(G) =
∑
a∈G
|Cl(a)| =
∑
a∈G
o(G)
o(NG(a))
.
Lema 7.1.1. Se a ∈ G, então a ∈ Z(G) se, e somente se, NG(a) = G.
Definição 7.1.4. Se p é um número primo. Um grupo G em que todo elemento tem
ordem uma potência de p, é chamado um p grupo.
Teorema 7.1.2. Se o(G) = pn, onde p é um número primo, e n ∈ Z+, então Z(G) 6= {e}.
Corolário 7.1.3. Se o(G) = p, com p primo, então G é abeliano.
Lembre-se. {
NG(a) 6 G
Z(G)CG
.
a ∈ Z(G)⇔ NG(a) = G.
Z(G) = G⇔ G é abeliano.
Proposição 7.1.4. Se
G
N(G)
é cíclico, então G = Z(G).
7.2 Teorema de Cauchy
Lema 7.2.1. Seja G um grupo finito. Se G não possui subgrupos não triviais, então G tem
ordem prima.
Teorema 7.2.1 (Cauchy para Grupos Abelianos). Sejam G um grupo finito ABELIANO e
p um número primo. Se p|o(G), então existe um elemento a ∈ G com a 6= e tal que ap = e.
Lema 7.2.2. Se G é um grupo finito e p um número primo tal que p|o(G). Se p - o(H), para
todo subgrupo H de G, então G é abeliano.
22
7.2. TEOREMA DE CAUCHY TG&G
Teorema 7.2.2 (Cauchy Geral). SejamG um gruopo finito e p um número primo. Se p|o(G),
então existe um elemento a ∈ G, com a 6= e tal que ap = e.
Proposição 7.2.1. Sejam G um grupo finito e p um número primo. Assim, o(G) = pn para
algum n ∈ N se, e somente se, para todo a ∈ G tem-se o(a) = pm para algumm ∈ N.
Lema 7.2.3. Seja G um grupo finito. Se todo elemento de G− {e} tem ordem 2, então G ' Zk2
para algum k ∈ N.
Proposição 7.2.2. Se G é um grupo finito tal que o(G) > 3, então G possui um automorfismo
não trivial.
Proposição 7.2.3. Se G é um grupo finito de ordem pn, p primo e n ∈ N. Então G possui um
subgrupo K de ordem pn−1.
Proposição 7.2.4. Se o(G) = pn, p primo e n ∈ N, então existe uma sequência {e} = G0 ⊆
G1 ⊆ . . . ⊆ Gn = G de subgrupos de G tais que o(Gi) = pi e Gi CGi+1 para todo i.
Proposição 7.2.5. Seja G um grupo de ordem pn. Se H é subgrupo de G de ordem pr com
r < n, então existe K 6 G tal que KC K e o(K) = pr+1. Em particular, H ⊆ NG(H).
23
Capítulo 8
Os Teoremas de Sylow
O primeiro nos dará existência, o segundo nos dirá que todo p-subgrupo de Sylow
de mesma é ordem é conjugado e o terceiro nos dirá quantos p-subgrupos de Sylow
existem para cada grupo.
Lema 8.0.1. Sejam G um grupo e HCG. Se K é subgrupo de
G
H
então K = {x ∈ G; xH ∈ K}
é subgrupo de G.
Existe uma versão do Primeiro Teorema de Sylow apenas para grupos abelianos,
mas como não facamos em demonstrações neste maaterial, não faz sentido enunciar-
mos ele aqui, visto que a única vantagem dessa versão mais específica é sua demons-
tração.
Teorema 8.0.1 (Primeiro Teorema de Sylow). Sejam G um grupo finito, n um número
inteiro positivo e p um número primo. Se pn|o(G), então G possui um subgrupo de ordem pn.
Corolário 8.0.1. Sejam G um grupo abeliano finito, p um número primo e n um inteiro posi-
tivo. Se pn|o(G) e pn+1 - o(G), então G possui um único subgrupo H tal que o(H) = pn.
Corolário 8.0.2. Se G é um grupo de ordem pn, p primo e n um inteiro positivo, então existe
u subgrupo H de G de ordem pn−1.
O corolário a seguir é a recíproca do Teorema de Lagrange para grupos abelianos.
Corolário 8.0.3. Seja G um grupo abeliano finito. Se m diuvide o(G), então G possui um
subgrupo de ordemm.
Definição 8.0.1. Sejam G um grupo finito, H e K subgrupos de G. Os subgrupos H e K
são chamados conjugados se existir um elmento g ∈ G tal que H = gKg−1.
Definição 8.0.2. Sejam G um grupo finito, H e K subgrupos de G, x,y ∈ G. Os elemen-
tos x e y são chamados conjugados em relação à H e K se existem a ∈ H e b ∈ K tal que
y = axb.
24
TG&GA relação dada anteriormente é de equivalência. A classe de equivalência de um
elemento g é dada por ḡ = {x ∈ G; ∃a ∈ H, ∃b ∈ K com x = agb} e é denotada por
ḡ = HgK e chamada classe dupla de H,K em G.
Deste modo, segue que G =
⊔
g∈G
HgK. Além disso, f : HgK → HgKg−1 dada por
f(agb) = agbg−1 com a ∈ H, b ∈ K é uma bijeção. Logo, #(HgK) = #(HgKg=1). Daí,
como H e gKg−1 são subgrupos de de G para todo g, segue que
|HgK| = o(HgKg−1) =
o(H)o(gKg−1)
H ∩ gKg−1
=
o(H)o(K)
o(H ∩ gKg−1)
.
Seja G um grupo e K subgrupo de G e g ∈ G. gKg−1 é subgrupo de G, além disso,
ϕ : K→ gKg−1 dada por ϕ(k) = gkg−1 é um isomorfismo de grupos.
Definição 8.0.3. SejamG um grupo finito, n ∈ N e p um número primo tal que pn|o(G)
e pn+1 - o(G),
(1) Os subgrupos deG cuja ordem é dada por potência de p são chamados p-subgrupos
de G.
(2) Os subgrupos H de G cuja ordem é pn, são chamados de p-subgrupos de Sylow
de G.
Teorema 8.0.2 (Segundo Teorema de Sylow). Se G é um grupo finito e p é um número
primo, então os p-subgrupos de Sylow de G são conjugados.
Observação
• Se p - o(G), então H = {e} é o único p-subgrupo de Sylow de G.
• SeH é p-subgrupo de Sylow e σ ∈ Aut(G), então σ(H) é um p-subgrupo de Sylow
de G. De fato, como o(H) = o(σ(H)) ⇒ σ(H) é um p-subgrupo de Sylow de G.
Finalmente, os p-subgrupos de Sylow de G obtidos dessa fora são p-subgrupos
de Sylow maximais de G.
Teorema 8.0.3. Sejam G um grupo finito e p um número primo. Se H é p-subgrupo de Sylow
de G e K um p-subgrupo de G, então K ⊂ gHg−1 para algum g ∈ G.
Ou seja, tomando um p-subgrupo de G devemos tê-lo contido em um dos conjuga-
dos dos p-subgrupos de Sylow de G.
Seja G um grupo e K 6 G. Seja C o conjunto dos subgrupos de G e T(C) o conjunto
de todos os homomorfismos de C em C. Seja ϕ : K → T(C) dado por ϕ(g) = Tg, com
g ∈ K e Tg : C → C dada por Tg(H) = gHg−1 com H ∈ C. Seja
TK(H) = {gHg
−1; g ∈ K}.
Os elementos de TK(H) são chamados K-conjugados de H. Além disso, TK(H) =
K ∩ TG(H). Em particular, se K = G, então ϕ : G → T(C) dada por ϕ(g) = Tg com
Tg : C → C dada por Tg(H) = gHg−1, com H 6 G. Além disso,
o(TG(H)) = [G : NG(H)]
25
TG&G
segue então que H ⊆ NG(H)⇒ HCNG(H).
Observação. Sejam G um grupo e H 6 G. O número de conjugados distintos de H é
o índice de NG(H) em G. Assim, o número de p-subgrupos de Sylow de G é igual à
o(G)
o(NG(H))
com H o p-subgrupo de Sylow de G.
Lema 8.0.2. Seja G um grupo e H 6 G. Se g ∈ NG(H) é tal que g 6∈ H, então HC 〈g〉H.
Proposição 8.0.1. Sejam G um grupo finito e p um primo. Se H é um p-subgrupo de Sylow
de G e K um p-subgrupo de G, então K ∩NG(H) = K ∩H.
Proposição 8.0.2. Sejam G um grupo e p um primo. O número de p-subgrupos de Sylow de
G é
o(G)
o(NG(H))
, H p-subgrupo de Sylow de G.
Corolário 8.0.4. Sejam G um grupo finito e p um primo. O número de p-subgrupos de Sylow
de G é um divisor de o(G).
Teorema 8.0.4 (Terceiro Teorema de Sylow). Sejam G um grupo finito e p um primo. O
número de p-subgrupos de Sylow de G é da forma kp+ 1, com k ∈ N.
Proposição 8.0.3. Sejam G um grupo finito e p um número primo. Sejam H um p-subgrupo
de Sylow de G e K um subgrupo de G tal que NG(H) ⊆ K, temos
(1) NG(H) = K. Em particular, NG
(
NG(H)
)
= NG(H).
(2) [G : K] ≡ 1 (mod p).
Proposição 8.0.4. Se G é um grupo abeliano finito, então G é o produto interno de seus p-
subgrupos de Sylow, e portanto, G é isomorfo ao produto direto externo de seus p-subgrupos de
Sylow.
Corolário 8.0.5. Se G é um grupo finito tal que G tem um único p-subgrupo de Sylow para
cada p, então G é o produto direto interno de seus p-subgrupos de Sylow.
Corolário 8.0.6. Se G é um grupo abeliano finito, então existe uma sequência de grupos
{e} = G0 ⊆ G1 ⊆ · · · ⊆ Gn = G
tal que Gi CGi+1 e
Gi+1
Gi
é um grupo abeliano para todo i.
Corolário 8.0.7. G grupo finito e HCG tal que
G
H
é abeliano Então existe uma sequência
{e} = G0 ⊆ G1 ⊆ · · · ⊆ Gn = G
tal que Gi CGi+1 e
Gi+1
Gi
é um grupo abeliano para todo i.
26
Capítulo 9
Grupos Solúveis
9.1 Sequência Subnormal
SeG não é um grupo simples, então existe um subgrupo normalH deG. Assim, temos
a sequência
{e}CHCG.
Se H e
G
H
não são grupos simples, então existem subgrupos K ⊆ H e H ⊆ L tais que
{e}C KCHC LCG.
Definição 9.1.1. Uma sequência subnormal de um grupo G é um sequência de grupos
{e} = G0 CG1 C · · ·CGn = G.
Os grupos Gi na definição acima são chaamdos de termos e os quocientes
Gi+1
Gi
são
grupos.
Como subgrupos podem ser repetidos, segue que alguns grupos quocientes podem
ser triviais. O comprimento de uma sequência subnormal é o número de inclusões es-
tritas, ou seja, o número de grupos quocientes não triviais. Um refinamento é chamado
próprio se podemos inseir na sequência um subgrupo disitinto dos que já existem. Uma
sequência subnormal é uma sequência de composição se não adimite refinamentos pró-
prios. Duas sequências subnormais {e}C· · ·CG e {e}C· · ·CH são chamadas equivalentes
se existe uma biijeção entre os grupos quociente não triviais de uma sequência com os
da outra tal que os grupos correspondentes são isomorfos. Neste caso, duas sequências
subnormais equiavalente têm o mesmo comprimento.
Lema 9.1.1. Se G 6= {e} é um grupo finito, então existe um subgrupo G1 de G tal que G1 6= G,
G1 CG e é maximal, ou seja, G1 ⊂ H ⊆ G⇒ H = G1.
Proposição 9.1.1. Se G 6= {e} é um grupo finito. Então G adimite sequência subnormal.
27
9.2. GRUPOS SOLÚVEIS TG&G
9.2 Grupos Solúveis
Definição 9.2.1. um grupo G é chamado de solúvel se existe uma sequência
{e} = G0 CG1 C · · ·CGn = G
de subgrupos tais que
Gi+1
Gi
é um grupo abeliano para todo i.
Proposição 9.2.1. Sejam G um grupo e H ⊆ G um subgrupo. Se G é solúvel, então H é
solúvel.
Proposição 9.2.2. Se G é um grupo solúvel e H ⊆ G é um subgrupo normal, então G
H
é um
grupo solúvel.
Proposição 9.2.3. Sejam G um grupo e HCG. Se H e
G
H
são solúveis, então G é solúvel.
Corolário 9.2.1. Todo p-grupo finito é solúvel.
Proposição 9.2.4. Imagem homomorfa de grupo solúvel é solúvel.
Lema 9.2.1. Seja G um grupo finito. Se G não possui subgrupos não triviais, então G tem
ordem prima.
Proposição 9.2.5. Um grupo solúvel é simples se, e somente se, G é cíclico de ordem prima.
Proposição 9.2.6. Um grupo finito G é solúvel se, e somente se, existe uma sequência {e} =
G0 CG1 C · · ·CGn = G com
Gi+1
Gi
é cíclico de ordem prima.
9.3 Subgrupos Derivados
Seja G um grupo e S ⊆ G um subcionjunto não vazio. O conjunto
〈S〉 = {am1i1 · · ·a
mr
ir
; r ∈ N, aij ∈ S emj ∈ Z}
é um subgrupo de G. O subgrupo 〈S〉 também pode ser escrito como:
〈S〉 = {x1 · · · xn; x1, . . . , xn ∈ S}
e também como:
〈S〉
⋂
i
{Hi; S ⊆ Hi e Hi 6 G, ∀i}.
Se a,b ∈ G, o comutador de a e b é definido por [a,b] = aba−1b−1. SeH e K são dois
subconuntos não vazios de G e S = {aba−1b−1; a ∈ H e b ∈ K}, então [H,K] = 〈S〉 é um
subgrupo de G. Além disso, um elemento x ∈ [H,K] é escrito como x = x1 · · · xn, onde
xi = aibia
−1
i b
−1
i , ai ∈ H e bi ∈ K. Agora, se S = {[a,b]; a,b ∈ G}, então
G(1) = [G,G] = 〈S〉
então
28
9.4. GRUPOS NILPOTENTES TG&G
(1) G(1) 6= ∅, já que e ∈ G(1).
(2) [a,b] = {aba−1b−1; a,b ∈ G} não é subgrupo deG, pois a operação não é fechada.
(3) G(1) = 〈[a,b]〉 ⊆ G.
(4) G(1) CG.
(5) O grupo
G
G(1)
é abeliano.
(6) O grupo G é abeliano se, e somente se, G(1) = {e}.
(7) Se H ⊆ G são grupos de G, então H(1) ⊆ G(1).
(8) Seja H C G. Assim,
G
H
é abeliano se, e somente se, G(1) ⊆ H, ou seja, G(1) é o
menor subgrupo normal de G tal que o grupo quociente é abeliano.
Definição 9.3.1. O subgrupoG(1) deG é chamado subgrupo dos comutadores ou subgrupo
derivado de G.
Agora, definimosG(0) = G, G(1) = G ′, G(2) = (G(1)) ′ eG(i) = (G(i−1)) ′ = {aba−1b−1; a,b ∈
Gi−1} para i > 1. Assim,
(1) Se
G
H
é abeliano, então G(1) ⊆ H.
(2) Além disso, G(2) CG(1) CG e G(2) CG. Em geral, G(i) CG para todo i.
Definição 9.3.2. O grupo G(n) é chamado de n-ésimo grupo derivado de G.
Com isso,
(1) G = G(0) ⊃ S(1) ⊃ G(2) ⊃ · · · .
(2) G(2) CG(1) CG e G(2) CG.
(3) Em geral, G(n) CG(n−1) C · · ·CG(1) CG e G(n) CG.
Proposição 9.3.1. Um grupo G ésolúvel se, e somente se, G(k) = {e} para algum k > 0.
9.4 Grupos Nilpotentes
A classe dos grupos nilpotentes está entre a classe dos grupos abelianos e a classe dos
grupos solúveis. Sejam G um grupo, G(0) = G, G(1) = G(1) e G(i) = 〈aba−1b−1; a ∈
G e b ∈ G(i−1), para i > 0. Assim, G(i) ⊃ G(i−1) para todo i > 0 e, desse modo,
G ⊃ G(1) ⊃ G(2) ⊃ · · · ⊃ G(n) ⊃ · · · . Além disso,
(1) G(i) CG(i−1) para todo i > 0.
29
9.4. GRUPOS NILPOTENTES TG&G
(2) G(i) ⊆ G(i), para todo i > 0.
Definição 9.4.1. Um grupo G é chamado nilpotente se G(k) = {e} para algum k > 0.
Definição 9.4.2. Uma sequência de subgrupos {e} = G0 C G1 C · · · C Gn = G tal que
cada
Gi
Gi−1
⊆ Z
(
G
Gi−1
)
para todo i é chamada sequência central de G.
Proposição 9.4.1. Se G é um grupo nilpotente, então G é um grupo solúvel.
Pela definição segue que o conceito de grupos nilpotentes é mais restrita em relação
aos grupos solúveis, uma vez que os grupos cíclicos estão contidos nos grupos abeli-
anos, que por sua vez, estão contidos nos grupos nilpotentes, que por sua vez, estão
contidos nos grupos solúveis:
Gcic Gabel Gnil Gsol.
30
Capítulo 10
Grupos Finitamente Gerados
10.1 Grupos Abelianos Finitos
Proposição 10.1.1. Se x e y são dois elementos de ordens distintas de um grupo abeliano G, e
se mdc(o(x),o(y)) = 1, então o(x)o(y) = o(xy).
Corolário 10.1.1. Sejam x1, . . . , xn elementos distintos de ordens finitas de um grupo abeliano
G. Se mdc(o(x1), . . . ,o(xn)) = 1, então o(x1 · · · xn) = o(x1) · · ·o(xn)
Proposição 10.1.2. Se x é um elemento de ordem finita n de um grupo abeliano G e se d é um
divisor positivo de n, então existe em G um elemento de ordem d.
Proposição 10.1.3. Se x e y são dois elementos de ordens finitas m e n, respectivamente, de
um grupo abeliano G, então existe em G um elemento de ordem mmc(m,n).
Proposição 10.1.4. Seja G é um grupo abeliano, onde todo elemento de G tem ordem finita. Se
n é a ordem máxima dos elementos de G, então a ordem de qualquer elemento de G divide n
10.2 Decomposição de Grupos Abelianos Finitos
Proposição 10.2.1. Sem ∈ N então H = {g ∈ G; o(g) = m} é um subgrupo de G.
Como o(g)|m se, e somente se, gm = e, então segue que H = {g ∈ G; gm = e}.
Proposição 10.2.2. Se n =
n∏
i=1
peii > 1, em que cada pi é um número primo, então existe um
isomorfismo:
ϕ : Zn →
n∏
i=1
Zpeii .
Teorema 10.2.1. Sejamm1, . . . ,mr números inteiros maiores que zero, onde mdc(mi,mj) =
1 para tod i, j ∈ {1, . . . , r}. Sejam b1, . . . ,br respectivamente soluções das congruências
m
mj
≡
31
10.2. DECOMPOSIÇÃO DE GRUPOS ABELIANOS FINITOS TG&G
1 (mod mj) para j = 1, . . . , r. Sem = m1 · · ·mr, então o sistema:
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
...
x ≡ ar (mod mr)
admite soluções quaisquer a1, . . . ,ar ∈ Z e a solução geral x é dada por:
x ≡ a1b1
(
m
m1
)
+ a2b2
(
m
m2
)
+ · · ·+ arbr
(
m
mr
)
(mod m).
Proposição 10.2.3. Sejam o(g) = mn e mdc(m,n) = 1. Se H = {g ∈ G; o(g)|m} e
K = {g ∈ G; o(g)|n} então G ' H× K.
Sejam n ∈ N e G(n) = {o(g) = nr para algum r ∈ N}, temos o seguinte lema:
Lema 10.2.1. Se p é um número primo, então G(p) = {g ∈ G; gpr , para algum r ∈ N}.
Proposição 10.2.4. G(p) é subgrupo de G.
Corolário 10.2.1. o(G(p)) = pn para algum n ∈ N.
Proposição 10.2.5. Sejam p e q primos:
(1) G(p) 6= e se, e somente se, p|o(G).
(2) Se p 6= q então G(p) ∩G(q) = {e}.
(3) Se o(G) = pn para algum n ∈ N, então G(p) = G.
(4) Se G ' H, então G(p) ' H(p).
(5) Se G ' H× K, então G(p) ' H(p)× K(p).
Corolário 10.2.2. Se G1 ×G2 × · · ·Gn, então G(p) = G1(p)× · · · ×Gn(p).
Agora, seja o(G) = pα11 · · ·pαnn , fatoração de o(G), temos:
(1) G não possui elemento de ordem pαi onde α > αi para todo i.
(2) Pelo itme 1, g(pi) ⊆ {g ∈ G; g
p
αi
i
i = e}.
(3) Como {g ∈ G; gp
αi
i = e} ⊆ G(pi) segue que G(pi) = {g ∈ G; gp
αi
i }.
Agora, veremos o principal resultado dessa seção, o Teorema da Decomposição
Primária, que recebe esse nome devido ao fato de cada grupo G(p) se denominado
componente primária de G.
32
10.3. GRUPOS ABELIANOS LIVRES
FINITAMENTE GERADOS TG&G
Lema 10.2.2. Sen = pαii · · ·pαrr , fatoração den. Seni =
n
pαii
para todo i, então mdc(n1, . . . ,nr) =
1.
Teorema 10.2.2 (Da Decomposição Primária). Se o(G) = n com n = pα11 · · ·p
αk
k , então:
G = G(p1)× · · · ×G(pk).
Corolário 10.2.3. o(G(pi)) = pα
i
i
Teorema 10.2.3 (Unicidade da Decomposição Primária). Seja G um grupo abeliano tal
que o(G) = n, onde n = pα11 · · ·pα+kk . Se G = H1 × · · · × Hl onde o(Hi) = q
βi
i para todo
i ∈ {1, . . . , l}, então k = l, e G(pi) = Hi para todo i ∈ {1, . . . ,k} a menos de reordenação dos
primos.
10.3 Grupos Abelianos Livres
Finitamente Gerados
Seja G um grupo abeliano. Se g ∈ G e n ∈ Z, então gn ∈ G. Assim, G pode ser visto
como um Z-módulo. POr conveniência, nesta seção, usaremos a notação aditiva para
o grupo G.
Definição 10.3.1. Um grupo abeliano G é chamado finitamente gerado se G possui um
conjunto finito de geradores, isto é, G = 〈S〉 para algum conjunto finito S ⊂ G.
Pela definição anterior, segue que se um grupo G é finitamente gerado, então exis-
tem elementos g1, . . . ,gn ∈ G tais queG = 〈g1 · · ·gn〉, ou seja, para todo g ∈ G, existem
aa, . . . ,an ∈ Z tal que g = a1g1 + · · ·+angn. Os elementos g1, . . . ,gn são chamados de
geradores de G.
Definição 10.3.2. Um grupo abeliano G é chamado grupo abeliano livre finitamente ge-
rado, ou grupo abeliano livre de posto finito, se o grupo G admite uma Z-base finita, isto
é, se existirem g1, . . . ,gn ∈ G tais que, todo g ∈ G é escrito de modo único como
g = a1g1 + . . .angn, onde ai ∈ Z para todo i.
Sejam a,g ∈ Z. A aplicaçãoϕ : Z→ gZ
agZ
definida porϕ(x) = gx+agZ é um homo-
morfismo sobrejetor, once ker(ϕ) = aZ. Portanto,
Z
aZ
' gZ
agZ
. Agora, se g1, . . . ,gn ∈ Z,
então a aplicação:
ϕ : g1Z⊕ · · · ⊕ gnZ→
g1Z
ag1Z
⊕ · · · ⊕ gnZ
agnZ
definida por ϕ(a1g1 + · · · + angn) = (a1g1 + ag1Z) + · · · + (angn + agnZ) é um epi-
morfismo com ker(Z) = aZ⊕ · · · ⊕ aZ. Portanto,
g1Z⊕ · · · ⊕ gnZ
aZ⊕ · · · ⊕ aZ
' g1Z
ag1Z
⊕ · · · ⊕ gnZ
agnZ
' Z
aZ
⊕ · · · ⊕ Z
aZ
' Za ⊕ · · · ⊕ Za.
33
10.4. DECOMPOSIÇÕES DE GRUPOS ABELIANOS
FINITAMENTE GERADOS TG&G
Proposição 10.3.1. Seja G um grupo abeliano livre finitamente gerado. Se {g1, . . . ,gn} e
{h1, . . . ,hm} são duas bases de G, entãom = n.
Definição 10.3.3. Seja G um grupo abeliano livre finitamente gerado. A cardinalidade
de uma base de G é chamada de posto de G, e denotada por rank(G).
Lema 10.3.1. Seja G um grupo cíclico. Se H é um subgrupo de G, então H é cíclico.
Sejam G um grupo abeliano finitamente gerado livre de posto n e H 6= {0} um sub-
grupo de G. Sejam {Aα}α∈Λ o conjunto de todas as bases de G e Aα = {aα,1, . . . ,aα,n}
uma base de G. Se v ∈ H, então existem únicos inteiros {cv,α,1, . . . , cv,α,n} tal que
v = cv,α,1aα,1 + · · · + cv,α,naα,n. Seja S = {cv,α,i; v ∈ H, α ∈ Λ, para i = 1, . . . ,n}.
Como H 6= {0} e λ 6= ∅, segue que S 6= {0} e que S possui um menor elemento inteiro
positivo c1 uma vez que se v ∈ H então −v ∈ H. Assim, existe {a1, . . . ,an} uma base de
G e v1 ∈ H tal que c1 é um dos coeficientes de v1 nesta base. Sem perda de generalidade,
supomos que c1 é o primeiro coeficiente, i.e., v1 = c1a1 + k2 + . . . + nnan para alguns
k2, . . . ,kn ∈ Z. Dividindo kj por c1 segue que existem inteiros qj, rj tal que kj = c1qj+rj
com 0 6 rj < c1 para j = 2, . . . ,n. Assim, v1 = c1a1+(c1q2+r2)a2+· · ·+(c1qn+rn)an =
c1(a1+q2a2+ · · ·+qnan)+r2a2+ · · ·+rnan e deste modo, v1 = c1u1+r2a2+ · · ·+rnan,
onde u = a1 + q2a2 + · · ·+ qnan.
Lema 10.3.2. O conjunto {u1,a1 . . . ,an} é uma base para G.
Lema 10.3.3. r2 = r3 = · · · = rn = 0 e v1 = c1u1.
Teorema 10.3.1. Sejam G um grupo abeliano livre de posto n e H um subgrupo de G
(1) H é um grupo abeliano livre de postom 6 n.
(2) Existem uma base {u1,u2, . . . ,un} de G e inteiros positivos c1, c2, . . . , cm ∈ N tal que
ci|ci+1 para todo i, de modo que {c1u1, c2u2, . . . , cmum} é uma base de H.
Lema 10.3.4. O conjunto {u1, . . . ,um} é uma base de H.
Lema 10.3.5. O conjunto {c1u1,. . . , cmum} é uma base para H.
Lema 10.3.6. c1|c2.
10.4 Decomposições de Grupos Abelianos
Finitamente Gerados
Sejam G um grupo abeliano e T(G) = {g ∈ G; g tem ordem finita}. O conjunto T(G) é
um subgrupo de G chamado de torção. Além disso, se T(G) = G, então o grupo G é
chamado grupo de torção.
Lema 10.4.1. Se G é um grupo abeliano finitamente gerado, então G é imagem homomorfa de
um grupo L abeliano livre finitamente gerado.
34
10.4. DECOMPOSIÇÕES DE GRUPOS ABELIANOS
FINITAMENTE GERADOS TG&G
Teorema 10.4.1 (Decomposição de Torção de Grupos Abelianos Finitamente Gerados).
Se G é um grupo abeliano finitamente gerado com o(G) > 1, então
(1) G = H1 ⊕ · · · ⊕ Hm ⊕ K, onde cada Hi são subgrupos cíclicos finitos de G de ordens
maiores que 1 tal que o(Hi)|o(Hi+1) para todo i e K é um subgrupo livre de G.
(2) O subgrupo H1 ⊕ · · ·Hm é o subgrupo de torção de G, ou seja, T(G) = H1 ⊕ · · · ⊕Hm.
Corolário 10.4.1. Se G ' Zm1 ⊕ · · · ⊕ Zmr ⊕ Zk e G ' Zn1 ⊕ · · · ⊕ Zns ⊕ Zl, onde mi|mj
e ni|nj para i < j, então k = l.
Definição 10.4.1. O número rank(K) é chamado de posto deK e os números o(H1), . . . ,o(Hr)
são chamados de coeficientes de torção de G.
Se G é um grupo abeliano finitamente gerado, então G = T(G) ⊕ K, onde T(G) é
determinado de modo único. Mas K não é determinado de modo único. Além disso,
um grupoG é um grupo abelaino finitamente gerado se, e somente se, G é um produto
direto interno de um grupo abeliano finito com um grupo abeliano livre de posto finito.
Lema 10.4.2. Sem = pk11 · · ·pknn onde p1, . . . ,pn são números primos distintos e ki > 1 então
Zm ' Zpk11 ⊕ · · · ⊕ Zpkmn .
Teorema 10.4.2 (Decomposição Primária de Grupos Abelianos Finitamente Gerados).
Se G é um grupo finitamente gerado, então
(1) G =M1⊕ · · · ⊕Mm⊕K ondeM1, . . . ,Mm são grupos cíclicos de G de ordens iguais a
potências de primos e K é um subgrupo livre de G.
(2) T(G) =M1 ⊕ · · · ⊕Mm.
Pelos resultados anteirores, segue que todo grupo abeliano finito, onde o(G) >
1pode ser representado de modo único, a menos da ordem das parcelas, como a soma
direta de uma família finita de p-subgrupos não nulos de G. Agora, faremos a decom-
posição de p-grupos finitos como uma soma de grupos cíclicos.
Teorema 10.4.3 (Teorema de Decomposição de p-grupos Finitos). Se G é um p-grupo
finito tal que o(G) > 1, então G é uma soma direta de uma família de subgrupos cíclicos.
Agora, vamos mostrar que todas as decomposições de um p-grupo abeliano finito
em uma soma direta de subgrupos cíclicos tem o mesmo número de subgrupos a me-
nos de uma reordenação, os subgrupos cíclicos correspondentes em cada decomposi-
ção tem a mesma ordem.
Lema 10.4.3. Se H = 〈g〉, com g 6= e é um grupo cíclico de ordem ps, então o conjunto
H1 = {g ∈ H; pg = 0}
é um subgrupo de ordem p.
35
10.4. DECOMPOSIÇÕES DE GRUPOS ABELIANOS
FINITAMENTE GERADOS TG&G
Proposição 10.4.1. Na decomposição do Teorema da Decomposição Primária de Grupos Abe-
lianos Finitamente Gerados, segue que rank(K), o(Mi) são determinados de modo único, ou
seja, seG =M1⊕· · ·⊕Mm⊕K eG = N1⊕· · ·⊕Nn⊕L, então n = m, rank(K) = rank(L)
e o(Mi) = o(Ni) para todo i.
Proposição 10.4.2. O teorema anterior também vale para o Teorema da Decomposição de Tor-
ção de Grupos Abelianos Finitamente Gerados.
O próximo teorema mostra que todo grupo abeliano finito não nulo se decompõe
como a soma direta de uma família de p-subgrupos cíclicos não nulos, onde a unici-
dade é a menos de isomorfismo.
Teorema 10.4.4 (Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos). SeG é um grupo
finito abeliano, onde o(G) > 1, então é uma soma direta de uma família {Mi}ni=1 de p-subgrupos
cíclicos não nulos e o número destes subgrupos e suas ordens são determinados de modo único
pelo grupo G.
36