Elemat(Lista 5) (2013)

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Turma: Elemat
Lista 5
Teorema do Valor Intermedia´rio(TVI)
Vimos em sala de aula que f : D → R e´ cont´ınua em x = c ∈ D SE lim
x→c
f(x) = f(c).
Ale´m disso, se f : D → R e´ cont´ınua em todos os pontos de D, enta˜o dizemos simplesmente que f : D → R e´ cont´ınua!
[EXEMPLO 1] TODO polinoˆmio e´ cont´ınuo! De fato, Seja P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anx
n um polinoˆmio de grau n.
Note inicialmente que, dado c ∈ R temos que P (c) = a0 + a1c+ a2c
2 + · · ·+ anc
n. Ale´m disso,
lim
x→c
P (x) = lim
x→c
(
a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anx
n
)
= a0 + a1c+ a2c
2 + · · ·+ anc
n = P (c).
Isso mostra que lim
x→c
P (x) = P (c). Portanto P (x) e´ cont´ınuo em x = c. Como o c ∈ R foi arbitra´rio (gene´rico) temos que P (x)
e´ cont´ınuo em TODOS os pontos de R!
OBS: O significado intuitivo de continuidade e´ voceˆ imaginar que o gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua f(x) NA˜O POSSUI SALTOS!
Agora uma aplicac¸a˜o importante das func¸o˜es cont´ınuas!
[TVI] Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua. Para todo nu´mero d entre f(a) e f(b), existe xd ∈ (a, b) tal que f(xd) = d.
[Traduc¸a˜o do TVI] O que o TVI quer dizer e´: Sempre que voceˆ conhecer dois valores da imagem de uma func¸a˜o (por exemplo
f(a) e f(b)), enta˜o para QUALQUER valor d que esta´ entre f(a) e f(b) (por exemplo f(a) < d < f(b)), existe um sujeito xd
que esta´ no domı´no da func¸a˜o tal que f(xd) e´ igual ao valor escolhido d. Isto e´ f(xd) = d.
[Traduc¸a˜o Alternativa do TVI] O que o TVI quer dizer e´: Considere a reta horizontal y = d. Se voceˆ sabe que um ponto
A = (a, f(a)) esta´ abaixo da reta y = d e um outro ponto B = (b, f(b)) esta´ acima da reta y = d, enta˜o o gra´fico y = f(x)
corta a reta y = d.
[EXERCI´CIOS] Em relac¸a˜o as func¸o˜es cont´ınuas e suas propriedades, fac¸a os itens a seguir.
a) Considere P (x) = x5− 10x+4.Mostre que existe xo ∈ R tal que P (xo) = 1. Ou seja, mostre que 1 esta´ na imagem de P (x).
b) Existe um nu´mero negativo d tal que 2d = d2.Dica: Defina f(x) = 2x − x2 e mostre que esta func¸a˜o possui uma raiz negativa!
c) Existe um aˆngulo θ do primeiro quadrante tal que cos θ = θ Dica: defina f(x) = cos(x)− x e mostre que esta func¸a˜o possui uma raiz!
d) Existe um aˆngulo θ 6= 0 do primeiro quadrante tal que sin θ = θ Defina f(x) = sin(x)− x e mostre que esta func¸a˜o possui uma raiz!
e) O polinoˆmio p(x) = x7 + x5 + x3 + x+ 1 possui uma raiz no intervalo [−1, 0]?
f) Existe um nu´mero xo tal que x
7
o + x
5
o + x
3
o + xo + 1 = pi?
Soluc¸a˜o da letra a):
Roteiro da soluc¸a˜o: Como sabemos que P (x) e´ cont´ınuo, basta mostrar que em algum momento P (x) e´ maior que pi e que em um outro momento
P (x) e´ menor que pi.
Note que
{
P (0) = 4 > pi
P (1) = −5 < pi.
Ou seja P (1) < pi < P (0). Portanto, pelo TVI, temos que existe xd ∈ (0, 1) tal que P (xd) = pi.