Exercícios Resolvidos - Seção 2.5 - Livro Stewart

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Prezadas(os) alunas(os) nesse material tem soluções de alguns exerćıcios
do livro do Stewart. Sugerimos que você só leia a resolução de um exerćıcio
após tentar resolvê-lo para comparar a sua solução com a do professor. Ma-
temática só se aprende com tentativa e erro. Não basta apenas ler o texto.
Exerćıcios seção 2.5
1) Se f é uma função cont́ınua em (−∞,∞), o que você pode dizer sobre seu
gráfico?
Solução: Significa que podemos desenhar seu gráfico sem tirar o lápis do
papel.
2) Observe o gráfico de g e identifique os intervalos nos quais g é cont́ınua.
Solução: Observando o gráfico de g conclúımos que seu domı́nio é [−4, 4)∪
(4, 8). Da solução do exerćıcio anterior obtemos que g é cont́ınua nos seguin-
tes intervalos: [−4,−2), (−2, 2), (2, 4), (4, 6) e (6, 8), pois nesses intervalos
não temos ’quebra’ no gráfico. Observação: lembre-se da convenção para a
notação de intervalo. Se o extremo for fechado com [ então aquele ponto per-
tence ao intervalo. Caso o extremo seja fechado com ) o ponto não pertence
ao intervalo. Logo, os pontos nos quais precisamos verificar a continuidade
usando a definição são −2, 2, 4, 6 e 8.
Analisando cada ponto.
a) ponto−2. Para que g seja cont́ınua em−2 é necessário que limx→−2 g(x) =
g(−2). (Observando o gráfico de g vemos que limx→−2+ g(x) 6= limx→−2− g(x)).
Logo, limx→−2 g(x) não existe, porque os limites laterais são diferentes.
Portanto, g não é cont́ınua em −2.
1
b) ponto 2. Para que g seja cont́ınua em 2 é necessário que limx→2 g(x) =
g(2). Observando o gráfico de g vemos que limx→2+ g(x) 6= limx→2− g(x).
Logo, limx→2 g(x) não existe, porque os limites laterais são diferentes.
Portanto, g não é cont́ınua em 2.
c) ponto 4. No ponto 4 a função g não está definida. Logo, limx→4 g(x) 6=
g(4). Portanto, g não é cont́ınua em 4.
d) ponto 6. Para que g seja cont́ınua em 6 é necessário que limx→6 g(x) =
g(6). Observando o gráfico de g vemos que limx→6+ g(x) 6= limx→6− g(x).
Logo, limx→6 g(x) não existe porque os limites laterais são diferentes. Por-
tanto, g não é cont́ınua em 6.
e) ponto 8. No ponto 8 a função g não está definida. Logo, limx→8 g(x) 6=
g(8). Portanto, g não é cont́ınua em 8.
3) Esboce o gráfico de uma função que seja cont́ınua em todos os pontos do
domı́nio exceto em −1 e 4, porém cont́ınua à esquerda em −1 e à direita em
4.
Solução: A solução desse exerćıcio não é única, basta que a função satisfaça
o que é pedido no enunciado. Uma possibilidade para f é dada no gráfico
abaixo.
x
y
−1 4
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para
demonstrar que a função é cont́ınua em um dado ponto a.
2
4) f(x) = x2 +
√
7− x, em a = 4.
Solução: Para que f seja cont́ınua em 4, pela definição, é necessário que
limx→4 f(x) = f(4). Calculando f(4),
f(4) = 42 +
√
7− 4
f(4) = 16 +
√
3
Calculando limx→4 f(x): pela propriedade 9 de limite da seção 2.3 temos
que limx→4 x
2 = 16. Da propriedade 11 de limite da seção 2.3 temos que
limx→4
√
7− x =
√
3. Logo, da propriedade 1 de limite da seção 2.3 segue
que limx→4 x
2 +
√
7− x = limx→4 x2 + limx→4
√
7− x = 16 +
√
3. Portanto,
limx→4 x
2 +
√
7− x = 16 +
√
3 = f(4) e f é cont́ınua em 4.
5) h(t) =
2t− 3t2
1 + t3
em a = 1.
Solução: Para que h seja cont́ınua em 1, pela definição, é necessário que
limt→1 h(t) = h(1). Calculando h(1),
h(1) =
2 · 1− 3 · 12
1 + 13
h(1) = −1
2
Como limt→1 1 + t
3 = 2 temos que limt→1 1 + t
3 6= 0. Logo, podemos usar
a propriedade 5 de limite da seção 2.3 e limt→1
2t− 3t2
1 + t3
=
limt→1 2t− 3t2
limt→1 1 + t3
=
−1
2
. Portanto, limt→1
2t− 3t2
1 + t3
= −1
2
= h(1) e h é cont́ınua em 1.
6) Use a definição de continuidade e propriedades de limite para mostrar que
g(x) = 2
√
3− x é cont́ınua em (−∞, 3].
Solução: Seja a um número real tal que a ∈ (−∞, 3). Para que g seja
cont́ınua em a, pela definição, é necessário que limx→a g(x) = g(a). Das
propriedades 1 e 11 de limite da seção 2.3 temos que limx→a 2
√
3− x =
2
√
3− a = g(a). Também temos que limx→3− 2
√
3− x = 0 = g(0). Portanto,
g é cont́ınua em (−∞, 3].
Explique por que a função é descont́ınua no número dado a.
7) f(x) =
{ 1
x+ 2
se x 6= −2
1 se x = −2
a = −2
3
Solução: Para que f seja cont́ınua em −2, pela definição, é necessário que
limx→−2 f(x) = f(−2). Essa é uma função definida por partes: para valores
de x diferentes de −2 usamos a seguinte regra f(x) = 1
x+ 2
para calcular
f . Quando calculamos limite, em um ponto estamos olhando para valores no
domı́nio próximos desse ponto, porém não olhamos para o valor da função no
ponto. Por isso, temos que limx→−2+
1
x+ 2
= ∞ e limx→−2−
1
x+ 2
= −∞.
Como os limites laterais não existem, então limx→−2 f(x) não existe. Logo,
f é descont́ınua em −2.
8) f(x) =
 x
2 − x
x2 − 1
se x 6= 1
1 se x = 1
a = 1
Solução: Para que f seja cont́ınua em 1, pela definição, é necessário que
limx→1 f(x) = f(1). Essa é uma função definida por partes: para valores de
x diferentes de 1 usamos a seguinte regra f(x) =
x2 − x
x2 − 1
. Quando calcula-
mos limite em um ponto estamos olhando para valores no domı́nio próximos
desse ponto, porém não olhamos para o valor da função no ponto. Por isso,
temos que limx→1+
x2 − x
x2 − 1
= limx→1+
x(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)
= limx→1+
x
x+ 1
=
1
2
e
limx→1−
x2 − x
x2 − 1
= limx→1−
x(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)
=
limx→1−
x
x+ 1
=
1
2
. Como limx→1+
x2 − x
x2 − 1
=
1
2
= limx→1−
x2 − x
x2 − 1
temos que
limx→1+
x2 − x
x2 − 1
=
1
2
. Do fato que limx→1+
x2−x
x2−1 =
1
2
6= 1 = f(1) temos que f
é descont́ınua em 1.
9) Como você ”removeria a descontinuidade de f”? Em outras palavras,
como você definiria f(2) no intuito de fazer f cont́ınua em 2 sendo
f(x) =
x3 − 8
x2 − 4
.
Solução: Para que f seja cont́ınua em 2, pela definição, é necessário que
limx→2 f(x) = f(2). Primeiro vamos fatorar o numerador x
3 − 8. Note que
2 anula x3 − 8 (Observação: seja a um número real e p(x) um polinômio.
Se p(a)=0 temos que p(x) é diviśıvel por pelo polinômio x − a). Logo, o
polinômio x3−8 é diviśıvel pelo polinômio x−2. Abaixo efetuamos a divisão
4
de x3 − 8 por x− 2.
x3 − 8 x− 2
x2 + 2x+ 4− x3 + 2x2
2x2
− 2x2 + 4x
4x− 8
− 4x + 8
0
Do teorema da divisão temos que
x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4) + 0 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4)
Então, limx→2
x3 − 8
x2 − 4
= limx→2
(x− 2)(x2 + 2x+ 4)
(x− 2)(x+ 2)
= limx→2
x2 + 2x+ 4
x+ 2
=
3. Como para f ser cont́ınua é necesário que limx→2 f(x) = f(2) temos que
f(2) = 3.
Explique usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é
cont́ınua em todo seu domı́nio e diga qual é o domı́nio.
10) G(x) = 3
√
x(1 + x3)
Solução: Domı́nio: como podemos calcular a raiz cúbica de qualquer número
real e g(x) = 1 + x3 está definida para qualquer valor real. Então o domı́nio
de G é R. Do teorema 4 e 5 da seção 2.5 segue que G é cont́ınua no seu
domı́nio.
11) h(x) =
senx
x+ 1
.
Solução: Domı́nio: a função g(x) = sen x está definida para todo número
real. Sabemos que não podemos dividir por zero, logo x + 1 6= 0, ou seja,
x 6= −1. O domı́nio da função h são aqueles valores nos quais a função seno
está definida e x + 1 6= 0. Portanto, o domı́nio de h(x) é {x ∈ R|x 6= −1}.
Do teorema 4 e 5 da seção 2.5 segue que h(x) é cont́ınua no seu domı́nio.
12 B(x) =
tg x√
4− x2
.
Solução: Calculando o domı́nio de B(x): o domı́nio de B(x) são aqueles
pontos onde tg x,
√
4− x2 estão definidos e
√
4− x2 6= 0, pois não podemos
dividir por zero. Sabemos que tg x =
senx
cosx
, logo tangente não está definida
5
nos valores nos quais cos x = 0, ou seja, x tem que ser diferente de
π
2
+ nπ
com n ∈ Z.
Domı́nio de
√
4− x2: a função raiz quadrada só está definida para valores
maiores os iguais a zero e não podemos dividir por zero. Logo, 4 − x2 deve
ser maior que zero, ou seja, precisamos encontrar os valores de x tais que
4 − x2 > 0. Para issoprecisamos esboçar o gráfico de f(x) = 4 − x2. Para
calcular as ráızes de f(x) usamos Báskara,
∆ = b2 − 4ac
∆ = 02 − 4(−1)4 = 16
x =
b±
√
∆
2a
x =
0±
√
16
2(−1)
x = 2 ou x = −2
Abaixo temos o esboço do gráfico de f(x) = 4− x2.
x
y
2−2
Analisando o gráfico de f(x) = 4−x2 vemos que os valores de x nos quais
4− x2 > 0 são aqueles que satisfaz −2 < x < 2.
Temos que o domı́nio de B são aqueles pontos onde tg x,
√
4− x2 estão
definidos e
√
4− x2 6= 0. Logo, x 6= π
2
+ nπ com n ∈ Z e −2 < x < 2.
Sabemos que π = 3, 14. Se n = 0 temos que
π
2
+ nπ =
π
2
+ 0π =
π
2
e
−2 < π
2
< 2. Caso n = −1 temos que π
2
+ nπ =
π
2
− π e −2 < π
2
− π < 2.
6
Se n ≥ 1 temos que π
2
+ nπ > 2, caso n < −1 temos que π
2
+ nπ < −2.
Portanto, o domı́nio de B é {x ∈ R| − 2 < x < 2, x 6= π
2
e x 6= −π
2
}.
Mostrando que B é cont́ınua em seu domı́nio.
Do teorema 7 da seção 2.4 obtemos que tg x e
√
4− x2 são cont́ınuas em
seus domı́nios. Logo, tg x e
√
4− x2 são cont́ınuas em {x ∈ R| − 2 < x <
2, x 6= π
2
e x 6= −π
2
}. Do teorema 4 item 5 da seção 2.4 temos que B é
cont́ınua em {x ∈ R| − 2 < x < 2 e x 6= π
2
ou x 6= −π
2
}.
13) Mostre que f é cont́ınua em (−∞,∞).
f(x) =
 senx se x <
π
4
cosx se x ≥ π
4
Solução: Do teorema 7 da seção 2.5 temos que as funções senx e cos x são
cont́ınuas em seus domı́nios. Logo, senx é cont́ınua no intervalo (−∞, π
4
).
Consequentemente, f é cont́ınua em (−∞, π
4
). Temos também que cosx é
cont́ınua em (π
4
,∞). Portanto, f é cont́ınua em (π
4
,∞). Como f(x) = cos x
em [π
4
,∞) não faz sentido falar que f é cont́ınua em π
4
usando o fato que
cosseno é cont́ınua em π
4
. Desse fato só podemos concluir que limx→π
4
+ f(x) =√
2
2
= f(π
4
), ou seja, f é cont́ınua à direita em π
4
. Para concluir que f é
cont́ınua em π
4
é necessário também que f seja cont́ınua à esquerda em π
4
,
isto é, limx→π
4
− f(x) =
√
2
2
= f(π
4
). Temos que limx→π
4
− f(x) =
√
2
2
. Então,
limx→π
4
+ f(x) =
√
2
2
= limx→π
4
− f(x) =
√
2
2
. Como os limites lateraias são
iguais conclúımos que limx→π
4
f(x) =
√
2
2
. Além disso, limx→π
4
f(x) =
√
2
2
=
f(π
4
). Portanto, f é cont́ınua em π
4
. Do fato que f é cont́ınua (−∞, π
4
)∪(π
4
,∞)
e em π
4
conclúımos que f é cont́ınua em (−∞,∞).
14) Encontre os pontos nos quais f é descont́ınua. Em quais desses pontos
7
f é cont́ınua à direita, à esquerda ou em nenhum deles
f(x) =

x+ 1 se x ≤ 1
1
x
se 1 < x < 3
√
x− 3 se x ≥ 3
Solução: Seja a um ponto do domı́nio de f . Para que f seja cont́ınua em
a é necessário que limx→a f(x) = f(a). Do teorema 7 da seção 2.5 sabe-
mos que as funções x + 1, 1
x
e
√
x− 3 são cont́ınuas nos seus domı́nios. Os
domı́nios dessas funções são, respectivamente, R, R∗(pois, a única restrição
em uma divisão é que o denominador não seja nulo) e [3,∞) (pois não existe
raiz quadrada de números negativos.) Desses últimos fatos conclúımos que
f(x) = x + 1 é cont́ınua em (−∞, 1), f(x) = 1
x
é cont́ınua em 1 < x < 3
e f(x) =
√
x− 3 é cont́ınua em x > 3. Do fato de x + 1 ser cont́ınua
em 1 só garante que limx→1− f(x) = 2 = f(1). Ainda precisamos calcular
limx→1+ f(x) = limx→1+
1
x
= 1 6= f(1). Logo, f não é cont́ınua em 1, mas é
cont́ınua à esquerda em 1, pois limx→1− f(x) = 2 = f(1). Como
√
x− 3 é
cont́ınua em 3 temos que limx→3+ f(x) = limx→3+
√
x− 3 = 0 = f(3). Te-
mos que limx→3− f(x) = limx→3−
1
x
= 1
3
. Como limx→3+ f(x) 6= limx→3− f(x)
então limx→3 f(x) não existe. Logo, limx→3 f(x) não pode ser igual a f(3).
Portanto, f não é cont́ınua em 3. Como limx→3+ f(x) = limx→3+
√
x− 3 =
0 = f(3) temos que f é cont́ınua à direita em 3.
Conclúımos que f é descont́ınua em 1 e 3. Porém, f é cont́ınua à esquerda
em 1 e cont́ınua à direita em 3.
15) Encontre os valores de a e b que torna f cont́ınua em todas as partes
f(x) =

x2 − 4
x− 2
se x < 2
ax2 − bx+ 3 se 2 ≤ x < 3
2x− a+ b se x ≥ 3.
Solução: Do teorema 7 seção 2.5 segue que as funções g(x) =
x2 − 4
x− 2
, h(x) =
ax2 − bx + 3 e s(x) = 2x − a + b são cont́ınuas no seus domı́nios. Logo, a
função f(x) =
x2 − 4
x− 2
é cont́ınua em (−∞, 2), a função f(x) = ax2 − bx+ 3
é cont́ınua em 2 < x < 3 e a função f(x) = 2x− a+ b é cont́ınua em (3,∞).
Só precisamos analisar a continuidade nos pontos 2 e 3. Para f ser cont́ınua
8
em 2 é necessário que limx→2− f(x) = limx→2+ = f(2) ⇒ limx→2−
x2 − 4
x− 2
=
limx→2+ ax
2− bx+ 3 = f(2)⇒ limx→2−
(x− 2)(x+ 2)
x− 2
= limx→2+ ax
2− bx+
3 = f(2)⇒ limx→2− x+2 = limx→2+ ax2−bx+3 = f(2)⇒ 4 = 4a−2b+3 =
4a− 2b+ 3. Temos que,
4a− 2b = 1.
Para f ser cont́ınua em 3 é necessário que limx→3− f(x) = limx→3+ f(x) =
f(3) ⇒ limx→3− ax2 − bx + 3 = limx→3+ 2x− a + b = f(3) ⇒ 9a− 3b + 3 =
4a− 2b+ 3 = 4− a+ b. Temos que
9a− 3b+ 3 = 6− a+ b⇒ 10a− 4b = 6.
Então, precisamos resolver o seguinte sistema
{
4a− 2b = 1 (1)
10a− 4b = 6 (2)
Observação: acima temos um sistema de duas equações e duas incógnitas
podemos resolvê-lo com o método que quisermos. Aqui iremos usar o método
da adição, fazendo −2(1) mais a equação (2) temos que 2a = 4 ⇒ a = 2.
Usando o fato que a = 2 e 4a− 2b = 1 temos que 8− 2b = 1⇒ −2b = −7⇒
b =
7
2
. Então, para f ser cont́ınua em todas as partes é necessário que a = 2
e b =
7
2
.
9