CDI I (Capítulo 1 a 20)

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Criado por Edson Mendes 
 
1 
 
 
PREFÁCIO 
 
 Esta obra é o resultado de cinco anos de trabalho como professor de Cálculo 
Diferencial e Integral I, II, III e IV, dos cursos de Licenciatura em Matemática, Engenharia de 
Produção Mecânica e Engenharia Civil no Centro Universitário Nove de Julho (UNINOVE). 
As “Notas de aulas” aqui apresentadas foram especialmente desenvolvidas, respeitando o 
conteúdo programático dos cursos acima mencionados, para que os alunos tenham uma visão 
geral da disciplina e que assim possam melhorar o aproveitamento quando das consultas à 
bibliografia oficial adotada, bem como bibliografias complementares à que os mesmos possam 
ter acesso. 
 Nossa intenção não é, em hipótese alguma, substituir a bibliografia oficial, mas sim, 
como já mencionado, servir como apoio, para que os alunos compreendam melhor os conceitos 
que muitas vezes são apresentados com rigores matemáticos que, num primeiro momento não 
são assimilados. 
 Outra motivação para o desenvolvimento deste trabalho é a de dinamizar as aulas, 
pois a velha receita, onde o professor descreve o conteúdo na lousa para que o aluno o copie 
em seu caderno, com certeza tende a não surtir o efeito desejado, pois em de um modo geral, a 
assimilação do conteúdo não é a adequada. Pensando nisso, estas notas são disponibilizadas 
gratuitamente aos alunos, por meio eletrônico, para que os mesmos não tenham a necessidade 
de copiar o conteúdo da lousa, deixando o professor apto a ministrar suas aulas com mais 
liberdade e dinamismo, com isso o professor também encontra mais tempo para desenvolver os 
exercícios que estão disponíveis em quantidade ideal para o trabalho em sala. Não 
apresentamos listas extensas, justamente para que o aluno seja incentivado pelo professor a 
consultar a bibliografia oficial e nelas aprofundar seus conhecimentos e praticar sempre. 
 As primeiras versões das “Notas de aulas” foram apresentadas divididas em quatro 
módulos de 18 aulas, os quais contemplavam respectivamente os programas de Cálculo I, II, 
III e IV. Já nesta versão, apresentamos este trabalho num novo formato gráfico, onde as aulas 
foram renomeadas por capítulos, tal mudança se tornou necessária no momento em que as 
grades curriculares dos cursos foram remanejadas e o conteúdo foi redistribuído em Cálculo I, 
II e III. O novo formato também auxilia o professor, pois o mesmo pode apresentar os 
conteúdos de maneira mais adequada a cada turma. 
 Este trabalho já é amplamente adotado como apoio didático por vários professores da 
UNINOVE, que aprovaram o conteúdo e também sugeriram mudanças e adaptações que foram 
prontamente atendidas, pois todos nós visamos a melhoria do nível de ensino de nossos alunos. 
Sempre lembrando que todos nós que utilizamos este material temos a consciência de que ele 
não é um substitutivo da bibliografia oficial, mas sim mais um “colega” que vai auxiliar, e 
muito, os alunos em suas consultas aos livros didáticos adotados pela UNINOVE. 
 Temos esperança que um dia nossas “Notas de aulas” se tornem material plenamente 
aceito pelos colegas professores e que possam fazer parte da bibliografia oficial da UNINOVE, 
porém neste momento, nos sentimos honrados por colaborar, mesmo singelamente, com a 
formação de nossos futuros professores e engenheiros, auxiliando-os em suas consultas aos 
livros dos renomados autores que tem a coragem de discursar sobre este fascinante ramo da 
matemática que é o Cálculo Diferencial e Integral. 
Sinceramente, 
 
Prof. E. Mendes. 
 fev/2006 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
2 
 
 
R-Q 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
 
 
NÚMEROS REIAS ( R ) 
 
 
 
 
 R 
 
 
 N Z Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
N : Conjunto dos números naturais 

 N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }. 
 
 
Z : Conjunto dos números inteiros 

 Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }. 
 
Q : Conjunto dos números racionais 

 Z = { x = 
acom
b
a
Z e 
b
Z* }. 
 
R – Q : Conjunto dos números irracionais 

 R – Q = { ..., -

, ..., -
3
, ..., 
2
, ... } . 
 
 
 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
 
 
Sejam : 
 
 
 f(x) : A 

 B 
 g(x) : B 

 C 
 
 
Chamamos de função composta de g e f à função h(x) : A 

 C onde ... 
 
h(x) = g(f(x)) ou (g

f)(x) , para todo x em A. 
 
 
 
Esquematicamente temos ... 
N Z Q 
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3 
 
 
 
 
 
 
 A B C 
 
 
 f(x) g(x) 
 
 
 
 
 h(x) = g(f(x)) ou (g

f)(x) 
 
 
Notas : 1 ) A composta g

f só está definida quando CDf = Dg . 
 
 2 ) Pode existir também a composta h2(x) : B 

 A = f(g(x)) ou (f

g)(x) , para 
 todo x em B. 
 
 Esquematicamente temos ... 
 
 B C A 
 
 
 g(x) f(x) 
 
 
 
 
 h2(x) = f(g(x)) ou (f  g)(x) 
 
 
 3 ) Na maioria das vezes temos g

f 

 f

g . 
 
 
Exemplos : 
 
1 ) Sejam : 
 
 
 f(x) = x + 3 
 g(x) = x
2 
 
Determine … 
 
 (g

f)(x) e (f

g)(x), para x = -1 
 
Resolução : 
 
● h(x) = (g  f)(x) ou g(f(x)) = g( x + 3 ) = ( x + 3 )
2
 

(g f)(x) = x
2
 + 6x + 9. 
 h(-1) = (g  f)(-1) ou g(f(-1)) = g( -1 + 3 ) = ( -1 + 3 )
2
 = (-1)
2
 + 6(-1) + 9 = 1 – 6 + 9 = 4. 
 
Criado por Edson Mendes 
 
4 
 
 
 Comprovando ... 
 f(-1) = (-1 ) + 3 = -1 + 3 

 f(-1) = 2 . 
 Portanto, (g

f)(-1) = g(f(-1)) = g(2) = 2
2
 

 (g

f)(-1) = 4. 
 
 
● h2(x) = (f  g)(x) ou f(g(x)) = f(x
2
) = (x
2
) + 3 

 (f

g)(x) = x
2
 + 3. 
 h2(x) = (f g)(-1) ou f(g(-1)) = f((-1)
2
) = ((-1)
2
) + 3 = 1 + 3

 (f

g)(-1) = 4. 
 
 Comprovando ... 
 g(-1) = (-1)
2
 

 g(-1) = 1 . 
 Portanto, (f

g)(-1) = f(g(-1)) = f(1) = 1 + 3 

 (f

g)(-1) = 4. 
 
2 ) Sejam : 
 
 
 f(x) = x
2
 + 4 
 g(x) = 3x –1 
 
Determine … 
 
 (g

f)(x) e (f

g)(x), para x = 2 
 
Resolução : 
 
●h(x) = (g

f)(x) ou g(f(x)) = g( x
2
 + 4 ) = 3( x
2 
+ 4 ) – 1 = 3x2 + 12 – 1 

(g

f)(x) = 3x
2
 + 11. 
 h(2) = (g

f)(2) ou g(f(2)) = g( 2
2
 + 4 ) = 3( 2
2
 + 4 ) - 1= 3.(2)
2
 + 12 - 1 = 3.(2)
2
 + 11 = 23. 
 
Comprovando ... 
f(2) = (2)
2
 + 4 = 4 + 4 

 f(2) = 8 . 
Portanto, (g

f)(2) = g(f(2)) = g(8) = 3.8 – 1 

 (g

f)(2) = 23. 
 
 
 
 
 
● h2(x) = (f  g)(x) ou f(g(x)) = f(3x - 1) = [(3x – 1)
2
 ] + 4 = 9x
2 – 6x +1 + 4 

 
 

 (f

g)(x) = 9x
2
 - 6x + 5 . 
 h2(2) = (f g)(2) ou f(g(2)) = f(3(2)-1) = [(3(2)-1)
2
 + 4] = 9.(2)
2
 – 6.(2) + 1 +4 = 
 = 9.4 – 6.2 + 5 = 36 –12 + 5 = 29. 
 
 Comprovando ... 
 g(2) =3.(2) – 1 = 6 - 1 

 g(2) = 5 . 
 Portanto, (f

g)(2) = f(g(2)) = f(5) = (5)
2
 + 4 = 25 + 4 

 (f

g)(2) = 29. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5Exercícios : 
 
1 ) Sejam : 
 
 f(x) = 3x + 2 
 g(x) = 2x + a 
 
 
Determine a para que (f

g)(x) = (g

f)(x) . 
 
 
2 ) Sejam : 
 
 f(x) = 2x + 1 
 g(x) = x
2
 – 1 
 h(x) = 3x + 2 
 
 
Determine l(x) = ((h

g)

f)(x) = (h

(g

f))(x). 
 
 
3 ) Sejam : 
 
 f(x) = 1 - x 
 g(x) = x
2
 – x + 2 
 h(x) = 2x + 3 
 
 
Determine l(x) = ((h

g)

f)(x) = (h

(g

f))(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
 
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA ( P.I.F ) 
 
 Antes de enunciarmos o Princípio propriamente dito,vamos ilustrar o texto com uma pequena 
introdução histórica, que vai mostrar-nos a importância de termos um método científico para 
que não formulemos conclusões errôneas sobre um determinado experimento matemático... 
 
Considerando N = { 0, 1, 2, 3, ... } 
 
I ) 
n
y 22
+ 1 

 n 

 N 
 
 n = 0 

 
022y
+ 1 = 2
1
 + 1 = 2 + 1 = 3 
 n = 1 

 
122y
+ 1 = 2
2
 + 1 = 4 + 1 = 5 
 n = 2 

 
222y
+ 1 = 2
4
 + 1 = 16 + 1 = 17 
 n = 3 

 
322y
+ 1 = 2
8
 + 1 = 256 + 1 = 257 
 n = 4 

 
422y
+ 1 = 2
16
 + 1 = 65.536 + 1 = 65.537 
 
 Os números encontrados são primos. Fermat ( 1601-1665 ) acreditou que a fórmula acima 
daria números primos qualquer que fosse o valor de n 

 N. FALSO !!! Pois Euler ( 1707-1783 
) mostrou que para n = 5 tem como resultado y = 4.294.967.297 , ou seja, 641 X 6.700.417, 
isto é, resulta num número divisível por 641, portanto, NÃO É PRIMO. 
 
II ) 
 3
3
7
2
3
6
23 nnn
y
 n 

 N* 
 
 n = 1 

 



6
181491
3
3
1.7
2
1.3
6
1 23
y
 y = 2 
 
 n = 2 

 



6
1828368
3
3
2.7
2
2.3
6
2 23
y
 y = 3 
 
 n = 3 

 y = 5 
 
 n = 4 

 y = 7 
 
 Poderíamos concluir precipitadamente : “ y é numero primo, qualquer n 

 N*. FALSO 
!!! 
 Pois : n = 5 

 



6
1870225125
3
3
5.7
2
5.3
6
5 23
y
 y = 8 (NÃO PRIMO). 
 
 
 
 
 
 
* É NECESSÁRIO, DISPORMOS DE UM MÉTODO, COM BASE 
LÓGICA, QUE PERMITA DECIDIR SOBRE A VALIDADE, OU NÃO, 
DE UMA INDUÇÃO VULGAR. 
Criado por Edson Mendes 
 
7 
 
 
 
EXEMPLO : 
 
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n2 

 n 

 N* 
 
Que expressa : “A soma dos n primeiros números ímpares positivos é n2 “. 
 
 Se provarmos que a igualdade é válida até 1.000.000, ainda assim não representa que ela 
é verdadeira, pois para n > 1.000.000 poderá existir uma falha. 
 Para provar, usaremos o Princípio da Indução Finita ( P.I.F ) para todo n 

 N* 
cujo enunciado é : 
“ Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo n 

 
N*, n 

 n0 ( n0 = 1° elemento da seqüência --- n0 = 1 ). 
 1 ) P(n0) é verdadeira, isto é, a proposição é válida para n = n0 
 2 ) Se k 

 N*, k 

 n0 e P(k) é verdadeira, então para P(k+1) também é verdadeira. 
 
DEMONSTRANDO MATEMATICAMENTE O EXEMPLO : 
 n0 
 
1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n2 

 n 

 N* = { 1, 2, 3, 4, ... } 
 
1 ) Verificar P(n0) com n0 = 1 , portanto P(1)  n = 1  1 = 1
2
 , logo P(1) 

 OK. 
2 ) Admitindo que seja verdadeira P(k), com k 

 N* temos : 
 P(k) = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k–1 ) = k2 ( Hipótese de Indução – H.I ) 
Provemos que decorre a validade de P(k+1), isto é : 
 P(k+1) = 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + [ 2( k + 1 ) – 1 ] = ( k + 1 )2, temos então : 
 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + 2k + 1 

 k
2
 + 2k + 1 = ( k + 1 )
2 
 
 H.I = k² C.M.Q.D 
 
Demonstre, usando P.I.F : 
 
1 ) 1 + 2 + 3 + …+ n = 


;
2
)1(nn
 n 

 N*. 
 
2 ) 2
0
 + 2¹ + 2² + ... + 2
n -1
 = 2
n
 - 1 ; 

 n 

 N*. 
 
3 ) 1² + 2² + 3² + ... + n² = 
6
)12)(1(  nnn
 ; 

 n 

 N*. 
4 ) 1
3
 + 2
3
 + 3
3
 + ... + n
3
 = 2
2
)1(





 nn ;  n  N*. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
 
 Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua 
direita ( Valores maiores que 1 ) e pela sua esquerda ( Valores menores que 1 ), e calcular y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x 

 
1 ), y tende a 3 ( y 

 3 ), então temos a notação ... 
 
 
 
 
 
 Genericamente temos ... 
 
 lim f(x) = b 
 x

 a 
 
 
 … mesmo que em alguns casos para x = a resulte y 

b. 
 
 
 
 
Vejamos agora : 
x y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
x y = 2x + 1 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
y= 2x + 1 
0 
3 
1 
x 
y 
 lim ( 2x + 1 ) = 3 
 x

 3 
Criado por Edson Mendes 
 
9 
 
 
x 
y 
3 
1 
2 
0 
f(x) 
 
 
1 ) 
 
 
1
22


x
xx
 ; x 

1, como x² + x – 2 = ( x – 1 ).( x + 2 ) 

 
1
)2).(1(


x
xx
; x 

1 
f(x) = 
 
 2, se x = 1 2 se x = 1 
 
 
 
► Podemos notar que para x 

 1, f(x) 

 3, embora para x = 1, f(x) = 2 

3 . Ocorre porém 
que procuramos o comportamento da função no primeiro caso ( x 

 1 ), logo temos lim f(x) 
= 3. 
 x

 1 
 
 g (x) 
 
 
 Comprovando . . . lim f(x) = lim ( x -1 ).( x + 2 ) = lim ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3 
 x

1 x

1 x – 1 x

1 
 
 
 
 
 Se g : R 

 R e g(x) = x + 2 , lim g(x) = lim ( x + 2 ) = 1 + 2 = 3 , emborax

1 x

1 
g(x) 

f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
10 
 
 
2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 
 x

2 x – 2 x

2 ( x – 2 ) x

2 
 
► Nota-se a impossibilidade de calcularmos 
2
42


x
x
 para x = 2 ( Indeterminação ). 
Trocamos então 
2
42


x
x
 por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando quando x = 2. 
 
 
 
3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1 
 x

3 x² - 9 x

3 ( x + 3 )( x – 3 ) x

3 x + 3 3 + 3 6 3 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES 
 
 
1 ) lim [ f(x) 

 g(x) ] = lim f(x) 

 lim g(x) 
 x

a x

a x

a 
 
Exemplo : 
 
lim ( x + 4x² ) = lim x 

 lim 4x² = 2 + 4.2² = 2 + 4.4 = 2 + 16 = 18 
x

 2 x

 2 x

 2 
 
 
2 ) lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) 
 x

a x

a x

a 
 
Exemplo : 
 
lim ( -x² . log x ) = lim -x² . lim log x = -10² . log 10 = -100 . 1 = - 100 
x

 10 x

 10 x

 10 
 
 
3 ) 
ax
xg
ax
xf
ax
xg
xf




)(lim
)(lim
)(
)(
lim
 
 
 
Exemplo : 
 
0
1lim
0
senlim
0
1
sen
lim
2
2






x
x
x
x
x
x
x
 = 
10
0sen
2 
 = 
1
0

 = 0 
 
Criado por Edson Mendes 
 
11 
 
 
n 
3 
4 ) lim f(x)
n
 = lim f(x) , n 

 N
* 
 x

a x

a 
 
Exemplo : 
 
lim ( x² - 2 )
3
 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )
3
 = ( 4 – 2 )3 = 23 = 8 
x

2 x

2 
 
 
5 ) 
.0)(,
)(lim)(lim * 



xfn
ax
xf
ax
xf
n
n ( Se f(x)  0, n é ímpar ) 
 
Exemplo : 
 
11148122
2
1lim
2
1lim 23
2323






x
xx
x
xx 
 
 
 
6 ) lim [ln f(x)] = ln lim f(x) , se lim f(x) > 0 
 x

a x

a x

a 
 
Exemplo : 
 
lim ( ln x³ ) = ln lim x³ = ln 

³ = 3.ln 

 
x

 

 x
 
 
 
 
 
7 ) lim sen [ f(x) ] = sen lim f(x) 
 x

 a x

 a 
 
 
Exemplo : 
 
lim sen ( 2x³ - 5x ) = sen lim ( 2x³ - 5x ) = sen (2.2³ - 5.2 ) = sen 6 
x

 2 x

 2 
 
 
8 ) lim e
f(x)
 = ax xfe 
)(lim 
 x

 a 
 
Exemplo : 
 
lim e
x² + 3x
 = 2 3lim
2


x
xx
e = e
2² + 3.2
 = e
4 + 6
 = e
10 
x

 2 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
12 
 
 
Exercícios : 
 
1 ) Calcular : 
 
a ) 
2
)432(lim 2


x
xx
 k ) 



ot
t
t 5325
lim 
b ) 




1
1
45
lim
2
x
x
xx l ) 



0
16)4(
lim
2
t
t
t 
 
c ) 




1
1
23
lim
2
3
x
x
xx m ) 




1
1
23
lim
2
2
x
x
xx 
 
d ) 



0
33
lim
x
x
x n ) 



0
11
lim
x
x
xx 
 
e ) 




1
1
1
lim
3
4
x
x
x o ) 




1x
1x
1x
lim
5
4 
 
f ) 




1
1
1
lim
3
x
x
x p ) 




1h
1h
1h
lim
5
4
 
 
g ) 



1
)43(lim 2
x
xx
 q ) 




1
1
133
lim
23
x
x
xxx 
 
h ) 



0
)sen(coslim
x
xx
 r ) 



0;
0
lim
2
b
x
t
batb 
 
i ) 




2
4
8
lim
2
3
x
x
x 
 
j ) 




1
1
1
lim
h
h
h 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
13 
 
 
2 
 
 
1 
x 
y 
 
●lim f(x) = 2 
 x 

 2+ 
 
●lim f(x) = 1 
 x 

 2- 
 

NÃO EXISTE 
 
lim f(x) 
x 

 2 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
 
 
 
 
LIMITES LATERAIS 
 
 
 Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ( ou pela direita ), escrevemos : 
 
 Limite lateral à direita de a. 
 
 Se x se aproxima de a através de valores menores que a ( ou pela esquerda ), escrevemos : 
 
 Limite lateral à esquerda de a.
 
 
 O limite de f(x) para x 

 a existe se, e somente se, 
 
 lim f(x) = lim f(x) = b portanto, lim f(x) = b, 
 x 

 a+ x 

 a- x 

 a 
 
 
do contrário, lim f(x) 

 lim f(x) 

 b então não existe lim f(x) . 
 x 

 a+ x  a- x  a 
 
Exemplos : 
 
1 ) 
 
 
 
 ○ 
 
 
 ● 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lim f(x) = b 
x 

 a+ 
lim f(x) = b 
x 

 a- 
2 
Criado por Edson Mendes 
 
14 
 
 
 
●lim f(x) = (x²+4x) = 1² + 4.1 = 5 
 x 

 1+ 
 
●lim f(x) = (6x-1) = 6.1 - 1 = 5 
 x 

 1- 
 

 lim f(x) = 5 . 
 x 

 1 
2

 
 
2 ) 
 
f(x) 





.)(1;16
.)(1;42
Esqxx
Dirxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 ) 
 ●lim tgx = -

 
 x 

 
2
 + 
 
 ●lim tgx = +

 
 x 

 
2
 - 
 
 

 NÃO EXISTE lim tgx . tg 
 x 

 
2

 
 
OBS.: Faz sentido, pois NÃO EXISTE tg 
2

 ( 90° ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
15 
 
 
+

 
x 
y + 

 
0 
f(x) = 
x
1
 
-

 
 
-

 
 
y = 2
x 
x 
y 
0 
1 
Alguns limites envolvendo o infinito 
 
 
 
1 )a ) lim 
x
1
 = 0, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. 
 x 

 +

 
 
b ) lim 
x
1
 = 0, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. 
 x 

 -

 
 
c ) lim 
x
1
 = +

 , ou seja, à medida que x se aproxima de zero pela direita de zero (x

0+) , y tende 
 x 

 0+ 
 para mais infinito ( postitivo ) que é o limite. 
 
d) lim 
x
1
 = -

 , ou seja, à medida que x se aproxima de zero pela esquerda de zero (x

0-) , y tende 
 x 

 0- 
 para menos infinito ( negativo ) que é o limite. 
 
 
 
2 ) 
 
 ● lim 2x = +

 
 x 

 +

 
 
 
 
 ● lim 2x = 0 
 x 

 -

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
16 
 
 
y = x
3 
x 
y 
0 
y = 
x
 
x 
y 
0 
 
tg x 
x 
y 
0 
● lim tg x = +

 
 x 

 
2
 - 
- 
2

 
2

  
2
3
 
3 ) 
 
 
 
 ● lim x3 = +

 
 x 

 +

 
 
 
 
 ● lim x3 = -

 
 x 

 -

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 ) 
 
 ● lim 
x
 = +

 
 x 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 ) 
 
 ● lim tg x = -

 
 x 

 
2
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
17 
 
 
Limite de uma função polinomial para x 

 

 
 
 Seja a função polinomial f(x) = anx
n
 + an-1x
n-1 
+ ... + a1x + a0 , então : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analogamente para g(x) = bnx
n
 + bn-1x
n-1 
+ ... + b1x + b0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
1 ) lim ( 2x² +x – 3 ) = lim 2x² = +

. 
 x 

 +

 x 

 +

 
 
 
2 ) lim ( 3x³ - 4x² + 2x + 1 ) = lim 3x³ = -

. 
 x 

 -

 x 

 -

 
 
 
3 ) lim 








4
12
23
4
xx
xx
= lim 






3
42
x
x
 = lim 2x = +

. 
 x 

 +

 x 

 +

 x 

 +

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● lim f(x) = lim anx
n 
 x 

 x 

 
 
● lim 
)(
)(
xg
xf
 = lim 
n
n
n
n
xb
xa
 
 x 

 x 

 
 
Criado por Edson Mendes 
 
18 
 
 
Exercícios : 
 
Calcule : 
 
1 ) lim ( 1 + 
3x
 ) 
 x 

 3+ 
 
2 ) lim 






 2x
x
 
 x 

 2+ 
 
3 ) 
 f(x) 







1;15
1;32
xx
xx
 ; calcule : 
 
a ) lim f(x) b ) lim f(x) c ) lim f(x) 
 x 

 1+ x 

 1- x 

 1 
 
 
4 ) 
 
 f(x) 








0;
20;2
2;1
2 xx
xx
xx
 ; calcule : 
 
a ) lim f(x) b ) lim f(x) c ) lim f(x) 
 x 

 2+ x  2- x  2 
 
d ) lim f(x) e ) lim f(x) f ) lim f(x) 
 x 

 0+ x  0- x  0 
 
 
5 ) lim 








223
142
4
23
xx
xx
 
 x 

 +

 
 
 
6 ) lim 








13
34
34
4
xx
xx
 
 x 

 +

 
 
 
7 ) lim 










12
12
2
4
x
xx 
 x 

 +

 
 
Criado por Edson Mendes 
 
19 
 
 
8 ) lim 
3x
 
 x 

 +

 
 
 
9 ) lim 
3 x
 
 x 

 +

 
 
 
10 ) lim 






 2
2
x
x
 
 x 

 0 
 
 
11 ) lim 





 
2
3
x
xx
 
 x 

 +

 
 
 
12 ) lim 








xx
xx
4
32
3
2 
 x 

 +

 
 
 
13 ) lim 










12
3
2x
x 
 x 

 +

 
 
 
14 ) lim 










34 2
2
x
xx 
 x 

 +

 
 
 
15 ) lim 










3
14 2
x
x 
 x 

 3+ 
 
 
16 ) lim 










2
2
x
x 
 x 

 2 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
20 
 
 
a 
x 
y 
a 
x x 
a 
y 
f(a) 
f(a) 
CAPÍTULO 5 
 
 
 
 
 
 
CONTINUIDADE 
 
 ● 

 f(a) 
 
 Dizemos que f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se : ● 

 
)(lim xf
ax
 
 
 ● 
)()(lim afxf
ax


 
 
 Vejamos alguns exemplos de descontinuidade ... 
 
 
 
( I ) ( II ) ( III ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ◙ Não existe f(a). ◙ Existe f(a),mas não existe ◙ Existe f(a), existe 
)(lim xf
ax
, 
 
)(lim xf
ax
 pois 
)(lim)(lim xfxf
axax  

. mas 
)(lim xf
ax
 

 f(a). 
 
 
 
 
 
Propriedades das funções contínuas 
 
 
 
 ● f(x) 

 g(x) é contínua em a. 
 
 Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a , então : ● f(x).g(x) é contínua em a. 
 
 ● 
)(
)(
xg
xf
 é contínua em a. ( g(a) 

0 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
Criado por Edson Mendes 
 
21 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados : 
 
a ) f(x) = x
2
 + 1 em x = 1 . 
 
Resolução : 
 
■ f(1) = 1² + 1 = 2 
 
 f(1) 
 
■ 
211)1(lim)(lim 22
11


xxf
xx
. 
 
■ 


)(lim
1
xf
x
 f(1) = 2 . 
 
 
 

 f(x) = x
2
 + 1 é contínua em x = 1 . 
 
 
 
 
 b ) f(x) = 









0;0
0;
x
x
x
x
 ; em x = 0 
 
 
Resolução : 
 
 
■ f(0) = 0 

 

 f(0) 
 
■ 
x
x
xf
xx 10
lim)(lim


 































1limlim
1limlim
00
00
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
 

 Não Existe 
)(lim
0
xf
x
 
 
 
 Logo, f(x) não é contínua em x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
22 
 
 
1 
 1 1 1 
Exercícios : 
 
 
1 ) Verificar a continuidade das funções nos pontos indicados : 
 
 
a ) f(x) = x² + 3x ; x = 2. 
 
b ) f(x) = 








1
32
x
xx
 ; x = 1. 
 
c ) f(x) = 







0;2
0;32
xx
xxx
 ; em x = 0. 
 
d ) f(x) = 











2;3
2;
4
8
2
3
x
x
x
x
 ; em x = 2. 
 
 
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
 
 
 Seja o limite fundamental da trigonometria 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 
 
e 










ax
ax
ax
ax
coscoslim
sensenlim
 temos : 
 
 
a ) 
51.5
5
5sen
lim.5
.5
5sen.5
lim
5sen
lim
000

 x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 
 
b ) 








 )cos1(
sen
lim
)cos1(
cos1
lim
)cos1(
)cos1(
.
)cos1(
lim
2
2
02
2
020 xx
x
xx
x
x
x
x
x
xxx
 
 
 








 xx
x
x
x
x cos1
1
.
sen
.
sen
lim
0 2
1
11
1
.1.1
cos1
1
lim.
sen
lim.
sen
lim
000



 xx
x
x
x
xxx
. 
 
 
sen²x + cos²x = 1 
Criado por Edson Mendes 
 
23 
 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) 
x
x
x
2sen
lim
0
 3 ) 
xx
xx
x 4sen2sen
sen5sen
lim
0 


 
 
2 ) 
x
x
x 2sen
5sen
lim
0
 4 ) 
x
tgx
x 0
lim

 
 
 
 
 
LIMITES EXPONENCIAIS 
 
 
( I ) ( IV ) 
 
 
 
 
( II ) ( V ) 
 
 
 
 
( III ) ( VI ) 
 
 
 
 
 
 Com base nestes limites fundamentais, temos … 
 
 
Exemplos: 
 IV 
 k = 3 
 l = 4 
a ) x
x x
4
3
1lim 







= e
kl
 = e
3.4
 = e
12
.
 
 
 
 
III
 
 
k = 2 
 l = 3 
 
b ) 
 x
x
x
3
0
21lim 

 = e
kl
 = e
2.3
 = e
6
. 
 
 
 
 
 
e
x
x
x








1
1lim
 
  ey y
y


1
0
1lim
 
  kly
l
y
eky 

1lim
0
 
kl
lx
x
e
x
k








1lim
 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0





 

 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0





 

 
1
1
lim
0





 
 x
e x
x
 
Criado por Edson Mendes 
 
24 
 
 
VI 
 V 
 a = 3 
 
c ) 
3ln.
2
113
lim.
2
113
.
2
1
lim
2
13
lim
000






 xxx
x
x
x
x
x
x
. 
 
 1 
d ) 










 x
e
x
x
x
e
xx
xe
xx
ex
x
e x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
1
.
2
1
lim
2sen
2
lim.
2
1
lim
2sen.2
2).1(
lim
2sen.2
)1.(2
lim
2sen
1
lim
000000
 
 
 
.
2
1
1.
2
11
lim.
2
1
0



 x
e x
x
 
 
 
 
 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) 








x
x x
2
5
1lim
 4 ) 

 1
3sen
lim
0 xx e
x
 
 
2 ) 
 x
x
x
2
0
21lim 

 = 5 ) 


 x
e x
x 4sen
1
lim
3
0
 
 
3 ) 


 x
x
x
12
lim
0
 6 ) 


 x
x
x 2sen
13
lim
5
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
25 
 
 
CAPÍTULO 6 








1
0
a
a
Ra
 











0
1
0
b
a
a
Ra
 





1a
Ra 





1a
Ra 





10 a
Ra 





10 a
Ra 












1)(lim
1
0
xf
a
a
Ra
bx
 












1,0)(lim
1
0
ccxf
a
a
Ra
bx
 
 
 
 
 
 
 
 
LIMITES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
Propriedades : 
 
 
 
 
I ) I ) V ) 
 
 
 
 
 
II ) VI ) 
 
 
 
 
 
 
III ) VII ) 
 
 
 
 
 
 
IV ) 
 
 
 
 
 
 
 
 VIII ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
0)(loglim
1


xa
x
 
bx aa
bx
log)(loglim 

 


)(loglim xa
x
 


)(loglim
0
xa
x
 


)(loglim xa
x
 


)(loglim0
xa
x
 
0)]([loglim 

xfa
bx
 
  cxfxf a
bx
aa
bx
log)(limlog)(loglim 





 
Criado por Edson Mendes 
 
26 
 
 
II 
a = 3 
b = 2 
II 
a = 10 
b = 1000 
III 
a = 2 > 1 
 
V 
a = 0,1 ; 0 < a < 1 
 
VIII 
a = 2 > 0 , a 

1 
b = -1 
Exemplos : 
 
Calcule os limites : 
 
 
 
 
 
a ) 
2loglog)(loglim 33
2


bx a
x
 
 
 
 
 
 
 
b ) 
310101000101000log)(loglim 310
1000


yyx yy
x
 
 
 
 
 
 
 
c ) 


)(loglim 2 x
x
 
 
 
 
 
 
 
d ) 


)(loglim 1,0 x
x
 
 
 
 
 
 
 
e ) 
42216216loglog)]574([loglim 42
2
2
1


yycxx yya
x
 
 
 
 
 
160165745)1.(7)1.(4)574(lim)(lim 22
1


cxxxf
xbx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
27 
 
 
VIII 
a = 10 > 0 , a 

1 
b = 3 
VIII 
a = 3 
b = -1 
 
 
 
 
 
f ) 




















 3
4
loglog
34
26
loglim
3
c
x
x
a
x
 
 
 
 
 
3
4
0
3
4
15
20
33.4
23.6
34
26
lim)(lim
3













c
x
x
xf
xbx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g ) 
133
3
1
3
3
1
loglog
45
23
loglim 132
2
3
1



















 

yyc
xx
xx yy
a
x
 
 
 
 
3
1
0
3
1
4
2
lim
)4)(1(
)2).(1(
lim
45
23
lim)(lim
112
2
1





















c
x
x
xx
xx
xx
xx
xf
xxxbx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
28 
 
 
Exercícios : 
 
 
Calcule os limites : 
 
 
1 ) 









x
x
2
1
4
loglim
 
 
2 ) 
 x
ex
lnlim
2
 
 
3 ) 









x
x
2
1loglim
 
 
4 ) 
 x
x
lnlim

 
 
5 ) 
 x
x
lnlim
0
 
 
6 ) 









x
x
2
1
0
loglim
 
 
7 ) 
)]243[ln(lim 2
3


xx
x
 
 
8 ) 














 22
253
loglim
2
2
2
1
4 xx
xx
x
 
 
9 ) 














 xx
xx
x 2
3
0
loglim
 
 
10 ) 














 21
3
lnlim
3 x
x
x
 
 
11 ) 


















 26
413
loglim
2 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
29 
 
 
CAPÍTULO 7 








1
0
a
a
Ra
 











0
1
0
b
a
a
Ra
 





1a
Ra 





1a
Ra 





10 a
Ra 





10 a
Ra 












1)(lim
1
0
xf
a
a
Ra
bx
 












1,0)(lim
1
0
ccxf
a
a
Ra
bx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DOS LIMITES FUNDAMENTAIS ( REVISÃO ) 
 
 Limite fundamental da trigonometria : 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 
LIMITES EXPONENCIAIS 
 
 
( I ) ( IV ) 
 
 
 
 
( II ) ( V ) 
 
 
 
 
( III ) ( VI ) 
 
 
 
LIMITES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 
I ) I ) V ) 
 
 
 
 
 
II ) VI ) 
 
 
 
 
III ) 
 
 VII ) 
 
IV ) 
 
 
VIII ) 
e
x
x
x








1
1lim
 
  ey y
y


1
0
1lim
 
  kly
l
y
eky 

1lim
0
 
kl
lx
x
e
x
k








1lim
 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0





 

 
a
x
a x
x
ln
1
lim
0





 

 
1
1
lim
0





 
 x
e x
x
 
0)(loglim
1


xa
x
 
bx aa
bx
log)(loglim 

 


)(loglim xa
x
 


)(loglim
0
xa
x
 


)(loglim xa
x
 


)(loglim
0
xa
x
 
0)]([loglim 

xfa
bx
 
  cxfxf a
bx
aa
bx
log)(limlog)(loglim 





 
Criado por Edson Mendes 
 
30 
 
 
Exercícios de revisão : 
 
 
Calcule os limites : 
 
1 ) 
xx
xx
x 9sen
2sen3
lim
0 


 
 
2 ) 
x
x
x
cos1
lim
0


 
 
3 ) 
nx
mx
x sen
sen
lim
0
 
 
4 ) 
x
x
x 

 


)sen(
lim
 
 
5 ) 
x
xx
x 3sen
sen28
lim
0


 
 
6 ) 
20
2coscos21
lim
x
xx
x


 
 
7 ) 
x
ba xx
x

0
lim
 
 
8 ) 
23 )3(
2
lim


 t
t
t
 
 
9 ) 










x
x
e
1
0
1lim
 
 
10 ) 
1
3
lim
2
0 

 xx e
xx
 
 
11 ) 















4
3
4
lim
4



x
xtg
x
 
 
12 ) x
x x
x
2
3
4
lim 








 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
31 
 
 
CAPÍTULO 8 
x x + 
x
 
y = f(x) 
y + 
y
 = f(x + 
x
) 
x 
y 
0 
função 
 
 
 
 
 
 
 TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO – ( T.M.V ) 
 
 
Incrementos ou acréscimos : O incremento, ou acréscimo, de uma variável x é a variação de 
x quando aumenta, ou diminui, de um valor x = x0 para outro valor x = x1, dentro de seu 
domínio. 
 
Exemplo : 
 
◙ x varia de x = 2 para x = 5 ; 
x
= 5 – 2 
 x
= 3. 
 
◙ x varia de x = 2 para x = -4 ; 
x
= -4 – 2 
 x
= -6. 
 
 Se uma variável x der um acréscimo 
x
 a partir de x = x , valor arbitrário, porém fixo, 
de x no seu domínio, uma função y = f(x) receberá , por sua vez, um acréscimo 
)()()( xfxxfxfy 
. 
 
Exemplo : 
 
◙ x recebe acréscimo 0,5 a partir de x = 1, a função y = f(x) = x2 + 2x varia de y = f(1) = 3 para 
y + 
y
= f(1,5) = 5,25 e 
y
 = 
)()( xfxxf 
 = 5,25 – 3 = 2,25 . 
 
 
 
Esquema Geral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
 
 
 
 
 
 
 
x
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
32 
 
 
◙ Taxa instantânea de variação. 
 
◙ Derivada da função y =f(x) = y’ = f’(x). 
 
◙ f’(x) = 
dx
dy
. 
x1 x2 
 f(x1) 
f(x2) 
x 
y 
0 
função 
P 
Q 
 
A Taxa média de variação ( T.M.V ) : de uma função y = f(x) em relação a x ( ou por 
unidade de variação de x ) é dada pela relação ;x
xfxxf
x
y




 )()(
 
 
Quando 
x
 0 temos : 
 
 
)('
)()(
limlim
00
xf
x
xfxxf
x
y
xx







 
 
 
 
Graficamente : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
 
 
 
 
 
 
Quando x2 

 x1, temos x 0. x 
 
* 
x
y


 é o coeficiente angular (m) da reta secante à curva y = f(x) por P e Q ( T.M.V ). 
** f’(x) = 
x
y
x 

 0
lim
 : coeficiente angular ( m ) da reta tangente à curva por P = Q. ( Derivada ). 
Reta Secante * 
Reta Tangente ** 
Taxa 
Média 
de Variação 
Criado por Edson Mendes 
 
33 
 
 
x 
y = f(x) = f(2) = 5 
0 
x 
 
Exemplos : 
 
1 ) Calcule o coef.ang.(m) da reta secante à curva y = x² - x nos pontos P(1,0 ) e Q( 2,2 ). 
Resolução : 
m = 









12
02
12
12
xx
yy
x
y
 m = 2 . 
 
 
2 ) Dada a função f(x) = x² + 3x –1 , determine : 
 a ) A variação de y quando x varia de 1 para 3. 
 b ) T.M.V . 
Resolução : 
 
a ) Para x = 1 temos f(1) = 1² + 3.1 –1 = 1 + 3 –1 

f(1) = 3. 
 Para x = 3 temos f(3) = 3² + 3.3 – 1 = 9 + 9 – 1 

 f(3) = 17. 
 

a variação 
y
= 17 – 3 

y
= 14. 
b ) T.M.V = 





2
14
13
14
x
y
 T.M.V = 7. 
 
3 ) Calcule o coef.ang. (m) da reta tangente à curva f(x) = x² +2x – 3 no ponto P ( 2, 5 ). 
 
Resolução : 













 x
xx
x
fxf
x
xfxxf
x
y
xf
xxxx
5]3)2(2)2[(
lim
)2()2(
lim
)()(
limlim)('
2
0000
 
.6)('
)6(
lim
886)(
lim
5324)(44
lim
0
2
0
2
0











xf
x
xx
x
xx
x
xxx
xxx
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
34 
 
 
 
Exercícios : 
 
1 ) Calcule a T.M.V quando x varia de 0 a 1 na função y = x² + x + 1. 
2 ) O custo de um determinado produto é dado por y = 2x – 8 , com x 

 4. Se o número de 
unidades produzidas (x) variar de 5 a 8, qual a T.M.V do custo (y) em relação ao número de 
unidades produzidas (x) ? 
3 ) Obter, pela definição de limite, as derivadas de : 
 a ) y = 3x – 4 d ) f(x) = 
x
1
 
 b ) y = -x² + 3x e ) f(x) = 
3x
 
 c ) f(x) = x² + 2x + 1 
4 ) Calcule o coef.ang. (m) da reta tangente à curva f(x) = -x² + 2x pelo ponto P ( 2, 0 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
35 
 
 
CAPÍTULO 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO : 
 
 
1 ) Achar a derivada de y = 
12 x
, pela definição de limite. 
 
2 ) Idem para y = x² + 3x + 5 . 
 
3 ) Idem para y = 3x² + 2x –1 . 
 
4 ) Idem para f(x) = 
2
1
x
 em x = 1 e x = 3 . 
 
5 ) Idem para f(x) = 
34 2 x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
36 
 
 
CAPÍTULO 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO : 
 
 
Calcule os seguintes limites ... 
 
1 ) 
3
23
2x 3x4
2xx5x3
lim



 
 
2 ) 
x
xx
x 46
232
lim
2
2 


 
 
3 ) 
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
 
4 ) 
x
x
x 

 2
4
lim
2
2
 
 
5 ) 
)sen(coslim
0
xx
x


 
 
6 ) 
1
3
lim
2
3


 x
xx
x
 
 
7 ) 
1
2
lim
3
34


 xx
xxx
x
 
 
8 ) Considerando f(x) = 
x
xsen
, definida em R
*
, calcule 
2
lim
x
x
f(x). 
9 ) Obtenha a derivada da função f(x) = 3x
3
 + 2x
2
 – x + 2 . 
 
10 ) Demonstre usando P.I.F : 1² + 2² + 3² + ... + n² = 
6
)12)(1(  nnn
 ; 

 n 

 N*. 
 
11 ) Calcule a T.M.V de f(x) = 









3
5
2
323 23
x
e
xx
com
x
xxx . 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
37 
 
 
CAPÍTULO 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO : 
 
 
Calcule os seguintes limites ... 
 
1 ) 
)574(lim 2
1


xx
x
 11 ) 
26
328
lim
2
23


 x
xxx
x
 
 
2 ) 
)342(lim 23
1


xxx
x
 12 ) 
12
1523
lim
2
34


 x
xxx
x
 
 
3 ) 
12
453
lim
2
1 

 x
xx
x
 
 
4 ) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
 
5 ) 
32
94
lim
2
2
3 

 x
x
x
 
 
6 ) 
3
4
2 8
16
lim
x
x
x 


 
 
7 ) 
38
96
lim
3
3
3 

 xx
xx
x
 
 
8 ) 
ax
ax
ax 


22
lim
 
 
9 ) 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 
 
10 ) 
x
x
x
11
lim
0


 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
38 
 
 
CAPÍTULO 12 
0 
0 
0 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
 
 Nem toda função é diferenciável. Abaixo temos alguns exemplos de funções que 
NÃO são diferenciáveis em um ponto.No caso x = 0 . 
 
 y = 
x
x 
 y ( II ) y 
( I ) 
 y = 31x ○
 
 
 
 ● x 
 x 
 
 ○ 
 
 
 
Tangente Vertical ( 

 ) Descontinuidade 
 
 
 
 
 
 y y 
( III ) ( IV ) 
 
 y = 32x y = |x|
 
 
 ● x ● x 
 
 Cúspide Nó 
 
 
 
 
 
 
 Por, definição, toda a função f diferenciável em a é contínua em a, porém a “ volta “ não 
é válida, ou seja, nem toda a função contínua em a é diferenciável em a ( Vide I, II e IV ) com 
A ( 0, 0 ) e não diferenciáveis em a. 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
39 
 
 
Algumas Regras de Diferenciação 
 
 
 
◙ Derivada de uma constante 
 
 
 
Se f(x) = b , então f’(x) = 0 
 
 
 
 
 
● Usando a definição delimite,podemos chegar à todas as derivadas de funções 
diferenciáveis, porém, como vimos acima, temos algumas regras práticas as quais serão vistas e 
adotadas daqui 
para frente. 
 f(1) = b 
Exemplo : f(x) = b ( cte.) f(2) = b 
 f(3) = b 
 . . . . 
 
 
0
0
limlim
)()(
limlim)('
0000












 xx
bb
x
xfxxf
x
yxf
xxxx
. 
 
 
 
 
◙ Regra da Potência 
 
 
 
 
Se n 

 R, se f(x) = x
n
, então f’(x) = n.xn-1, para x 

0 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
a ) f(x) = x
4 
 

 f’(x) = 4x3. d ) f(x) = 
2
1
x
 
= x
-2

 f’(x) = -2x-3 = 
3
2
. 
 
b ) f(x) = x
5 
 

 f’(x) = 5x4. e ) f(x) = x 

 f’(x) = 1x0 = 1.1 = 1. 
 
 
c ) f(x) = -x
6 
 

 f’(x) = -6x5. 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
40 
 
 
 
◙ Múltiplo Constante ( c 

 R ) 
 
 
 
 
f(x) = [ c.f(x) ] 

 [ c.f(x) ]’ = c.f’(x) 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
a ) f(x) = 3x
2
 

 f’(x) = 3.2.x = 6x. 
 
b ) f(x) = 7x
4
 

 f’(x) = 7.4.x3 = 28x3. 
 
c ) f(x) = -3x
3

 f’(x) = -3.3.x2 = -9x2. 
 
 
 
 
◙ Regra da Exponencial 
 
 
 
f(x) = e
x
 

 f’(x) = ex.x’ = ex.1 = ex 
 
 
 
 
 
◙ Algumas Derivadas de funções Trigonométricas 
 
 
 
● f(x) = sen x 

 f’(x) = cos x 
 
● f(x) = cos x 

 f’(x) = -sen x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
41 
 
 
A ( 1, 1 ) 
A ( 1, 1 ) 
 
0 
0 
0 
y = 21x 
A ( 1, 1 ) 
0 
Exercícios : 
 
 
1 ) Derive, aplicando as regras : 
 
 a ) 
34
1
x
y 
 c ) 
3)4(
1
x
y 
 
 
 b ) 
23
2
x
y 
 d ) 
x
x
y 
 
 
 
 
2 ) Ache o valor da derivada no ponto indicado : 
 
 a ) 
x
xf
1
)( 
 em P ( 1,1 ) b ) 
x
xf
1
)( 
 em P








2
2
,2
 
 
 
 
3 ) Idem para : y 
 
 y = x2 
 y b ) 
 a ) 
 ● 
 A ( 1, 1 ) 
 ● 
 
 x x 
 
 
 
 
 
 y = 23x
 
 y y y = x3 
 c ) d ) 
 
 
 ● 
 ● 
 x x 
 
 
 
==================================================================== 
==================================================================== 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
42 
 
 
CAPÍTULO 13 
 
0 
 f(x) = 2x3 – 5x2 + 2 
 
 
 
 
 
 
Uma breve inter-relação entre Cálculo e G.A 
 
 
 Já vimos que a interpretação geométrica da Derivada é que ela é o coef. angular ( m ) 
da reta tangente a uma curva estudada por um ponto dado.Ou seja : 
 A derivada da função f(x) = 2x
3
 – 5x2 + 2 pelo ponto P ( 2, -2 ) respeitadas as condições 
de diferenciabilidade é f’(x) = 6x2 –10x 

 m = f’(2) = 6.(2)2 – 10.(2) 

m = 4. 
 Daí o coeficiente angular ( m ) da reta que tangencia a função f(x) dada acima é m = 4, 
Com isso podemos determinar a equação desta reta tangente usando a fórmula da equação da 
reta dado o coef. angular e um ponto. y – y0 = m. ( x – x0 ) . 
 Assim, no nosso exemplo, temos m = 4 e P ( 2,-2 ). 
 Logo y – y0 = m. ( x – x0 )  y – ( -2 ) = 4. ( x – 2 )  y + 2 = 4x – 8  

 y + 2 – 4x + 8 = 0 , Portanto : 
 
 
y – 4x + 10 = 0 ou y = 4x – 10 
 
 
é a equação da reta tangente à f(x) = 2x
3
 – 5x2 +2 pelo ponto P ( 2, -2 ). 
 
 
Graficamente temos o esquema : 
 
 
 y 
 
 
 

 
 x 
 
 
 
 ● 
 P ( 2, -2 ) 
 
 
 
 r 
 
 0bs. : A reta r acima tangencia a função f(x) pelo ponto P e forma, a partir do eixo das 
 abscissas ( x ) um ângulo 

 onde tg 

 = m = f’(x) pelo ponto P dado. 
 
 
Exercícios : 
 
◙ Determine as equações das retas tangentes representadas no Exerc. 3 – Pág. 4 – Aula 2. 
 
Criado por Edson Mendes 
 
43 
 
 
 
Mais Regras de Diferenciação 
 
 
 
 
◙ Regras da Soma (e da Diferança ) 
 
 
 
 
 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos : 
 
● 
    )()()()()()( ''' xgxfxgxfxgxf
dx
d

 
 
● 
    )()()()()()( ''' xgxfxgxfxgxf
dx
d

 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
1 ) Ache a derivada de f(x) = x
3
 – 4x + 2. 
 
 Resolução : f ‘(x) = (x3)’ – (4x)’ + (2)’ 

 f ‘(x) = 3x2 – 4 . 
 
 
 
 
2 ) Ache a derivada de g(x) = -
2
1
x
4
 + 3x
3
 – 2x. 
 
 Resolução : g‘(x) = -
2
1
.4x
3
 + 3.3x
2
 – 2. 

 g ‘(x) = -2x3 + 9x2 - 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
44 
 
 
 
 
◙ Regra do Produto 
 
 
 
 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos : 
 
● 
  )x(g).x(f)x(g).x(f)x(g).x(f
dx
d '' 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 f g 
 
1 ) Derive y = ( 3x – 2x2 ).( 5 + 4x ). 
 
 Resolução : 
dx
dy
 = ( 3x – 2x2 )’. ( 5 + 4x ) + ( 3x – 2x2 ). ( 5 + 4x )’ = 
 = ( 3 – 4x ). ( 5 + 4x ) + ( 3x – 2x2 ). ( 4 ) = 15 +12x – 20x – 16x2 + 12x – 8x2 = 
 
 = -16x
2
 – 8x2 + 12x – 20x + 12x + 15 

 
dx
dy
 = -24x
2
 + 4x + 15 . 
 
 
2 ) Derive y = 2x.( x
2
 + 3x ). 
 
 Resolução : 
dx
dy
 = ( 2x )’. ( x2 + 3x ) + 2x . ( x2 + 3x )’ = 2. ( x2 + 3x ) + 2x . ( 2x + 3 ) = 
 = 2x
2
 +6x + 4x
2
 + 6x 

 
dx
dy
 = 6x
2
 + 12x . 
 
 
 
 
 
Obs. : Podemos estender o conceito de derivada do produto para mais do que duas funções, 
 Por exemplo : Sejam f(x), g(x) e h(x) deriváveis ... 
 
 Portanto : 
  )().().()().().()().().()().().( ''' xhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxf
dx
d

 , e 
 
 Assim por diante ... 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
45 
 
 
 
 
◙ Regra do Quociente 
 
 
 
 
Sejam f(x), g(x) diferenciáveis, temos : 
 
 ● 
 2
''
)x(g
)x(g).x(f)x(g).x(f
)x(g
)x(f
dx
d 






 , com 
)(xg
 

0
 
 
 
 
 
 
Exemplo : 
 
 
● Derive y = 
32
1


x
x
. 
 
 Resolução : Temos f = x-1 e g = 2x + 3 ... 
 
 










9124
2232
9124
2).1()32.(1
)32(
)'32).(1()32)'.(1(
222 xx
xx
xx
xx
x
xxxx
dx
dy
 
 
 

 
9124
5
2 

xxdx
dy
 . 
 
 
 
 
 
Derivadas de outras funções trigonométricas 
 
 
● f(x) = tg x 

 f’(x) = 
x2cos
1
 = sec
2
x. 
 
● f(x) = cotg x 
f’(x) = 
x2sen
1

 = -cossec
2
x. 
 
● f(x) = sec x 

 f’(x) = 
x
x
2cos
sen
 = sec x .tg x. 
 
● f(x) = cossec x 

 f’(x) = 
x
x
2sen
cos

 = - cossec x .cotg x. 
 
Criado por Edson Mendes 
 
46 
 
 
 
◙ Regra da Derivação da Função Composta ( Regra da Cadeia ) 
 
 
 
 
Seja y = f(u) diferenciável em u . 
Sejam u = g(x) e f[g(x)]diferenciáveis em x, temos : 
 
● 
dx
du
.
du
dy
dx
dy

 ou 
    )x('g.)x(gf))x(g(f
dx
d '
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 
1 ) Derive y = ( x
2
 + 1 )
3 
. 
 
Resolução : Temos u = x
2
 + 1 

 y = u
3
 , portanto y’ = 
dx
du
du
dy
dx
dy
.
 = 3u
2
 .u’ = 
 
 = 3.( x
2
 + 1 )
2
 . 2x = 3.( x
4
 +2x
2
 +1 ).2x 

 y’ = 6x5 +12x3 + 6x . 
 
ou 
 
 y’ = [ ( x2 + 1 )3 ]’.( x2 + 1 )’ = 3.( x2 + 1)2 .2x 

 y’ = 6x5 +12x3 + 6x . 
 
 
 
2 ) Derive y = ( 3x
3
 +2x )
2 
. 
 
Resolução : Temos u = 3x
3
 +2x 

 y = u
2
 , portanto y’ = 
dx
du
du
dy
dx
dy
.
 = 2u .u’ = 
 
= 2.( 3x
3
 +2x ) . ( 9x
2
 + 2 ) = ( 6x
3
 + 4x ) . ( 9x
2
 + 2 ) 

 y’ = 54x5 + 48x3 + 8x . 
 
 
ou 
 
 y’ = [ (3x3 +2 x)2 ]’.( 3x3 +2 x )’ = 2.( 3x3 +2 x) . ( 9x2 + 2 ) 

 y’ = 54x5 + 48x3 + 8x 
. 
 
 
3 ) Derive y = sen 2x
 
. 
 
Resolução :. 
 
 y’ = [sen 2x]’.( 2x )’ = cos2x . 2 

 y’ = 2.cos 2x . 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
47 
 
 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) Derive: 
 
 a ) y = x
5
 – 4x3 + 2x – 3 e ) y = 
22
6
ba
bax


 
 
 b ) y = 
42
2
1
3
1
4
1
xxx 
 f ) y = 32532 23  xxx 
 
 c ) y = ax
2
 + bx + c g ) y = 
3 22 . xx
 
 
 
 d ) y = at
m
 + bt
m + n 
 h ) y = 
55
32
2 

xx
x
 
 
 
 
2 ) Derive as funções trigonométricas : 
 
 a ) y = 5sen x + 3cos x d ) y = 2t.sen t – ( t2 – 2 ).cos t 
 
 b ) y = tg x – cotg x e ) y = x.cotg x 
 
 c ) y = 
xx
xx
cossen
cossen


 
 
 
 
3 ) Derive as compostas : 
 
 a ) y = ( 3 + 2x
2
 )
4 
 d ) y = sen 3x + cos 
5
x
 + tg 
x
 
 
 b ) y = 
21 x
 e ) y = 2x + 5cos
3
x 
 
 
 c ) y = ( 3 – 2.sen x )5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
48 
 
 
CAPÍTULO 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Derivada das funções Logarítmica e Exponencial 
 
 
 
 
● y = 
x
e
axdx
dy
x aa
log
ln.
1
log 
 . 
 
 
● y = 
xdx
dy
x
1
ln 
 . 
 
● y = 
xx e
dx
dy
e 
 . 
 
● y = 
'.' ueye uu 
 . ** 
 
● y = 
aa
dx
dy
a xx ln.
 . 
 
 
 
** Exemplo : y = e
4x
 

 y’ = e4x . ( 4x )’ 

 y’ = e4x . 4 . 
 
 
 
 
Mais derivadas trigonométricas 
 
 
● f(x) = arcsen x 

 f’(x) = 
21
1
x
 . 
 
● f(x) = arccos x 

 f’(x) = 
21
1
x

 . 
 
● f(x) = arctg x 

 f’(x) = 
21
1
x
 . 
 
● f(x) = arccotg x 

 f’(x) = 
21
1
x

 . 
 
Criado por Edson Mendes 
 
49 
 
 
 
Derivadas Sucessivas 
 
 
 Seja y = f(x), chamamos de Derivada Primeira a função y’ = f’(x) obtida à partir da 
derivação de y = f(x); se derivarmos y’ = f’(x) obteremos y’’ = f’’(x) ou Segunda Derivada, e 
assim por diante, até y
n
 = f
n
(x) possível. 
 
Exemplo : 
 
◙ f(x) = -8x4 

 f’(x) = -32x3 

 f’’(x) = -96x2 

 f’’’(x) = -192x 

 f
iv
(x) = -192 

 f
v
(x) 
= 0. 
 
 
 
 
Função Inversa ( f
-1
 ) 
 
 
 Convém salientar que f
-1
 

 
f
1
 . 
 
 Em linhas gerais, a função inversa f
-1
 desfaz o que a função f fez . 
 
 
Exemplo : 
 
 
 a ) 
 
 
 Imf 
 
 
 
 
 Df 
 Cdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f(x) = x
2
 - 1 
 b ) , com x e f(x) 

 -1 . 
 f
-1
(x) = 
12 x
 
 
 
 
● 4 
● 0,5 
● 2 
 
 
1 ● 
2 ● 
3 ● 
 f 
 f
-1 
Criado por Edson Mendes 
 
50 
 
 
f
-1
(x) = 
x
 
Assíntota 
f(x) = x
2 
x 
y 
0 
f
-1
(x) = 
3 x
 
Assíntota 
f(x) = x
3 
x 
y 
0 
 
Definição de Função Inversa 
 
 Seja f uma função Bijetora, ou seja, para cada y 

 Imf existe um único x  Df tal 
que 
y = f(x), chamamos de Função Inversa de f e denotamos f
-1
 aquela que leva y no único x de f 
tal que y = f(x), ou seja, f
-1
(y) = x . ( Veja os diagramas da folha 2 ) 
 
 
 
Gráficos de algumas funções e suas inversas 
 
 
 
a ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para x 

 0 
Criado por Edson Mendes 
 
51 
 
 
 
Como derivar a função inversa 
 
 
 No nosso estudo não nos interessa acharmos a função inversa propriamente dita, mas sim 
a sua derivada . 
 Sabemos que f
-1
(x)of(x) = x ( função composta ) 

 f
-1
(f(x)) = x 

 [ f
-1(f(x)) ]’ = x’ 

 
 
 

 [ f
-1(f(x)) ]’ = 1 

[ f
-1(f(x)) ]’. f’(x) = 1( regra da cadeia ) 

 [ f
-1(f(x)) ]’ = 
)(
1
' xf
 
. 
 
 
como y = f(x), também podemos denotar [ f
-1
 ]’(y) = 
)(
1
' xf
 . 
 
 
 
 
 Em resumo ... A derivada da função inversa é o inverso da derivada da função . 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
 f(x) 
a ) Sendo f(x) = x
5
 + 2x
3
 + 2x + 3 , calcule ( f
-1
 )’ ( 8 ) . 
 
Resolução : 
 
 [ f
-1
 ]’(y) = 
265
1
)(
1
24' 

xxxf
 , temos f(x) = y = 8 

 8 = x
5
 + 2x
3
 + 2x + 3 

 x = 1 , 
 
logo ( f
-1
 )’ ( 8 ) = 



 265
1
2)1.(6)1.(5
1
24
 ( f
-1
 )’ ( 8 ) = 
13
1
 . 
 
 
 
b ) Idem para f(x) = x
5
 + 2x
3
 + x , com y0 = 4 . 
 
Resolução : 
 
 [ f
-1
 ]’(y) = 
165
1
)(
1
24' 

xxxf
 , temos f(x) = y = 4 

 x
5
 + 2x
3
 + x = 4 

 x = 1 , 
 
logo ( f
-1
 )’ ( 4 ) = 



 165
1
1)1.(6)1.(5
1
24
 ( f
-1
 )’ ( 4 ) = 
12
1
 . 
 
Criado por Edson Mendes 
 
52 
 
 
CAPÍTULO 15 
 
Exercícios : 
 
 
1 ) Derive as funções logarítmicas e exponenciais : 
 
 a ) y = loga( 3x
2 – 5 ) e ) y = x
e 2
1
b ) y = ln ( x + 3 )
2 
f ) y = 23xa 
 
 c ) y = ln 
2
( x + 3 ) g ) y = 
axax
axax
ee
ee




 
 
 d ) y = ln ( sen 3x ) 
 
 
 
 
2 ) Achar y’’ conhecendo y = e-x.lnx . 
 
 
 
 
3 ) Achar y’’ conhecendo y = e-2x.sen 3x . 
 
 
 
 
4 ) Ache as derivadas das funções inversas f
-1
(x) dadas : 
 
 a ) f(x) = 2x
3
 + 4x ; y0 = -6 . 
 
 b ) f(x) = 
40,
16
82
2
2



x
x
x
 ; y0 = 0 . 
 
 c ) f(x) = x
3
 – 1 , portanto [ f-1 ]’(x) = ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
53 
 
 
 
 
 
 
REGRA DE L’HOSPITAL 
 
Formas e limites indeterminados 
 
Já estudamos limites do tipo 
1x
1x
lim
2
1x 


 ou 
1x
1x2
lim
x 


. Pela substituição direta pode-se 
originar uma forma indeterminada do tipo 
0
0
 ou 


. Vejamos : 
 
0
0
1x
1x
lim
2
1x




, tal resultado nada informa nada informa sobre o limite, por isso, para 
resolvê-lo, vamos fatorar e simplificar, como segue : 
2)1x(lim
1x
)1x).(1x(
lim
1x
1x
lim
1x1x
2
1x







. 
 
Da mesma forma ... 
 





 1x
1x2
lim
x
, daí: 2
01
02
lim
x
1
x
x
x
1
x
x2
lim
x
1x
x
1x2
lim
1x
1x2
lim
xxx
x
x















. 
 
 
 
 
 
 
A regra de L’Hospital 
 
 
 Seja ] a, b [ um intervalo que contém c. Sejam f e g funções diferenciáveis em 
] a, b [ , exceto em c. Se o limite de 
)x(g
)x(f
quando x tende para c dá a forma indeterminada 
 
0
0
 ou 


, então : 
 
 
)x(g
)x(f
lim
)x(g
)x(f
lim
'
'
cxcx 

 
 Regra de L’Hospital 
 
 
 Desde que o limite à direita , exista ou seja infinito. 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
54 
 
 
 A forma indeterminada 


 apresenta-se em quatro formas: 


, 


, 


,


 . 
Podemos aplicar a regra de L’Hospital para cada uma delas. 
 
 
Exemplos : 
1 ) Calcule o limite 
x
1e
lim
x3
0x


. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 
0
0
 daí , “por L’Hospital”... 
... 
3e3
1
e3
lim
)'x(
)'1e(
lim
x
1e
lim
0
x3
0x
x3
0x
x3
0x





. 
 
2 ) Calcule o limite 
x
x4sen
lim
0x
. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 
0
0
 daí , “por L’Hospital”... 
... 
41.40cos4
1
x4cos4
lim
)'x(
)'x4(sen
lim
x
x4sen
lim
0x0x0x


. 
 
 
3 ) Calcule o limite 
1e
e
lim
x2
x
x 
. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 


 daí , “por L’Hospital”... 
... 
0
e2
1
lim
)e(2
e
lim
e2
e
lim
)'1e(
)'e(
lim
1e
e
lim
xx2x
x
xx2
x
xx2
x
xx2
x
x



 
. 
 
 
 
4 ) Calcule o limite 
x
2
x e
x
lim

. 
Resolução : 
A aplicação direta dá a forma 


 daí , “por L’Hospital”... 
... 
0
e
2
lim
)'e(
)'x2(
lim
e
x2
lim
)'e(
)'x(
lim
e
x
lim
xxxx
H'L
xxx
2
xx
2
x






 
. 
 
Obs. : Verifique que podemos aplicar “L’Hospital” várias vezes no mesmo problema. 
 
 
 
A regra de L’Hospital pode ser utilizada para comparar a taxa de crescimento de duas, 
ou mais, funções. Consideremos, por exemplo, o limite abaixo : 
 
Criado por Edson Mendes 
 
55 
 
 
0
1e
e
lim
x2
x
x


 
 Ambas as funções : e
x
 bem como e
2x
 + 1 tendem para infinito quando 
x
. 
Todavia, como o quociente 
)x(g
)x(f
 tende para zero quando 
x
, decorre que o denominador 
cresce mais rapidamente que o numerador. 
 
Outro exemplo : 
 
 As três funções dadas a seguir tendem para infinito quando 
x
. Qual delas 
apresenta crescimento mais rápido ? 
 Funções : 








xln)x(h
e)x(g
x)x(f
x . 
Resolução: 
 
 Aplicando “L’Hospital” temos : 
 
 
0
e
x
lim
xx


, daí concluímos que o crescimento de e
x
 é mais rápido que o de x. 
 
 
0
x
xln
lim
x


, daí concluímos que o crescimento de x é mais rápido que o de lnx. 
 
 
0
e
xln
lim
xx


, daí concluímos que o crescimento de e
x
 é mais rápido que o de lnx. 
 
 Resumindo ...








.ocrescimentdetaxaMaiore
.menornem,maiorNemx
.ocrescimentdetaxaMenorxln
x
 
 
Graficamente : y 
 
 g(x) = e
x 
 
 
 
 f(x) = x 
 
 
 h(x) = ln x 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
0 
Criado por Edson Mendes 
 
56 
 
 
CAPÍTULO 16 
 
0 
 
0 
 
 
 
 
 
Funções Crescentes e Decrescentes 
 
 
 
 Crescente : Gráfico “sobe” quando x se desloca para direita. 
 Uma função é dita 
 Decrescente : Gráfico “desce” quando x se desloca para direita. 
 
 
 
 
 Com mais rigor ... 
 
 
 
◙ f é crescente se x2 > x1  f(x2) > f(x1)  x  ao intervalo estudado . 
 
 
 
 y 
 
 
 f(x2) 
 
 f(x1) 
 x 
 x1 x2 
 
 
 
 
 
◙ f é decrescente se x2 > x1  f(x2) < f(x1)  x  ao intervalo estudado . 
 
 
 
 y 
 
 
 f(x1) 
 
 f(x2) 
 x 
 x1 x2 
 
 
 
Criado por Edson Mendes 
 
57 
 
 
f’(x) < 0 f’(x) = 0 f’(x) > 0 
Decresc. Cresc. 
 Cte. 
 0 
 
 Decrescente em ]

, a [ 
 

 f(x) é Constante em [ a , b ] 
 
 Crescente em ] b,

 [ 
 
 
 
◙ Veja o gráfico abaixo ( Preste atenção às derivadas ) 
 
 
 
 
 
 y 
 f(x) 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 a b 
 
 
 
 
 
 
 Nota : Podemos utilizar a derivada de uma função para determinar se esta é crescente, 
 decrescente ou constante em um intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Daí, seja f diferenciável em ] a , b [ ... 
 
 
 
 
 1 ) Se f’(x) > 0 para todo x 

 ] a , b [

 f é Crescente em ] a , b [ . 
 
 2 ) Se f’(x) < 0 para todo x 

 ] a , b [

 f é Decrescente em ] a , b [ . 
 
 3 ) Se f’(x) = 0 para todo x 

 ] a , b [

 f é Constante em ] a , b [ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos : 
 
Criado por Edson Mendes 
 
58 
 
 
● 
 
1 ) Mostre que f(x) = x
2
 é decrescente no intervalo (

, 0 ) e crescente em ( 0 ,

 ) . 
 
 
Resolução : 
 
 
 Para x 

 (

, 0 ) 

 2x < 0 

f(x) é Decrescente . 
● f(x) = x2 

 f’(x) = 2x , portanto