Noções de Limite Notas de aulas

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Cálculo Instrumental 
Professora Maria Lívia 
 
 
Notas de aula 
 
 
Noção intuitiva de LIMITE 
 
Seja a função f(x) =
3
62 2
−
−
x
xx
 definida em ℜ- {3}. Se x ≠3, podemos dividir o 
numerador e o denominador por x – 3 obtendo f(x) = 2x. 
 
Estudaremos os valores da função f quando x assume valores próximos de 3, 
mas diferentes de 3. 
 
Quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores menores que 3), temos: 
 
x 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 2,9999 
f(x) 
 
 
Quando x se aproxima de 3 pela direita (valores maiores que 3), temos: 
 
x 3,5 3,3 3,1 3,01 3,001 3,0001 
f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que, para x cada vez mais próximo de 3, pela direita ou pela 
esquerda, f(x) assume valores cada vez mais próximos de 6. 
 
Dizemos, então, que o limite de f(x) = 3
62 2
−
−
x
xx
, para x tendendo a 3, é 6, ou 
seja, 
 
 
 
 
3 
6 
6
3
62lim
2
3
=
−
−
→ x
xx
x
Observação: 
Não existe f(3), pois a função f(x) = 3
62 2
−
−
x
xx
 não está definida para x = 3, 
mas existe 3
62lim
2
3
−
−
→ x
xx
x
. 
 
A existência do limite em um determinado ponto não depende do valor 
numérico da função neste ponto. 
 
 
LIMITES LATERAIS 
 
Vejamos agora a função 



≥−
<−
=
1 2
1 4)(
xsex
xsex
xf
 
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1 (à esquerda de 1), 
temos: 
 
x 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 0,9999 
f(x) 
 
 
Atribuindo a x valores próximos de1, porém maiores que 1 (à direita de 1), 
temos: 
 
x 1,5 1,3 1,1 1,01 1,001 1,0001 
f(x) 
 
 
 
 
 
 3 
 1 
 
 -1 
 
Observamos que quando x tende a 1 pela esquerda ( −→ 1x ) o valor numérico 
da função se aproxima de 3,e quando x tende a 1 pela direita ( +→ 1x ) o valor numérico 
da função se aproxima de –1. Neste caso não existe o limite da função f(x) quando x 
tende a 1 (ou seja, se aproxima de 1). 
)(lim)(lim
11x
xfxf
x +− →→
≠
, logo não existe )(lim1 xfx→ 
O limite da função f(x) quando x tende a “a” existe, se e somente se, os 
limites laterais são iguais. 
 
 
)(lim)(lim)(lim xfxfxf
axaxax +− →→→
=⇔∃
 
Observe os gráficos e determine. 
 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
a) =
−∞→
)(lim xf
x
 
 
b) =
−→
)(lim
0
xf
x
 
 =
+→
)(lim
0
xf
x
 =
→
)(lim
0
xf
x
 
 
c) =
−→
)(lim
1
xf
x
 
 =
+→
)(lim
1
xf
x
 =
→
)(lim
1
xf
x
 
 
d) =
−∞→
)(lim xf
x
 
a) =
−∞→
)(lim xf
x
 
 
b) =
−
−→
)(lim
1
xf
x
 
 =
+
−→
)(lim
1
xf
x
 =
−→
)(lim
1
xf
x
 
 
c) =
−→
)(lim
1
xf
x
 
 =
+→
)(lim
1
xf
x
 =
→
)(lim
1
xf
x
 
 
d) =
−∞→
)(lim xf
x
 
a) =
−∞→
)(lim xf
x
 
 
b) =
−→
)(lim
0
xf
x
 
 =
+→
)(lim
0
xf
x
 =
→
)(lim
0
xf
x
 
 
c) =
−→
)(lim
2
xf
x
 
 =
+→
)(lim
2
xf
x
 =
→
)(lim
2
xf
x
 
 
d) =
−∞→
)(lim xf
x
 
LIMITES – EXERCÍCIOS: 
 
1. Calcule os seguintes limites: 
a) )253(lim 22 +−→ xxx b) 34
32lim
2
1
−
−+
−→ x
xx
x
 c) 
3
2
2
2 43
523lim 





++−
−−
→ xx
xx
x
 
 
d) 3
23
2 34
253lim
+
+−−
−→ x
xxx
x
 e) 62
5lim 3
2
2 +
−
−→ t
t
t
 f) 
x
xx
x 46
232lim
2
2
−
++
→
 
 
2. Calcule o limite das seguintes funções, se existirem: 
a) 





>−+
=−
<−
=
1 34
1 1
1 52
)(
3 xsexx
xse
xsex
xf , quando 1→x ; 
b) 



<−
≥−
=
3 54
3 52)(
xsex
xsex
xf , quando 3→x ; 
c) 



>−
≤+−
=
3 28
3 23)(
2
xsex
xsexx
xf , quando 3→x ; 
 
3. Calcule o valor de “a” de modo que exista o limite de: 
a) 



≤
>
=
1 - x se 5
1- xse 23
 )(
 - ax
x - 
xf quando 1−→x . 
b) 



>+
≤+
=
2 - x se a 3x 
-2 x se 3 4x 
 )(xf quando 2−→x . 
 
 
Respostas: 
1) a) 4; b) 4/7 c) 1/8 d) 2 e) 1/10 f) – 2 
2) a) 3)(lim1 −=+→ xfx ; 2)(lim1 =−→ xfx ∴ não existe )(lim1 xfx→ 
b) 1)(lim3 =+→ xfx ; 11)(lim3 −=−→ xfx ∴ não existe )(lim3 xfx→ 
c) 2)(lim3 =+→ xfx ; 2)(lim3 =−→ xfx ∴ )(lim3 xfx→ = 2 
3) a) a = - 10 b) a = 1 
 
4. Calcule os seguintes limites: 
a) 1
1lim
2
1
−
−
→ x
x
x = 2 b) x
x
x +
−
−→ 2
4lim
2
2 = 4 
c) 353
142lim 23
23
1
−+−
+−+
→ xxx
xxx
x = 2 d) 6
3 4x lim 2
2
3
−−
+−
→ xx
x
x = 5
2
 
e) 1
1lim 2
3
1
−
−
→ x
x
x = 2
3
 f) 2
3
2 4
8lim
x
x
x
−
+
−→ = 3 
g) 3
4
2 8
16lim
x
x
x
−
−
→ = 3
8
−
 
h) 8
12
410lim 23
4
2
−=
+−
−−
→ xx
xx
x
 
i) 38
96lim 3
3
3
−−
−−
→ xx
xx
x = 19
21
 j) 23
4
2 2
410lim
xx
xx
x
−
+−
→ = 2
11
 
l) 132
243lim 23
23
1 +−
+−−
→ xx
xxx
x = 3
5
 m) 254
45lim 23
234
1 +++
++−−
−→ xxx
xxxx
x = 8 
n) 34
23lim 4
3
1 +−
+−
→ xx
xx
x = 2
1
 
p) 2- 
23²
1²lim
1
=
++
−
−→ xx
x
x
 
o) 
8
1
2012²
65²lim
2
=
+−
+−
→ xx
xx
x
 
 
Exercício – Limite de funções irracionais 
 
1.) Calcule o limite das seguintes funções: 
 
a) 1
1lim
1
−
−
→ x
x
x = 2
1
 b) 
4
1
 
4
2lim
4
=
−
−
→ x
x
x
 
c) 
x
x
x
24lim
0
−−
→
 d) 
x
xlim
x 2
55
0
−+
→
 
e) 
3
12lim
3
−
+−
→ x
x
x
 f) 
4
35lim
4
−
−+
→ x
x
x
 
g) 
8
31lim
8
−
−+
→ x
x
x
 h) 
1
12lim
1
−
+−
→ x
xx
x