EP aula6

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Matemática Básica 2013/1  EP6 
Prezado aluno, 
Esta semana termina o estudo dos números reais e estamos nos aproximando da 1ª avaliação 
presencial (AP1). Não deixe de realizar os exercícios propostos nesse EP e de conferir os 
exercícios feitos do ep5 com o gabarito abaixo. Além disso, preparamos para essa semana 
alguns exercícios resolvidos sobre resolução de equações. Atenção a esses exemplos, pois 
notamos que vários alunos têm dificuldades nesse assunto. No próximo EP vamos 
complementar o estudo de equações com exemplos de equações envolvendo módulo. 
Deixaremos também alguns exercícios diversos propostos para seu estudo. 
 Bom estudo! 
LEMBRETE: AtP(atividade presencial) no polo durante a semana de 11/03 a 16/03. Esta 
atividade deverá ser realizada no horário da tutoria presencial a ser definido pelo tutor. O 
valor máximo é de 1,0 ponto e será utilizado como bônus para a AP1. 
 
Coordenadores da disciplina 
Cristiane Argento 
Ion Moutinho 
Miriam Abdón 
 
 
Exercícios de revisão 
1) Resolva as equações no conjunto dos reais e represente o conjunto solução numa reta 
graduada. 
a) 
22
3
1
1


 xx
. 
b) 
%60
1

x
x
. 
c) √ , onde √  1. (Não use aproximação.) 
 
2) Resolva os sistemas no conjunto dos reais e marque o conjunto solução numa reta 
graduada. 
a) {
 
 
 b) {
√ 
 √ 
 c) {
 
 
 
 
3) Desenhe uma representação da reta graduada e represente os seguintes valores sobre o seu 
desenho: 3 – √ ; 2 3; √ + ; 5,2. Você pode usar que √ é aproximadamente 1,4 e  é 
aproximadamente 3,1. 
 
4) Resolva as inequações. Dê a resposta em termos de intervalos e represente o conjunto 
solução na reta graduada. 
a) 2x + 5 < 6 
b) 
c) 
d) 
e) |x+2| 3 
f) |x+2| 3 
 
Resolução de Equações: 
 
Vamos resolver algumas equações mais elaboradas fazendo uso das propriedades 
algébricas dos números reais vistas na página 11 da Unidade 4 da apostila. Ressaltamos que 
para as propriedades e), f), l), m) e p) vale a recíproca, ou seja, a implicação (⇒) pode ser 
substituída pela equivalência (⟺). Esse fato é muito importante na resolução de equações, 
pois se usarmos só propriedades equivalentes em cada passo da solução, ao final não 
precisamos checar se os valores encontrados pertencem ao conjunto solução da equação 
dada. 
Tomamos nos exemplos a seguir como conjunto universo, o conjunto dos números reais. 
 
Exemplos: Determine o conjunto solução de cada equação. 
1. . 
𝐒𝐨𝐥𝐮çã𝐨: Vamos citar propriedades utilizadas das página 11 da Unidade 4 da apostila. 
Pela propriedade p), temos que ou e pela propriedade e), segue que 
 ou . Usando l), obtemos que / ou . Logo, 𝑆 { / , }. 
 
2. . 
𝐒𝐨𝐥𝐮çã𝐨: Pela propriedade p), temos que ou . Novamente, de 
p), temos ou =0 ou . Portanto, pelas contas feitas no ex.1, temos que 
𝑆 { , , / }. 
 
3. (√ )(√ ) . 
𝐒𝐨𝐥𝐮çã𝐨: Nesse exemplo, note que ≥ , para que a equação esteja bem definida em ℝ. 
Pela propriedade p), temos que (√ ) ou (√ ) . De e), segue que √ 
ou √ . Usando l), temos 
√ 
3
 ou 6. Assim 𝑆 {
√ 
3
, 6}. 
 
4. √ √ 
Solução: Inicialmente, observe que para a equação estar bem definida em ℝ, devemos ter 
 ≥ e ≥ , ou seja ≥ e ≥ , portanto ≥ . Elevando ao quadrado os 
dois lados da equação, segue que . Usando e) duas vezes, obtemos . 
Verificando o valor na equação, vemos que esta é satisfeita. Logo, S={14}. 
 
Obs: Elevar os dois lados de uma equação a uma potência par transforma a equação 
inicial numa nova equação que, em geral, não é equivalente à primeira. Por isso, tivemos que 
fazer a verificação no exemplo acima. 
 
5. √ √ 
Solução: Inicialmente, observe que para a equação ficar bem definida em ℝ, devemos ter 
 ≥ e ≥ , ou seja ≥ e ≥ , portanto ≥ . Elevando ao 
quadrado os dois lados da equação, segue que . Usando e) duas vezes, 
obtemos 6. Porém, -6<-4, logo 𝑆 ∅. 
 
6. 𝜋 , 
Solução: A primeira providência que pensamos em tomar é cancelar o usando a 
propriedade m), porém como pode ser 0, devemos analisar as duas possibilidades, quando 
 e ≠ . Se , observe que a equação é satisfeita [ 𝜋. , ]. Se ≠ , 
então 
 𝜋 , . ⟺⏟
𝑑𝑒 𝑚 
 𝜋 , ⟺⏟
𝑑𝑒 𝑒 
𝜋 , ⇔⏟
𝑑𝑒 𝑙 
 
3,14
𝜋
. 
Logo, 𝑆 { ,
3,14
𝜋
}. 
 
Obs: 
3,14
𝜋
≠ , 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜋 ≠ , . 
 
 
7. 6 
Solução: Aqui também, a primeira providência que pensamos em tomar é cancelar o 
termo comum ,usando a propriedade m) , porém como pode ser 0, devemos 
analisar as duas possibilidades, quando e ≠ . Se , observe que a 
equação é satisfeita e portanto resolve a equação. Seja ≠ , isto é, ≠ . 
Então, obtemos 
 6 ⟺⏟
𝑑𝑒 𝑚 
 6 ⇔⏟
𝑑𝑒 𝑒 
 ⇔⏟
𝑑𝑒 𝑙 
 
 
3
 
. 
Assim, 𝑆 { ,
3
 
}. 
Respostas dos exercícios do EP05: 
1) Resolva as expressões numéricas e escreva o resultado em forma de fração irredutível. 
a) 
1,0:)632(25,01
201,0
3,246
0
2
1
:
3
1
1
1



 
b) 
2,0:)6
12
5
2(5,22
2
1
:
4
1
2
5
671,0
67,5432
]3)2(6[ 



 
c) 
1−
1
2−
1
3
3−1
5−
2
3
 
 
Solução: 
a) Passo 1: resolva o denominador na primeira fração: 
 
 
 
 
:
 
 
 ×
 6, 
 , 
 , × 6 : , 
 
 
 
 
:
 
 
 ×
 6, 
 , 
 , × 6 : , 
Passo 2: resolva o produto por zero: 
 
 
 
:
 
 
 ×
 6, 
 , 
 , × 6 : , 
 
 
 
 
:
 
 
 , × 6 : , 
Passo 3: substitua o valor 0,1 por sua fração irredutível: 
 
 
 
:
 
 
 , × 6 : , 
 
 
 
:
 
 
 , × 6 :
 
 
 
Passo 4: resolva as divisões: 
 
 
 
:
 
 
 , × 6 :
 
 
 
 
 
×
 
 
 , × 6 × 
Passo 5: resolva os produtos e o parêntese: 
 
 
×
 
 
 , × 6 × 
6
 
 
 
 
 × 
 
 
 6 × 
Passo 6: resolva o produto primeiro e depois a soma 
 
 
 6 × 
 
 
 6 
 6 
 
 
6 
 
 
 
b) 
10
2
:)6
12
5
2(5,22
2
1
:
4
1
2
5
671,0
67,5432
]3)2(6[ 



= 
10
2
:)
2
5
2(5
2
1
:
4
9
5
671,0
67,5432
]66[ 


= 



10
2
:)
2
1
(5
2
1
:
9
20
671,0
67,5432
0
18
55
18
459080
2
5
5
9
40
4
10
5
9
40
2
10
)
2
1
(5)2(
9
20
0 






. 
c) 
1−
1
2−
1
3
3−1
5−
2
3
 
1−
1
5
3
 
1
3
13
3
= 
1−
3
5
1
13
 
2
5
1
13
 
 6
5
 
16
5
. 
 
 
2) Determine o número inteiro que somado a 35% dele mesmo resulta em 270. 
Solução: Vamos representar o inteiro desconhecido por x. Então, traduzindo o 
enunciado em linguagem simbólica matemática, temos: 
x + 
35
100
x = 270. 
Realizando o procedimento de resolução de uma equação, segue que: 
x + 
35
100
x = 270  
135
100
x = 270  x = 
 7000
135
 = 200. 
 
 
3) Um corte de cabelo custa 60 reais. De segunda a quarta-feira tem uma promoção que 
dá um descontode 20% a todos os clientes e além disso, tem a promoção Teen que dá 
20% de desconto sobre o preço praticado no respectivo dia da semana para crianças e 
adolescentes de até 18 anos. Meu filho Daniel de 12 anos foi cortar o cabelo na terça-
feira e o Jônatas de 14 anos foi na quinta-feira. Quanto cada um pagou? Qual foi o 
percentual de desconto que cada um obteve sobre o preço normal do corte? 
Solução: O preço cobrado de segunda a quarta é 60-6 ×
 0
100
 6 6 ×
1
5
 6 
 reais. O Daniel cortou o cabelo na 3ª feira e como tem 12 anos, o preço pago 
foi de ×
 0
100
 ×
1
5
 ,6 , reais. O desconto obtido foi 
de 60-38,40=21,60 reais. Em relação ao preço normal, o percentual de desconto obtido 
pelo Daniel foi de ,6 ×
100
60
 ,6 ×
5
3
 6%. 
O Jônatas cortou na 5ª feira e como tem 14 anos, pela promoção Teen, pagou 60-
6 ×
 0
100
 6 6 ×
1
5
 6 reais. Seu desconto foi de somente 20%. 
 
4) Um número x  ℚ é tal que a diferença de x por 
3
2

 é 40% da diferença de 
4
15
 por 
3
1
 
Determine x representado-o como uma fração irredutível. 
Solução: Interpretando o problema, temos a equação 













3
1
4
15
100
40
3
2
x
 
Podemos manipular as expressões da equação a fim de obter uma nova equação 
equivalente, mas simplificada: 
30
41
12
41
10
4
3
2
12
445
10
4
3
2
3
1
4
15
100
40
3
2














 xxx
 
Resolvendo a última equação, temos: 
30
21
30
2041
3
2
30
41


x
 
Escrevendo x na forma de fração irredutível, temos x=7/10.
 
 
5) Um quadrado de lado 10 teve a medida de seu lado reduzido em 20%. Qual o 
percentual de redução da área do quadrado? 
Solução: Com a redução, a medida do lado do quadrado ficou igual a 8. Então sua área é 
dada por × 6 . Assim, a área foi reduzida de 100 para 64, ou seja, de 36 
unidades de área, o que corresponde a 36% de redução para a área. 
 
6) Escreva as dízimas periódicas em forma de fração ou como número inteiro. 
a) 0,151515... 
b) 2,023232323.... 
c) 99,9999... 
d) 2,32132132... 
Solução: 
a) Seja x=0,151515.., então 
100x=15,151515.... e tem a mesma parte decimal de x. Portanto, 100x-x=15, donde 
99x=15  
33
5
99
15
x
. 
b) Seja x=2,0232323..., então 
 10x=20,232323... e 
1000x=2023,232323... 
 têm a mesma parte decimal, donde 1000x-10x=2003 ⟹990x=2003. Logo, x =
990
2003
. 
c) Seja x=99,999..., então x x ⇒ x ⇒ x . Logo, 99,999.....=100 
. 
d) Seja x , … .⇒ x x ⇒ x ⇒ x 
 319
999
 
773
333
. 
 
7) Efetue. 
a) (0,151515...).( 2,023232323...) 
b) √ , … 
c) 
 
3
 2,32132132... 
d) 0,6666…. 
Solução: 
a) Pelo exercício 6), temos (0,151515...).( 2,023232323...)=
5
33
.
 003
990
 
5. 003
33.5.198
 
 003
33.198
 
 003
6534
. 
b) Como vimos no exercício 6), 99,9999...=100, logo √ , …=√ . 
c) Usando o ex. 6), temos que 
 
3
 2,32132132... =
 
3
 
773
333
 
 +773
333
 
995
333
. 
d) Como 0,666....=
 
3
, temos que 0,6666…. /3. √ 4
3
 √ 1 
3
 4. 6 
 
8) Numa gincana estudantil, a equipe Lua terminou a tarefa em 
7
2
 do dia e a outra equipe 
Terra levou 
3
22
 horas. Quem ganhou a gincana? 
Solução: Temos que 
7
2
 do dia é igual a 
7
2
 de 24 horas, que é igual a 
7
2
.24 = 
7
48
horas. 
Como 487  6,85 e 223  7,33, concluímos que a equipe Lua ganhou. 
 
 
9) Resolva a equação em x, 
  , 𝑏𝑐, 
onde a  3,1. Depois de encontrar o valor de x, diga por que devemos considerar a  3,1. 
Solução: Se ax + 2  3x = 0,1x + bc, temos (a  3,1)x = bc  2, donde x = 
1,3
2


a
bc
. A restrição a  
3,1 é para garantir a última passagem. Se tivéssemos a = 3,1, equação ficaria 0.x = bc  2 e 
poderia não ter solução, caso bc  2 fosse diferente de zero. 
 
10) A idade de Ana hoje é o triplo da idade de Camila. Daqui a 11 anos será o dobro. 
Determine a soma das idades atuais das duas. 
Monte um sistema para resolver o problema acima, chamando de x e y as idades atuais de 
Camila e de Ana, respectivamente. 
Solução: Resolver o problema é equivalente a resolver o sistema 





)11(211
3
yx
yx , onde x 
representa a idade de Ana e y a de Camila. Resolvendo, temos x = 33 e y = 11. Logo, a soma das 
idades é 44. 
 
11) Um lojista comprou de seu fornecedor um artigo por 220 reais (preço de custo) e fixou 
o preço de venda com lucro de 40% . A seguir, ao fazer uma liquidação, ele deu aos 
compradores um desconto de 30% sobre o preço de venda desse produto. 
a) Esse comerciante teve lucro ou prejuízo? 
b) Determine o percentual do lucro ou prejuízo em relação ao preço de custo do produto. 
 
Solução: 
a) O preço de venda do produto é dado por 220 + 220.40/100 = 308 reais. Ao fazer a 
liquidação, o produto foi vendido por 308 – 308.30/100 = 215,6 reais. Portanto o preço da 
liquidação foi menor do que o preço de custo, o que caracteriza prejuízo para o lojista de 4,40 
reais. 
b) O percentual do prejuízo em relação ao preço de custo foi de 4,40×100/220 = 2%.