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Zeros Reais de Funções Reais www.mat.uel.br/plnatti/.../Aula2Zeros%20de%20Funções.ppt Com modificações. Métodos iterativos - Zeros Método da Bissecção Método da Posição Falsa(Cordas) Método do Ponto Fixo(Iteração Linear) Método de Newton-Raphson Método da Secante Introdução Zero real da função real : .Ex: f(x) = x+ln(x)-1 ξ = 1 é um zero de f(x) Introdução Graficamente, os zeros reais de são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo Introdução A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases. Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz) Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação inicial até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada) Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ Teorema 2. Seja contínua em . Se e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de Parte 1 Formas de se localizar as raízes de : Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal. Análise gráfica da função . Parte 1- Exemplo 1 / Método1 Seja . Sinais de As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de . Veja ..... Parte 1- Exemplo 1 / Método 2 Façamos o gráfico de Novamente temos os intervalos dos zeros. Parte 1- Exemplo 1 / Método 3 Façamos o gráfico da função equivalente Novamente temos os intervalos dos zeros Parte 1- Exemplo 2 Seja para . Sinais de Logo temos uma única raiz. Sinais de Temos uma raiz no intervalo Parte 2 - Refinamento Refinamento por métodos iterativos Métodos iterativos=Seqüência de ciclos Iteração=um ciclo (loop) Iteração k depende da iteração anterior k-1 Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado. Parte 2 - Refinamento Critérios de parada: está suficientemente próximo da raiz exata? Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo Parte 2 - Refinamento Dados iniciais k=1 Cálculo da nova aproximação A aproximação está suficientemente próxima da solução exata? k=k+1 Cálculos finais Sim Não Critérios de parada Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . Então, é a raiz aproximada com precisão , se: i) ou ii) Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii) simultaneamente. Critérios de parada Caso 1 Caso 2 Critérios de parada Note que satisfazer não implica que . Note que satisfazer não implica que . Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente. Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping) Critérios de parada – Método Geral Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que Então pode ser Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que ׀xk-xk-1׀< ε, dividindo ao meio sucessivamente. Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja com zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) 3) Continue o processo até que ׀xk-xk-1׀ < ε Método da Bissecção b=b0 a=a0 x0 || a1 || x1 b2 || a3 a2 || b1 || x2 || b3 Método da Bissecção I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e . Temos Obtemos em dez iterações. iteração x f(x) E 1 0.5 -1.375 2 0.25 0.765 0.25 3 0.375 -0.322 0.125 4 0.313 0.218 0.063 10 0.3369 0.00660 0.00098 Método da Bissecção ak bk xk f(xk) ׀xk-xk-1׀ k=0 0 1 0.5 -1.375 k=1 0 0.5 0.25 0.765 0.25 k=2 0.25 0.5 0.375 -0.322 0.125 k=3 0.25 0.375 0.3125 0.218 0.0625 k=4 0.3125 0.375 0.34375 -0.0531 0.03125 k=5 0.3125 0.34375 0.32813 0.0822 0.015625 k=6 0.32813 0.34375 0.33594 0.01447 7.8X10-3 k=7 0.33594 0.34375 0.33984 -0.01934 3.9X10-3 k=8 0.33594 0.33984 0.33789 -2.4X10-3 1.95X10-3 k=9 0.33594 0.33789 0.3369 6.0X10-3 9.8X10-4 Note que ׀xk-xk-1׀ < Método da Bissecção I. Estudo da Convergência Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em . Métodos iterativos - Zeros II. Método da Posição Falsa Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em . Método da Posição Falsa II. Média Ponderada Para e . Como , podemos supor que o zero está mais próximo de . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de . Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa Seja com um zero em . As iterações são realizadas da forma 1) 2) Continue o processo até que ׀xk-xk-1׀<ε e . Nota: Como f(a)f(b)<0 temos que a fórmula pode ser utilizada como: Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa - Exemplo Seja com e . Temos . Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessita de quantas iterações para tal precisão? ak bk xk f(xk) E k=0 0 1 0.375 -3.2226 k=1 0 0.375 0.3386 -8.7902X10-3 0.0364 k=2 0 0.3386 0.3376 -2.2588X10-4 0.001 Método da Posição Falsa I. Estudo da Convergência Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em . Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.
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