201766 171246 (2º+Bim)+Aula+4+ +Equação+da+viscosidade+++Equação+da+Energia (1)

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Professor: Roger Rodrigues
Aula 4 – Equação da Viscosidade e 
Equação da Energia
Serra
2017
Sumário
 A EQUAÇÃO DAVISCOSIDADE
O que é um perfil de velocidade
Perfil linear
Perfil parabólico
 A EQUAÇÃO DE ENERGIA
Tipos de energias mecânicas associadas a um fluido
A Equação de Bernoulli
Definição
Hipóteses para sua aplicação
Perfil de velocidade
 O que é um perfil de velocidade?
 No material da aula 1 (slide 23), definimos a forma 
com a qual pode-se determinar a tensão.
 A tensão cisalhante no fluido é diretamente
proporcional à viscosidade dinâmica.
 A taxa de deformação também é chamada de gradiente
de velocidade (prova-se que ambos são iguais).
𝜏 → 𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 ( 𝑁 𝑚2)
𝜇 → 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ( 𝑁. 𝑠 𝑚2)
𝑑𝑢
𝑑𝑦
→ 𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 ( 1 𝑠)
Perfil de velocidade
 O que é um perfil de velocidade?
 Um perfil de velocidade pode-se ser dito como sendo
A MANEIRA COM A QUAL O FLUIDO
COMPORTA-SE DURANTE O ESCOAMENTO.
 Em outras palavras, é o modo de comportamento das
partículas fluidas devido à existência de atrito viscoso
no escoamento.
Perfil de velocidade
 O que é um perfil de velocidade?
 Um perfil de velocidade é dado pelos vetores de
velocidade no eixo x (horizontal) e pela distância y do
fluido até uma determinada região do tubo (por
exemplo).
Perfil linear
A placa SUPERIOR encontra-se em movimento, e a INFERIOR está
parada. Como devemos considerar que não há deslizamento na região de
contato entre o fluido e as placas inferior e superior, verifica-se que na
região de contato com a placa
 Inferior, o atrito viscoso impõe ao fluido restrição total de
movimento ( v(y=0) = 0 )
 Superior, o atrito viscoso faz com que o fluido se desloque com a
mesma velocidade da placa ( v(y=h=2mm) = 4 m/s )
Perfil linear
OBS: neste caso que a distância entre as placas é muito pequena, a
hipótese de que o perfil do escoamento é linear pode ser adotada
sem maiores restrições. Porém, quanto maior a distância entre as
placas, a hipótese de perfil linear torna-se cada vez menos razoável,
impondo um erro muito grande aos cálculos.
Perfil linear
OBS: já neste caso, a distância é maior que no caso anterior. Adotar
um perfil parabólico passa a ser mais razoável.
PORÉM, PARA O CASO DE DUAS PLACAS (UMA EM
MOVIMENTO E A OUTRA ESTACIONÁRIA), ADOTAREMOS
APENAS PERFIL LINEAR
Perfil linear
Ex1 - Considere um sistema formado por duas placas planas
paralelas, entre as quais há um espaço de 2mm. A placa inferior
encontra-se parada, enquanto a placa superior move-se a uma
velocidade de 4m/s. Levando em conta que o espaço existente entre
as duas placas seja preenchido com óleo (µ = 0,0083 N.s/m² =
0,0083 Pa.s), calcule a tensão cisalhante que atua no óleo.
 Viu-se na resolução que, para o caso de perfis lineares, o
termo
Pode ser substituído por
Onde V é a velocidade da placa superior
(consequentemente, é a velocidade do fluido ali em
contato) e h é a distancia que separa as placas.
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑉
ℎ
Perfil linear
Ex2 - Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20N de peso desliza
sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma película de óleo. A
velocidade da placa é constante e igual a 2m/s. Determine a
viscosidade dinâmica do óleo, se a espessura da película é de 2mm.
Perfil linear
Perfil linear
Ex3 - A viscosidade de um fluido
deve ser medida por um
viscosímetro construído com dois
cilindros concêntricos de 40cm de
comprimento. O diâmetro do
cilindro interior é de 12cm e a
folga entre os dois cilindros é de
0,15cm. O cilindro interno é
girado a 300rpm (constante) e o
torque medido foi de 1,8N.m.
Determine a viscosidade do fluido.
(µ = 0,158 N.s/m²)
Perfil linear
Para pequenas folgas anulares, um perfil LINEAR de velocidade pode ser
considerado no líquido que preenche essa folga (o cilindro externo está PARADO,
enquanto o cilindro interno é dotado de velocidade)
 Lembrar das matérias básicas de Física que Torque (T) é igual à força que atua na
superfície do cilindro que gira (que no caso é a força viscosa) VEZES o raio do
cilindro que gira:
𝑇 = 𝐹𝑉 𝑥 𝑟𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜
 Ainda recordando da Física Básica, a potência (P) do cilindro que gira pode ser
descrita de duas maneiras:
𝑃 = 𝑇 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝜔 𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
𝑃 = 𝐹𝑉 (𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎) 𝑥 𝑉 (𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒)
 Igualando as duas equações (já que ambas determinam a potência), vê-se que há
dados suficientes para calcular a velocidade linear do cilindro, bastando, depois
de calculada, aplicá-la ao modelo constitutivo de fluido newtoniano para perfil
linear.
Perfil linear
Ex4 - A figura ilustra um aparato experimental para se determinar a
viscosidade absoluta (que é o mesmo que viscosidade dinâmica) de um
determinado óleo. A área de contato do bloco A com o filme de óleo é
de 100cm². Constatou-se que, quando o peso do bloco B é de 5N e a
espessura do filme de óleo é de 0,0001m, a velocidade do bloco A
torna-se constante, em 0,5m/s. Nessas condições, e considerando que
o fluido seja newtoniano, a viscosidade do óleo, em N.s/m², vale
Perfil linear
Ex5 - Nesse dispositivo, um cilindro
pesando 10 N, com raio de 4,0 cm e
comprimento de 10,0 cm, se move
na vertical dentro de um tubo, sob
ação de seu próprio peso, a uma
velocidade constante de 1,0 m/s.
Considerando um filme de óleo
com espessura de 0,3 mm, o óleo
como um fluido newtoniano e π =
3, determine a viscosidade absoluta
do fluido em questão, em Pa.s.
A placa SUPERIOR encontra-se parada, bem como a placa
INFERIOR. Como devemos considerar que não há deslizamento na
região de contato entre o fluido e as placas inferior e superior,
verifica-se que na região de contato com a placa
 Inferior, o atrito viscoso impõe ao fluido restrição total de
movimento ( v (y = -h/2) = 0 )
 Superior, o atrito viscoso impõe ao fluido restrição total de
movimento ( v (y = +h/2) = 0 )
Perfil parabólico – escoamento
entre placas
Já na região central entre as placas, temos a velocidade máxima do
escoamento, uma vez que, nessa região, os efeitos restritivos que as
placas impõem ao escoamento do fluido são mínimos.
Perfil parabólico – escoamento
entre placas
Ex6 - A distribuição de velocidade U de um fluido Newtoniano em escoamento
laminar, num canal formado por duas placas paralelas e largas, de altura h, é dada por
onde Umáx é a velocidade na linha de centro do canal, conforme a figura abaixo.
Se Umáx for 0,5 m/s, h for 0,5 mm e a viscosidade dinâmica do fluido for 2 x 10
−3
N.s/m2, qual o valor da tensão de cisalhamento (N/m2) na parede inferior do canal?
Perfil parabólico – escoamento
entre placas
 Energia potencial
 É o estado de energia do sistema devido à sua posição
no campo da gravidade em relação a um plano
horizontal de referência (PHR);
 Esta energia é medida pelo potencial de realização de
trabalho do sistema.
Equação de energia - Tipos de 
energia associadas a um fluido
 Energia potencial
Trabalho = Força x Deslocamento
W = G.Z = m.g.Z
Mas Ep = W
Ep = m.g.Z
Equação de energia - Tipos de 
energia associadas a um fluido
 Energia cinética
 É o estado de energia determinado pelo movimento
do fluido.
EC = m.v
2/2
Equação de energia - Tipos de 
energia associadas a um fluido
 Energia de pressão
 Esta energia corresponde ao trabalho potencial das
forças de pressão no escoamento do fluido.
dW = FdS = pAdS = pdV
Epr = ∫pdV
Equação de energia - Tipos de 
energia associadas a um fluido
 Energia mecânica total do fluido
 Excluindo-seenergias térmicas e levando em conta
apenas efeitos mecânicos, a energia total de um
sistema de fluido será:
𝐄 = 𝐄𝐩+ 𝐄𝐜+ 𝐄𝐩𝐫
𝐄 = 𝐦𝐠𝐙 +
𝐦𝐯2
2
+ 
𝐕
)𝐩𝐝𝐕 (𝐯𝐨𝐥𝐮𝐦𝐞
Equação de energia - Tipos de 
energia associadas a um fluido
 DEFINIÇÃO
 Equação que descreve o comportamento de um tubo
que se desloca ao longo da extensão de uma
canalização.
 Muitos tratam a Equação de Bernoulli como a mais
famosa e mais usada em toda a Mecânica dos Fluidos
 Trata-se de uma equação algébrica simples que
relaciona as variações de pressão com as variações de
velocidade e de elevação em um fluido.
A Equação de Bernoulli
 DEFINIÇÃO
 Trabalhando matematicamente as formas de energia
mecânica anteriormente descritas, chega-se à seguinte
expressão:
A Equação de Bernoulli
𝑝
𝛾
+
𝑉2
2𝑔
+ 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒
v2
2g
=
mv2
2gm
=
mv2
2W
=
Ec
W
→ energia cinética por unidade de peso
z =
mgz
mg
=
Ep
W
→ energia potencial por unidade de peso
P
γ
=
PV
γV
=
PV
W
=
Epr
W
→ energia de pressão por unidade de peso
 DEFINIÇÃO
 A equação de Bernoulli também pode ser escrita entre
dois pontos quaisquer na mesma linha de corrente
como:
A Equação de Bernoulli
P1
γ
+
v1
2
2g
+ Z1 =
P2
γ
+
v2
2
2g
+ Z2
 HIPÓTESES PARA SUA APLICAÇÃO
 Escoamento deve ser considerado incompressível
– isso implica em uma massa específica CONSTANTE.
 Escoamento deve ocorrer em regime permanente
– propriedades em cada ponto do escoamento NÃO
VARIAM COM O PASSAR DOTEMPO
 Escoamento deve ser considerado invíscido (ou
não viscoso) – efeitos viscosos são desprezíveis quando
comparados aos demais efeitos atuantes.
 Análise realizada ao longo de uma linha de
corrente – as partículas de fluido analisadas estão sobre a
mesma linha de corrente
A Equação de Bernoulli
1 – A água se move com velocidade de 5,0m/s através de um tubo
cuja área da seção transversal é de 4cm2. Dez metros abaixo desse
ponto, a área da seção transversal do tubo passa a ser 8,0cm2.
a) Qual a velocidade do líquido no ponto mais baixo?
b) Se a pressão absoluta no nível superior é 1,5x105 Pa, qual a
pressão absoluta no nível mais baixo?
A Equação de Bernoulli –
Exercícios
2 – Um tubo em U atua como um
sifão de água. A curvatura no tubo
está 1m acima da superfície da água; a
saída do tubo está 7m abaixo da
superfície da água. A água sai pela
extremidade inferior do sifão como
um jato livre para a atmosfera.
Determine a velocidade do jato livre
e a pressão absoluta da água na
curvatura (ponto A). Considerar
ρÁGUA = 999kg/m
3, g =
9,81m/s2 e pATM=1,013x10
5 Pa.
A Equação de Bernoulli –
Exercícios
3 – No sistema da figura está
escoando água da seção 1 para
a seção 2. A seção 1 tem
25mm de diâmetro, pressão
manométrica de 345 kPa e
velocidade media do fluxo de
3,0m/s. A seção 2 tem 50mm
de diâmetro e encontra-se a
2m sobre a seção 1.
Considerando que não existem
perdas de energia no sistema
determine a pressão p2.
A Equação de Bernoulli –
Exercícios
4 – Na figura abaixo mostra-se um sifão utilizado para retirar água de um
reservatório de grande porte. O duto que forma parte do sifão tem um
diâmetro de 40mm e termina num bocal de 25mm de diâmetro.
Considerando que não existem perdas de energia no sistema a)
determine a vazão através do sifão e b) a pressão nos pontos B,C,D e E.
A Equação de Bernoulli –
Exercícios
Referências
[1] ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. “Mecânica dos Fluidos:
Fundamentos e Aplicações”. Volume Único. São Paulo:
McGraw-Hill. 2007.
[2] FOX, R.W.; MCDONALD, A.T.; PRITCHARD, P.J.
“Introdução à Mecânica dos Fluidos”. 6 ed. Rio de Janeiro:
LTC. 2006.