BRITO, Lucília; PROVIDENCIA, Constança; FIOLHAIS, Manuel - Campo Eletromanetigco

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CAP´ITULO1
INTRODUC¸A˜O
A par da Mecaˆnica e da Termodinaˆmica, o Electromagnetismo (incluindo a O´ptica) cons-
titui um ramo da F´ısica Cla´ssica. Desenvolveu-se, como disciplina independente, a partir
do se´culo xviii, embora so´ tenha ficado estabelecido como corpo coerente de doutrina no
se´culo xix. Fica a dever-se a Maxwell a formulac¸a˜o sinte´tica das leis que regem os feno´menos
electromagne´ticos, o que e´ reconhecido como um dos feitos mais admira´veis da histo´ria da
F´ısica. A este respeito recordem-se as seguintes palavras de Feynman retiradas das suas
famosas Lectures on Physics:
Vista a Histo´ria do Homem daqui a muito tempo, digamos daqui a dez mil anos, na˜o
restam muitas du´vidas sobre o facto de maior significado no se´culo xix — a descoberta
de Maxwell das leis do Electromagnetismo. A Guerra Civil na Ame´rica sera´ reduzida
a uma mera questa˜o provinciana comparada com aquela descoberta cient´ıfica que data
da mesma de´cada.
Seria fastidioso referir o impacte que o Electromagnetismo teve e continua a ter no desen-
volvimento das sociedades, referindo os inu´meros aspectos onde a sua importaˆncia e´ mani-
festa. Basta, ta˜o-so´, mencionar que este ramo da F´ısica esta´ na base de todo o sistema de
telecomunicac¸o˜es que se tornou de capital importaˆncia em todos os sectores da vida moderna.
1.1 O ELECTROMAGNETISMO CLA´SSICO E A F´ISICA MODERNA
Referimo-nos habitualmente a` teoria de Maxwell como sendo o Electromagnetismo
Cla´ssico. Mas, apesar de “cla´ssica”, tal teoria continha o ge´rmen do que se designa ha-
bitualmente por F´ısica Moderna.
Desde logo, a teoria de Maxwell representou um primeiro passo no sentido da unificac¸a˜o
das forc¸as fundamentais da natureza. Tal unificac¸a˜o e´ um dos to´picos da fronteira do con-
hecimento cient´ıfico neste virar de se´culo.
2 • Campo electromagne´tico
Na verdade, os f´ısicos procuram hoje entender as interacc¸o˜es fundamentais entre part´ıculas
elementares com base numa u´nica forc¸a, a qual, em regimes diferentes de energia, pode as-
sumir formas diversificadas. Para energias relativamente baixas, correspondentes a`s situac¸o˜es
em que desenvolvemos as nossas vidas, distinguem-se quatro forc¸as fundamentais: a forc¸a elec-
tromagne´tica, que se exerce entre quaisquer duas part´ıculas com carga ele´ctrica; a forc¸a fraca,
que se manifesta ao n´ıvel dos constituintes dos nu´cleos ato´micos e que e´ responsa´vel, entre
outros processos, pela desintegrac¸a˜o β; a forc¸a forte (a mais intensa das forc¸as fundamentais),
que governa a interacc¸a˜o entre quarks, embora, mais prosaicamente, ela seja habitualmente
referida como a forc¸a responsa´vel pela estabilidade do agregado nuclear; e a forc¸a gravitacio-
nal, de todos bem conhecida, a` qual esta˜o sujeitas todas as part´ıculas. As forc¸as ele´ctrica,
fraca e forte, hoje “unificadas” numa forc¸a u´nica, formam, conjuntamente com as part´ıculas
elementares (seis quarks e seis lepto˜es), o chamado modelo-padra˜o da F´ısica de Part´ıculas.
A unificac¸a˜o significa que as forc¸as, tal como as conhecemos, sa˜o diferentes manifestac¸o˜es de
uma forc¸a mais fundamental, manifestac¸o˜es essas determinadas por factores de circunstaˆncia
como seja, por exemplo, a temperatura da mate´ria. Para temperaturas muit´ıssimo elevadas,
superiores a 1027 K, na˜o se distinguiria entre a forc¸a electromagne´tica, a forc¸a fraca e a forc¸a
forte, pois teriam todas a mesma intensidade.
E´ justamente um mero factor circunstancial que separa, de facto, a Electricidade do Mag-
netismo. Para melhor se entender esta afirmac¸a˜o, suponhamos que uma carga ele´ctrica esta´
em repouso num determinado referencial, criando um campo ele´ctrico. Se essa carga estiver
em movimento, produz-se uma corrente que, por sua vez, e´ a fonte de um campo magne´tico.
Assim, o cara´cter do campo produzido (ele´ctrico ou magne´tico) depende apenas de a carga
estar em repouso ou em movimento e, portanto, do referencial de onde o sistema esta´ a
ser observado. Serve este exemplo para mostrar que a distinc¸a˜o entre campos ele´ctricos e
magne´ticos e´ meramente formal.
O Electromagnetismo Cla´ssico e´ a teoria unificada de feno´menos aparentemente ta˜o diver-
sos como os ele´ctricos e os magne´ticos. Para temperaturas da ordem de 1015 K e superiores
desaparece a distinc¸a˜o entre o campo electromagne´tico e o campo fraco e a interacc¸a˜o re-
sultante designa-se por electro-fraca. No laborato´rio, embora em regio˜es do espac¸o muito
localizadas e apenas por per´ıodos de tempo muito curtos, ja´ se consegue obter essas temper-
aturas, que ocorreram nos primeiros instantes do Universo. Por seu lado, as temperaturas
para as quais as interacc¸o˜es forte e electro-fraca se tornariam indistingu´ıveis na˜o sa˜o actual-
mente alcanc¸a´veis. Quanto a` unificac¸a˜o “final” da interacc¸a˜o gravitacional com as outras,
subsistem, mesmo em aspectos teo´ricos, problemas muito se´rios — na˜o se sabe ainda, em
definitivo, qual e´ a “simetria” subjacente a` interacc¸a˜o u´nica. Em resumo, o Electromag-
netismo Cla´ssico, ao revelar-se como uma teoria unificadora de duas forc¸as diferentes, foi
precursor das ideias desenvolvidas neste se´culo sobre a unificac¸a˜o das forc¸as fundamentais da
natureza.
Ale´m disso, o Electromagnetismo Cla´ssico revelou aspectos f´ısico-matema´ticos que levaram
a` formulac¸a˜o de uma nova mecaˆnica — a Mecaˆnica Relativista — no alvor do nosso se´culo.
A questa˜o era bem simples: enquanto as leis da Mecaˆnica Cla´ssica ficavam invariantes sob
transformac¸o˜es de Galileu, o mesmo na˜o acontecia com as equac¸o˜es de Maxwell. Na˜o fos-
sem as sucessivas e brilhantes comprovac¸o˜es experimentais das leis do electromagnetismo,
culminando com a produc¸a˜o e a recepc¸a˜o das ondas hertzianas, na˜o seria dif´ıcil admitir a
possibilidade de, pelo menos, se tentar reformular a teoria, procurando leva´-la a uma for-
mulac¸a˜o que fosse invariante quanto a transformac¸o˜es de Galileu.
Contudo, os factos experimentais e (porque na˜o admiti-lo?) a beleza das pro´prias equac¸o˜es
de Maxwell acabariam por impor uma reforma da Mecaˆnica, cieˆncia ja´ enta˜o secular e que
Introduc¸a˜o • 3
tantas e ta˜o boas provas tinha dado e continuava a dar. Verificava-se que as equac¸o˜es do
Electromagnetismo Cla´ssico, ou mais precisamente, a equac¸a˜o de propagac¸a˜o de uma onda
electromagne´tica, ficava invariante perante uma classe de transformac¸o˜es espa´cio-temporais
conhecidas por transformac¸o˜es de Lorentz. Seria afinal esta simetria que haveria de ser
incorporada nas leis da Mecaˆnica (para ale´m das simetrias de translac¸a˜o e de rotac¸a˜o), dando
origem a` Teoria da Relatividade.
Ate´ agora fala´mos de dois aspectos altamente merito´rios do Electromagnetismo Cla´ssico
que tiveram grande repercussa˜o na F´ısica Moderna. Falemos tambe´m daqueles aspectos que,
sendo negativos do ponto de vista do confronto com os factos experimentais, acabariam por
ser cruciais para o desenvolvimento da F´ısica do nosso se´culo. Assim, o Electromagnetismo
Cla´ssico revelou-se inadequado quando se pretendeu explicar o espectro de um corpo negro.
De facto, a teoria cla´ssica previa intensidades da radiac¸a˜o electromagne´tica irremediavelmente
crescentes para pequenos comprimentos de onda (o que ficou conhecido por “cata´strofe do
ultra-violeta”). Tal de´baˆcle viria a ser resolvida por Planck, que usou o conceito de quantum
— quantidade mı´nima de energia de radiac¸a˜o electromagne´tica de determinada frequeˆncia —,
o que permitiu explicar cabalmente o espectro de radiac¸a˜o do corpo negro. A plausibilidade
de uma tal teoria “quaˆntica” era enta˜o, como e´ evidente, puramente fenomenolo´gica. Numa
outra situac¸a˜o de interacc¸a˜o da radiac¸a˜o com a mate´ria — o efeito fotoele´ctrico — voltaria
a verificar-se a impossibilidade da sua explicac¸a˜o a` luz do Electromagnetismo Cla´ssico. Foi
Einstein quem avanc¸ou com a explicac¸a˜o do feno´meno,utilizando a mesma ideia de quantum
proposta por Planck, para concluir que, independentemente da intensidade da fonte de luz,
se a sua frequeˆncia na˜o fosse igual ou superior a um certo valor que dependia do metal que
se estava a usar na experieˆncia, nunca poderia haver emissa˜o de electro˜es por parte deste.
O quantum ficava definitivamente a pertencer a` linguagem da F´ısica Moderna, tornando-se
num dos seus mais fecundos conceitos.
Uma outra dificuldade (embora, esta, aparente) com o Electromagnetismo Cla´ssico surgiu
quando, tambe´m no in´ıcio do se´culo xx, se tornou necessa´rio conceber modelos para a es-
trutura do a´tomo. J. J. Thomson propoˆs um modelo engenhoso segundo o qual o a´tomo
seria uma esfera com uma distribuic¸a˜o uniforme de carga positiva, estando as part´ıculas de
carga negativa — os electro˜es — dispostas em circunfereˆncias no seu interior. Os electro˜es
estariam igualmente espac¸ados e as circunfereˆncias podiam ser mesmo em nu´mero superior a
um. Aplicando a Mecaˆnica e a Electrodinaˆmica Cla´ssica, este modelo era capaz de explicar
algumas riscas dos espectros de emissa˜o dos a´tomos, podendo mesmo ser considerado a teoria
cla´ssica do a´tomo.
O modelo revelou-se, pore´m, totalmente incapaz de explicar os resultados da ce´lebre ex-
perieˆncia de Rutherford de dispersa˜o de part´ıculas α e β, pelo que teve de ser abandonado.
Mas o modelo ato´mico de Rutherford e o modelo, mais quantitativo, de Bohr eram absoluta-
mente incompat´ıveis com as leis de Maxwell! Os electro˜es, descrevendo o´rbitas circulares em
torno do nu´cleo, perderiam energia, pois radiavam constantemente e acabariam por cair nele.
O grande sucesso do modelo planeta´rio de Bohr na explicac¸a˜o dos espectros dos a´tomos hidro-
geno´ides seria um primeiro passo para se encontrar a explicac¸a˜o da estabilidade ato´mica (na˜o
pondo afinal em causa a lei de Coulomb), no contexto de uma nova mecaˆnica — a Mecaˆnica
Quaˆntica, formulada na de´cada de 20. No final dessa mesma de´cada, Dirac desenvolveu uma
teoria quaˆntica relativista para o electra˜o. A interacc¸a˜o da luz com a mate´ria ou, dito de outra
maneira, a interacc¸a˜o da luz com a nuvem electro´nica que rodeava os nu´cleos ato´micos, deve-
ria ser tratada no quadro da nova teoria quaˆntica. Essa teoria — a Electrodinaˆmica Quaˆntica
(em ingleˆs QED, de Quantum Electrodynamics) — comec¸ou de facto a ser desenvolvida nos
u´ltimos anos da de´cada de 20 mas os resultados revelaram-se insatisfato´rios. Diz Feynman
no seu livro QED — a Estranha Teoria da Luz e da Mate´ria a respeito desta situac¸a˜o:
4 • Campo electromagne´tico
[...] Se se calculasse algo aproximadamente, [a teoria] daria uma resposta razoa´vel; se
se tentasse calcular a mesma coisa mas com mais rigor, verificava-se que a correcc¸a˜o
que se pensava ser pequena (o nu´mero seguinte numa se´rie convergente, por exemplo)
era, de facto, muito grande — na realidade era infinita —, de maneira que resultou
que, na pra´tica, na˜o se podia calcular nada para ale´m de uma certa precisa˜o.
A situac¸a˜o viria a ficar esclarecida depois dos trabalhos de Schwinger, Tomonaga e do
pro´prio Feynman, que inventaram o me´todo de calcular propriedades f´ısicas no quadro da
teoria quaˆntica relativista da luz em interacc¸a˜o com a mate´ria. Claro que na˜o cabe aqui fazer
mais do que esta breve alusa˜o a` QED, que e´, sessenta anos depois da sua formulac¸a˜o, a teoria
f´ısica com comprovac¸a˜o experimental mais rigorosa: ha´ quantidades para as quais o valor
previsto pela QED concorda em mais de dez d´ıgitos com o respectivo valor experimental. A`
luz dessa teoria, a interacc¸a˜o entre duas cargas ele´ctricas e´ vista como o resultado da permuta
de foto˜es — as part´ıculas (ou quanta) de campo. Os foto˜es so´ interagem com as cargas
ele´ctricas, podendo ser por estas emitidos e absorvidos, mas na˜o interagem directamente
consigo mesmos.
Teorias algo parecidas com a QED, embora formuladas em espac¸os mais gerais e abstractos,
e tendo subjacentes outras classes de simetria, esta˜o na base do modelo-padra˜o da F´ısica de
Part´ıculas a que ja´ fizemos refereˆncia anteriormente. Por exemplo, a forc¸a forte, tambe´m
chamada forc¸a de cor, tem muitas analogias com a forc¸a electromagne´tica, embora a teo-
ria daquela seja mais complexa por envolver cargas de treˆs tipos (cores) e as part´ıculas de
campo (gluo˜es) poderem interagir consigo mesmas. Na QED ha´ um so´ tipo de part´ıculas de
campo (foto˜es), ao passo que na QCD (do ingleˆs Quantum Chromodynamics) as part´ıculas de
campo sa˜o de oito tipos diferentes. Existem, pois, oito campos “cromo-ele´ctricos” e oito cam-
pos “cromo-magne´ticos”, mas muitos dos conceitos da Electrodinaˆmica Quaˆntica aplicam-se,
mutatis mutantis, na Cromodinaˆmica Quaˆntica.
Aprender electromagnetismo significa tambe´m adquirir as bases necessa´rias a` abordagem
de outras teorias f´ısicas, na realidade mais complexas, mas que fazem uso de um conjunto de
conceitos que sa˜o origina´rios do Electromagnetismo.
1.2 ESTRUTURA CONCEPTUAL DO LIVRO
No Electromagnetismo Cla´ssico, um dos problemas fundamentais que importa considerar
e´ o da determinac¸a˜o de campos ele´ctricos e magne´ticos a partir de distribuic¸o˜es de cargas e
de correntes conhecidas.
A presente obra pressupo˜e que o leitor conhec¸a os me´todos e te´cnicas ba´sicas de deter-
minac¸a˜o dos campos a partir das suas fontes (cargas e correntes) no vazio. No entanto, e
no sentido de procurar tornar a leitura mais co´moda, evitando ao ma´ximo a necessidade de
remeter o leitor para outras obras, inclu´ımos um cap´ıtulo de revisa˜o destes assuntos. Assim,
no Cap´ıtulo 2 apresenta-se, de uma forma necessariamente breve, o conjunto de conceitos e
leis ba´sicas do Electromagnetismo. Esses conceitos e leis sa˜o, por vezes, apresentados sem
qualquer deduc¸a˜o (como a lei de Gauss ou a forc¸a de Lorentz), embora sejam ilustrados com
exemplos, que se apresentam ao longo do texto, e com problemas resolvidos, que se apresen-
tam no final do cap´ıtulo. Tambe´m nos cap´ıtulos seguintes se inclui sempre um conjunto de
problemas resolvidos que ajudam a uma melhor compreensa˜o de todo o formalismo. Um dos
objectivos do Cap´ıtulo 2 e´ obter as equac¸o˜es de Maxwell no vazio. O electromagnetismo em
meios materiais e´ um assunto cujo tratamento fica para mais tarde.
Os cap´ıtulos 3 a 6 referem-se exclusivamente a` electrosta´tica. No Cap´ıtulo 3 comec¸a-se
por obter a energia de uma distribuic¸a˜o de cargas esta´ticas. Esta energia e´ aqui apresentada
Introduc¸a˜o • 5
como o trabalho que um agente externo tem de realizar para construir essa distribuic¸a˜o a
partir de uma situac¸a˜o inicial em que as cargas esta˜o infinitamente afastadas. Na sequeˆncia
deste estudo, aborda-se o problema das forc¸as em condutores carregados em equil´ıbrio elec-
trosta´tico.
O Cap´ıtulo 4 e´ dedicado ao desenvolvimento em multipolos do potencial escalar. Para
facilitar a abordagem do assunto estuda-se primeiro o dipolo e o quadrupolo linear, focando as
caracter´ısticas do potencial e do campo ele´ctrico produzidos por estes sistemas. Apresentam-
se alguns exemplos que ilustram a utilidade do desenvolvimento multipolar. Trata-se tambe´m
a questa˜o da energia de interacc¸a˜o de uma distribuic¸a˜o de cargas (com ou sem caracter´ısticas
multipolares bem definidas) com um campo externo.
O Cap´ıtulo 5 e´ dedicado ao estudo do campo electrosta´tico em meios diele´ctricos. A
apresentac¸a˜o e´ feita com bastante pormenor, pois um formalismo ideˆntico e´ aplicado, embora
com algumas modificac¸o˜es, ao estudo dos campos magne´ticos em meios magne´ticos (Cap´ıtulo
8). Introduzem-se os conceitos de polarizac¸a˜o e de campo deslocamento ele´ctrico, classificam-
se os diele´ctricos e determina-se a energia armazenada no campo electrosta´tico quando ha´
meios diele´ctricos. Consideram-se depois as forc¸as sobre diele´ctricos e obteˆm-se campos
ele´ctricosem cavidades no interior de diele´ctricos. Por fim, analisam-se as caracter´ısticas
das constantes diele´ctricas de substaˆncias como gases e l´ıquidos apolares e polares.
No Cap´ıtulo 6 estuda-se a equac¸a˜o de Laplace. Apresenta-se o me´todo das imagens e
deduzem-se va´rias soluc¸o˜es particulares dessa equac¸a˜o em coordenadas cartesianas, cil´ındricas
e esfe´ricas. Ilustram-se as te´cnicas apresentadas com va´rios exemplos com distribuic¸o˜es de car-
gas no vazio,
a` superf´ıcie de condutores e em diele´ctricos.
Os cap´ıtulos 7 e 8 sa˜o dedicados ao magnetismo. No Cap´ıtulo 7 estuda-se a energia
armazenada no campo magne´tico e faz-se o desenvolvimento em multipolos do potencial
vector (seguindo, de perto, o procedimento utilizado no Cap´ıtulo 4). No Cap´ıtulo 8 trata-se
a questa˜o do magnetismo em meios materiais.
A propagac¸a˜o do campo electromagne´tico no vazio e em meios materiais e´ o assunto
abordado no Cap´ıtulo 9. No que diz respeito aos meios materiais, estuda-se a propagac¸a˜o em
meios diele´ctricos e magne´ticos e tambe´m em meios condutores. Obteˆm-se as leis da reflexa˜o
e da refracc¸a˜o e estuda-se ainda a propagac¸a˜o do campo electromagne´tico em guias de ondas.
O Cap´ıtulo 10 e´ dedicado ao Electromagnetismo e a` Teoria da Relatividade. No sentido
de facilitar a leitura, faz-se uma breve introduc¸a˜o a aspectos da cinema´tica e da dinaˆmica
relativista e ao ca´lculo tensorial no espac¸o de Minkowski. Constro´i-se o tensor do campo
electromagne´tico e apresentam-se as equac¸o˜es de Maxwell na sua forma covariante.
Finalmente, o Cap´ıtulo 11 e´ uma introduc¸a˜o a` teoria cla´ssica da radiac¸a˜o. Apresentam-se
os potenciais retardados e estuda-se a radiac¸a˜o dipolar e quadrupolar ele´ctrica.
Nos Apeˆndices apresentam-se os teoremas de Gauss e de Stokes e tratam-se alguns aspectos
do ca´lculo vectorial, que sa˜o de grande utilidade no desenvolvimento do formalismo pro´prio
das mate´rias abordadas.
CAP´ITULO2
EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL
Neste cap´ıtulo faz-se uma revisa˜o das leis ba´sicas da electricidade e do magnetismo,
chegando-se a`s equac¸o˜es de Maxwell. Recorda-se, no caso da electrosta´tica, a lei de Coulomb e
a lei de Gauss.
No caso do magnetismo reveˆem-se as leis de Biot-Savart, de Laplace, de Ampe`re e de Faraday
e Lenz. Sa˜o apresentados alguns exemplos de movimentos de part´ıculas carregadas em cam-
pos ele´ctricos e magne´ticos para ilustrar a forc¸a de Lorentz. Por fim, obteˆm-se as equac¸o˜es
de propagac¸a˜o no vazio dos potenciais escalar e vector e dos campos ele´ctrico e de induc¸a˜o
magne´tica.
2.1 CAMPOS ELECTROSTA´TICOS
A lei de Coulomb, obtida experimentalmente na segunda metade do se´culo xviii, descreve
a forc¸a que uma carga ele´ctrica pontual, q, exerce numa outra, q′, quando esta˜o separadas
por uma distaˆncia a:
F =
1
4pi²0
qq′
a2
aˆ , (2.1)
onde aˆ e´ o vector unita´rio com a direcc¸a˜o e o sentido de a (Figura 2.1). A constante ²0
designa-se por permitividade do va´cuo e tem o valor ²0 = 8, 8542× 10−12 F/m, pelo que, no
SI
1
4pi²0
= 9× 109 N m2 C−2.
E´ um facto experimental que, se q for uma carga esta´tica, a forc¸a exercida sobre q′ e´ dada
pela expressa˜o (2.1), qualquer que seja a velocidade desta carga. No caso de a carga q estar
em movimento, a forc¸a que esta exerce sobre a carga q′ ja´ na˜o e´ dada simplesmente pela lei
de Coulomb.
8 • Campo electromagne´tico
Fq '
a
q
P
Figura 2.1. Forc¸a que a carga q exerce na carga q′ (as cargas
teˆm
o mesmo sinal). A forc¸a que q′ exerce sobre q e´ de grandeza
igual mas de sentido oposto.
E´ muito u´til introduzir o conceito de campo ele´ctrico, E, que e´ a forc¸a por unidade de
carga. Em P (Figura 2.1) o campo ele´ctrico e´ dado por
E =
F
q′
=
1
4pi²0
q
a2
aˆ. (2.2)
No SI o campo ele´ctrico exprime-se em N C−1 ou, o que e´ equivalente, em V m−1.
No caso de um nu´mero arbitra´rio de cargas, aplica-se o princ´ıpio de sobreposic¸a˜o. De
acordo com este princ´ıpio, o campo ele´ctrico resultante em P e´ a soma vectorial dos cam-
pos criados individualmente por cada carga ele´ctrica. Se num volume v existir uma dis-
tribuic¸a˜o cont´ınua de cargas, descrita por uma densidade ρ(r′), da aplicac¸a˜o do princ´ıpio de
sobreposic¸a˜o resulta o campo electrosta´tico (ver Figura 2.2)
E =
1
4pi²0
∫
v
ρ(r′) aˆ
a2
dv.
S
P
r
r '
a
d E
P '
x
y
z
v d v
Figura 2.2. Distribuic¸a˜o cont´ınua de cargas no volume v. O
campo elementar dE e´ produzido pela carga elementar
dq = ρ(r′) dv.
Fazemos uma chamada de atenc¸a˜o para a notac¸a˜o que estamos a utilizar e que manteremos
ao longo do livro. Assim, o vector r, cujas componentes cartesianas no sistema de refereˆncia
Equac¸o˜es de Maxwell • 9
ortonormado S sa˜o (x, y, z), e´ o vector posicional do ponto P onde se pretende calcular o
campo (ou outra grandeza como, por exemplo, o potencial). O vector r′ indica, relativamente
a` origem do mesmo referencial, a posic¸a˜o do ponto P′ onde se localiza a fonte do campo. As
coordenadas cartesianas desse ponto sa˜o (x′, y′, z′). Note-se que (x, y, z) e (x′, y′, z′) sa˜o
coordenadas independentes. O vector
a = r − r′ (2.3)
indica a localizac¸a˜o do ponto P relativamente a P′ e e´ uma func¸a˜o dos dois conjuntos de
coordenadas. As fontes do campo distribuem-se num volume v, sendo o elemento de volume
nesse domı´nio designado por dv. Em coordenadas cartesianas esse elemento infinitesimal de
volume escreve-se dv = dx′dy′dz′.
q P 1
P 2
F
r
r 1
r 2
q '
P
Figura 2.3. Carga q′ a deslocar-se de P1 para P2. O trabalho
da forc¸a ele´ctrica e´ independente da trajecto´ria.
Consideremos agora a Figura 2.3. O trabalho realizado pela forc¸a ele´ctrica que q exerce
sobre q′ quando esta u´ltima se desloca de P1 para P2 e´ dado por
WP1→P2 =
∫
P1P2
F · dl = q′
∫
P1P2
E · dl ,
tendo-se utilizado a definic¸a˜o de campo ele´ctrico para escrever a u´ltima igualdade. Como o
campo electrosta´tico e´ conservativo, o integral na expressa˜o anterior na˜o depende do percurso
entre P1 e P2. O trabalho WP1→P2 e´ sime´trico da variac¸a˜o da energia potencial:
WP1→P2 = − [U(r2)− U(r1)] . (2.4)
O trabalho realizado pela forc¸a externa quando a carga se desloca com velocidade de mo´dulo
constante de P1 para P2 e´ o sime´trico de (2.4). Esse trabalho exterior iguala a variac¸a˜o da
energia do sistema, ∆U :
∆U = −WP1→P2 = U(r2)− U(r1) = q′ [V (r2)− V (r1)]. (2.5)
Introduziu-se nesta expressa˜o a func¸a˜o V (r), que e´ o potencial no ponto P, a` distaˆncia r de
q. Em geral, a diferenc¸a de potencial entre dois pontos P1 e P2 e´ dada por
V (r1)− V (r2) =
∫
P1P2
E · dl . (2.6)
10 • Campo electromagne´tico
Para se conhecer o potencial num ponto (digamos P2), e´ necessa´rio fixar um valor para o
potencial num outro ponto de refereˆncia (digamos P1). No caso de distribuic¸o˜es finitas de
carga, a escolha usual corresponde a P1 →∞ e considera-se a´ı o potencial nulo. O potencial
no ponto P e´ enta˜o
V (r) = −
∫ P
∞
E · dl. (2.7)
Chama-se a atenc¸a˜o para o facto de esta maneira de fixar o potencial na˜o ser aplica´vel
quando a distribuic¸a˜o de cargas e´ infinita (por exemplo, uma linha infinita de carga). Deve
enta˜o usar-se uma outra origem para o potencial V (r).
O facto de o campo electrosta´tico ser conservativo significa que a sua circulac¸a˜o ao longo
de uma trajecto´ria fechada C se anula:∮
C
E · dl = 0 . (2.8)
Da Eq. (2.6) resulta que o campo electrosta´tico se pode escrever como o sime´trico do
gradiente do potencial V :
E(r) = −∇V (r) . (2.9)
Esta expressa˜o mostra que o potencial V (r) descreve completamente o campo electrosta´tico,
indicando o sinal negativo na expressa˜o anterior que E aponta no sentido dos potenciais
decrescentes.
Se recordarmos que, qualquer que seja a func¸a˜o escalar V , se tem [ver (B.35)]
∇×∇V = 0 ,
imediatamentese conclui que
∇×E = 0 . (2.10)
Esta equac¸a˜o pode tambe´m ser obtida a partir de (2.8) por aplicac¸a˜o do teorema de Stokes
(ver Apeˆndice A).
O potencial criado por uma carga pontual q num ponto situado a` distaˆncia a desta e´
particularmente simples de obter, se no integral (2.7) se considerar um percurso que tenha a
direcc¸a˜o definida pela carga e pelo ponto onde se pretende obter o potencial:
V =
∫ ∞
a
q
4pi²0
dr
r2
=
q
4pi²0 a
. (2.11)
No caso de uma distribuic¸a˜o de cargas descrita por ρ(r′) contida num volume v (Figura 2.2),
o potencial e´ dado, de acordo com o princ´ıpio da sobreposic¸a˜o, por
V =
1
4pi²0
∫
v
ρ(r′) dv
a
, (2.12)
onde [ver (2.3)] a e´ a distaˆncia do ponto (x′, y′, z′) — onde se localiza a carga elementar —
ao ponto (x, y, z) — onde se pretende calcular o potencial. Os pontos do espac¸o que esta˜o ao
mesmo potencial definem as chamadas superf´ıcies equipotenciais.
E´ tambe´m conveniente relembrar a lei de Gauss, a qual desempenha um papel muito
importante quando se pretende calcular o campo electrosta´ticoE criado por uma distribuic¸a˜o
de cargas possuindo determinadas simetrias. De acordo com a lei de Gauss, o fluxo do campo
ele´ctrico E atrave´s de uma superf´ıcie fechada S que encerra a carga total Q e´∮
S
E · dS = Q
²0
. (2.13)
Equac¸o˜es de Maxwell • 11
Usando agora o teorema de Gauss (ver Apeˆndice A) e atendendo a que a carga total e´ dada
por Q =
∫
v ρ(r
′) dv, sendo v o volume total delimitado por S, conclui-se que∫
v
∇ ·E dv = 1
²0
∫
v
ρ dv ,
de onde resulta a seguinte equac¸a˜o local para o campo electrosta´tico:
∇ ·E = ρ
²0
. (2.14)
Combinando com a Eq. (2.9) obte´m-se a equac¸a˜o de Poisson:
∇2V = − ρ
²0
. (2.15)
Numa regia˜o do espac¸o livre de cargas,
∇2V = 0 ,
que e´ a equac¸a˜o de Laplace.
Vamos, a seguir, considerar alguns exemplos de distribuic¸o˜es esta´ticas de carga e obter os
correspondentes campos ele´ctricos.
Exemplo 2.1: Distribuic¸a˜o linear de carga de densidade uniforme
Consideremos um fio cil´ındrico de comprimento L (muito grande) sobre o qual se encontra
uniformemente distribu´ıda a carga Q (λ = Q/L e´ a densidade linear de carga).
r
l
z
Figura 2.4. Superf´ıcie de Gauss adequada a` determinac¸a˜o do
campo ele´ctrico produzido por uma distribuic¸a˜o linear
infinita de carga.
Escolhe-se o eixo z coincidente com o eixo do fio, como se mostra na Figura 2.4. Comece-
mos por investigar a configurac¸a˜o das linhas do campo ele´ctrico E.
Devido a` extensa˜o infinita da distribuic¸a˜o e a` simetria axial, o campo na˜o pode depender
das coordenadas cil´ındricas z e φ; igualmente, por se tratar de uma distribuic¸a˜o muito longa
com simetria axial, o campo na˜o tem componente Ez nem Eφ. Assim, o campo ele´ctrico tem
apenas componente radial, a qual e´ func¸a˜o de r, isto e´, E = E(r)eˆr.
A determinac¸a˜o de E pode ser feita usando a lei de Gauss (2.13), que se escreve na forma∮
S
E · dS = 1
²0
∫
`
λd` , (2.16)
12 • Campo electromagne´tico
sendo a superf´ıcie gaussiana adequada uma superf´ıcie cil´ındrica de comprimento ` e raio r,
coaxial com a linha de carga, como mostra a Figura 2.4. O integral no primeiro membro da
Eq. (2.16) reduz-se ao fluxo do campo ele´ctrico que sai pela superf´ıcie lateral do cilindro
2pir`E(r) =
λ`
²0
,
de onde se obte´m
E =
λ
2pi²0r
eˆr . (2.17)
Exemplo 2.2: Distribuic¸a˜o volume´trica de carga com simetria esfe´rica
Considere-se uma carga Q distribu´ıda uniformemente numa esfera de raio R. A densidade
volume´trica de cargas e´ ρ = 3Q/(4piR3).
Devido a` simetria da distribuic¸a˜o de carga, o campo ele´ctrico tem apenas componente
radial, a qual so´ depende de r (distaˆncia ao centro da esfera).
A aplicac¸a˜o da lei de Gauss far-se-a´ em duas etapas:
i) Obtenc¸a˜o do campo E num ponto interior (r < R):
E(r) 4pi r2 =
ρ
²0
4
3
pi r3 , (2.18)
tendo-se considerado uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica, de raio r, conceˆntrica com a
distribuic¸a˜o de carga; no segundo membro de (2.18) considera-se a carga contida no
interior desta superf´ıcie;
ii) Ca´lculo do campo E num ponto exterior (r > R):
A aplicac¸a˜o da lei de Gauss a esta situac¸a˜o segue os mesmos passos, obtendo-se
E(r) 4pi r2 =
Q
²0
,
dado que agora toda a carga Q esta´ contida no interior da superf´ıcie gaussiana de raio
r > R.
Temos, em conclusa˜o:
E =
Q
4pi²0R3
r eˆr, r ≤ R , (2.19)
E =
Q
4pi²0r2
eˆr, r ≥ R . (2.20)
2.2 CAMPOS DE INDUC¸A˜O MAGNE´TICA
Considere-se a Figura 2.5, que representa um troc¸o de um circuito ele´ctrico percorrido por
uma corrente estaciona´ria (quer dizer, que na˜o varia no tempo) de intensidade i. A corrente
no circuito cria num ponto P, a` distaˆncia a do elemento (orientado) de circuito, dl, um campo
de induc¸a˜o magne´tica, B.
Equac¸o˜es de Maxwell • 13
i
d l
P
d Bâ a
Figura 2.5. Campo produzido por um elemento de corrente.
O campo elementar dB e´ perpendicular a a e a dl.
A contribuic¸a˜o elementar dB para este campo devida ao troc¸o elementar dl e´ dada pela lei
de Biot-Savart:
dB =
µ0
4pi
i dl× aˆ
a2
,
onde µ0 = 4pi × 10−7 N/A2 (ou, equivalentemente H/m) e´ a permeabilidade magne´tica do
va´cuo.
O campo de induc¸a˜o magne´tica B, no ponto P, obte´m-se integrando sobre todo o circuito
fechado:
B =
µ0
4pi
∮
C
idl× aˆ
a2
, (2.21)
e exprime-se, no SI, em tesla (T) ou weber por metro quadrado (Wb/m2).
Quando se tem uma distribuic¸a˜o extensa de corrente de intensidade i, pode introduzir-se
a densidade de corrente j (expressa em A/m2 no SI) na seguinte forma:
i =
∫
S
j · dS, (2.22)
sendo dS um elemento de superf´ıcie orientado da secc¸a˜o do condutor.
Desta forma, a expressa˜o (2.21) pode ser generalizada e, em lugar do integral estendido a
uma linha de corrente, passa a ter-se um integral estendido a todo o volume v que conte´m a
distribuic¸a˜o de correntes:
B =
µ0
4pi
∫
v
j(r′)× aˆ
a2
dv. (2.23)
As fontes do campoB esta˜o confinadas num volume v e sa˜o func¸a˜o das coordenadas (x′, y′, z′),
tal como se tinha, na Secc¸a˜o 2.1, para uma distribuic¸a˜o de cargas.
Experimentalmente, verifica-se que um circuito quando e´ colocado numa regia˜o onde existe
um campo de induc¸a˜o magne´tica fica sujeito a uma forc¸a (tambe´m uma carga colocada numa
regia˜o onde existe campo ele´ctrico fica sujeita a uma forc¸a). Considere-se, enta˜o, uma regia˜o
do espac¸o onde existe um campo de induc¸a˜o magne´tica,B, cuja origem na˜o importa conhecer,
e que se coloca, nessa regia˜o, um circuito percorrido por uma corrente i (mas que na˜o e´ a
fonte do campo B).1 Verifica-se experimentalmente que sobre cada elemento dl do circuito
se exerce uma forc¸a dada por
dF = idl×B . (2.24)
1Na˜o confundir, portanto, com a situac¸a˜o da Figura 2.5, em que o circuito representado e´ a fonte do campo
de induc¸a˜o magne´tica.
14 • Campo electromagne´tico
Esta expressa˜o e´ denominada lei de Laplace. No Exemplo 2.5 consideram-se duas correntes
paralelas e determina-se a forc¸a entre elas.
O campo de induc¸a˜o magne´tica pode ser formalmente obtido a partir de cargas (monopo-
los) magne´ticas. Os monopolos magne´ticos, embora u´teis de um ponto de vista conceptual,
sa˜o objectos fict´ıcios, no sentido em que nunca foram detectados experimentalmente. As
cargas magne´ticas (que designamos por q∗) foram propostas por Dirac e teˆm a vantagem de
permitir escrever a forc¸a magne´tica de atracc¸a˜o ou de repulsa˜o existente entre elas de uma
forma ideˆntica a` lei de Coulomb (2.1):
F =
1
4piµ0
q∗q′∗
a2
aˆ.
O facto de na˜o se observarem monopolos magne´ticos significa que os campos de induc¸a˜o
magne´tica sa˜o produzidos por correntes, e as linhas de campo sa˜o sempre fechadas. Conse-
quentemente, o fluxo de B atrave´s de uma superf´ıcie fechada qualquere´ sempre nulo:∮
S
B · dS = 0 . (2.25)
Por aplicac¸a˜o do teorema de Gauss (ver Apeˆndice A) resulta a seguinte equac¸a˜o local para o
campo de induc¸a˜o magne´tica:
∇ ·B = 0 . (2.26)
Formalmente, o resultado expresso por (2.26) pode ser obtido directamente a partir da lei
de Biot-Savart. De facto, tomando a divergeˆncia de (2.23) tem-se, usando a Eq. (B.43) e
notando que a corrente j e´ so´ func¸a˜o das coordenadas (x′, y′, z′) e que o operador∇ so´ actua
nas coordenadas (x, y, z),
∇ ·B = −µ0
4pi
∫
v
j(r′) ·
(
∇× aˆ
a2
)
dv , (2.27)
sendo o vector a definido por (2.3). Mas, por outro lado, aˆ/a2 pode ser escrito como o
gradiente de uma func¸a˜o escalar:
∇
(
1
a
)
=∇
(
1
|r − r′|
)
= − r − r
′
|r − r′|3 = −
aˆ
a2
. (2.28)
Assim, a quantidade dentro de pareˆntesis no integral da Eq. (2.27) e´ zero (trata-se do
rotacional de um gradiente) e, portanto, obte´m-se o resultado (2.26). A Eq. (2.26) (va´lida
sempre) esta´ contida na lei de Biot-Savart (que se aplica em regimes estaciona´rios).
Da Eq. (2.26) resulta ainda, e de uma maneira automa´tica [ver (B.36)], que o campoB(r)
se pode exprimir como o rotacional de um campo vectorial A(r), ou seja,
B =∇×A . (2.29)
Conhecido A — o potencial vector — B fica univocamente determinado, mas o mesmo na˜o
sucede com A, quando B e´ conhecido. De facto, pode adicionar-se a A qualquer vector
cujo rotacional seja zero sem que tal afecte o campo f´ısico B. De resto, uma situac¸a˜o algo
semelhante ocorre tambe´m para o potencial escalar V introduzido na Secc¸a˜o 2.1. Pode sempre
somar-se a V uma func¸a˜o escalar cujo gradiente seja nulo (em particular uma constante
qualquer) que isso na˜o altera o campo f´ısico E. (Vimos mesmo, na Secc¸a˜o 2.1, que se podia
arbitrar a origem do potencial.)
Equac¸o˜es de Maxwell • 15
Vejamos, enta˜o, qual a forma geral do potencial A do qual “deriva” o campo de induc¸a˜o
magne´tica. A Eq. (2.23) pode ser escrita na forma
B =
µ0
4pi
∫
v
∇
(
1
a
)
× j(r′) dv ,
tendo-se usado (2.28). A expressa˜o (B.40) permite escrever
∇
(
1
a
)
× j =∇×
(
1
a
j
)
− 1
a
∇× j .
A u´ltima parcela e´ nula, uma vez que o ca´lculo do rotacional envolve derivadas em ordem a
(x, y, z) e a func¸a˜o vectorial j so´ depende do conjunto de varia´veis (x′, y′, z′). Assim,
B =
µ0
4pi
∫
v
∇× j(r
′)
a
dv =∇×
[
µ0
4pi
∫
v
j(r′)
a
dv
]
, (2.30)
onde se usou novamente o facto de o operador nabla, por actuar em func¸o˜es das coorde-
nadas (x, y, z), poder passar para fora do integral [as varia´veis sobre as quais se integra sa˜o
(x′, y′, z′)]. Comparando (2.30) com (2.29) conclui-se que
A(r) =
µ0
4pi
∫
v
j(r′)
a
dv . (2.31)
Se as correntes forem superficiais (κ e´ a densidade superficial de corrente),
A(r) =
µ0
4pi
∫
S
κ(r′) dS
a
. (2.32)
Quando a corrente e´ filamentar tem-se
A(r) =
µ0 i
4pi
∮
C
dl
a
, (2.33)
uma vez que a corrente i e´ a mesma em qualquer ponto do circuito.
A lei de Biot-Savart tambe´m permite obter a chamada lei dos circuitos de Ampe`re. Inte-
grando o campo de induc¸a˜o magne´tica ao longo de um contorno fechado qualquer e aplicando
o teorema de Stokes, tem-se ∮
C
B · dl =
∫
S
∇×B · dS . (2.34)
Para determinar o rotacional do campo B vamos usar (2.29) e (2.31). De (B.41),
∇×B =∇× (∇×A) =∇(∇ ·A)−∇2A, (2.35)
tendo, pois, de se determinar a divergeˆncia e o laplaciano do potencial vector A. Consider-
emos, de momento, um regime estaciona´rio, o qual corresponde a uma situac¸a˜o em que na˜o
ha´ dependeˆncias temporais nem na densidade de carga, nem na densidade de corrente. A
equac¸a˜o de continuidade que, em geral, se escreve
∂ρ
∂t
+∇ · j = 0 (2.36)
reduz-se a
∇ · j = 0 , (2.37)
16 • Campo electromagne´tico
dado que, na situac¸a˜o que estamos a considerar, o primeiro termo no membro esquerdo de
(2.36) e´ nulo. O significado f´ısico da equac¸a˜o anterior e´ claro: as linhas de corrente fecham-se
sobre si pro´prias. Se atendermos agora, por um lado, a` Eq. (2.12) para o potencial escalar V
e a` expressa˜o que se obte´m para o seu laplaciano [Eq. de Poisson (2.15)], e, por outro lado, a`
forma semelhante a (2.12) de cada uma das componentes deA [ver (2.31)], podemos concluir
que cada uma dessas componentes tera´ de obedecer a equac¸o˜es de Poisson semelhantes a
(2.15). Numa notac¸a˜o compacta,
∇2A = −µ0 j . (2.38)
Vejamos finalmente o valor da divergeˆncia de A a fim de retomarmos (2.35). Aplicando o
operador ∇ a (2.31),
∇ ·A = µ0
4pi
∫
v
[∇ · j(r′)
a
+ j(r′) ·∇
(
1
a
)]
dv .
A primeira parcela do segundo membro e´ nula porque ∇ na˜o actua nas coordenadas r′; na
segunda parcela pode fazer-se a seguinte substituic¸a˜o
∇
(
1
a
)
=∇
(
1
|r − r′|
)
= −∇′
(
1
|r − r′|
)
= −∇′
(
1
a
)
, (2.39)
onde o operador ∇′ actua nas coordenadas r′. Integrando por partes, reescreve-se o termo
resultante na seguinte forma:
∇ ·A = −µ0
4pi
[∫
v
∇′ ·
(
j(r′)
a
)
dv −
∫
v
∇′ · j(r′)
a
dv
]
.
A u´ltima parcela e´ nula atendendo a que estamos a considerar um regime estaciona´rio, pelo
que (2.37) se verifica. Aplicando o teorema de Gauss a` primeira parcela,
∇ ·A = −µ0
4pi
∮
S
j(r′)
a
· dS = 0 .
A igualdade a zero verifica-se porque as correntes esta˜o limitadas no espac¸o, o que significa
que j = 0 sobre a superf´ıcie S ou enta˜o j e´ tangente a` superf´ıcie S, sendo, por isso, nulo o
fluxo atrave´s de S. Usando este resultado e o expresso por (2.38) na Eq. (2.35), obte´m-se
∇×B = µ0 j , (2.40)
que e´ a forma local da lei dos circuitos de Ampe`re. A forma integral desta lei e´ obtida a
partir de (2.34): ∮
C
B · dl = µ0
∫
S
j · dS . (2.41)
O conjunto de Eqs. (2.10), (2.14), (2.26) e (2.40) sa˜o as equac¸o˜es de Maxwell no vazio
para o regime estaciona´rio.
E´ u´til escrever essas equac¸o˜es em superf´ıcies de descontinuidade:
divSE = nˆ · (E2 −E1) = σ
²0
(2.42)
rotSE = 0 (2.43)
divSB = 0 (2.44)
rotSB = nˆ× (B2 −B1) = µ0κ . (2.45)
O versor nˆ e´ normal a` superf´ıcie de separac¸a˜o dos meios 1 e 2 e aponta para o lado 2;
E2 , B2 e E1 , B1 sa˜o os campos junto a` superf´ıcie nos meios 2 e 1, respectivamente; σ e´ a
densidade superficial de carga e κ e´ a densidade superficial de corrente sobre a superf´ıcie de
descontinuidade.
Vamos considerar exemplos de distribuic¸o˜es estaciona´rias de correntes e obter os campos
de induc¸a˜o magne´tica resultantes.
Equac¸o˜es de Maxwell • 17
Exemplo 2.3: Condutor infinito percorrido por corrente distribu´ıda uniforme-
mente
a
i
S 1
S 2
r
h
C 1
d z
Figura 2.6. Esquema para a determinac¸a˜o de B produzido
por uma corrente num condutor rectil´ıneo e infinito.
Consideremos um fio condutor muito longo de raio a percorrido por uma corrente i
uniformemente distribu´ıda (Figura 2.6). A densidade de corrente e´
j = j eˆz =
i
pi a2
eˆz.
Vamos procurar a soluc¸a˜o para o campo B usando coordenadas cil´ındricas, atendendo a`
simetria axial do problema. Em termos das suas componentes, o campo de induc¸a˜o magne´tica
escreve-se
B(r, φ, z) = Br(r, φ, z)eˆr +Bφ(r, φ, z)eˆφ +Bz(r, φ, z)eˆz .
Por simetria, B na˜o pode depender de φ nem de z, quer dizer
B(r) = Br(r) eˆr +Bφ(r) eˆφ +Bz(r) eˆz . (2.46)
A Eq. (2.26), quando aplicada ao campo dado por (2.46), permite concluir que
1
r
d
dr
(rBr) = 0 ⇒ Br = C
r
.
Ora, o campo B e´ uma quantidade f´ısica e portanto nunca podera´ tornar-se infinito, de onde
se conclui que a constante C deve ser nula, sena˜o B divergiria na origem.
Poder´ıamos ter chegado a` mesma conclusa˜o partindo da lei do fluxo (2.25). Considerando
como superf´ıcie auxiliar a superf´ıcie cil´ındrica de raio r > a e altura h (bases S1 e S2 e
superf´ıcie lateral SL), coaxial com o tubo de corrente, como se indica naFigura 2.6,∮
S
B · dS =
∫
SL
BL · dS +
∫
S1
B1 · dS +
∫
S2
B2 · dS
=
∫
SL
Br(r) dS = 2pi r hBr(r) = 0 , (2.47)
18 • Campo electromagne´tico
onde se teve em conta o facto de os integrais estendidos a S1 e a S2 terem valores sime´tricos,
uma vez que B na˜o depende de z. A Eq. (2.47) confirma que
Br(r) = 0.
Consideremos agora a lei dos circuitos de Ampe`re aplicada ao contorno C1 situado num
plano vertical contendo o eixo do cilindro, como se mostra na Figura 2.6. Tem-se∮
C1
B · dl = 0→ Bz(r) dz −Bz(r′) dz = 0
e, supondo B(r′ →∞) = 0, vem Bz(r) dz = 0, ou seja, Bz(r) = 0.
O campo B e´ enta˜o da forma B = Bφ(r) eˆφ, sendo a sua expressa˜o obtida recorrendo
de novo a` lei dos circuitos de Ampe`re. Consideremos os caminhos C1 e C2, indicados na
Figura 2.7, para o ca´lculo do campo em pontos interiores e pontos exteriores a` distribuic¸a˜o,
respectivamente.
a
B B
C 1
C 2
i
Figura 2.7. Contornos C1 e C2 adequados ao ca´lculo do campo
no Exemplo 2.3.
Para r < a
Bφ(r) 2pi r = µ0
i
pi a2
pi r2 ,
ou seja,
Bφ(r) = µ0
i r
2pi a2
eˆφ .
Para r > a
B(r) 2pi r = µ0 i ,
de onde resulta
B(r) =
µ0 i
2pi r
eˆφ . (2.48)
Estes resultados foram obtidos tendo em conta que, sobre os caminhos escolhidos, o campo
de induc¸a˜o magne´tica mante´m constante a sua grandeza, e B e´ paralelo em cada ponto a`
tangente ao caminho.
Equac¸o˜es de Maxwell • 19
Exemplo 2.4: Soleno´ide infinito
De novo recorremos a`s equac¸o˜es de Maxwell, quer na sua forma local, quer na sua forma
integral, para obter o campo de induc¸a˜o magne´tica criado por um soleno´ide infinito. Este
sistema e´, na pra´tica, um enrolamento compacto de espiras circulares cujo raio, a, e´ muito
pequeno em comparac¸a˜o com o comprimento L do soleno´ide. Dada a simetria da distribuic¸a˜o
de correntes, o problema resolve-se adequadamente em coordenadas cil´ındricas, podendo
desde logo notar-se que B e´, em todo o espac¸o, independente das coordenadas z e φ, pelo
que o campo de induc¸a˜o magne´tica tem a forma dada pela Eq. (2.46).
S
r
h
a i
C 1
z
Figura 2.8. Esquema utilizado para o ca´lculo do campo
produzido por um soleno´ide infinito.
De modo ana´logo ao que atra´s se discutiu, podemos usar a lei do fluxo, aplicando-a a`
superf´ıcie cil´ındrica fechada de raio r e altura h, indicada por S na Figura 2.8. Designando
por S1 e S2 as superf´ıcies das bases e por SL a superf´ıcie lateral,∮
S
B · dS =
∫
SL
BL · dS +
∫
S1
B1 · dS +
∫
S2
B2 · dS
=
∫
SL
Br(r) dS = 2pi r hBr(r) = 0 ,
uma vez que, sendoB independente de z, a segunda e a terceira parcelas do segundo membro
sa˜o sime´tricas. O resultado do ca´lculo anterior permite concluir que
Br(r) = 0 .
Consideremos agora a lei dos circuitos de Ampe`re aplicada ao contorno circular C1 de raio
r > a situado no plano perpendicular ao eixo do soleno´ide:∮
C1
B · dl =
∮
C1
Bφ(r) r dφ = 2pi r Bφ(r) = 0 ,
onde se fez uso do facto de o campo ser independente de φ e de o fluxo de corrente atrave´s
da superf´ıcie aberta que se apoia em C1 ser nulo. Pode concluir-se que Bφ = 0 em todo o
espac¸o, pois o resultado anterior e´ independente do raio r do contorno escolhido.
O campo B sera´, em princ´ıpio, da forma B = Bz(r)eˆz.
Vejamos agora o campo em pontos interiores, r < a. A equac¸a˜o local (2.40) escreve-se,
neste caso,
−∂Bz
∂r
eˆφ = 0,
20 • Campo electromagne´tico
uma vez que as correntes se distribuem sobre a superf´ıcie do soleno´ide; assim, o campo
no interior tem um valor constante Bz = C; usando exactamente os mesmos argumentos,
conclu´ımos que Bz no exterior tambe´m tem de ser constante. Pela lei de Biot-Savart o
campo criado num ponto infinitamente afastado do eixo do soleno´ide (r →∞) e´ nulo. Assim,
o campo de induc¸a˜o magne´tica e´ nulo em todo o espac¸o fora do soleno´ide: Bext → 0. A
expressa˜o de B no interior e´ obtida usando a Eq. (2.45)
rotSB = eˆr × (0− Ceˆz) = Ceˆφ = µ0κ = µ0 n i eˆφ , (2.49)
em que n = N/L designa o nu´mero de espiras por unidade de comprimento.
Podemos enta˜o escrever, para r < a,
B = µ0 n i eˆz ; (2.50)
e, para r > a,
B = 0 . (2.51)
Exemplo 2.5: Forc¸a entre duas correntes paralelas
Consideremos dois fios rectil´ıneos, muito longos, percorridos por correntes de intensidades
i1 e i2, respectivamente, como mostra a Figura 2.9. Pretende-se determinar a forc¸a que um
fio exerce sobre o outro.
e
f
e r
e z
^
^
^
i 1
i 2
d
1
2
d l
Figura 2.9. Fios paralelos percorridos por correntes i1 e i2, a`
distaˆncia d um do outro.
O fio 1 produz um campo de induc¸a˜o magne´tica que e´ dado por (2.48):
B1 =
µ0 i1
2pi r
eˆφ . (2.52)
De acordo com a lei de Laplace [ver Eq. (2.24)], a forc¸a que o campo B1 exerce sobre
cada elemento de comprimento do condutor 2 e´ dada por
dF = i2 dl eˆz ×B1 = µ0 i1 i2 dl2pi d eˆz × eˆφ
= −µ0 i1 i2 dl
2pi d
eˆr .
Equac¸o˜es de Maxwell • 21
A intensidade da forc¸a por unidade de comprimento e´, enta˜o,
dF
dl
=
µ0 i1 i2
2pi d
, (2.53)
que e´ tambe´m igual a` intensidade da forc¸a por unidade de comprimento que o condutor 2
exerce sobre o condutor 1. Os dois fios atraem-se se as correntes tiverem o mesmo sentido e
repelem-se se tiverem sentidos opostos.
A Eq. (2.53) e´ utilizada para definir o ampere (unidade de corrente ele´ctrica no SI).
2.3 REGIME NA˜O ESTACIONA´RIO E CORRENTE
DE DESLOCAMENTO DE MAXWELL
Vimos na Secc¸a˜o 2.2 como se relaciona o campo de induc¸a˜o magne´tica com as correntes
que o criam. E se o regime na˜o for estaciona´rio? E se houver dependeˆncias temporais nas
densidades de carga e de corrente? Neste caso ha´, para ale´m de uma dependeˆncia espacial,
uma dependeˆncia temporal nos campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica.
A lei de Faraday, por exemplo, refere-se a situac¸o˜es em que ha´ uma dependeˆncia temporal
do fluxo do campo de induc¸a˜o magne´tica B atrave´s de uma superf´ıcie aberta S:
φ =
∫
S
B · dS. (2.54)
A variac¸a˜o temporal deste fluxo induz uma forc¸a electromotriz, Ei, num circuito fechado C
no qual se apoia a superf´ıcie aberta S. Em termos quantitativos, essa forc¸a electromotriz e´
dada por
Ei = −dφdt , (2.55)
equac¸a˜o que exprime a lei de Faraday. O sinal negativo traduz a lei de Lenz, segundo a qual
a corrente induzida no circuito C vai, ela pro´pria, estar na origem de um campo de induc¸a˜o
magne´tica (campo induzido) cujo fluxo, atrave´s de S, tem uma variac¸a˜o temporal que se opo˜e
a` variac¸a˜o de φ. As leis de Faraday e de Lenz sa˜o, a` semelhanc¸a das outras leis que temos
vindo a rever, puramente experimentais, isto e´, a sua validade assenta na sua verificac¸a˜o
experimental.
A forc¸a electromotriz induzida pode ser escrita como a circulac¸a˜o do campo ele´ctrico ao
longo do contorno C, pelo que, de (2.54) e (2.55), se obte´m∮
C
E · dl = −d
dt
∫
S
B · dS ,
que e´ a forma integral da lei de Faraday. A aplicac¸a˜o do teorema de Stokes ao primeiro
membro conduz a` forma diferencial da lei de Faraday:
∇×E = −∂B
∂t
.
E´ esta equac¸a˜o de Maxwell que exprime a f´ısica que esta´ na base do funcionamento de
componentes ta˜o importantes como os geradores e os transformadores. Note-se que, no caso
esta´tico, a equac¸a˜o anterior reduz-se a` Eq. (2.10).
No caso na˜o estaciona´rio, tambe´m a Eq. (2.40) tem de ser modificada. Calculando a
divergeˆncia de ambos os membros desta equac¸a˜o vectorial, verifica-se que o primeiro se anula
22 • Campo electromagne´tico
trivialmente.
O segundo membro fica, simplesmente, µ0∇ ·j, que so´ se anula no caso estaciona´rio [situac¸a˜o
que corresponde a (2.37)]. Assim, tera´ de se incluir no segundo membro de (2.40) um novo
termo cuja divergeˆncia seja o sime´trico de µ0∇ · j. Maxwell verificou que esse termo era
²0µ0 ∂E/∂t. De facto, se em vez da Eq. (2.40) se considerar∇×B = µ0 j + ²0 µ0 ∂E
∂t
, (2.56)
verifica-se que a divergeˆncia do segundo membro (tal como a do primeiro) se anula:
µ0
[
∇ · j + ²0 ∂∇ ·E
∂t
]
= µ0
[
∇ · j + ∂ρ
∂t
]
= 0 .
A igualdade a zero resulta da equac¸a˜o de continuidade que relaciona a densidade de carga,
ρ, com a densidade de corrente, j [ver (2.36)]. A expressa˜o ²0 ∂E/∂t e´ a corrente de deslo-
camento de Maxwell e a necessidade da sua introduc¸a˜o tem um significado f´ısico claro: sem
esse termo na˜o poderia haver conservac¸a˜o local da carga ele´ctrica expressa pela equac¸a˜o de
continuidade.
Claro que a Eq. (2.56) poderia ter sido obtida formalmente a partir de (2.31) e de (2.35).
2.4 AS EQUAC¸O˜ES DE MAXWELL E A FORC¸A DE LORENTZ
Em resumo, no vazio, as equac¸o˜es de Maxwell podem ser escritas na forma:
∇ ·E = ρ
²0
(2.57)
∇×E = −∂B
∂t
(2.58)
∇ ·B = 0 (2.59)
∇×B = µ0 j + ²0 µ0 ∂E
∂t
. (2.60)
Equac¸o˜es de Maxwell • 23
Na forma integral, estas equac¸o˜es escrevem-se:∮
S
E · dS = 1
²0
∫
v
ρ dv =
Q
²0
(2.61)∮
C
E · dl = −d
dt
∫
S
B · dS (2.62)∮
S
B · dS = 0 (2.63)∮
C
B · dl = µ0
∫
S
(
j + ²0
∂E
∂t
)
· dS . (2.64)
Faz-se notar que a equac¸a˜o integral (2.62) e´ mais geral do que a equac¸a˜o diferencial (2.58), a
qual so´ e´ aplica´vel quandoB varia no tempo. Se a superf´ıcie S variar no tempo, ha´ ainda uma
variac¸a˜o temporal do fluxo do campo de induc¸a˜o magne´tica (mesmo queB seja estaciona´rio)
e, neste caso,
e´ (2.62) que se deve aplicar.
Recorde-se, tambe´m, que quando uma carga ele´ctrica q se desloca, com velocidade v,
numa regia˜o do espac¸o onde existem campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica fica sujeita a
uma forc¸a (forc¸a de Lorentz), que e´ dada por
F = q (E + v ×B) . (2.65)
Como exemplos de aplicac¸a˜o da forc¸a de Lorentz vamos considerar duas experieˆncias
histo´ricas: a experieˆncia de Thomson e a experieˆncia de Hall.
Exemplo 2.6: Experieˆncia de Thomson
A determinac¸a˜o experimental da raza˜o carga/massa do electra˜o, realizada por J. J. Thom-
son em 1897, marca a descoberta do electra˜o. Conceptualmente, a experieˆncia baseia-se no
efeito que os campos ele´ctricos e magne´ticos exercem sobre part´ıculas carregadas e, por isso, e´
um exemplo apresentado frequentemente para ilustrar a aplicac¸a˜o da forc¸a de Lorentz (2.65).
O dispositivo experimental utilizado, conhecido por tubo de raios cato´dicos, esta´ representado
esquematicamente na Figura 2.10.
V
P
E , B+
-
F
Figura 2.10. Tubo de raios cato´dicos usado na experieˆncia de
Thomson.
Ha´ um filamento F que, depois de aquecido, liberta electro˜es cuja velocidade, em geral
pequena, se pode aumentar estabelecendo uma diferenc¸a de potencial V entre P e F. A
24 • Campo electromagne´tico
placa meta´lica P tem uma pequena abertura que permite colimar o feixe de electro˜es. Estes
entram a seguir numa regia˜o entre duas placas meta´licas deflectoras indo, finalmente, embater
num e´cran fluorescente (a fluoresceˆncia do e´cran permite determinar visualmente o ponto de
impacto).
Na regia˜o entre as placas pode estabelecer-se um campo ele´ctrico, de intensidade E (con-
trola´vel externamente) que aponta para baixo, e um campo de induc¸a˜o magne´tica de intensi-
dade B (tambe´m controlada externamente) e que aponta para dentro do plano do papel. Sob
a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, o feixe de electro˜es sofre um desvio na sua trajecto´ria, devido a`
forc¸a vertical, dirigida para cima, que sobre eles se exerce, passando a descrever uma para´bola
(no plano da Figura 2.11). O campo de induc¸a˜o magne´tica, quando presente, exerce uma
forc¸a sobre os electro˜es que e´ ainda vertical mas que aponta para baixo. As intensidades E
e B dos campos podem ser escolhidas de modo a que a forc¸a resultante que se exerce sobre
cada electra˜o seja nula (despreza-se a forc¸a de interacc¸a˜o mu´tua entre os electro˜es do feixe e
a forc¸a grav´ıtica). Nestas condic¸o˜es a trajecto´ria das part´ıculas passa de novo a ser rectil´ınea
[Figuras 2.10 e 2.11)].
x
y
E
y
( b )( a ) ( c )
EL B
Figura 2.11. Placas deflectoras na experieˆncia de Thomson.
(a) Auseˆncia de campos; (b) apenas campo ele´ctrico aplicado;
(c) campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica aplicados.
Experimentalmente, consideram-se treˆs situac¸o˜es distintas: (a) auseˆncia de campos aplica-
dos; (b) apenas campo ele´ctrico aplicado; (c) campo ele´ctrico e campo de induc¸a˜o magne´tica
aplicados. Na Figura 2.11 representam-se as placas deflectoras, de comprimento L, e cada
uma destas situac¸o˜es. Em qualquer das situac¸o˜es, o movimento das cargas segundo o eixo x e´
rectil´ıneo e uniforme, pois a componente da forc¸a nessa direcc¸a˜o e´ nula (quer haja, quer na˜o
campos aplicados). O tempo que um electra˜o demora a passar entre as placas e´ t = L/v0,
sendo v0 a sua velocidade a` sa´ıda do colimador (ou, por outras palavras, a` entrada das pla-
cas). Na situac¸a˜o (b), a part´ıcula fica sujeita a uma forc¸a constante na direcc¸a˜o do eixo y,
dada em mo´dulo por F = eE, sendo e o mo´dulo da carga do electra˜o. Segundo esse eixo,
o movimento e´ uniformemente acelerado, com acelerac¸a˜o a = eE/m, onde m e´ a massa do
electra˜o. Nestas condic¸o˜es os electro˜es descrevem uma trajecto´ria parabo´lica na regia˜o entre
as placas deflectoras e a distaˆncia y indicada na Figura 2.11 (b) e´ dada por
y =
1
2
a t2 =
eE
2m
L2
v20
. (2.66)
O valor de y pode ser medido experimentalmente a partir da posic¸a˜o do ponto de impacto
do feixe no e´cran fluorescente e do conhecimento das dimenso˜es do tubo. Mantendo o mesmo
campo ele´ctrico e ligando agora o campo de induc¸a˜o magne´tica [situac¸a˜o (c)], este pode ser
ajustado de tal modo que o desvio da trajecto´ria dos electro˜es seja nulo quando atravessam
as placas [tal como em (a)]. Usando a expressa˜o (2.65) da forc¸a de Lorentz e impondo a
Equac¸o˜es de Maxwell • 25
igualdade da forc¸a ele´ctrica e magne´tica, eE = eB v0, conclui-se que v0 = E/B. Inserindo
em (2.66), encontra-se a expressa˜o
e
m
=
2 y E
L2B2
.
Esta expressa˜o pode ser usada para obter experimentalmente o valor da raza˜o carga/massa
do electra˜o (ou de qualquer outra part´ıcula carregada).
Exemplo 2.7: Efeito Hall
A Figura 2.12 representa um bloco de material condutor, de condutividade σ, fixo no
espac¸o. Sob a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, E (direcc¸a˜o y), estabelece-se uma densidade de
corrente de conduc¸a˜o
j = ρv , (2.67)
cujo fluxo atrave´s da secc¸a˜o recta do condutor e´ a intensidade de corrente i [ver Eq. (2.22)].
A relac¸a˜o entre a densidade de corrente j e o campo ele´ctrico E e´
j = σE .
E
z
y
x
jv
B
h
0
Figura 2.12. Condutor para verificar o
efeito Hall.
Sob a acc¸a˜o do campo ele´ctrico, as cargas negativas (electro˜es) deslocam-se para a es-
querda do condutor2. Consideremos que se aplica um campo de induc¸a˜o magne´tica esta´tico
e uniforme segundo o eixo x. Sob a acc¸a˜o deste campo, os electro˜es ficam sujeitos a` forc¸a
magne´tica Fm = q v ×B, que aponta no sentido de −z (note-se que q = −e < 0). Devido a
esta forc¸a, as part´ıculas de carga negativa sa˜o desviadas para baixo, contribuindo para uma
acumulac¸a˜o de cargas deste tipo na face inferior do condutor (plano xy). Concomitantemente,
ha´ uma acumulac¸a˜o de cargas positivas na face superior (plano z = h) do condutor. Estas
acumulac¸o˜es de cargas da˜o origem a uma diferenc¸a de potencial entre as duas faces (diferenc¸a
de potencial de Hall), e o correspondente campo ele´ctrico e´ vertical, apontando no sentido
de −z. Sob a acc¸a˜o deste campo, que vamos designar por E′ = −E′ kˆ, as cargas ele´ctricas
no condutor ficam tambe´m sujeitas a uma forc¸a vertical, dirigida de baixo para cima, que
2O efeito de uma corrente de cargas negativas e´ equivalente, muitas vezes, ao de uma corrente decargas
positivas deslocando-se em sentido oposto. O efeito Hall, como veremos, permite distinguir as duas situac¸o˜es.
26 • Campo electromagne´tico
tende a equilibrar a forc¸a magne´tica. Este e´ o chamado efeito Hall, descoberto em 1879 pelo
norte-americano Edwin H. Hall. Quando as forc¸as ele´ctrica e magne´tica se igualam, tem-se,
da Eq. (2.65),
E′ = v B . (2.68)
O campo ele´ctrico pode ser medido experimentalmente, de forma indirecta atrave´s da
diferenc¸a de potencial de Hall, V , pois E′ = V/h.
Sabemos hoje que, nos metais, a corrente ele´ctrica e´ devida aos electro˜es, pelo que a face
superior do condutor fica a um potencial mais elevado do que a face inferior. Se as cargas
em movimento que esta˜o na origem da corrente ele´ctrica fossem positivas, ter-se-ia a situac¸a˜o
contra´ria. De resto, e´ este o caso em alguns semicondutores e foi justamente o efeito Hall que
permitiu chegar a essa conclusa˜o.
Combinando as expresso˜es (2.68) e (2.67), podemos escrever
E′
j B
=
1
nq
, (2.69)
tendo-se usado ρ = n q, em que n e´ o nu´mero de cargas por unidade de volume do material
condutor. A raza˜o 1/(n q) e´ conhecida por coeficiente de Hall e e´ uma caracter´ıstica do
material.
Conhecidos j (a corrente), B (o campo de induc¸a˜o magne´tica aplicado) e E′ (atrave´s
da diferenc¸a de potencial medida), pode conhecer-se a estrutura do material, ou seja, o seu
coeficiente de Hall. Por outro lado, conhecidos j, E′ e o coeficiente de Hall, a expressa˜o (2.69)
permite conhecer o campo de induc¸a˜o magne´tica B. E´ esta, precisamente, a func¸a˜o de uma
“sonda de Hall”, que pode ter dimenso˜es muito reduzidas. Claro que, antes de ser utilizada,
a sonda tem de ser “calibrada” com campos de induc¸a˜o magne´tica conhecidos, isto e´, o seu
coeficiente de Hall tem de ser conhecido.
2.5 EQUAC¸O˜ES PARA OS POTENCIAIS
A equac¸a˜o de Maxwell (2.58) implica a generalizac¸a˜o da Eq. (2.9), que relaciona o potencial
escalar com o campo ele´ctrico no caso esta´tico. Assim, usando (2.29) no segundo membro da
Eq. (2.58), conclui-se que e´ a quantidade E + ∂A/∂t (e na˜o apenas o campo ele´ctrico) que
se pode exprimir como o gradiente de uma func¸a˜o escalar, isto e´,
E = −∇V − ∂A
∂t
, (2.70)
sendo −∂A∂t a contribuic¸a˜o na˜o conservativa para E. A equac¸a˜o anterior, a par da Eq. (2.29)
que aqui reescrevemos,
B =∇×A , (2.71)
permitem determinar os campos f´ısicos E e B a partir dos potenciais V e A. Surge aqui
um ponto muito interessante. Constata-se que a escolha destes potenciais na˜o e´ u´nica, isto
e´, ha´ va´rios conjuntos de pares de potenciais (escalar e vector) que conduzem aos mesmos
campos ele´ctrico e de induc¸a˜o magne´tica. Considere-se o par (V,A), a que correspondem
os campos f´ısicos obtidos a partir de (2.70) e de (2.71). Se alterarmos V e A, juntando ao
segundo o gradiente de uma func¸a˜o escalar χ e subtraindo ao primeiro a derivada temporal
dessa mesma func¸a˜o, isto e´, se considerarmos os novos potenciais (V ′,A′) que se relacionam
com os anteriores atrave´s de
V ′ = V − ∂χ
∂t
(2.72)
Equac¸o˜es de Maxwell • 27
A′ =A+∇χ, (2.73)
os campos E′ e B′ gerados pelos novos potenciais coincidem com os anteriores:
E′ = −∇V +∇
(
∂χ
∂t
)
− ∂A
∂t
− ∂
∂t
∇χ = E
B′ =∇× (A+∇χ) =∇×A =B .
As Eqs. (2.72) e (2.73) expressam a chamada liberdade de padra˜o (gauge, em ingleˆs) na
fixac¸a˜o dos potenciais. Esta liberdade e´, de resto, uma das caracter´ısticas mais peculiares
da teoria do electromagnetismo e corresponde a uma das mais importantes simetrias que as
modernas teorias das forc¸as fundamentais incorporam. Ate´ se designam habitualmente por
teorias de gauge!
Vejamos quais as equac¸o˜es a que os potenciais electromagne´ticos teˆm de obedecer. A
equac¸a˜o para o potencial V obte´m-se aplicando o operador nabla a ambos os membros de
(2.70) e usando a Eq. (2.57):
−∇2V −∇ · ∂A
∂t
=
ρ
²0
. (2.74)
Por outro lado, de (2.35) e de (2.60) conclui-se que
∇(∇ ·A)−∇2A = µ0 j − 1
c2
∂2A
∂t2
− 1
c2
∇∂V
∂t
, (2.75)
tendo-se utilizado (2.70) e onde
c2 =
1
²0µ0
(2.76)
e´ o quadrado da velocidade da luz (c = 3×108 m/s). A` Eq. (2.75) pode ainda dar-se uma
outra forma:
1
c2
∂2A
∂t2
−∇2A = µ0j −∇
(
1
c2
∂V
∂t
+∇ ·A
)
. (2.77)
Usando a liberdade de escolha do padra˜o, e´ sempre poss´ıvel escolher um par (V,A) que
satisfac¸a a equac¸a˜o
1
c2
∂V
∂t
+∇ ·A = 0 . (2.78)
Este e´ o chamado padra˜o de Lorentz. Nestas condic¸o˜es [frisamos bem que a condic¸a˜o (2.78)
na˜o introduz nenhuma restric¸a˜o na determinac¸a˜o dos campos E e B] as Eqs. (2.74) e (2.77)
ficam desacopladas, passando a escrever-se nas formas
∇2V − 1
c2
∂2V
∂t2
= − ρ
²0
(2.79)
∇2A− 1
c2
∂2A
∂t2
= −µ0 j . (2.80)
Ha´ outras escolhas de padra˜o que tambe´m sa˜o habituais. Uma delas consiste em considerar
simplesmente ∇ · A = 0 e e´ denominada gauge de Coulomb, da radiac¸a˜o, ou transversa.
As Eqs. (2.79) e (2.80), obtidas na gauge de Lorentz, reduzem-se, no caso do vazio e na
auseˆncia de fontes (ρ = 0, j = 0), a um par de equac¸o˜es diferenciais homoge´neas,
∇2V − 1
c2
∂2V
∂t2
= 0 (2.81)
28 • Campo electromagne´tico
∇2A− 1
c2
∂2A
∂t2
= 0 , (2.82)
cujas soluc¸o˜es sa˜o ondas que se propagam com velocidade c.
Tambe´m os campos E e B obedecem a equac¸o˜es de onda semelhantes a estas. Assim,
tomando o rotacional em ambos os membros de (2.58) e usando (2.60) e (B.41), tem-se
∇(∇ ·E)−∇2E = −µ0∂j
∂t
− µ0²0∂
2E
∂t2
.
Finalmente, fazendo uso de (2.57) e de (2.76), obte´m-se
∇2E − 1
c2
∂2E
∂t2
=
1
²0
∇ ρ+ µ0∂j
∂t
, (2.83)
que e´ uma equac¸a˜o na˜o homoge´nea. De modo ana´logo, tem-se, para o campo de induc¸a˜o
magne´tica,
∇2B − 1
c2
∂2B
∂t2
= −µ0∇× j . (2.84)
Na auseˆncia de cargas e de correntes, as Eqs. (2.83) e (2.84) transformam-se em equac¸o˜es
homoge´neas do tipo da Eq. (2.82).
2.6 PROBLEMAS RESOLVIDOS
2.6.1 Campo electrosta´tico (coordenadas cartesianas)
Questa˜o
Um campo de vectores e´ definido do seguinte modo:
E =

k
²0 jˆ para y > a
3 k
²0
(
1 +
y
a
)
jˆ para 0 < y < a
− k²0 jˆ para y < 0 .
(2.85)
Verificar se pode tratar-se de um campo electrosta´tico e determinar a distribuic¸a˜o de
cargas que cria este campo.
Resposta
Para que E seja um campo electrosta´tico tem de se verificar ∇×E = 0 [cf. Eq. (2.10)].
O rotacional do campo ele´ctrico em coordenadas cartesianas e´ (ver Apeˆndice B):
∇×E =
(
∂Ez
∂y
− ∂Ey
∂z
)
iˆ+
(
∂Ex
∂z
− ∂Ez
∂x
)
jˆ +
(
∂Ey
∂x
− ∂Ex
∂y
)
kˆ .
Sendo o campo vectorial dado em (2.85) da forma E = Ey(y) jˆ em todo o espac¸o, o seu
rotacional e´ nulo e pode, pois, tratar-se de um campo electrosta´tico.
Equac¸o˜es de Maxwell • 29
As distribuic¸o˜es volume´tricas de carga sa˜o obtidas a partir de (2.14). Em coordenadas
cartesianas a divergeˆncia do campo ele´ctrico e´ (ver Apeˆndice B):
∇ ·E = ∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
.
i) Para y > a e y < 0, o campo E e´ constante e, portanto, ρ = 0.
ii) Para 0 < y < a, tomando a divergeˆncia de (2.85), obte´m-se
∇ ·E = 3k
a²0
e, de ∇ ·E = ρ/²0 [cf. (2.14)],
ρ =
3 k
a
.
As distribuic¸o˜es superficiais de carga sa˜o obtidas a partir da divergeˆncia superficial de E
[cf. (2.42)]:
divSE = nˆ · (E2 −E1) = σ
²0
,
sendo nˆ a normal a` superf´ıcie; o ı´ndice 2 designa a regia˜o para onde aponta o vector unita´rio
e o ı´ndice 1 a outra regia˜o.
i) Carga superficial em y = 0:
σ = ²0 jˆ ·
[
3k
²0
jˆ −
(
− k
²0
jˆ
)]
= 4k ,
tendo-se escolhido nˆ = jˆ.
ii) Carga superficial em y = a (escolhendo tambe´m nˆ = jˆ):
σ = ²0 jˆ ·
(
k
²0
jˆ − 6k
²0
jˆ
)
= −5k .
2.6.2 Campo ele´ctrico com simetria cil´ındrica — I
Questa˜o
Um campo ele´ctrico e´ dado, em coordenadas cil´ındricas, por
E =
E0
(
r
a
)3
eˆr para 0 < r < a
0 no resto do espac¸o.
Determinar a distribuic¸a˜o de cargas que cria este campo e o potencial ele´ctrico em todo o
espac¸o.
Resposta
A distribuic¸a˜o de carga e´ obtida a partir das expresso˜es (2.14) e (2.42). Como o campo e´
dado em coordenadas cil´ındricas deve utilizar-se a expressa˜o da divergeˆncia do campo ele´ctrico
em coordenadas cil´ındricas (ver Apeˆndice B):
∇ ·E = 1
r
∂
∂r
(r Er) +
1
r
∂Eφ
∂φ
+
∂Ez
∂z
.
30 • Campo electromagne´tico
Na questa˜o proposta, E = Er(r)eˆr, pelo que a divergeˆncia do campo ele´ctrico e´ dada por
∇ ·E = 1
r
d
dr
(r Er) =
1
r
d
dr
(
E0
a3
r4
)
=
4r2
a3
E0 ,
donde
ρ = 4²0
r2
a3
E0 (2.86)
na regia˜o 0 < r < a. Na regia˜o r > a o campo e´ nulo e ρ = 0.
A distribuic¸a˜o volume´trica de carga localiza-se num cilindro de raio a. A distribuic¸a˜o
superficial de carga sobre a superf´ıcie r = a e´ obtida a partir da divergeˆncia superficial do
campo ele´ctrico dada por
nˆ · (E2 −E1) = eˆr · (0− E0eˆr) = −E0 .
Usando (2.42) pode concluir-se que, em r = a,
σ = −²0E0 . (2.87)
E´ interessante notar que as distribuic¸o˜es de carga (2.86) e (2.87) conduzem a uma carga
total nula para um cilindro de altura arbitra´ria L. A carga total nesse cilindro e´
Q =
∫
ρdv +
∫
σ dS
e, de (2.86) e (2.87),
Q =
4²0E0
a3
2piL
∫ a
0
r2 r dr − 2piaL²0E0
= 2piaL²0E0 − 2piaL²0E0 = 0 .
Vamos agora obter o potencial electrosta´tico, o qual, devido a` simetria cil´ındrica do prob-
lema, so´ pode depender de r. Para r > a o campo electrosta´tico e´ nulo, pelo que o potencial
e´ constante nessa regia˜o. Para garantir que V (r → ∞) = 0 e, como o potencial e´ constante
no exterior, devemos considerar o potencial nulo em r = a. Na regia˜o exterior ao cilindro,
V (r) = 0 , r ≥ a .
Na regia˜o r ≤ a, podemos determinar o potencial a partir da circulac¸a˜o do campo ele´ctrico
dado (e´ conveniente utilizar percursos radiais nessa circulac¸a˜o). Assim, a circulac¸a˜o entre um
ponto do eixo do cilindro e um ponto a` distaˆncia r deste e´
V (0)− V (r) =
∫ r
0
E · dr = E0
a3
∫ r
0
r3dr =
E0 r
4
4a3
.
Para garantir que V (a) = 0 tera´ de ser V (0) = E0a/4. Introduzindo este valor na expressa˜o
anterior obte´m-se o potencial
V (r) =
E0 a
4
[
1−
(
r
a
)4]
, r ≤ a .
Equac¸o˜es de Maxwell • 31
2.6.3 Campo ele´ctrico com simetria cil´ındrica — II
Questa˜o
A regia˜o entre dois cilindros coaxiais infinitamente longos esta´ carregada, sendo a densi-
dade de carga, expressa em coordenadas cil´ındricas, dada por
ρ = A exp(−αr) ,
onde A e α sa˜o constantes. Calcular o campo ele´ctrico em todo o espac¸o em func¸a˜o dos raios
dos cilindros interno e externo, a e b respectivamente.
Resposta
Dada a simetria da distribuic¸a˜o de cargas, o campo ele´ctrico na˜o depende de φ, nem de z.
Tambe´m, pela mesma raza˜o, tem apenas componente radial, E(r) = Er(r) eˆr. Designaremos
Er simplesmente por E. O me´todo mais expedito para calcular o campo ele´ctrico em todo o
espac¸o consiste em aplicar a lei de Gauss expressa pela Eq. (2.13), que aqui reescrevemos:∮
S
E · dS = Q
²0
, (2.88)
onde Q e´ a carga no volume limitado pela superf´ıcie fechada S (superf´ıcie de Gauss).
Para a situac¸a˜o apresentada, escolhemos superf´ıcies de Gauss cil´ındricas coaxiais, cujo
eixo comum e´ o eixo de simetria da distribuic¸a˜o de cargas e cuja altura e´ L (esta altura e´
arbitra´ria e os resultados na˜o va˜o depender de L). Consideremos, pois, treˆs superf´ıcies de
Gauss, S1, S2 e S3.
a
b
C 1
C 2
C 3
Figura 2.13. Corte transversal do sistema referido no
Problema 2.6.3.
A Figura 2.13 mostra um corte por um plano perpendicular ao eixo de simetria, sendo
C1, C2 e C3 as circunfereˆncias que resultam da intersecc¸a˜o desse plano com as superf´ıcies
de Gauss, S1, S2 e S3. Seja r o raio de uma qualquer dessas circunfereˆncias Ci. O fluxo do
campo ele´ctrico [ver Eq. (2.88)] e´ ∮
S
E · dS = 2pirLE . (2.89)
32 • Campo electromagne´tico
• Regia˜o 0 < r < a
A carga na regia˜o limitada pela superf´ıcie cil´ındrica S1 e´ zero, pelo que
E = 0 (2.90)
nessa regia˜o.
• Regia˜o a < r < b
Comecemos por calcular a carga dentro da regia˜o v2 limitada por S2:
Q =
∫
v2
ρ dv = 2piLA
∫ r
a
e−αr r dr
= 2piLA
[(
r exp(−αr)
−α
∣∣∣∣r
a
−
(
exp(−αr)
α2
∣∣∣∣r
a
]
= 2piLA
[
− r
α
e−αr +
a
α
e−αa − 1
α2
e−αr +
1
α2
e−αa
]
. (2.91)
Combinando (2.88), (2.89) e (2.91), o campo ele´ctrico vem dado por
E =
A
²0rα
[(
a+
1
α
)
e−αa −
(
r +
1
α
)
e−αr
]
. (2.92)
• Regia˜o r > b
Segue-se um procedimento ana´logo, mas neste caso a integrac¸a˜o na coordenada radial
para determinar a carga [Eq. (2.91)] vai de a ate´ b. Encontra-se para o campo elec-
trosta´tico uma expressa˜o parecida com (2.92), mas agora com uma dependeˆncia mais
simples em r:
E =
A
²0rα
[(
a+
1
α
)
e−αa −
(
b+
1
α
)
e−αb
]
. (2.93)
Esta dependeˆncia em 1/r e´ t´ıpica da linha infinita carregada (ou do campo criado no
exterior por qualquer distribuic¸a˜o infinita de carga com simetria cil´ındrica).
E´ interessante confirmar que o campo ele´ctrico e´ cont´ınuo, pois na˜o ha´ distribuic¸o˜es su-
perficiais de carga. Sobre a superf´ıcie r = a obte´m-se E = 0 de (2.92) [cf. Eq. (2.90)]. Por
outro lado, sobre a superf´ıcie r = b, as Eqs. (2.92) e (2.93) conduzem ao mesmo valor para
o campo ele´ctrico.
2.6.4 Campo ele´ctrico em coordenadas esfe´ricas
Questa˜o
Um campo ele´ctrico na regia˜o r > a e´ dado por
Er =
2A cos θ
r3
Eθ =
A sin θ
r3
Eφ = 0 ,
sendo A uma constante. Calcular a distribuic¸a˜o volume´trica de carga nesta regia˜o.
Equac¸o˜es de Maxwell • 33
Resposta
De acordo com (2.14), ρ = ²0∇ ·E, de modo que o problema se reduz a` determinac¸a˜o
da divergeˆncia do campo vectorial dado. Conve´m, evidentemente, utilizar a expressa˜o da
divergeˆncia do campo ele´ctrico em coordenadas esfe´ricas (ver Apeˆndice B):
∇ ·E = 1
r2
∂
∂r
(r2Er) +
1
r sin θ
∂
∂θ
(Eθ sin θ) +
1
r sin θ
∂Eφ
∂φ
.
O campo dado na˜o depende de φ, pelo que a u´ltima parcela e´ nula. As duas primeiras
parcelas sa˜o
1
r2
∂
∂r
(r2Er) =
2A cos θ
r2
(
− 1
r2
)
= −2A cos θ
r4
e
1
r sin θ
∂
∂θ
(Eθ sin θ) =
1
r sin θ
2A sin θ cos θ
r3
=
2A cos θ
r4
,
donde
ρ = 0
em todos os pontos da regia˜o considerada.
2.6.5 Esfera uniformemente carregada
Questa˜o
Uma esfera de raio R esta´ carregada com uma carga total Q uniformemente distribu´ıda
no seu volume.
Determinar o potencial para todos os valores de r.
Resposta
No Exemplo 2.2 foi obtido o campo ele´ctrico criado por esta distribuic¸a˜o de cargas [ver
Eqs. (2.19) e (2.20)]:
E =
1
4pi²0
Q
r2
eˆr (r ≥ R) , (2.94)
e
E =
1
4pi²0
Qr
R3
eˆr (r ≤ R) . (2.95)
O potencial electrosta´tico, que so´ depende da coordenada radial, pode ser calculado a
partir da circulac¸a˜o do campo ele´ctrico tal como no Problema 2.6.2. O potencial vem dado
por
V (r) =
Q
4pi²0r
(r ≥ R) (2.96)
V (r) =
Q
8pi²0R
[
3−
(
r
R
)2]
(r ≤ R) . (2.97)
O termo constante nesta u´ltima expressa˜o garante a continuidade do potencial sobre a su-
perf´ıcie r = R. Note-se que foi feita a escolha usual, limr→∞ V (r) = 0. Usando a relac¸a˜o
∇V = −E
e tomando a expressa˜o do gradiente em coordenadas esfe´ricas (Apeˆndice B) pode o leitor
confirmar que as expresso˜es obtidas para o potencial sa˜o consistentes com as indicadas para
o campo ele´ctrico [Eqs. (2.94) e (2.95)].
34 • Campo electromagne´tico
2.6.6 Campo criado por um plano de corrente uniforme
Questa˜o
Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o espac¸o criado por uma densidadede
corrente uniforme que percorre um plano infinito.
Resposta
Considere-se que o plano de correntes e´ o plano xy e, portanto, que o eixo z e´ perpendicular
a esse plano. Seja κ = κ jˆ a densidade superficial de corrente. O campo de induc¸a˜o magne´tica
na˜o pode depender nem de x nem de y, pois a distribuic¸a˜o de correntes e´ infinita segundo
essas direcc¸o˜es. Eventualmente, podera´ depender de z, ou seja, da distaˆncia ao plano. Assim,
B(r) = Bx(z) iˆ+By(z) jˆ +Bz(z) kˆ . (2.98)
De acordo com a lei de Biot-Savart, o campo elementar dB produzido por um elemento
de corrente dl′ e´ perpendicular a este. Logo, o campo na˜o pode ter componente segundo
y (a direcc¸a˜o da corrente superficial). Por outro lado, a divergeˆncia do campo de induc¸a˜o
magne´tica e´ nula, ∇ ·B = 0 [cf. Eq. (2.26)] e, dada a forma (2.98), conclui-se que Bz tem
de ser constante. Usando argumentos de simetria, e´ fa´cil concluir que esta constante e´ nula.
Assim, consideremos um ponto P de coordenadas (X,Y, Z). As correntes no semiplano x > X
criam em P um campoB cuja componente segundo z e´ anulada pelas correntes no semi-plano
x < X, resultando um campo de induc¸a˜o magne´tica paralelo ao plano de correntes.
k
1
k
2
d B 1
d B 2
y
x
z
P
d B
Figura 2.14. Campo de induc¸a˜o magne´tica criado por plano
de correntes.
Na Figura 2.14 representam-se esquematicamente os campos criados num ponto P (0, 0, Z)
por duas correntes localizadas simetricamente relativamente ao eixo y. O campo (infinites-
imal) produzido por estas correntes e´ paralelo ao plano xy, o mesmo se verificando para
quaisquer duas correntes localizadas simetricamente em relac¸a˜o ao eixo y. Como o plano de
correntes e´ infinito, as razo˜es aduzidas manteˆm-se va´lidas para qualquer ponto, independen-
temente da sua localizac¸a˜o. Desta discussa˜o conclui-se que
B = Bx(z) iˆ .
Equac¸o˜es de Maxwell • 35
Exploremos agora a Eq. (2.45) em z = 0:
rotSB = nˆ× (B2 −B1) = µ0κ .
Escolhendo nˆ = kˆ, se fizermos B2 = B iˆ em z = 0+, enta˜o B1 = −B iˆ em z = 0− e a
equac¸a˜o anterior reduz-se a
2B = µ0 κ ,
donde se obte´m a grandeza do campo,
B =
κµ0
2
, (2.99)
junto ao plano de correntes.
y
x
z
D
A
B
C
L
Figura 2.15. Contorno ABCDA adequado ao ca´lculo da
circulac¸a˜o
do campo de induc¸a˜o magne´tica. Esse contorno e´ paralelo ao
plano xz.
Considere-se, por fim, a circulac¸a˜o deB ao longo de um rectaˆngulo horizontal (paralelo ao
plano xz, como mostra a Figura 2.15). Esta circulac¸a˜o e´ nula, pois na˜o ha´ fluxo de corrente
atrave´s da superf´ıcie que se apoia no contorno considerado. Os lados do rectaˆngulo paralelos
ao plano de corrente teˆm comprimento L e os lados perpendiculares comprimento arbitra´rio.
A circulac¸a˜o de B ao longo destes dois lados e´ nula, porque B e´ perpendicular ao versor kˆ
(direcc¸a˜o da circulac¸a˜o). Sendo L o comprimento comum dos segmentos AB e CD, B′ o valor
do campo de induc¸a˜o magne´tica em cada ponto do segmento AB e B′′ o valor do campo no
segmento CD, a circulac¸a˜o ao longo do contorno escolhido reduz-se a
B′L−B′′L = 0 → B′ = B′′ ,
ou seja, o mo´dulo do campo B na˜o depende da distaˆncia ao plano de correntes.
Podemos, enta˜o, concluir que o campoB e´ constante, tanto nas regio˜es z > 0, como z < 0,
sendo o seu valor dado por (2.99). Teremos, pois,
B = −κµ0
2
iˆ para z < 0
B =
κµ0
2
iˆ para z > 0 .
36 • Campo electromagne´tico
2.6.7 Distribuic¸a˜o de correntes entre planos paralelos
Questa˜o
Considerar uma distribuic¸a˜o de correntes de densidade uniforme, j = j0 kˆ, entre duas
superf´ıcies planas infinitas perpendiculares ao eixo x e situadas a` distaˆncia a uma da outra.
Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o espac¸o.
Resposta
Em regime estaciona´rio o campo de induc¸a˜o magne´tica e as correntes volume´tricas que o
produzem relacionam-se atrave´s da Eq. (2.40), que aqui reescrevemos:
∇×B = µ0 j . (2.100)
A direcc¸a˜o do campo produzido e´ identificada explorando algumas simetrias do problema.
Sabemos que o campo tem de ser perpendicular a`s correntes que o originam e, por isso,
na situac¸a˜o concreta que estamos a estudar, o campo so´ pode estar no plano x y, ja´ que a
corrente tem a direcc¸a˜o do eixo z.
B
BA B
CD n ^
B ya / 2
z
x
j
j
B j
j
a / 2
Figura 2.16. Esquema da distribuic¸a˜o de correntes do
Problema 2.6.7.
A Figura 2.16 mostra um esquema da situac¸a˜o descrita no enunciado, tendo-se considerado
a origem dos eixos no ponto me´dio do segmento perpendicular aos dois planos infinitos. A
Figura 2.17 mostra a situac¸a˜o em estudo segundo um corte por um plano horizontal (por
exemplo, o plano z = 0). O campo criado em qualquer ponto, P1, do eixo y (x = 0) e´ nulo.
Compreende-se que assim seja pois a distribuic¸a˜o de correntes e´ sime´trica relativamente a
este ponto, quer no sentido positivo, quer no sentido negativo do eixo x, do eixo y e do eixo z.
Como se depreende da Figura 2.17, para pontos P2 da regia˜o −a2 < x < 0 o campo e´ paralelo
ao eixo y e aponta no sentido negativo deste eixo.
Na zona 0 < x < a2 , o campo continua a ser paralelo a y, mas aponta agora no sentido
positivo de y. O campo de induc¸a˜o magne´tica so´ tem, pois, componente segundo a direcc¸a˜o
Equac¸o˜es de Maxwell • 37
a / 2
- a / 2
P 1
y
x
B
B
P 2
P 3
A B
CD
Figura 2.17. Corte transversal da distribuic¸a˜o de correntes
do Problema 2.6.7.
y. Por outro lado, so´ pode depender da coordenada x (a distribuic¸a˜o e´ infinita segundo y e
segundo z). Para B = By(x) jˆ a Eq. (2.100) escreve-se enta˜o
∇×B = kˆ ∂
∂x
By = µ0 j0 kˆ ,
donde
dBy
dx
= µ0 j0 ,
que integrada conduz a
By(x) = µ0 j0 x .
A constante que vem da integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ nula, pois so´ assim se garante
que By(x = 0) = 0.
Em termos vectoriais
B = µ0 j0 x jˆ , −a2 ≤ x ≤
a
2
.
Para determinar o campo fora do domı´nio onde ha´ correntes considere-se o contorno
ABCDA indicado nas figuras 2.16 e 2.17, e a equac¸a˜o integral correspondente a` lei difer-
encial (2.100): ∮
C
B · dl = µ0 i , (2.101)
onde i e´ a corrente que flui atrave´s de uma superf´ıcie que se apoia no contorno fechado
C. Fora da regia˜o onde ha´ correntes o campo continua a ter a direcc¸a˜o de y, como se
pode comprovar utilizando os mesmos argumentos de simetria expressos acima (que sa˜o os
argumentos utilizados tambe´m no problema anterior). A circulac¸a˜o do campo de induc¸a˜o
magne´tica ao longo de ABCDA e´ nula, pois i = 0. Por outro lado, a circulac¸a˜o ao longo de
BC e de DA e´ zero, dado que o campo tem a direcc¸a˜o do eixo y e a circulac¸a˜o se faz ao longo
do eixo x. Deste modo, a circulac¸a˜o do campo ao longo do lado AB tera´ de ser sime´trica
da circulac¸a˜o ao longo do lado CD. Como estes lados teˆm igual comprimento, o campo B
tera´ de ter o mesmo valor sobre cada um deles. Sendo arbitra´ria a distaˆncia a que cada um
38 • Campo electromagne´tico
dos referidos segmentos se encontra do eixo y, podemos concluir que, fora da distribuic¸a˜o
volume´trica de correntes, o campo B na˜o depende de y (em analogia com a situac¸a˜o do
problema anterior). Como na˜o existe distribuic¸a˜o superficial de correntes, a componente
tangencial do campo de induc¸a˜o magne´tica (de resto, a u´nica) na˜o tem descontinuidade nos
planos x = ±a2 . Deste modo, o valor do campo nas regio˜es onde na˜o ha´ correntes e´ constante
e igual ao seu valor para x = ±a2 . Em resumo
B = −µ0 j0 a2 jˆ para x ≤ −
a
2
B = µ0 j0 x jˆ para − a2 ≤ x ≤
a
2
B = µ0 j0
a
2
jˆ para x ≥ a
2
.
2.6.8 Cilindro carregado a rodar
Questa˜o
Um cilindro infinito de raio a tem distribu´ıda no seu interior uma densidade de carga
uniforme, ρ. O cilindro roda em torno do seu eixo com velocidade angular constante, ω.
Calcular o campo de induc¸a˜o magne´tica em todo o