Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matema´tica - IM Disciplina: MATA04 - Ca´lculo C Professor: Fellipe Antonio NOME: 1a Lista de Exercı´cios: EDO de 1a Ordem BLOCO 1: Me´todos de Resoluc¸a˜o de E.D.O., Trajeto´rias Ortogonais e Problemas de Cauchy 1) Resolva as seguintes EDO (a) y x dy − sen(x2)dx = 0 (c) dy dx = 2x+ xy2 4y + x2y (b) dy dx = ex+y (d) √ 1− x2 dy dx + y3 = 0 2) Determine as trajeto´rias ortogonais a`s fam´ılias abaixo, sendo b ∈ R : (a) y = −2x+ b (c) y2 = bx (e) y2 = bx3 (g)y = be−x (b) y = ln(x3 + b) (d) x2 − y2 = b (f) xy = b 3) Verifique se as equac¸o˜es abaixo sa˜o exatas: (a) (ycos(xy) + 3y − 1)dx+ (xcos(xy) + 3x)dy = 0 (d) y′ + xy = 3x (b) (ex + y − 1)dx+ (3ey + x− 7)dy = 0 (e) eyy′ + (1 + x)e−y = 0 (c) 3x2 ln y dx+ x3y−1dy = 0 (f) y dx+ (2y − x)dy = 0 4) Resolva as equac¸o˜es exatas da questa˜o anterior. Verifique tambe´m se, para aquelas que na˜o sa˜o exatas, e´ poss´ıvel encontrar facilmente um fator de integrac¸a˜o. Em caso afirmativo, resolva-as. 5) Encontre um fator de integrac¸a˜o na forma xmyn e resolva as E.D.O. abaixo: (a) y dx+ (2x− y2)dy = 0 (b) x3y dx− (x4 + y4)dy = 0 6) Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o homogeˆneas e, em caso afirmativo, determine o grau. (a) f(x, y) = xsen x y + x2 y (c) f(x, y) = cos x+ 4y x (b) f(x, y) = x ln y + yex (d) f(x, y) = x2 + 2y2 7) Encontre as soluc¸o˜es das equac¸o˜es abaixo: (a) x dy dx − y ( ln (y x ) + 1 ) = 0 (b) y dx− (x−√x2 + y2)dy = 0 8) Resolva as E.D.O. abaixo: (a) (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0 (b) (x− y − 1)dx+ (x+ 4y − 6)dy = 0 9) Uma curva C esta´ em coordenadas cartesianas retangulares. Seja P (x; y) um ponto dessa curva, trac¸am-se as retas tangente e normal a` C em P. Sejam M e N os pontos em que a reta tangente e a reta normal cortam respectivamente o eixo OY e OX. Determine a equac¸a˜o da curva C sabendo que OM +ON = 2a, a > 0. 10) Resolva as seguintes E.D.O.: (a) y′ + 2y x = x2 (b) y′ + y = 1 + x2 11) Resolva as equac¸o˜es abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condic¸o˜es iniciais forem dadas, encontre a soluc¸a˜o particular: 1. xdy − ydx = 0 16. 2x ln ydx+ x 2 y dy = 0 2. 2ydx+ (xy + 5x)dy = 0 17. (x+ 2y − 1)dx+ (2x− y − 7)dy = 0 3. xy′ − y = y3, 18. (x− y − 1)dx+ (x+ 4y − 6)dy = 0 4. 2y2y′ = 3y − y′, x = 3, y = 1 19. (x− 4y − 3)dx− (x− 6y − 5)dy = 0 5. (xy + x)dx+ √ 4 + x2dy = 0, x = 0, y = 1 20. (x+ y + 1)dx+ (2x+ 2y + 1)dy = 0 6. y′sen x = y ln y, x = pi 2 , y = e 21. y′ = cotg(x+ y)− 1 7. (x lnx)dy = ydx, x = 3, y = 4 22. x2y′ + xy = 2 + x2 8. xy′ = x+ y 23. y2dx+ (y2x+ 2xy − 1)dy = 0 9. y′ = y + x y − x, y(0) = 2 24. y 2dx+ (xy + 1)dy = 0 10. (y + √ x2 − y2)dx = xdy 25. 3x2y2dx+ 4(x3y − 3)dy = 0 11. (x+ 3y)dx+ (3x− 2y)dy = 0 26. xy′ + 2y = ex2 12. x2y′ = x2 − xy + y2 27. (2x+ y4)y′ = y 13. (1− 2xy + 3x2y2)dx− (x2 + 3y2 − 2x3y)dy = 0 28. (4y x + x √ y ) dx = dy 14. (ycos x)dx+ (sen x− sen y)dy = 0 29. (y + ey − e−x)dx+ (1 + ey)dy = 0 15. (2xy3 + 8x)dx+ (3x2y2 + 5)dy = 0, y(2) = −1 12) Forme as equac¸o˜es diferenciais das seguintes fam´ılias de curvas: (a) x2 + y2 = C2 (d) y = C1cos2x+ C2sen2x (b) y = Cex (e) y = (C1 + C2x)e x + C3 (c) x3 = C(x2 − y2) (f) y = C1e2x + C2e−x BLOCO 2: Aplicac¸o˜es de E.D.O. 13) Um homem usando pa´ra-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto (homem e pa´ra-quedas) e´ de 80Kg. Seja v(t) a velocidade no instante t segundos depois de comec¸ar a queda. Durante os primeiros 16 segundos, a forc¸a ocasionada pela resisteˆncia do ar e´ metade da velocidade em cada instante. Posteriormente, quando o para´-quedas e´ aberto a forc¸a devida a resisteˆncia do ar e´ 8v. Considerando g = 10m/s2, determine: (a) A expressa˜o para v(t) para t < 16s. (b) A expressa˜o para v(t) para t > 16s. 14) Um circuito RL tem f.e.m. de 5V, resisteˆncia de 50Ω e indutaˆncia de 1 henry. Sabendo que a corrente inicial do circuito e´ zero, determine a corrente no circuito no instante t. 15) O modelo mais simples para tratar o crescimento de uma populac¸a˜o foi proposto por Malthus. Segundo ele, a taxa de variac¸a˜o da populac¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo e´ proporcional a` populac¸a˜o presente. Escreva a E.D.O. que representa esse modelo, encontre a soluc¸a˜o geral para ela e descubra por que este modelo e´ conhecido como modelo de Crescimento exponencial. Ele parece coerente? 16) A taxa de aumento (a) de uma populac¸a˜o e´ a soma das taxas de natalidade (n) e migrac¸a˜o (g), menos a taxa de mortalidade (m), ou seja, a = n+ g −m. O aumento da populac¸a˜o num instante dado e´ igual ao produto da populac¸a˜o nesse instante com a taxa de aumento da populac¸a˜o. Mas, se P (t) e´ func¸a˜o que representa a populac¸a˜o em um instante t, o aumento da populac¸a˜o tambe´m e´ igual a` derivada da func¸a˜o P, assim: dP dt = aP. O modelo de Malthus, estudado no problema anterior, supo˜e que a taxa de aumento (a) e´ constante. Existe um outro modelo para o crescimento de uma populac¸a˜o, proposto por Pierre-Frac¸ois Verhulst e por Pearl, conhecido como Modelo Log´ıstico. Nele considera-se que as taxas de natalidade e migrac¸a˜o sa˜o constantes e que a taxa de mortalidade e´ diretamente proporcional a` populac¸a˜o presente, assim a = n+ g −m = b− kP. Escreva a equac¸a˜o diferencial obtida segundo esse modelo e encontre a soluc¸a˜o dessa E.D.O. . Observac¸a˜o: Em alguns livros, encontramos a equac¸a˜o acima representada por dP dt = kP ( 1− P L ) , nessa forma chamam a constante L de limite ma´ximo da populac¸a˜o ou capacidade do am- biente. Para compreender melhor essa denominac¸a˜o, calcule o limite da soluc¸a˜o encontrada quando t→∞. 17) Considere um tanque usado em determinada experieˆncia, que conte´m 200l de uma soluc¸a˜o corante, com concentrac¸a˜o de 1g/l. Para preparar a pro´xima experieˆncia o tanque deve ser lavado com a´gua, fluindo a taxa de 2l/min e, a soluc¸a˜o, bem homogeneizada, e´ drenada na mesma taxa. Determine o intervalo de tempo decorrido ate´ que a concentrac¸a˜o de corante no tanque atinja 1% do seu valor inicial. 18) Um tanque conte´m 5.000 litros de salmoura a uma concentrac¸a˜o de 10 g/l . Adiciona-se a esse tanque salmoura com uma concentrac¸a˜o de sal de 20 g/l a` raza˜o de 10 l/min. A mistura do tanque e´ continuamente agitada, de modo a manter a soluc¸a˜o homogeˆnea (deste modo, a concentrac¸a˜o e´ a mesma em todos os pontos do tanque). Ao mesmo tempo, a mistura deixa o tanque atrave´s de um buraco a` mesma raza˜o. Determinar a quantidade e a concentrac¸a˜o de sal num instante t. BLOCO 3: Problemas Teo´ricos 19) E´ poss´ıvel garantir a unicidade de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial y′ = √ y2 − 9 passando pelo ponto (1, 4)? E passando pelo ponto (2,−3)? Justifique. 20) Considere as seguintes E.D.O. Lineares: y′ + P (x)y = Q1(x) (1) y′ + P (x)y = Q2(x). (2) (a) Mostre que se ϕ1 e´ soluc¸a˜o de (1) e ϕ2 e´ soluc¸a˜o de (2) enta˜o ϕ1 + ϕ2 e´ soluc¸a˜o de y′ + P (x)y = Q1(x) +Q2(x). (b) Mostre que se Q1(x) = 0 e ϕ1 e´ soluc¸a˜o de (1) enta˜o, para todo α ∈ R, αϕ1 e´ soluc¸a˜o de (1). (c) Conclua que o conjunto das soluc¸o˜es de y′+P (x)y = 0 e´ um espac¸o vetorial sobre R (e´ poss´ıvel mostrar ainda que este espac¸o vetorial tem dimensa˜o 1! Mas na˜o chegaremos a tanto agora...). (d) Conclua que se ϕ1 e ϕˆ1 sa˜o soluc¸o˜es de (1) enta˜o Z(x) = ϕ1(x)− ϕˆ1(x) e´ soluc¸a˜o de y′ + P (x)y = 0. (e) Utilizando as definic¸o˜es de equac¸a˜o linear homogeˆnea, equac¸a˜o linear na˜o-homogeˆnea e equac¸a˜o homogeˆnea associada, reescreva as concluso˜es dos itens (c) e (d). 21) O problema de valor inicial y′ − 2 x y = 0, y(0) = 0 tem duas soluc¸o˜es: ϕ1(x) = 0 e ϕ2(x) = x 2. Por que este resultado na˜o contradiz o teorema de Existeˆncia e Unicidade das soluc¸o˜es?GABARITO BLOCO 1: Me´todos de Resoluc¸a˜o de E.D.O., Trajeto´rias Ortogonais e Problemas de Cauchy 1) (a) y2 + cos x2 = k (c) 2 + y2 = k(4 + x2) (b) −1 = ex+y + key (d) 1 2y2 = arcsen x+ k 2) (a) y = x 2 + a (c) y2 = −2x2 + a (e) y2 = −2 3 x2 + a (g) y2 = 2x+ a (b) e−y = −1 3x + a (d) y = k x (f) y2 = x2 + a 3) Sa˜o Exatas: (a),(b) e (c). Na˜o sa˜o exatas: (d), (e), (f). 4) (a) sen (xy) + 3xy − x = k (d) λ(x, y) = λ(x) = ex2/2, (y − 3) = kex2/2 (b) ex + xy − x+ 3ey − 7y = k (e) λ(x, y) = λ(y) = e−y, 2x+ x2 + e2y = k (c) x3 ln y = k (f) λ(x, y) = λ(y) = y−2, x y + 2 ln y = k 5) (a)λ(x, y) = x0y1 = y; 4xy2 − y4 = k (b)λ(x, y) = x0y−5 = y−5; x 4 4y4 − ln y = k 6) A menos do item (b) todas sa˜o homogeˆneas. Os graus sa˜o: (a) 1, (c) 0 e (d) 2. 7) (a)y = xekx (b) √ x2 + y2 − x = ky2. 8) (a)(x− 2y − 1)2 = k(x− 3y − 2) (b)ln[(x− 2)2 + 4(y − 1)2] + arctg2y − 2 x− 2 = k. 9) ln k[(x− a)2 + (y − a)2] = 2arctg y − a x− a 10) (a)y = x3 5 + kx−2 (b)x2 − 2x+ 3 + ke−x. 11) 1. y = kx 11. x2 + 6xy − 2y2 = k 21.− ln cos(x+ y) = x+ k 2. x2y5ey = k 12. y = x− x k + lnx 22.y = 2x−1 lnx+ (x/2) + (k/x) 3. y2 = kx2(y2 + 1) 13. x− x2y + x3y2 − y3 = k 23. y2x = 1 + ke−y 4. y2 + ln y = 3x− 8 14. ysen x+ cos y = k 24. xy + ln y = k 5. y = −1 + 2e2− √ 4+x2 15. x2y3 + 4x2 + 5y = 7 25. x3y4 − 4y3 = k 6. ln y = cossec x− cotg x 16. x2 ln y = k 26. yx2 = k + 1 2 ex 2 7. y = 4 lnx ln 3 17. x2 + 4xy − y2 − 2x− 14y = k 27. 2x = y4 + ky2 8. y = x(lnx+ k) 18.ln[(x− 2)2 + (y − 1)2] + arctag2y − 2 x− 2 = k 28. y = x 4(ln √ x+ k)2 9. y2 − 2xy − x2 = 4 19. (x− 2y − 1)2 = k(x− 3y − 2) 29. y + ey = (x+ k)e−x 10. lnx = arcsen y x + k 20. 2(x+ y) + ln(x+ y) = x+ k 12) (a) dy dx = −x y (c) 3y2 − x2 = 2xy dy dx (e) d3y dx3 − 2d 2y dx2 + dy dx = 0 (b) dy dx − y = 0 (d) d 2y dx2 + 4y = 0 (f) d2y dx2 − dy dx − 2y = 0 BLOCO 2: Aplicac¸o˜es de E.D.O. 13) (a)v(t) = 1600− 1600e−t/160 (b)v(t) = 100 + (1500− 1600e−1/10)e−t/10. 14)I(t) = −1 10 e−50t + 1 10 15) P (t) = Cekt, em que k e´ a constante de proporcionalidade entre a taxa de variac¸a˜o e a populac¸a˜o presente. Como a populac¸a˜o inicial e´ diferente de 0 temos C 6= 0 e, como normalmente k > 0 (a populac¸a˜o cresce), segundo esse modelo essa populac¸a˜o teria um crescimento muito ra´pido, o que em geral na˜o se verifica em per´ıodos muito longos. 16) P (t) = Cˆbebt 1 + kCˆebt = 1 ebtCˆ · (Cˆebt) 1 ebtCˆ · (1 + kCˆebt) = b k + C¯e−bt , em que C¯ = Cˆ−1. Na formulac¸a˜o dP dt = KP ( 1− P L ) , a soluc¸a˜o seria P (t) = LCeKt L+ CeKt . Note que lim t→∞ P (t) = L = b k . 17) t = (200 ln 10) minutos 18) Q(t) = 100.000− 50.000e−t/500 e c(t) = Q(t) 5000 = 20− 10e−t/50. BLOCO 3: Problemas Teo´ricos 19) Sim e na˜o (respectivamente). Pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade de soluc¸o˜es, so´ podemos garantir existeˆncia e unicidade de soluc¸o˜es para PVI com condic¸o˜es iniciais (x0, y0) quando ∂f ∂y (x, y) existe e e´ cont´ınua em um dom´ınio contendo o ponto (x0, y0). Isso ocorre em (1,4) e na˜o ocorre em (2,-3). ERRATA: A EDO E´ y′ = √ (y2 − 9). Se voceˆ resolveu esse exerc´ıcio com a outra versa˜o, a resposta seria na˜o em ambos os casos. 20)#Dicas: (a) Basta testar se ψ(x) = ϕ1(x) + ϕ2(x) e´ soluc¸a˜o da E.D.O. (b) Basta testar se ψ(x) = αϕ1(x) e´ soluc¸a˜o da E.D.O. (c) Basta mostrar que o conjunto S = {ϕ : ϕ′ + P (x)ϕ = 0} e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial das func¸o˜es. Para fazer isso voceˆ deve apenas verificar que (i) 0 ∈ S; (ii) ϕ, ψ ∈ S ⇒ ϕ+ ψ ∈ S; (iii) α ∈ R, ϕ ∈ S ⇒ αϕ ∈ S. (d) O que ocorreria com o item (a) se voceˆ trocasse a func¸a˜o teste por ϕ1 − ϕ2? O que voceˆ teria que adaptar? Ou mais claramente, −ϕ1 e´ soluc¸a˜o de que E.D.O. linear? (e) Sera´ feito em sala 21)Porque este PVI na˜o satisfaz as hipo´teses do Teorema, observe que ∂f ∂y (x, y) = 2 x so´ esta´ definida para x 6= 0.
Compartilhar