07 Trelicas Parte3

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
Reações de Apoio
∑MB= 0 = +VA x 2 -4x4 +2x2 -6x2 .:
VA = +24/2 = +12 kN
∑Fy= 0 = -2 -6 -12 +VB .: VB = +20 kN
∑Fx= 0 = -HB +4 .: HB = +4 kN
S1
∑MC= 0 = +N8x2 -6x2 .: N8 = +12/2 = +6 kN
∑Fx= 0 = -N8 -N11cosθ .: N11 = -6/0,71 = -8,45 kN
∑Fy= 0 = -N9 -6 -(-8,45x0,71) .: N9 = 0
Nó D
∑Fx= 0 = -N10 -(-8,45x0,71) .: N10 = +6 kN
32
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
2) Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça abaixo:
θ2
HBVA VB
S1
A
B
C
E
DF
G
1
5
6
8
32 4
7
9
10
11
θ1
tg θ1 = 2/2 = 1 .: θ1 = 45º .:
cos 45 = sen 45 = √2/2 = 0,71
S1
N
1
1
se
n
θ
N9
E
N11
N8 N11cosθ
6
θ1
D
C
Nó D
N
1
1
se
n
θ
N11
N11cosθ
6
θ1
DN10 y
x
E.R.
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Nó F
∑Fx= 0 = +N8 +N7cosθ .: N7 = -6/0,71 = -8,45 kN
∑Fy= 0 = -2 -N5 -(-8,45x0,71) .: N5 = +4 kN
Nó G
∑Fx= 0 = +4 +N6 .: N6 = -4 kN
S2
∑MA= 0 = +N4x2 +20x2 .: N4 = -40/2 = -20 kN
∑Fx= 0 = +N3cosθ -4 .: N3 = +4/0,45 = +8,89 kN
∑Fy= 0 = -12 +N2 +(8,89x0,89) +20 +(-20) .: N2 = +4,01 kN
Nó B (determinação imediata!)
∑Fx= 0 = -N1 -4.: N1 = -4 kN
33
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
2) Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça abaixo:
4 kN
12 kN 20 kN
S2
A
B
C
E
DF
G
1
5
6
8
32 4
7
9
10
11
θ1
θ2
tg θ2 = 4/2 = 2 .: θ2 = 63,43° .:
cos θ2 = 0,45; sen θ2 = 0,89
Nó F
N5 N7
N8
2
θ1F
N7cosθ
N7senθ
Nó G
N2
N6
N5
G
4
N3cosθ
S2
N
3
se
n
θ
N3
A
N4
N2
12
θ2 B
20
4
C
B 4N1
y
x
E.R.
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama
A
B
C
E
DF
G
1
5
6
8
32 4
7
9
10
11
34
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
2) Determine os esforços normais atuantes nas barras da treliça abaixo:
DN N1 = -4 kN
N2 = +4 kN
N3 = +8,89 kN
N4 = -20 kN
N5 = +4 kN
N6 = -4 kN
N7 = -8,45 kN
N8 = +6 kN
N9 = 0
N10 = +6 kN
N11 = -8,45 kN
+6 +6
+4 0
+4 -20
-4
-4
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
3) Determine os esforços normais atuantes na treliça nas barras destacadas abaixo,
sabendo que o esforço normal na barra N10 é nulo.
1 2 3 4
56
7
891011
12
1314
15 16 17 18
20 19
25
22
21
23
27 26
HA
VA VE
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
OReações de Apoio
∑MA= 0 = -4x2 -5x12 -17x4 -4x6 +VEx8 .:
VE = +160/8 = +20 kN
∑Fy= 0 = +VA -4 -17 -4 +20.: VA = +5 kN
∑Fx= 0 = -HA +5 .: HA = +5 kN
S1
y
x
E.R.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios (Método de Ritter)
3) Determine os esforços normais atuantes na treliça nas barras destacadas abaixo,
sabendo que o esforço normal na barra N10 é nulo.
3 4
56
7
89
17 18
20
C D
E
FG
L
S1
∑ML= 0
4 barras p/ 3 equações?
Sim. Mas, N10 = 0.
∑ML= 0 = -N10(0)xdqq -N2x6 +20x2 .:
N2 = +40/6 = +6,67 kN
∑Fy= 0 = +N25senθ -4 +20.:
N25 = -16/0,95 = -16,84 kN
∑Fx= 0 = -N2 -N25cosθ -N19 =
-6,67 -(-16,84x0,32) -N19 .:
N19 = -1,28 kN
N25
N19
N2
N10
S1
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
θ
N25senθ
N25cosθ
y
x
E.R.
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Treliças isostáticas: Simplificação
3
1
A
2
Simplificação de Treliças Isostáticas
Observe o nó A na Figura (a):
� Constata-se que, para um nó (A), conectado a três barras
concorrentes, onde duas (2 e 3) dessas barras são paralelas entre si, a
barra não paralela (1), terá esforço nulo, podendo ser suprimida para
cálculo da estrutura (b), se atender as condições abaixo indicadas:
i) estar conectada a um nó sem forças externas e vínculos externos
aplicados (e.g. apoio) – somente extremidade do nó A analisado
é suficiente;
ii) estar conectada a um nó com três barras concorrentes, sendo
duas delas paralelas entre si;
iii) ser a barra não paralela as outras duas – não precisa ser
ortogonal as outras duas barras.
(a)
(b)
3
A
2
Observações:
� Após a eliminação de cada barra, é possível reavaliar a treliça para verificar se outras
barras passaram a atender essas condições.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
1 2 3 4
56
7
891011
12
1314
15 16 17 18
20 19
25
22
21
23
27 26
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
OVerificação das barras passíveis de 
determinação direta
1º Verificação
Barras nºs: 13; 11; 8; 6; 22; 24
2º Verificação
Barras nºs: 12; 7; 23
y
x
E.R.
S N
S N
Reações de Apoio já calculadas no exercício
anterior! Vide próximo slide!
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
Reações de Apoio
∑MA= 0 = -4x2 -5x12 -17x4 -4x6 +VEx8 .:
VE = +160/8 = +20 kN
∑Fy= 0 = +VA -4 -17 -4 +20.: VA = +5 kN
∑Fx= 0 = -HA +5 .: HA = +5 kN
y
x
E.R.
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
S2
S3
S4
NóA NóE
NóJPara estruturas maiores, é recomendável,
previamente, estabelecer o caminho e planejar
a sequencia de cálculo, com o intuito de
minimizar tempo e complexidade de cálculo; ou
até mesmo evitar caminhos não solúveis.
Planejado I:
S2; S3; S4; NóA; NóE; NóJ.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
1 2
14
21
5 kN
5 kN
A
B
C
HI
J
K
N
y
x
E.R.
S2
N16
N2
N20
N27
N27cosθ
N
2
7
se
n
θ
N16senθ
N16cosθ
ATENÇÃO!!!
Seção Ritter não recomendável, pois, interceptar
a barra nº 27, é como se estivesse interceptando
a barra nº 21, pois ambas estão na mesma
direção. Desta forma, infringiríamos a regra:
“não interceptar 3 barras concorrentes no
mesmo nó (Nó J).
EXEMPLO:
∑MJ=0, obteria N2 somente, de valor já
conhecido.
∑MN=0; ∑MK=0; ∑MH=0; permaneceríamos
sempre com 2 incógnitas na equação. E, todas as
equações, fornecendo incógnitas distintas, o que
dificultaria, a determinação através de um
sistema (2 Eq. e 2 Incóg.).
OBSERVAÇÃO: Raciocínio igual é aplicável a S3.
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
Nó H
∑Fy= 0 = +N16xsenθ - N10(0)xsenθ .:
N16 = 0
N10
Nó H
N16
N16cosθ
N16senθ
θ N10cosθ
N10senθ
θ
S2
NóH
S3
NóD
NóB
NóK
NóONóN
NóE
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
1 2 3 4
591014
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
y
x
E.R.
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
S2
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
S2
∑ML= 0 = +(N15cosθ)x3 -(N15senθ)x5 -N16(0)xdqq
-5x6 -5x6 +20x2 .: +0,96N15 -4,75N15 = +20 .:
N15 = -20/3,79 = -5,28 kN
∑MF = 0 = -(-N15senθ)x6 -N16(0)xdqq -(N17senθ)x2
-5x3 -5x7 +20x1 .: +30,1 -1,9N17 -30 = .:
N17 = 0,1/1,9 = +0,053 = 0
∑FY = 0 =
+(-N15senθ) +N16(0) +N17(0) +(N18senθ)+5 +20 .:
-5 +0,95N18 +5 +20 = .:
N18 = -20/0,95 = -21 kN
N16
N15cosθ
N
1
5
se
n
θ
N17cosθ
N
1
7
se
n
θ
N
1
8
se
n
θ
N18cosθ
N
1
6
se
n
θ
N16cosθ
J L
N17 N18
N15
θ θ θ θ
FGHI
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
5 kN
5
 k
N
2
0
 k
N
A
B
C
D
E
y
x
E.R.
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
S3
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
S3
∑ML= 0 = +(N14cosθ)x6 -(N14senθ)x6 -N10(0)xdqq
-5x6 -5x6 +20x2 .: +1,92N15 -5,7N15 = +20 .:
N14 = -20/3,78 = -5,28 kN
∑MC = 0 = -(-N14senθ)x4 -5x4 +(N5senθ)x4 +20x4 .:
+20,1 -20 +3,8N5 +80 = .:
N5 = -80,1/3,8 = -21,1 kN
∑FY= 0 = +(-N14senθ) +N10senθ(0) +N9senθ
+(-N5senθ) +5 +20 .: -5 +0 +0,95N9 -20 +5 +20 .:
N9 = 0/0,95 = 0
N10
N
1
4
co
sθ
N
1
4
se
n
θ
N9cosθ
N
1
0
se
n
θ
N
5
se
n
θ
N
5
co
sθ
N
9
se
n
θ
N10cosθ
N9 N5
N14
θ θ θ θ
J L
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
y
x
E.R.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
S2
NóH
S3
NóB
NóK
NóONóN
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
BALANÇO DE CÁLCULO (I)
É recomendável, após avançar algumas etapas
de cálculo, avaliar se de fato, a sequencia
pretendida é passível sucesso!
Faltam?
NóD
NóE
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Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
y
x
E.R.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
NóB
NóK
NóONóN
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
Nó B
∑Fx=0 = -N1 +6,67 .: N1 = +6,67kN
Nó E
∑Fx=0 = -N4 -(-21,1x0,32) .:
N4 = +6,67kN
Nó D
∑Fx=0 = -N3 +6,67 .: N3 = +6,67kN
Nó K
∑Fx=0= -N20 -1,28.: N20 = -1,28kN
Nó B
N1
N2
Nó D
N3
N4
Nó K
N20
N19
Nó E
N4
N
5
se
n
θ
N
5
co
sθ
N5
θ
20 kN
NóD
NóE
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 48
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
y
x
E.R.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
NóONóN
As barras nºs: 2; 10; 19; 25; já foram
determinadas em exercício anterior!
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
BALANÇO DE CÁLCULO (II)
É recomendável, após avançar algumas etapas
de cálculo, avaliar se de fato, a sequencia
pretendida é passível sucesso!
Faltam?
S2
NóH
S3
NóB
NóK
NóD
NóE
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 49
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
y
x
E.R.
1 2 3 4
5
91014
15 16 17 18
20 19
25
21
27 26
5 kN
5 kN 20 kN
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
NóONóN
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
cos θ = 1/3,16 = 0,32
sen θ = 3/3,16 = 0,95θ
1m
3m 3,16m
Nó O
∑Fy=0 = -17 -N27senθ -N26senθ .:
N26 = (-17 -0,95N27)/0,95
∑Fx=0 = -N27cosθ +5 +N26cosθ =
-0,32N27 +5 +(
−17 −0,95N27
�,��
x0,32)=
-0,32N27 +5 -5,73 -0,32N27 =
N27 = -0,73/0,64 = -1,14 kN
N26 = (-17 -0,95x(-1,14))/0,95=
N26 = -16,75 kN
Nó O
N
2
7
se
n
θ
N
2
6
co
sθ
N26
θ
N
2
6
se
n
θ
N
2
7
co
sθ
N27
θ
5kN
17kN
Nó N
θ
N27
N21
N21cosθ
N
2
7
se
n
θ
N27cosθ
N21senθ
θ
Nó N
∑Fy= 0 =
-1,14x0,95 -N21x0,95 .:
N21 = -1,14 kN
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 50
Treliças isostáticas: métodos de cálculo
Exercícios: 4) Para a treliça do exercício anterior, determine os esforços normais
atuantes em todas as barras.
A
B C D
E
FG
H
I
J
K
L
N
M
O
y
x
E.R.
Planejado II:
NóH; S2; S3; NóB; NóE; NóD; NóK; NóO ; NóN.
RESPOSTA FINAL !!!
+6,67 +6,67 +6,67 +6,67
0
0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
-1,28 -1,28
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.