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Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
ISOSTÁTICA I
• Professor: Carlos Alexandre de Araújo
• Graduação: 
– Bacharelado em Ciências Náuticas – EN / 1994
• Administração de Sistemas
– Engenharia Naval e Oceânica – USP / 1998
• Estruturas, Máquinas e Sistemas de Controle
• Pós-graduação
– M.Sc. Engenharia de Produção – UFF / 2005
• Engenharia de Sistemas
– M.Sc. Engenharia Naval e Oceânica – UFRJ / 2007
• Estruturas Navais e Oceânicos
• Especialização:
– Simulação Computacional Estrutural e CFD (“Computer Fluid Dynamics”)
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BIBLIOGRAFIA BÁSICA
• ARAÚJO, Carlos Alexandre de. Notas de Aula de Isostática I. FATESM, 2017_2.
• CARLOS, Márcio José Carlos. Notas de Aula de Isostática I. FATESM, 2016_2.
• SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural Volume 1 – Estruturas
Isostáticas. 5ª. Edição. Porto Alegre, RS: Globo, 1980.
• ALMEIDA, Maria Cascão Ferreira de. Estruturas Isostáticas. Rio de Janeiro: Oficina
dos Textos, 2009.
• FONSECA, Adhemar; MOREIRA, Domício, F. Problemas e Exercícios de Estática
das Construções – Estruturas Isostáticas. Rio de Janeiro, RJ: Ao Livro Técnico,
1966.
• HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para Engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2013.
• VIERO, E. H. Isostática: passo a passo. 3. ed. Caxias do Sul: EDUCS, 2011.
• SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. 4. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,
2014.
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
• Introdução e conceitos fundamentais.
• Domínio de estudo da análise estrutural.
• As grandezas fundamentais.
• As condições de equilíbrio.
• Equações fundamentais da estática.
• Os graus de liberdade e tipos de apoios.
• Modelagem de Estruturas pela Física-Matemática.
• Graus de Estaticidade.
• Cargas concentradas e distribuídas.
• Estudo das vigas isostáticas.
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
• Vigas biapoiadas.
• Vigas engastadas e livres.
• Vigas com balanços.
• Equações de Estado.
• Traçado dos diagramas de esforço normal.
• Traçado dos diagramas de esforço cortante.
• Traçado do diagrama de momento fletor.
• Vigas Gerber.
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Introdução
• OBJETIVO GERAL
– Estudar e resolver estruturas isostáticas planas.
– Fixar conceitos da Mecânica Racional, necessários à compreensão da análise
estrutural.
• OBJETIVO ESPECÍFICO
– Resolver as diversas configurações de vigas isostáticas submetidas a diversos
tipos de carregamento.
– Determinar os esforços simples a que essas estruturas ficam submetidas
quando solicitadas por agentes externos.
– Calcular as Equações de Estado para estruturas isostáticas.
– Traçar os diagramas de momento fletor, força cortante e esforço normal.
– Avaliar em que pontos a estrutura está sendo mais solicitada.
– Adquirir conhecimentos básicos para as disciplinas Isostática II, Resistência dos
Materiais I e II, Sistemas Mecânicos.
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Conceitos Fundamentais
• A estrutura do chamado “sistema tecnológico” é conjunto formado
pelas partes resistentes que garantem a estabilidade estrutural do
projeto desse “sistema”, como por exemplo: uma edificação, uma
plataforma de petróleo no mar, um navio, um avião, etc.
• Quando se projeta uma estrutura, a análise do seu comportamento
estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações via
modelagem físico-matemática que conduzem a modelos estruturais
teóricos mais simples e de possível solução.
• Estes modelos simplificados são a base da teoria presente neste
trabalho.
• Modelos mais complexos exigem, a priori, a solução via Método dos
Elementos Finitos (MEF). Este assunto é abordado na disciplina
MEC50322 - Projeto com Elementos Finitos – 9º. Ano.
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Conceitos Fundamentais
• Mas o que provoca os esforços sobre a estrutura?
• Como resposta, podemos afirmar que são os diversos tipos de
carregamento:
• Tração, compressão, flexão, cisalhamento, torção, flambagem e
a combinação de todos.
• Que, a priori, esses carregamentos podem ser classificados como:
• Estático (concentrado ou distribuído) – que será avaliado
no presente estudo;
• Dinâmico (discreto ou estocástico);
• Térmico (dilatações e contrações);
• etc.
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• O material estrutural a ser utilizado em cada sistema
possui características mecânicas peculiares: ductilidade,
fragilidade, isotropia ( mesmas propriedades mecânicas
nas três direções x, y e x do espaço E3), etc.
• Não só o material como a geometria devem estar
adequados aos tipos de esforços solicitantes pelas
estruturas, compondo o que se define por:
• RIGIDEZ = Módulo de Elasticidade (E) X Momento
de Inércia (I).
• RIGIDEZ é diretamente proporcional ao Material
(E) e à Geometria (Momento de Inércia da seção
considerada).
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Conceitos Fundamentais
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• A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estudas as
estruturas, consistindo esse estudo na determinação dos esforços
e das deformações a que elas ficam submetidas quando
solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas,
movimento de seus apoios, etc).
• As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e
ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, um
conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las
internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas
solicitações externas encontrarão seu sistema estático
equilibrante.
– Se a estrutura está em equilíbrio, todos os seus pontos
estarão em equilíbrio!
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Domínio de estudo da análise estrutural
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• As peças que compõem as estruturas possuem, evidentemente,
três dimensões. Três casos podem ocorrer:
– CASO 1 - Duas dimensões são pequenas em relação à
terceira:
• A maior dimensão é o comprimento, estando as duas outras
dimensões situadas no plano perpendicular a ela (plano da
seção transversal da peça).
• Nesse caso, o estudo estático da peça, que será
denominada de barra, pode ser considerado
unidimensional, isto é, considerando-a representada pelo
seu eixo (lugar geométrico dos centros de gravidade de suas
seções transversais).
• Este será o estudo desenvolvido pela Isostática I.
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Domínio de estudo da análise estrutural
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Domínio de estudo da análise estrutural
– CASO 2 - Uma dimensão é pequena em relação às outras duas:
• Casos das placas (espessura é pequena em presença da
superfície plana da peça) e das cascas (espessura é
pequena em presença da superfície curva da peça).
• Também conhecido como Estado Plano ou Biaxial ou
Membranal (para vasos de pressão).
– CASO 3 - As três dimensões são consideráveis:
• Caso dos blocos (as três dimensões são significativas para a
solução do problema estrutural).
• Também conhecido como Estado Triplo ou Triaxial.
• A teoria aqui desenvolvida terá excelente precisão se o
comprimento da barra for maior que dez vezes a sua altura e a sua
largura. E, relativa precisão, se a sua altura e a sua largura forem,
respectivamente, maiores cinco e menores que dez vezes o seu
comprimento. 11
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Domínio de estudo da análise estrutural
• Para o CASO 1 - Duas dimensões são pequenas em relação à
terceira:
– A teoria aqui desenvolvida terá excelente precisão se o
comprimento da barra for maior que dez vezes a sua altura e a
sua largura.
– E, relativa precisão, se a sua altura e a sua largura forem,
respectivamente, maiores cinco e menores que dez vezes o seu
comprimento.
• Será adotada a hipótese de que o material tem comportamento
linear elástico, ou seja, é válido neste caso:
• O Princípio da Superposição de Efeitos; e
• Os esforços resultantes sobre a estrutura devido aos
carregamentos impostos não ultrapassam o regime elástico da
curva Tensão x Deformação Específica (Lei de Hooke).12
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As Grandezas Fundamentais
• FORÇA
– São grandezas vetoriais caracterizadas por direção,
sentido e intensidade.
– É comum chamar-se as forças que atuam numa
estrutura de cargas.
– São definidas por um ponto de passagem e por suas
componentes X, Y e Z segundo os eixos tri
ortogonais x, y e z no E3, a partir das quais podemos
expressá-la pela igualdade:
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kZjYiXF


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As Grandezas Fundamentais
• MOMENTO
– Chama-se momento de uma força 
F em relação a um ponto O ao 
produto vetorial do vetor OM 
(sendo M um ponto qualquer 
situado sobre a linha de ação da 
força F) pela força F.
– Temos: m = OM  F
– Seu módulo é dado por:
– l m l = l OM l.l F l.sen () 
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Momento não é 
força!
|m| = F.d (se =90º)
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As Grandezas Fundamentais
• MOMENTO
– Representaremos o vetor momento m por um
vetor com seta dupla ( a fim de não confundi-
lo com uma força);
– Sua direção é perpendicular ao plano P que
contém a reta suporte da força F e o ponto
O;
– Seu sentido é dado, a partir do sentido da
rotação do vetor OM para o vetor F ou, o que
dá no mesmo, a partir da força F em torno do
ponto O, pela regra da mão direita.
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As Grandezas Fundamentais
• MOMENTO
– Se a força F é vertical, o módulo do momento |m|  0 se d for
horizontal.
– Se a força F é horizontal, o módulo do momento |m|  0 se d
for vertical.
– Se a força F // d  |m| = 0 ,
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|m| = F.d (se =90º)
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As Grandezas Fundamentais
• MOMENTO E TORQUE
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As Grandezas Fundamentais
• MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
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Condições de Equilíbrio
• Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em
equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma
tendência de translação nem rotação a este corpo.
• Como a tendência de translação é dada pela resultante R das
forças e a tendência de rotação, em torno de qualquer ponto, é
dada pelo momento resultante m destas forças em relação a este
ponto, basta que estes dois vetores R e m sejam nulos para que o
corpo esteja em equilíbrio.
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Condições de Equilíbrio
• Levando-se em conta que:
• As duas equações vetoriais de equilíbrio podem ser substituídas,
cada uma delas, por três equações escalares de equilíbrio,
obtendo-se um grupo de seis equações, que são as seis equações
universais da estática, regendo o equilíbrio de um sistema de
forças, o mais geral, no espaço:
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SX = 0; SY = 0; SZ = 0
SMX = 0, SMY = 0, SMZ = 0
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Graus de Liberdade e Tipos de Apoios
1 - GRAUS DE LIBERDADE
– Como, no espaço, uma translação 
pode ser expressa por suas 
componentes segundo 3 eixos tri 
ortogonais e, uma rotação, como 
resultante de três rotações, cada 
uma em torno de um desses 
eixos, dizemos que:
– Uma estrutura no espaço 
possui um total de 6 graus de 
liberdade (3 translações e 3 
rotações, segundo 3 eixos tri 
ortogonais)!
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Um robô especialista em fabricação mecânica
deverá possuir no espaço 6 graus de liberdade
(3 translações e 3 rotações, segundo 3 eixos tri
ortogonais).
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Graus de Liberdade e Tipos de Apoios
2. APOIOS
– É evidente que estes 6 graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a
evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de ser possível seu
equilíbrio.
– Está restrição é dada por apoios, que devem impedir as diversas tendências
possíveis de movimento, através do aparecimento de reações destes apoios
sobre a estrutura, nas direções dos movimentos que eles impedem, isto é, dos
graus de liberdade que eles restringem.
– Estas reações de apoio se oporão às cargas aplicadas à estrutura, formando
este conjunto de cargas e reações um sistema em equilíbrio, e regidas,
portanto, pelos grupos de equações de equilíbrio da estática.
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Graus de Liberdade
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Graus de liberdade de uma 
embarcação no mar.
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Graus de Liberdade e Tipos de Apoios
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Tipos de Apoio
• Apoios (Vínculos) são elementos que impedem o deslocamento
de pontos das peças, introduzindo esforços nesses pontos
correspondentes aos deslocamentos impedidos.
• Os deslocamentos podem ser de translação ou de rotação.
• No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de
movimento: deslocamento em duas direções e rotação.
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Tipos de Apoio
• Apoio simples ou de primeiro
gênero:
– Reação na direção do
movimento impedido (em x ou y).
– Não impede rotação.
– Exemplo de movimento: rolete do
skate.
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• Articulação, rótula ou apoio do
segundo gênero:
– Reação na direção do
movimento impedido (em x e y).
– Não impede rotação.
– Exemplo de movimento:
dobradiça de porta.
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Tipos de Apoio
• Engaste: ou apoio de terceiro gênero
– Reação na direção do movimento impedido (em x e y – 2D
ou x,y,z – 3D).
– Impede rotação e translação.
– Exemplo de movimento: poste enterrado no solo.
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Outros Tipos de 
Apoios
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Exemplos Reais de Vínculos
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Apoio rotulado em viga de ponte. Apoio com material de baixo 
coeficiente de atrito, funcionando 
como roletes.
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Exemplos Reais de Vínculos
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Ligação de canto rígida de
um pórtico de aço.
Observam-se as chapas
formando uma ligação
rígida com os pilares.
Rolete nos apoios de vigas de
Concreto de uma ponte rodoviária. 
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Modelagem de Vínculos e Cargas
• Os apoios de uma estrutura
reticulada podem ser
frequentemente modelados
como engastes, como o
apoio A da figura,
articulações (apoio do 2º
gênero), como o apoio D, e
apoios móveis (apoio do 1º
gênero).
• Esta modelagem é uma
simplificação da realidade
que pode resolver uma
grande gama de problemas
de engenharia por meio da
Física-Matemática aplicada.
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Reações de Apoio
• Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças
tridimensionais:
– Reações de apoio: As forças reativas e os momentos de binário
que atuam em vários tipos de suportes e conexões quando os
membros são vistos em três dimensões são relacionados nas
tabelas a seguir:
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Reações de Apoio
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Reações de Apoio
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Reações de Apoio
• É importante reconhecer os símbolos usados para representar cada um desses suportes
e entender claramente como as forças e os momentos de binário são desenvolvidos.
• Como no caso bidimensional:
– Uma força é desenvolvida por um suporte que limite a translação de seu membro
conectado.
– Um momento de binário é desenvolvido quando a rotação do membro conectado é
impedido. 35
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Cálculo das Reações de Apoio
• Definidos os apoios e cargas, o cálculo de suas
reações é imediato, pois elas são forças (ou
momentos) de ponto de aplicação e direção
conhecidas e tais que equilibrem as cargas
aplicadas à estrutura.
• Serão calculadas, então, a partir das equações
de equilíbrio das estática.
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SX = 0; SY = 0; SZ = 0
SMX = 0, SMY = 0, SMZ = 0
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Tipos de Cargas
• CARGAS CONCENTRADAS:
– Suponhamos uma roda de um caminhão descarregando uma reação P
sobre uma ponte. Esta reação P será descarregada ao longo da área de
contatoda roda com a ponte, que é bastante pequena, mas não nula.
– Não haverá, então, a aplicação, rigorosamente falando, de uma carga
concentrada P na estrutura; haverá, sim, a aplicação de uma carga
distribuída, mas segundo uma área tão pequena que podemos considerá-la
nula em presença das dimensões da estrutura.
– As cargas concentradas são, então, uma forma aproximada de tratar
cargas distribuídas segundo áreas (em presença das dimensões da
estrutura), que podem ser consideradas nulas.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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• Carga Concentrada - Exercício Resolvido: Treliça
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Cálculo das Reações de Apoio
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Tipos de Cargas
• CARGAS DISTRIBUÍDAS:
– Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na
prática são as cargas uniformemente distribuídas (S= constante)
e as cargas triangulares.
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Tipos de Cargas
• CARGAS DISTRIBUÍDAS:
– Suponha que a estrutura E suporte o corpo C indicado, cujo peso
específico é . Este peso introduzirá, evidentemente, um carregamento
na estrutura E distribuído e contínuo, cuja taxa de distribuição de
carregamento – q(s) – vale:
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S.
ds
dP)s(q
ds.S.dP
ds.SdV



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Tipos de Cargas
• CARGAS DISTRIBUÍDAS:
– Como uma carga distribuída pode ser encarada como a soma
infinita das cargas concentradas infinitesimais, q.ds, a resultante
do carregamento distribuído será igual a , que será
igual a área limitada entre a curva que define a lei de variação
do carregamento e o eixo da estrutura.
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 ds.qR
Área
áreadaestáticoMomento
ds.q
ds.s.q
s 


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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
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• Carga Distribuída e Concentrada – Viga Bi-apoiada
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Cálculo das Reações de Apoio
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• Carga Distribuída e Concentrada – Viga Bi-apoiada
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Cálculo das Reações de Apoio
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• Carga Distribuída e Concentrada – Viga Bi-apoiada
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Cálculo das Reações de Apoio
• Carga Distribuída e Concentrada - Pórtico
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Cálculo das Reações de Apoio
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Tipos de Cargas
• Cargas-Momento
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Cálculo das Reações de Apoio
• Cargas-Momento: Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Carga Concentrada + Carga Momento - Exercício Resolvido:
Pórtico
– Determine as componentes vertical e horizontal da reação no
pino A e a tração desenvolvida no cabo BC utilizado para
sustentar a estrutura de aço.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Exercício Resolvido: cont.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Cargas-Momento + Cargas Concentradas: Obter as reações de
apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
Cargas-Momento + Cargas 
Concentradas 
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Cálculo das Reações de Apoio
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
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Estaticidade e Estabilidade
• Três casos podem ocorrer:
– ESTRUTURA ISOSTÁTICA (ESTÁVEL):
• Os apoios são em número estritamente necessário para
impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
– ESTRUTURA HIPOSTÁTICA (INSTÁVEL):
• Os apoios são em número inferior ao necessário para
impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
– ESTRUTURA HIPERISTÁTICA (ESTÁVEL):
• Os apoios são em número superior ao necessário para
impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.
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Estaticidade e Estabilidade
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HIPOSTÁTICA
(2 reações e 3 incógnitas)
ISOSTÁTICA
(3 reações e 3 incógnitas)
HIPERESTÁTICA
(4 reações e 3 incógnitas)
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Grau de Estaticidade de Vigas
• Uma forma de calcular o grau de
hiperestaticidade, a fim de descobrir se a
estrutura é restringida, é usando a seguinte
fórmula:
gh = C1 + 2 . C2 + 3 . C3 – 3 . m 
• Sendo C1 = número de vínculos de 1ª classe;
• C2 = número de vínculos de 2ª classe;
• C3 = número de vínculos de 3ª classe;
• m = número de hastes presentes na estrutura.
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Grau de Estaticidade de Vigas
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Grau de Estaticidade de Vigas
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Grau de Estaticidade de Vigas
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Grau de Estaticidade de Pórticos Planos Rotulados
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Grau de Estaticidade de Pórticos Planos Rotulados
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Grau de Estaticidade de Pórticos Planos Rotulados
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Grau de Estaticidade de Pórticos Planos Rotulados
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Grau de Estaticidade de Treliças
• Em engenharia de estruturas, uma treliça (do francês treillis) é uma estrutura
composta por cincoou mais unidades triangulares construídas com elementos retos
cujas extremidades são ligadas em pontos conhecidos como nós.
• Forças externas e reações consideram-se, de forma simplificada, aplicadas nesses
mesmos nós.
• Treliças são estruturas compostas por barras com extremidades articuladas.
• São usadas para vários fins, entre os quais, vencer pequenos, médios e grandes
vãos. Pelo fato de usar barras articuladas e de se considerar pesos suportados
colocados essas barras funcionam principalmente à tração e compressão.
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Grau de Estaticidade de Treliças
• Estruturas do século passado e do início deste século ferroviárias — usaram ao máximo esse
estratagema.
• As treliças são usadas hoje também como estrutura de coberturas, torres de transmissão elétrica
e em equipamentos, tais como lanças de guindastes.
• Costumam ser executadas em barras de madeira, aço, alumínio e de concreto armado.
• O formato das treliças e a disposição veis, atendendo às peculiaridades do seu uso.
• A hipótese de trabalho nas treliças é que seus componentes (banzos ou barras) trabalham como
peças inter-relacionadas por articulações e as cargas externas atuam principalmente nos nós,
transmitindo, portanto, esforços de tração e compressão somente às barras.
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Grau de Estaticidade de Treliças
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Grau de Estaticidade de Treliças
nbr 2
ISOSTÁTICA
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Grau de Estaticidade
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ISOSTÁTICA I
Grau de Estaticidade
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ISOSTÁTICA I
Grau de Estaticidade
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ISOSTÁTICA I
Grau de Estaticidade
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ISOSTÁTICA I
Grau de Estaticidade
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ISOSTÁTICA I
Cálculo das Reações de Apoio
• Determinar o grau de estaticidade da treliça.
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
93
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ISOSTÁTICA I
Cálculo das Reações de Apoio
• Determinar o grau de estaticidade da treliça.
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
94
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ISOSTÁTICA I
Cálculo das Reações de Apoio
• Determinar o grau de estaticidade da treliça.
• Obter as reações de apoio para a estrutura.
95
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ISOSTÁTICA I
96
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
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ISOSTÁTICA I
• q=0 ; (cargas concentradas)
– V Constante
– M Varia Linearmente em s
• q= k (cargas variáveis);
– V Varia Linearmente em s
– M Varia Parabolicamente em s
• Integrando -q(s) Q(s);
• Integrando Q(s) M(s).
97
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
1) CARGA CONCENTRADA:
• Em A e B, os momentos fletores são
nulos. Em S, o valor de MS = Pab/l. O
diagrama de momentos fletores tem a
forma de uma reta inclinada.
• O diagrama de esforços cortantes
será uma reta horizontal. No trecho
AS, Q = +VA = Pb/l e, no trecho SB, Q
= -VB = -Pa/l. Na seção S, ele sofrerá
uma descontinuidade igual a (Pa/l +
Pb/l) = P, valor da carga concentrada
aplicada.
98
Note que onde Q=O, o momento é 
máximo, pois dM/ds=Q(s)=0 
Note que este valor é igual à 
carga força P
Note que onde Q muda de sinal no 
ponto onde M é máximo. 
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
1) CARGA CONCENTRADA: Exemplo
99
Note que onde Q=O, o momento é 
máximo, pois dM/ds=Q(s)=0 
Note que onde Q muda de sinal no 
ponto onde M é máximo. 
Note que onde MA=O e MB=0, os 
tipos de apoio em A e B não 
restringem o grau de liberdade de 
Momento. 
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
2) CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA:
• Sendo as reações de apoio os valores
indicados na figura, temos os seguintes
esforços na seção S:
• O diagrama de esforços cortantes será uma
linha reta, que fica determinada pelos seus
valores extremos a x = 0 e x = l.
100








2
222
S
S
l
x
l
x
2
ql
2
qx
2
qlxM
qx
2
qlQ
Note que onde Q=O, o momento é 
máximo, pois dM/ds=Q(s)=0 
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
2) CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA:
• Esses valores podem ser obtidos
diretamente a partir das reações de apoio. O
diagrama de momentos fletores será dado
por uma parábola do 2º grau, passando por
zero em A e B e passando por um máximo
em x = l/2.
101
2
qlQ
2
qlQ
B
A


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Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
2) CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA:
• Sendo a taxa de carregamento constante
(grau zero), o diagrama de esforços
cortantes é retilíneo (grau um) e o de
momentos fletores é parabólico (grau 2). Sob
carga uniformemente distribuída, M é
parabólico e Q é retilíneo.
102
 
8
ql
l
2
l
l
2
l
2
qlM
0
dx
dMQ
2
lx
2
2
2
2
máx 










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Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
2) CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA: Exemplo
• Trace os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores para a viga 
bi-apoiada submetida a carga uniformemente distribuída de 2 kN/m.
103
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Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
3) CARGA TRIANGULAR:
• Seja a viga bi apoiada submetida a uma 
carga triangular de taxa máxima p no 
apoio da direita, temos os seguintes 
esforços na seção S:
• O diagrama de esforços cortantes será
parabólico do 2º grau e o de momentos
fletores do 3º grau.
.
104














3
32
S
2
2
S
l
x
l
x
6
pl
3
x.x.
l
px.
2
1x
6
plM
l
x31
6
plx.
l
px.
2
1
6
plQ
Note que onde Q=O, o momento é 
máximo, pois dM/ds=Q(s)=0 
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Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
3) CARGA TRIANGULAR: Exemplo
• Exemplo: Trace os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores
para a viga bi apoiada submetida a carga triangular. Dado: wo=25kN/m; 
L=2m.
105
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Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
4) CARGA DE MOMENTO:
• Seja a viga bi apoiada submetida à
carga de momento indicada.
• As reações de apoio devem ser tais que
formem um binário de módulo M e
sentido oposto ao do momento
aplicado.
• A partir delas, temos os diagramas de
esforços solicitantes ao lado.
106
Note que onde Q=constante, 
devido à carga momento M 
Note que este valor é igual à 
carga momento M
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Equações de Estado e 
Gráficos
Vigas Isostáticas 
Biapoiadas
107
4) CARGA-MOMENTO: Exemplo
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
4) CARGA DE MOMENTO:
• Exemplo: Trace os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores
para a viga bi apoiada submetida a carga concentrada de 600 N em D.
108
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
5) CASOS PARTICULARES:
109
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
110
5) VIGA ENGASTADA LIVRE:
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
111
• 5) VIGA ENGASTADA LIVRE: Para a viga, trace os diagramas de
esforços cortantes e momentos fletores.
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
112
6) VIGA BIAPOIADA EM BALANÇO:
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
6) CASOS PARTICULARES:
113
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
114
7) CARREGAMENTO GERAL:
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
115
Exercícios: Para a viga,
trace os diagramas de
esforços cortantes e
momentos fletores.
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas e Pórticos Isostáticas Biapoiados
116
Exercícios: Para
a viga, trace os
diagramas de
esforços cortantes
e momentos
fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
Exercícios: Para a 
viga, trace os 
diagramas de 
esforços cortantes e 
momentos fletores.
117
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e 
Gráficos
Pórticos Biapoiados
118
Exercícios: Para a
viga, trace os
diagramas de
esforços cortantes e
momentos fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado 
e Gráficos
Pórticos Bi apoiados
119
Exercícios: Para a
viga, trace os
diagramas de esforços
cortantes e momentos
fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
Exercícios: Para a viga, trace os diagramas de esforços cortantes e momentos
fletores.
120
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
121
CORTANTE
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos 
Vigas Isostáticas Biapoiadas
122
FLETOR
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
123
Exercícios: Para a viga, trace os diagramas de esforços cortantes e momentos
fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
124
CORTANTE
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
125
FLETOR
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
126
Exercícios: Para a viga, trace os diagramas de esforços cortantes e momentos
fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
127
CORTANTE
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
128
FLETOR
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
129
Exercícios: Para a viga, trace os diagramas de esforços cortantes e momentos
fletores.
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
130
CORTANTE
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
131
FLETOR
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Bi apoiadas
Exercícios: Para cada uma das vigas, trace os diagramas de esforços cortantes
e momentos fletores.
132
(A) (B)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Bi apoiadas
Exercícios: Para cada uma das vigas, trace os diagramas de esforços cortantes
e momentos fletores.
133
(C) (D)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
Exercícios: Para cada uma das vigas, trace os diagramas de esforços cortantes
e momentos fletores.
134
(E) (F)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas
135
(G) (H)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Engatadas Livres
• OBSERVAÇÕES:
1. Na seção A, o diagrama de momentos fletores tem
tangente horizontal (QA = 0) e , na seção C,
acrescenta um ponto anguloso (presença da carga
concentrada de 4 tf).
2. Área do diagrama de esforço cortante: (-6x2)/2 + (-
10-16)x2/2 = -32 tf.m, valor do momento fletor
atuante no engaste.
3. Se tivéssemos a mesma viga, com o mesmo
carregamento, mas com engaste à esquerda, o
diagrama de momentos fletores seria o mesmo,
mas o diagrama de esforços cortantes teria seu
sinal trocado.
136
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Engatadas Livres
• Exercícios: Para cada uma das vigas, trace os diagramas de
esforços cortantes e momentos fletores.
137
(A)
(A)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Engatadas Livres
• Exercícios: Para cada uma das vigas, trace os diagramas de
esforços cortantes e momentos fletores.
138
(B) (C)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Biapoiadas em Balanço
139
(C)
(A)
(B)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Bi Apoiadas em Balanço
140
(C)(C) (D)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Isostáticas Bi Apoiadas em Balanço
141
(C)(E) (F)
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ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber
• Seja a estrutura apresentada na figura abaixo, estando o detalhe da
seção C ampliado:
• Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem
evidentemente estabilidade própria, pois as cargas, para serem
equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C e em D.
142
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber
• O ponto D é um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força
vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e
uma horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é capaz,
entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC.
• Fica então a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade
do trecho ABC que, em se tratando de uma viga bi apoida com
balanço, é estável, o sendo estão o conjunto ABCD. O ponto C é,
então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo
momento algum (pois não impede nenhuma rotação à estrutura) e é
representado, pois, por uma rótula.
143
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber
• Para resolver a viga ABCD, basta resolvermos inicialmente o trecho
CD (sem estabilidade própria), transmitindo para o trecho ABC (com
estabilidade própria) as forças HC e VC necessárias para o
equilíbrio do trecho CD.
144
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber
• O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe estão
diretamente aplicadas, acrescidas das forças VC e HC transmitidas
pela rótula C. Recaímos então na resolução de uma viga bi apoiada
CD e de uma viga bi apoiada com balanço ABC.
145
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber
• Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas com
estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que
dão a estabilidade ao conjunto. para resolvê-las, basta fazer sua
decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente
aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de
estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente
aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas
pelas rótulas.
146
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ISOSTÁTICA I
Vigas Gerber 
• Aplicações principais –
Pontes; 
• Surgiram por motivos de 
ordem estrutural e de 
ordem construtiva; 
• Vigas Gerber Isostáticas 
serão decompostas nas 
diversas vigas isostáticas 
que as constituem:
– Vigas com estabilidade 
própria; 
– Vigas que se apoiam sobre 
as demais; 147
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
• Exercícios: Paraa viga Gerber, trace os diagramas de esforços
cortantes e momentos fletores.
148
(A)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
149
(A) DEC (tf)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
150
(A) DMF (tf.m)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
• Exercícios: Para a viga Gerber, trace os diagramas de esforços
cortantes e momentos fletores.
151
(B)
(B) Reações de apoio
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
152
(B) DEC (tf)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
153
(B) DMF (tf.m)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
• Exercícios: Para a viga Gerber, trace os diagramas de esforços
cortantes e momentos fletores.
154
(C)
(C) Reações de apoio
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
155
(C) DEC (tf)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
156
(C) DMF (tf.m)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
• Exercícios: Para a viga Gerber, trace os diagramas de esforços
cortantes e momentos fletores.
157
(D)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
158
(D) DEC (tf)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
159
(D) DMF (tf.m)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
• Exercícios: Para a viga Gerber, trace os diagramas de esforços
cortantes e momentos fletores.
160
(E)
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
161
(E) Reações de apoio
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ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
162
(E) DEC (tf)
Prof. Carlos Alexandre de Araújo
ISOSTÁTICA I
Equações de Estado e Gráficos
Vigas Gerber
163
(E) DMF (tf.m)