EN2611_comdig_parte5_1.0p7_simple_3t2013

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EN2611 
Comunicação Digital 
Prof. Ivan R. S. Casella 
ivan.casella@ufabc.edu.br 
3T2013 
Transmissão em 
Banda Passante 
 Modulação Digital 
– Converte um sinal digital em banda base num sinal analógico em 
banda passante, através da variação dos parâmetro de um sinal 
de portadora de alta freqüência 
– A utilização de sinais em banda passante (modulados) é mais 
adequado para transmissões de longa distância via rádio, cabo, 
etc 
Modulação Digital 
xbb(t) x(t) 
cos(o t) 
Modulação 
Digital 
– Análise no domínio da freqüência 
• Sinal Banda Base 
 
 
 
 
 
 
 
• Sinal Banda Passante 
Modulação Digital 
0
|Xbb()| 
m -m 
 
 o –o 
|X()| 
o + m o – m 
B=m 
W=2m 
0
 Desempenho de Esquemas de Modulação Digital 
 
 
 
 
 
 Principal Objetivo do Receptor (Detector) 
– Minimizar a probabilidade de erro de símbolo média: 
 
Modulação Digital 
   i
M
i
iie mPmmmPP 
1
ˆ
Classificação da 
Modulação Digital 
 Os esquemas de modulação digital podem ser 
classificados em: 
– Esquemas de Modulação Lineares 
– Esquemas de Modulação Não-Lineares 
Demodulação e Detecção 
 Tipo de Esquemas de Modulação 
Modulação 
Linear Não Linear Spread Spectrum 
Amplitude do sinal 
transmitido varia 
linearmente com o sinal de 
informação 
Amplitude do sinal 
transmitido constante 
Banda do sinal transmitido 
muito maior que a banda 
mínima necessária para 
transmitir o sinal de 
informação 
Esquemas com eficiência 
de largura de banda 
Esquema com eficiência de 
potência 
Eficiência para múltiplos 
usuários 
PSK, QAM FSK DS/SS, FH/SS 
Transmissão em 
Banda Passante 
Demodulação e Detecção 
Demodulação e Detecção 
 Demodulação Digital 
– Processo de conversão de um sinal em banda passante para 
banda base 
 
 Detecção Digital 
– Processo de decisão de símbolo correspondente ao sinal em 
banda base demodulado 
 
 Principais Técnicas de Demodulação e Detecção da 
Informação 
– Coerente 
– Não Coerente 
– Diferencialmente Coerente 
Demodulação e Detecção 
 Demodulação e Detecção Coerente 
– Os sinais recebidos pelo receptor são demodulados/detectados 
de maneira coerente, ou seja, síncrona 
• Utiliza a informação da frequência e fase da portadora para 
recuperação do sinal transmitido 
• Ótimo do ponto de vista da taxa de erro de símbolos (SER) 
 
– Requer receptores mais sofisticados 
• Necessário a reconstrução precisa da portadora no receptor 
 
– Exemplo: BPSK, QPSK, 16QAM, FSK etc 
 
Demodulação e Detecção 
– Seja o pulso de RF: 
 
 
– O pulso de RF pode ser demodulado/detectado através de um 
filtro casado: 
• Aplicar o sinal recebido a um filtro casado com o pulso de RF em 
perfeito sincronismo de fase 
• Submeter a saída do filtro casado a um amostrador 
• Submeter o sinal na saída do amostrador a um decisor 
 
– Esquema 1 – Demodulação/Detecção Coerente (e.g. BPSK) 
 
 
 
 
Demodulação e Detecção 
s(Ts – t) Decisor 
 sTny 
r(t) = s(t) + n(t) 
Onde p(t) é o pulso em banda base 
BPSK 
       ttpts ocos2
– O pulso de RF também pode ser demodulado/detectado 
empregando um correlator: 
• Multiplicar o sinal recebido por um sinal de portadora em perfeito 
sincronismo de fase 
• Aplicar o sinal na saída do multiplicador a um integrador (FPB) 
• Submeter a saída do integrador a um amostrador 
• Submeter o sinal na saída do amostrador a um decisor 
 
– Esquema 2 – Demodulação/Detecção Coerente (e.g. BPSK) 
 
Demodulação e Detecção 
 ( ) dt Decisor 
 sTny 
r(t) = s(t) + n(t) 
   tocos2
BPSK 
 Demodulação e Detecção Não-coerente 
– Os sinais recebidos pelo receptor são demodulados/detectados 
com auxílio de um detector de envoltória 
• Não requer informação da fase do sinal recebido 
• O desempenho é inferior à demodulação/detecção coerente 
 
– Requer receptores mais simples 
• Não é necessário a reconstrução da portadora no receptor, pois não 
utiliza a fase da portadora na demodulação/detecção 
 
– Exemplo: BASK, BFSK etc 
Demodulação e Detecção 
– Seja o pulso de RF recebido: 
 
 
• Se  não é conhecido, não é possível usar técnicas coerentes 
• Desse modo, torna-se necessário o uso de técnicas não-coerentes 
(e.g. detecção de envoltória) 
 
– Pode-se mostrar que quando a fase  do pulso recebido é 
aleatória e uniformemente distribuída no intervalo [0 , 2], o 
demodulador/detector ótimo é composto por: 
• Um filtro casado com o pulso de RF: 
 
 
• Seguido por um detector de envoltória, um amostrador e um decisor 
Demodulação e Detecção 
       ttpts ocos2
Onde p(t) é o pulso em banda base 
     ttpts o  cos2
– Esquema 1 – Demodulação/Detecção Não-Coerente (e.g. BASK) 
 
 
 
 
 
– Esquema 2 – Demodulação/Detecção Não-Coerente (e.g. BASK) 
 
 
 
Demodulação e Detecção 
BASK 
s(Ts – t) Decisor 
 sTny 
r(t) = s(t) + n(t) Detector de 
Envoltória 
BASK 
r(t) = s(t) + n(t) Detector de 
Envoltória 
 ( ) dt 
 to  cos2
Decisor 
 sTny 
– Esquema 3 – Demodulação/Detecção Não-Coerente (e.g. BFSK) 
 
 
 
 
 
 
– Esquema 4 – Demodulação/Detecção Não-Coerente (e.g. BFSK) 
Demodulação e Detecção 
BFSK 
r(t) = s(t) + n(t) 
Detector de 
Envoltória 
Detector de 
Envoltória 
 ( ) dt 
 t 1cos2 
 ( ) dt 
 t 2cos2 
Decisor 
 sTny 1
 sTny 2
BFSK 
s2(Ts – t) 
Decisor 
 sTny 1
r(t) = s(t) + n(t) 
Detector de 
Envoltória 
s1(Ts – t) 
Detector de 
Envoltória 
 sTny 2
 Demodulação e Detecção Diferencialmente Coerente 
– Os sinais recebidos pelo receptor são demodulados/detectados 
de forma diferencial 
• A referência de fase é sintetizada a partir do próprio sinal recebido 
• O desempenho é inferior à demodulação/detecção coerente 
• Pode-se obter um bom compromisso entre as técnicas coerentes e as não-
coerentes 
 
– Exemplos: DBPSK, /4DQPSK etc 
Demodulação e Detecção 
– Esquema 1 – Demodulação/Detecção Diferencial (e.g. DBPSK) 
 
 
 
 
 
 
 
– Esquema 2 – Demodulação/Detecção Diferencial (e.g. DBPSK - 
Sub-ótimo) 
Demodulação e Detecção 
Decisor 
 sTny 
r(t) = s(t) + n(t) 
Ts
 –1 
s1(Ts – t) 
s2(Ts – t) 
Ts
 –1 
Decisor 
 sTny 
r(t) = s(t) + n(t) 
Ts
 –1 
 ( ) dt 
Codificação 
Gray 
 Codificação de Gray 
– Mapeamento de símbolos onde há a mudança de apenas 1 bit 
entre símbolos adjacentes 
– No caso 1D, basta manter o MSB e fazer a operação XOR com 
os demais pares de bits para obter todos os bits do símbolo 
codificado 
 
– Exemplo para um sistema com 4 símbolos 
• Operação XOR aplicada aos símbolos originais 
Probabilidade de Erro de Bit 
Símbolo BIN GRAY 
S0 0 0 0 0 (00) 
S1 0 1 0 1 (01) 
S2 1 0 1 1 (10) 
S3 1 1 1 0 (11) 
– Exemplo para um sistema com 8 símbolos 
• Operação XOR aplicada aos símbolos originais 
Probabilidade de Erro de Bit 
Símbolo BIN GRAY GRAY 
S0 0 0 0 0 0 (00) 0 0 0 (00) 
S1 0 0 1 0 0 (00) 0 0 1 (01) 
S2 0 1 0 0 1 (01) 0 1 1 (10) 
S3 0 1 1 0 1 (01) 0 1 0 (11) 
S4 1 0 0 1 1 (10) 1 1 0 (00) 
S5 1 0 1 1 1 (10) 1 1 1 (01) 
S6 1 1 0 1 0 (11) 1 0 1 (10) 
S7 1 1 1 1 0 (11) 1 0 0 (11) 
– Exemplo para um sistema 2D com 16 símbolos (16-QAM) 
• Pode ser obtido a partir do caso Gray 1D para 4 símbolos 
Probabilidade de Erro de Bit 
Gray 2D 00 01 11 1000 0000 0001 0011 0010 
01 0100 0101 0111 0110 
11 1100 1101 1111 1110 
10 1000 1001 1011 1010 
Bin Gray 1D 
00 00 
01 01 
10 11 
11 10 
Representação Geométrica 
de Sinais em 
Banda Passante 
 A modulação digital envolve a escolha de um sinal de RF 
específico si(t) de um conjunto finito S de sinais possíveis 
– Modulação Binária: Mapeamento direto do bit em um dos dois 
sinais possíveis de S 
– Modulação M-ária: S contém mais do que dois sinais possíveis e 
cada um representa mais do que um bit de informação. Com um 
conjunto de M sinais possíveis, pode-se transmitir até log2M bits 
por sinal 
– Qualquer elemento (sinal) de S pode ser representado por um 
ponto num espaço vetorial cujas bases são j(t) 
Representação Geométrica de Sinais 
 Exemplo: Seja um sistema BPSK determinado por: 
 
 
 
 Definindo: 
 
 
 Tem-se: 
 
Representação Geométrica de Sinais 
   tAts o  cos1
     tAtAts oo   coscos2
         
01
sensencoscoscos

  xxx
   tt o   cos1
   tAts 12 
   tAts 11 
1(t) 0 A -A 
Simples, mas esta abordagem apresenta 
um pequeno problema. Qual? 
 Exemplo: Sistema BPSK usando Gram-Schmidt 
Método de Gram-Schmidt 
     2,1para1cos  iitAts oi 
EEE  21
PPP  21
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
 Exemplo: continuação 
1) 
 
 
 
 
Método de Gram-Schmidt 
   tstg 11 
   
  
 

























 


T T
o
s
T
o
s
T
o
s
T
g
dttdt
T
E
dtt
T
E
dtt
T
E
dttgE
0
0
0
0
0
2
0
2
1
2cos
2cos1
2
12
cos
2
1
  



EEg 1
    so
s
Ttt
T
E
tg 

 0cos
2
1 
 Exemplo: continuação 
 
 
 
 
 
Método de Gram-Schmidt 
   
   
   dtt
T
E
dtt
T
t
T
E
dtttss
T
o
s
o
s
T
o
s
T










0
0
1
0
111
2cos1
2
12
cos
2
cos
2



 
   
E
t
T
E
E
tg
t
o
g





cos
2
1
1
1
Es 11
   
s
o
Tt
t
T
t


0
cos
2
1 
 Exemplo: continuação 
2) 
Método de Gram-Schmidt 
     tststg 12122 
       
    
 



















 


T T
o
s
T
o
s
T
o
s
o
s
T
dttdt
T
E
dtt
T
E
dtt
T
t
T
E
dtttss
0
0
0
0
0
1
0
221
2cos
2coscos
2
12
cos
2
cos
2
  



Es 21
 Exemplo: continuação 
– Deste modo, a base obtida é dada por: 
 
 
 
 
– Assim, os sinais si(t) podem ser representados como: 
Método de Gram-Schmidt 
 
  12
11




Ets
Ets
2
2 TA
TPE


    so
s
Ttt
T
t  0cos
2
1 
 Exemplo: continuação 
– Na forma vetorial (1D), tem-se: 
Método de Gram-Schmidt 














E
E
2
1
s
s
1(t) 0 
E E
1s2s
Principais Esquemas de 
 Modulação Digital 
M-árias Lineares 
M-PSK e M-QAM 
 Principais Esquemas M-ários Lineares 
– M-ASK 
 
– M-PSK 
• QPSK 
• 8-PSK 
• /4 SQPSK 
 
– M-QAM 
• 16-QAM 
• 32-QAM 
• 64-QAM 
Modulação 
 Modulação Linear 
– Para um processo de modulação linear, a banda ocupada pelo 
sinal modulado W é 2 vezes a banda ocupada pelo sinal em 
banda base B 
 
– De acordo com o critério de Nyquist, é possível transmitir numa 
banda B, 2∙B símbolos por segundo: 
 
 
 
– Considerando que: 
Características da Modulação Digital 
BW  2
2
sRB 
M
R
R bs
2log

– Tem-se que: 
 
 
– Considerando o uso de um filtro de cosseno levantado com: 
 
 
– Tem-se que: 
Características da Modulação Digital 
 
sRB 


2
1 
 
 M
R
W b
2log
1 


sRW 
M
R
W b
2log

  sRW  1
ASK 
 Modulação BASK 
– É um dos métodos mais simples de modulação 
– A Informação é transmitida pela variação da amplitude de um 
sinal de portadora de freqüência e fase constantes 
• Bit 1  transmissão da portadora com amplitude A1 por um período 
de símbolo 
• Bit 0  transmissão da portadora com amplitude A2 por um período 
de símbolo 
– Apresenta algumas desvantagens como: 
• Bastante sensível a ruídos e interferências 
• Baixo desempenho 
• Requer amplificadores lineares 
• Grande parte da potência é utilizada para a transmissão da 
portadora (OOK minimiza um pouco esse efeito) 
Modulação BASK 
 Representação – BASK 
– O sinal BASK pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação BASK 
2
2
i
i
A
P 
2
2
si
sii
TA
TPE


s
i
i
T
E
A


2
    2,1para0,cos  iTttAts soii 
Bit 1  amplitude A1 
Bit 0  amplitude A2 
– Pode-se representar os sinais modulados por BASK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
 
 
 
– Definindo uma base ortonormal: 
 
 
 
– Tem-se que: 
Modulação BASK 
 
 
 













2 para0,cos
2
1 para0,cos
2
2
1
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
so
s
so
s
i


    so
s
Ttt
T
t  0cos
2 
    2,1 para0  iTttEts sii 
 Constelação – BASK 
 
Modulação BASK 
(t) 0 
2E 1E
OOK 
 Modulação OOK 
– É a implementação mais simples do BASK 
– A Informação é transmitida pela variação da amplitude de um 
sinal de portadora de freqüência e fase constantes 
• Bit 1  transmissão da portadora de amplitude A1 por um período de 
símbolo 
• Bit 0  sem transmissão da portadora por um período de símbolo 
– Normalmente utilizado em sistemas ópticos (fibra) e portões de 
garagem (hoje, estão sendo substituídos por spread spectrum) 
 
Modulação OOK 
– Pode-se representar os sinais modulados por OOK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
 
 
 
– Definindo uma base ortonormal: 
 
 
 
– Tem-se que: 
Modulação OOK 
 
 












2 para0,0
1 para0,cos
2
iTt
iTtt
T
E
ts
s
so
s
i

    so
s
Ttt
T
t  0cos
2 
      sbb TttEtxts  0
– Onde xbb(t) é um sinal unipolar em banda-base com formatação 
determinada por p(t): 
 
 
– E bk é dado por: 
Modulação OOK 






2 para0
1 para1
i
i
bk
   tpbtx kbb 
 Constelação – OOK 
Modulação OOK 
(t) 0 
E
 Representação no Tempo e na Freqüência – OOK 
 
Modulação OOK 
0 0.05 0.1 0.15 0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal de Mensagem - Tempo
t (s)
m
(t)
0 0.05 0.1 0.15 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal Portadora - Tempo
t (s)
S
AM
(t)
0 0.05 0.1 0.15 0.2
-0.5
0
0.5
Sinal Modulado OOK - Tempo
t (s)
S
AM
(t)
60 80 100 120 140
0
10
20
30
40
50
Sinal Modulado OOK- Frequência
freq. (Hz)
S
AM
(t)
 Recepção Coerente – OOK 
 
 
Modulação OOK 
 Recepção Não-Coerente – OOK 
 
 
Modulação OOK 
 Probabilidade de Erro do Receptor Binário Ótimo 
– Neste caso, a probabilidade de erro empregando um Filtro Casado 
é dada por: 
Modulação OOK – Probabilidade de Erro 









0N
E
QP bb
PSK 
 Modulação BPSK 
– É um dos métodos de modulação mais utilizados 
– A Informação é transmitida pela variação da fase de um sinal de 
portadora de amplitude e freqüência constantes 
• Bit 1  transmissão da portadora com fase 1 por um período de 
símbolo 
• Bit 0  transmissão da portadora com fase 2 por um período de 
símbolo 
– Apresenta algumas vantagens como: 
• Bom desempenho do ponto de vista de eficiência de potência 
• Menos sensível a ruídos que o BASK 
• Envoltória constante apenas para BPSK não filtrado 
Modulação BPSK 
 Representação – BPSK 
– O sinal BPSK pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação BPSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
    2,1para0,cos  iTttAts sioi 
Bit 1  fase 1 
Bit 0  fase 2 
– Pode-se representar os sinais modulados por BPSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
 
 
 
– Normalmente, tem-se que: 
Modulação BPSK 
 
 
 













2 para0,cos
2
1 para0,cos
2
2
1
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
so
s
so
s
i






2
1 0
         
01
sensencoscoscos

  xxx
– Resultando numa modulação BPSK chamada antipodal: 
 
 
 
 
 
 
– Definindo uma base ortonormal: 
 
 
 
– Tem-se que: 
Modulação BPSK 
 
 
 














2 para0,cos
2
1 para0,cos
2
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
so
s
so
s
i


    so
s
Ttt
T
t  0cos
2 
         
01
sensencoscoscos

  xxx
      sbb TttEtxts  0
– Onde xbb(t) é um sinal polar em banda-base com formatação 
determinada por p(t): 
 
 
– E bk é dado por: 
Modulação BPSK 






2 para1
1 para1
i
i
bk
   tpbtx kbb 
   



k
skbb Tktpbtx
    tjbb oetxets  2
 Diagrama de Espaço de Sinais – BPSK 
Modulação BPSK 
(t) 0 
EE
 Diagrama de Espaço de Sinais – BPSK 
Modulação BPSK 
 Representação no Tempo e na Freqüência – BPSK 
Modulação BPSK 
0 0.04 0.08 0.12
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal de Mensagem - Tempo
t (s)
m
(t)
0 0.04 0.08 0.12
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal Portadora - Tempo
t (s)
S
m
(t)
0 0.04 0.08 0.12
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal Modulado BPSK - Tempo
t (s)
S
m
(t)
60 80 100 120 140
0
50
100
150
Sinal Modulado BPSK - Frequência
freq. (Hz)
S
m
(t)
 Transmissão e Recepção Coerente – BPSK 
 
Modulação BPSK 
 Recepção Coerente – BPSK (PLL) 
 
Modulação BPSK 
 Recepção Coerente – BPSK (Squaring Loop) 
 
Modulação BPSK 

     t
T
E
txts o
s
bb  cos1
 co t  2cos  co t   22cos
 co t  cos
     co
s
bb t
T
E
txts   cos1
 txbb
     co
s
bb t
T
E
txts   21 cos
   
4
s
bbso
TE
txkTs


 t
T
E
o
s
 cos
Portadora 
Recuperada 
      co
s
bb t
T
E
txts  22cos1
2
1
1 
 Efeito da Formatação de Pulso 
– No esquema BPSK, assim como em outros esquemas de 
modulação, é necessário usar formatação de pulso 
• Minimizar a ISI 
• Minimizar a interferência nos canais adjacentes 
Modulação BPSK 
Filtro Raised Cosine: a interferência 
nos canais adjacentes é menor, 
entretanto o lobo principal é maior e 
a envoltória não é constante 
A transmissão do sinal por um 
meio não linear acarretará na 
regeneração dos lobos laterais 
e aumento da interferência 
 Probabilidade de Erro do Receptor Binário Ótimo 
– Neste caso, a probabilidade de erro empregando um Filtro Casado 
é dada por: 
Modulação BPSK 







 

0
2
N
E
QP bb
PSK Diferencial 
 BPSK Diferencial 
– No esquema BPSK, é necessário utilizar um processo de 
detecção coerente, já que a informação é transmitida pela 
variação da fase do sinal de portadora 
– Utilizando o esquema diferencial DPSK, é possível eliminar a 
necessidade de ter uma portadora local no receptor em 
sincronismo com o sinal recebido e simplificar o circuito do 
receptor 
Modulação DPSK 
 Representação – DPSK 
– Pode-se representar os sinais modulados por DPSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
– Onde, 
Modulação DPSK 
      sbb TttEtyts  0
    so
s
Ttt
T
t  0cos
2 
 tybb
     sbbbbbb Ttytxty 
 sbb Tty 
 txbb
 DPSK – Codificação e Decodificação Diferencial 
– Codificação 
 
 
 
 
 
 
– Decodificação 
Modulação DPSK 
Z -1 
dk-1 
bk 
1 kkk dbd
kkk ddb  1
Z -1 
dk-1 
dk 
Operação Ou-Exclusivo 
     sbbbbbb Ttytxty 
 sbb Tty 
 txbb
 tybb
 sbb Tty 
     tyTtytx bbsbbbb 
 Exemplo – DPSK 
– Codificação 
 
 
 
 
 
 
 
– Decodificação 
Modulação DPSK 
Dados 
Originais 
bk 0 1 1 0 1 0 0 1 
Bit de 
Referência 
1 
Dados 
Codificados 
dk 1 0 1 1 0 0 0 1 
Dados 
Codificados 
dk 1 1 0 1 1 0 0 0 1 
Dados 
Decodificados 
bk 0 1 1 0 1 0 0 1 
kkk bdd  1
kkk ddb  1
     sbbbbbb Ttytxty 
     sbbbbbb Ttytytx 
 DPSK – Diagrama de Espaço do Sina “Recebido” 
 
Modulação DPSK 
 DPSK – Transmissão e Recepção Diferencial 
 
Modulação DPSK 
 Probabilidade de Erro 
– No caso binário, a probabilidade de erro de detecção é igual a 
probabilidade de erro de bit 
– Para um detector binário diferencial, a probabilidade de erro de bit 
é dada por: 
Modulação BPSK – Probabilidade de Erro 
0
2
1 N
E
b
b
eP


QPSK 
 Modulação QPSK 
– Pode ser visto como a soma de 2 esquemas BPSK 
– A Informação é transmitida pela variação da fase de um sinal de 
portadora de amplitude e freqüência constantes 
• Bit 11  transmissão da portadora com fase 1 por um período de 
símbolo 
• Bit 01  transmissão da portadora com fase 2 por um período de 
símbolo 
• Bit 10  transmissão da portadora com fase 3 por um período de 
símbolo 
• Bit 00  transmissão da portadora com fase 4 por um período de 
símbolo 
– Requer amplificadores lineares (sistemas filtrados) 
– Requer o conhecimento da fase da portadora (detecção 
coerente) 
Modulação QPSK 
 Representação – QPSK 
– O sinal QPSK pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação QPSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
    4,3,2,1para0,cos  iTttAts sioi 
Bit 11  fase 1 
Bit 01  fase 2 
Bit 10  fase 3 
Bit 00  fase 4 
 QPSK1 
– Pode-se representar os sinais modulados por QPSK de uma 
maneira mais adequada fazendo:– Usando a representação em quadratura, tem-se: 
Modulação QPSK 
    4,3,2,1 para0,
2
1cos
2








 iTtit
T
E
ts so
s
i

     
   ti
T
E
ti
T
E
ts
o
s
o
s
i





















sen
2
1sen
2
cos
2
1cos
2
– De forma que os sinais modulados por QPSK1são: 
Modulação QPSK 
 
 
 


















 















4 para0,
2
3
cos
2
3 para0,cos
2
2 para0,
2
cos
2
1 para0,cos
2
iTtt
T
E
iTtt
T
E
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
so
s
so
s
so
s
so
s
i






 QPSK2 
– Uma outra forma bastante comum de representação dos sinais 
modulados por QPSK é dada por: 
 
 
 
– Usando a representação em quadratura, tem-se: 
Modulação QPSK 
    4,3,2,1 para0,
4
12cos
2








 iTtit
T
E
ts so
s
i

     
   ti
T
E
ti
T
E
ts
o
s
o
s
i




















sen
4
12sen
2
cos
4
12cos
2
– De forma que os sinais modulados por QPSK2 são: 
Modulação QPSK 
 


















 







 







 











4 para0,
4
7
cos
2
3 para0,
4
5
cos
2
2 para0,
4
3
cos
2
1 para0,
4
cos
2
iTtt
T
E
iTtt
T
E
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
so
s
so
s
so
s
so
s
i








 QPSK – Diagrama de Espaço de Sinais 
– Duas Implementações Comuns 
Modulação QPSK 
QPSK1 QPSK2 
– Definindo as bases ortonormais: 
 
 
 
 
 
 
– Tem-se que: 
 
 
– Onde, para o esquema QPSK2: 
Modulação QPSK 
    s
s
Ttt
T
t  0cos
2
01 
          sTttEtxtEtxts  02211 
    s
s
Ttt
T
t  0sen
2
02 
           


















4
12sen,
4
12cos, 21

iitxtxtxbb
Modulação QPSK 
QPSK – Representação Temporal 
Modulação QPSK 
QPSK – Transmissão com Filtro Raised Cosine 
 Probabilidade de erro de símbolo 
 
 
 
 
 Probabilidade de erro de bit 
Modulação QPSK – Probabilidade de Erro 









0
2
N
E
QP se
A probabilidade de erro de bit do 
QPSK é igual a probabilidade de 
erro de bit do BPSK 







 

0
2
N
E
QP bb
OQPSK 
 OQPSK 
– Melhora os aspectos de linearidade através da eliminação da 
transição de 180 graus entre os sinais 
• Mudanças de fase entre símbolos adjacentes limitadas a +/- /2 
– Requer amplificadores lineares (sistemas filtrados) 
– Requer o conhecimento da fase da portadora (detecção coerente) 
– Utilizado no enlace reverso do sistemas IS-95 
Modulação OQPSK 
Modulação OQPSK 
OQPSK – Diagrama de Espaço de Sinais 
 OQPSK – Deslocamento de Ts/2 
Modulação OQPSK 
Modulação OQPSK 
OQPSK – Representação Temporal 
Modulação OQPSK 
OQPSK – Transmissão com Filtro Raised Cosine 
/4 QPSK 
 /4 QPSK 
– Possibilita o uso de amplificadores não lineares 
– Resulta em 8 fases possíveis 
• Combinação de dois esquemas QPSK defasados de /4 
• Mudanças de fase entre símbolos adjacentes limitadas a +/- /4 ou 
+/- 3/4 
Modulação /4 QPSK 
 /4 QPSK 
Modulação /4 QPSK 
 /4 QPSK – Exemplo 
– 00 00 10 00 01 11 11 00 01 00 
Modulação /4 QPSK 
/4 DQPSK 
 /4 DQPSK 
– Mesmas características do /4 DQPSK 
• Também possibilita o uso de amplificadores não lineares 
• Também obtido pela combinação de dois esquemas QPSK 
defasados de /4 (8 fases possíveis) 
– Entretanto, utiliza codificação diferencial da informação 
– Utilizado no enlace reverso do sistemas IS-136 
 
– QPSK e OQPSK requerem o conhecimento da fase da portadora 
(detecção coerente), enquanto o processo de detecção do /4 
DQPSK não requer o conhecimento da fase da portadora 
• Implementação de receptores mais simples 
• Maior robustez a canais com desvanecimento 
Modulação /4 DQPSK 
Modulação /4 DQPSK 
/4 DQPSK – Diagrama de Espaço de Sinais 
 /4 DQPSK – Transmissão Diferencial 
 
 
 
 
– Onde, 
Modulação /4 DQPSK    kkkkI   1coscos   kkkkQ   1sinsin
kkk   1
 /4 DQPSK – Recepção Diferencial 
– A fase da portadora devido ao k-ésimo símbolo recebido é: 
 
 
 
– De forma simplificada, pode-se estimar k como: 
 
 
– Assim, os símbolos estimados no receptor podem ser obtidos pela 
tabela de mapeamento de k 
 
 
Modulação /4 DQPSK 






 
k
k
k
I
Q1tan
1 kkk 
Modulação /4 DQPSK 
/4 DQPSK – Transmissão Diferencial 
Modulação /4 DQPSK 
/4 DQPSK – Recepção Diferencial 
 Exemplo – Assumindo que o trem de bits a ser 
transmitido por um esquema /4 DQPSK é 10 01 11 00 e 
que 0 = 45
o, determine os valores de Ik e Qk 
– 10  1 = 0 + 1 = 0 
• I1 = cos(1) = +1 
• Q1 = sen(1) = 0 
– 01  2 = 1 + 2 = 0 +135 = +135 
• I2 = cos(2) = – 0.707 
• Q2 = sen(2) = +0.707 
– 11  3 = 2 + 3 = +135 – 135 = 0 
• I3 = cos(3) = +1 
• Q3 = sen(3) = 0 
– 00  4 = 3 + 4 = 0 + 45 = +45 
• I4 = cos(4) = +0.707 
• Q4 = sen(4) = +0.707 
 
Modulação /4 DQPSK 
QPSK Bits k 
i= 1 0 0 + 45 
i = 2 0 1 + 135 
i = 3 1 1 – 135 
i = 4 1 0 – 45 
 Exemplo – Obtenha o trem de bits transmitido por um 
esquema /4 DQPSK, considerando ganho 2 
– 1 = tan
-1(Q1 / I1) = tan
-1(0 / 1) = 0 
 
– 2 = tan
-1(Q2 / I2) = tan
-1(0.707 / –0.707) = +135 
 
– 3 = tan
-1(Q3 / I3) = tan
-1(0 / 1) = 0 
 
– 4 = tan
-1(Q4 / I4) = tan
-1(0.707/ 0.707) = +45 
 
– Aplicando as regras de decisão, obtém-se: 
 10011100 
Modulação /4 DQPSK 
0 = 45 
QPSK Bits k 
i= 1 0 0 + 45 
i = 2 0 1 + 135 
i = 3 1 1 – 135 
i = 4 1 0 – 45 
MPSK 
 Modulação MPSK 
– É uma generalização dos métodos BPSK e QPSK 
– A Informação é transmitida pela variação da fase de um sinal de 
portadora de amplitude e freqüência constantes 
– Apresenta um aumento da eficiência de banda com o aumento 
de M 
Modulação MPSK 
 Representação – MPSK 
– O sinal MPSK pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação MPSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
    MiTttAts sioi ,,1para0,cos  
– Pode-se representar os sinais modulados por MPSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
– Usando a representação em quadratura, tem-se: 
Modulação MPSK 
    MiTt
M
it
T
E
ts so
s
i ,,1 para0,
2
1cos
2










     
   t
M
i
T
E
t
M
i
T
E
ts
o
s
o
s
i




















sen
2
1sen
2
cos
2
1cos
2
– Uma outra forma bastante comum de representação dos sinais 
moduladospor MPSK é dada por: 
 
 
 
– Usando a representação em quadratura, tem-se: 
Modulação MPSK 
    MiTt
M
it
T
E
ts so
s
i ,,1 para0,12cos
2










     
   t
M
i
T
E
t
M
i
T
E
ts
o
s
o
s
i




















sen12sen
2
cos12cos
2
– Definindo as bases ortonormais: 
 
 
 
 
 
 
– Tem-se que: 
 
 
– Onde, para o segundo esquema apresentado: 
Modulação MPSK 
    s
s
Ttt
T
t  0cos
2
01 
          sTttEtxtEtxts  02211 
    s
s
Ttt
T
t  0sen
2
02 
           


















M
i
M
itxtxtxbb

12sen,12cos, 21
Modulação MPSK 
8 PSK – Transmissão 
Modulação MPSK 
8 PSK – Diagrama de Espaço de Sinais 
 Probabilidade de erro de símbolo (Limite dos Vizinhos 
Próximos) 
 
 
 
 
 Probabilidade de erro de bit 
Modulação MPSK – Probabilidade de Erro 

















MN
E
QP se

sen
2
2
0

















MN
ME
Q
M
P bb

sen
log2
log
2
0
2
2
 Exemplo: Seja um sistema 8PSK transmitindo a uma taxa 
de 3Mbps. Considerando que a probabilidade de erro de 
bit desejada é de 10-6: 
– Determine a banda ocupada usando um filtro de Nyquist (=0) 
• A taxa de símbolo é dada por: 
 
 
 
 
• A banda de RF ocupada é dada por: 
 
 
 
Características da Modulação Digital 
MRR bs 2log
MspsRs 18log103 2
6 
  sRW  1
MHzW 1
 Exemplo: Continuação 
– Qual é a SNR necessária? 
 
 
 
• De acordo com a tabela 
 
 
 
 
• Assim, tem-se que: 
Características da Modulação Digital 
6101
8
sen
6
3
2 
















o
b
b
N
E
QP
W
R
N
E
SNR bb 
0
610
2
3
38,0
6 









o
b
N
E
Q
7,438,0
6

o
b
N
E
5,25
o
b
N
E
dB
N
E
o
b 14
5,76
101
103
5,25
6
6



SNR
dBSNR 8,18
QAM 
 Quadrature Amplitude Modulation 
– Apesar do sistema MASK ter pouca aplicação nos dias de hoje, sua 
combinação com esquemas MPSK traz alguns benefícios na utilização dos 
recursos de banda e potência 
– O esquema de modulação que combina a variação de amplitude com a 
variação de fase é normalmente chamado de APSK (Amplitude Phase 
Shift Keying) 
– Para o caso particular da utilização de portadoras em quadratura, 
resultando numa constelação retangular, o esquema de modulação 
resultante é denominado de QAM (Quadrature Amplitude Modulation) 
– O esquema QAM apresenta no geral: 
• Alta eficiência espectral 
– Mais bits por símbolo 
• Energia de símbolo não constante 
– Probabilidade de erro diferente para cada símbolo 
• Requer alta potência 
Modulação QAM 
 Representação – MQAM 
– O sinal MQAM pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação QAM 
2
2
i
i
A
P 
2
2
si
sii
TA
TPE


s
i
i
T
E
A


2
    MiTttAts sioii ,,1para0,cos  
– Usando a representação em quadratura, tem-se: 
 
 
 
– Onde, 
Modulação QAM 
MiE iii ,,1para,
22  
Miarctg
i
i
i ,,1para, 





 

     t
T
t
T
ts o
s
io
s
ii   sin2cos2
   







2
1,,
2
3,
2
,
2
,
2
3,,
2
1,
d
M
ddddd
Mii 
– Definindo as bases ortonormais: 
 
 
 
 
 
 
– Tem-se que: 
 
 
– Onde, para o segundo esquema apresentado: 
Modulação QAM 
    s
s
Ttt
T
t  0cos
2
01 
          sTtttxttxts  02211 
    s
s
Ttt
T
t  0sen
2
02 
           iiiibb senEEtxtxtx   ,cos, 21
– Para constelações quadradas, pode-se representar os sinais 
modulados por MQAM através da seguinte normalização: 
 
 
 
• Onde, Emin é a energia mínima do sinal de menor amplitude 
• ai e bi são inteiros escolhidos de acordo com a posição na constelação: 
Modulação QAM 
     tb
T
E
ta
T
E
ts oi
s
oi
s
i 



  sen2cos2 minmin
 
     
     
     















1,11,31,1
3,13,33,1
1,11,31,1
,
LLLLLL
LLLLLL
LLLLLL
ba ii




ML 
 minmin , EbEa ii 
– Para o 16QAM, tem-se: 
 
 
 
Modulação QAM 
 
       
       
       
       
















3,33,13,13,3
1,31,11,11,3
1,31,11,11,3
3,33,13,13,3
, ii ba   MiTtbEaEts siii ,,1 para0,2min1min  
Modulação QAM 
QAM – Transmissão 
Modulação QAM 
QAM – Diagrama de Espaço de Sinais Retangular 
Modulação QAM 
QAM – Diagrama de Espaço de Sinais Retangular 
Codificação Gray para M=16 
Modulação QAM 
QAM – Outras formas de Diagrama de Espaço de Sinais 
Modulação MPSK e MQAM 
16 QPSK e 16 QAM – Constelação de Sinais 
No 16-QAM, uma distância equivalente ao 16-QPSK 
resulta numa menor potência média do que no 16-PSK 
 Probabilidade de erro de símbolo 
 
 
 
 
– Onde, 
 
 Probabilidade de erro de bit 
 
 
 
 
Modulação MQAM – Probabilidade de Erro 
  
















01
31
14
NM
E
Q
M
P se
  min1
3
2
EMEs 
 
  














01
314
N
E
M
n
Q
Mn
M
P bb
b
b
 Exemplo: Seja um sistema 16-QAM transmitindo a uma 
taxa de 4Mbps. Considerando que a probabilidade de 
erro de bit desejada é de 10-6: 
– Determine a banda de RF ocupada (para =0) 
 
– A Eb/No e a SNR necessárias? 
 
 
 
 
Características da Modulação Digital 
Principais Esquemas de 
 Modulação Digital 
M-ários Não-Lineares 
M-FSK 
 Modulação Não-Linear 
– Para um processo de modulação não-linear, a determinação da 
banda ocupada pelo sinal modulado W é um pouco mais difícil 
 Esquemas Não-Lineares Coerentes 
– Para esquemas não-lineares coerentes, empregando pulsos 
retangulares, tem-se que: 
 
 
 
 
 
Características da Modulação Digital 
 iX
sT
2
sT
2

 
  (3 + 3) / Ts 
sT

sT


sT

sT
f
2
1

– Considerando o espaçamento entre os tons de freqüência de 
1/2Ts Hz (/Ts rd/s), tem-se que: 
 
 
 
– Assim, tem-se que: 
 
 
 
Características da Modulação Digital 
 
 
s
s
R
M
T
MW 




2
3
2
1
3
 
M
RM
W b
2log2
3



M
R
R bs
2log

 Esquemas Não-Lineares Não-Coerentes 
– Para esquemas não-lineares não-coerentes, empregando pulsos 
retangulares, tem-se que: 
Características da Modulação Digital 
 iX
sT
2
sT
2

 
2  (3 + 1) / Ts 
sT
2
sT
f
1

– Considerando o espaçamentoentre os tons de freqüência de 
1/Ts Hz (2/Ts rd/s), tem-se que: 
 
 
 
– Assim, tem-se que: 
Características da Modulação Digital 
    s
s
RM
T
MW  1
1
1
 
M
RM
W b
2log
1 

M
R
R bs
2log

 Resumo – Largura de Banda e Eficiência Espectral 
Características da Modulação Digital 
Técnica de Modulação Banda Ideal 
M-ASK, M-PSK, M-QAM 
(Raised Cosine) 
M-ASK, M-PSK, M-QAM 
(Null-Null) 
M-FSK (Coerente) 
(Null-Null) 
M-FSK (Não-Coerente) 
(Null-Null) 
 M
R
W b
2log

 
 M
RM
W b
2log
1 

 
 M
RM
W b
2log2
3



 M
R
W b
2log
2

FSK 
 Modulação BFSK 
– A Informação é transmitida pela variação da freqüência de um 
sinal de portadora de amplitude constante 
• Bit 1  transmissão da portadora com fase f1 por um período de 
símbolo 
• Bit 0  transmissão da portadora com fase f2 por um período de 
símbolo 
– Pode ser visto como a soma de 2 esquemas BASK entrelaçados 
– Apresenta algumas vantagens como: 
• Menos sensível a ruídos que o BASK 
• Não requer amplificadores lineares (envoltória constante) 
• Implementação simples e barata 
• Bom desempenho em canais com desvanecimento 
Modulação BFSK 
 Representação – BFSK 
– O sinal BFSK pode ser representado por: 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação BFSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
     2,1para0,cos  iTttAts siioi 
Bit 1  freqüência 1 
Bit 0  freqüência 2 
– Pode-se representar os sinais modulados por BFSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
 
 
 
– Onde, 
Modulação BFSK 
 
 
 













2 para0,cos
2
1 para0,cos
2
22
11
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
s
s
s
s
i


22
11




o
o
– Definindo as bases ortonormais: 
 
 
 
 
 
 
 
– Tem-se que: 
Modulação BFSK 
    s
s
Ttt
T
t  0cos
2
111 
           sbbbb TttEtxtEtxts  01 21 
    s
s
Ttt
T
t  0cos
2
222 
– Onde xbb(t) é um sinal unipolar em banda-base com formatação 
determinada por p(t): 
 
 
– E bk é dado por: 
Modulação BFSK 






2 para0
1 para1
i
i
bk
    tjbb oetxets  2
   tpbtx kbb 
   



k
skbb Tktpbtx
 Constelação – BFSK 
Modulação BFSK 
1(t) 
0 
E
E
2(t) 
 Constelação – BFSK 
Modulação BFSK 
CPFSK 
 Descontinuidade de Fase – BFSK 
 
 
 
 
Modulação BFSK 
21  
 Descontinuidade de Fase – CPFSK 
 
 
 
 
Modulação BFSK 
21  
MSK 
 Modulação MSK 
– É um esquema de modulação ortogonal com detecção coerente 
– A Informação é transmitida pela variação da freqüência de um 
sinal de portadora de amplitude constante 
• Bit 1  transmissão da portadora com frequência f1 por um período 
de símbolo 
• Bit 0  transmissão da portadora com frequência f2 por um período 
de símbolo 
• Diferença entre f1 e f2 é igual 1/2Ts (mínima para ortogonalidade) 
 
– Apresenta algumas vantagens como: 
• Self synchronization 
• Ocupação de banda menor que BFSK (1.5Rb, 50% a mais que 
duobinário) 
• Não requer amplificadores lineares (envoltória constante) 
• Bom desempenho em canais com desvanecimento 
Modulação MSK 
 Representação – MSK 
– O sinal MSK pode ser representado por: 
 
 
 
 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação MSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
    2,1para0,cos  iTttAts sii 
Bit 1  freqüência 1 
Bit 0  freqüência 2 
21  s
T

  21
– Pode-se representar os sinais modulados por MSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
 
 
 
– Onde, 
Modulação MSK 
 
 
 













2 para0,cos
2
1 para0,cos
2
2
1
iTtt
T
E
iTtt
T
E
ts
s
s
s
s
i


22
11




o
o
021 
sT

  21
sT
ff
2
1
21 
s
o
T
ff


4
1
1
s
o
T
ff


4
1
2
 MSK – Diagrama de Espaço de Sinais 
 
Modulação CPFSK 
– Para o esquema MSK, as freqüências associadas a cada bit de 
informação também são dadas por: 
 
 
 
• Onde, n é um número inteiro 
 
– O que significa que num intervalo de símbolo (bit) há um número 
inteiro de ciclos de portadora 
 
– O índice de modulação é dado por: 
Modulação MSK 
2,1, 

 i
T
in
f
s
i
  5.021  ss TffTfh
– A variação contínua da fase do sinal modulado é dada por: 
 
 
 
• Onde,(0) é a fase no instante t = 0 
 
– Deste modo, o sinal modulado em MSK pode ser expresso por: 
 
 
 
 
– Resultando nas freqüências: 
Modulação MSK 
   














 0
4
1
2cos
2  t
T
f
T
E
ts
s
o
s
s
o
T
ff


4
1
1
s
o
T
ff


4
1
2
    s
s
Ttt
T
t 

 0,
2
0
 0
1
bit
bit


 MSK – Representação em Quadratura 
– Bits: 11000111 
Modulação MSK 
– Bits: 11000111 
 MSK – Análise 
– Bits: 1101000 
Modulação MSK 
(a) Sinal de Informação 
(b) Forma de Onda s11(t) 
(c) Forma de Onda s22(t) 
(d) Forma de Onda MSK obtida pela 
soma bit a bit de s11(t) s22(t) 
 MSK – Árvore de Fase 
 Bits: 11000111 
 Bits: 1101000 
Modulação BFSK 
– Como o MSK é uma modulação ortogonal, o uso de um processo 
de detecção coerente usando um intervalo de tempo Ts resulta na 
seguinte probabilidade de erro: 
 
 
 
 
– Entretanto, como a fase de um intervalo de tempo depende da fase 
anterior, pode-se obter um desempenho melhor, observando 
intervalos de tempo 2Ts , resultando em: 
Modulação MSK – Probabilidade de Erro 









0N
E
QP bb







 

0
2
N
E
QP bb
 GMSK – Gaussian Minimum Shift Keying 
– É uma técnica de modulação derivada do MSK, onde os pulsos 
retangulares são pré-filtrados com um filtro Gaussiano com 
resposta: 
 
 
 
– Deste modo, como a transição é mais suave, os lóbulos laterais 
são ainda menores que o MSK 
– Apresenta boa eficiência espectral e de potência (envoltória 
constante) 
– Assim, como o MSK, também pode ser detectado de forma não-
coerente 
– Entretanto, o filtro gaussiano introduz um pouco de ISI 
Modulação GMSK 
 
22
2
2log
2
2log
2 tW
eWth



Modulação GMSK 
GMSK – Diagrama de Treliça 
Modulação GMSK 
GMSK – Formatação de Pulso 
Modulação GMSK 
MSK e GMSK – Densidade Espectral 
MFSK 
 MFSK 
– No MFSK a eficiência de banda diminui com o aumento de M 
• Ao contrário do MPSK, o MFSK apresenta ineficiência de banda 
– Entretanto, no MFSK a eficiência de potência aumenta com o 
aumento de M 
• Como os M sinais são ortogonais não há congestionamento no espaço 
de sinais 
– Os sinais MFSK podem ser amplificados através de amplificadores 
não-lineares sem degradação de desempenho– As características de ortogonalidade do MFSK levaram ao 
desenvolvimento do OFDM (Orthogonal Frequency Division 
Multiplexing) 
• Oferecer um a sinalização com eficiência de potência a um grande 
número de usuários 
Modulação MFSK 
 Representação – MFSK 
– O sinal MFSK pode ser representado por: 
 
 
 
– Para sinais senoidais, tem-se que: 
 
 
 
– Considerando que a energia de símbolo é dada por: 
Modulação MFSK 
2
2A
P 
2
2
s
s
TA
TPE


sT
E
A


2
    MiTttin
T
Ats s
s
i ,,1para0,cos 







s
ii
T

  1
– Pode-se representar os sinais modulados por MFSK de uma 
maneira mais adequada fazendo: 
 
 
 
• Onde, 
 
Modulação MFSK 
    MiTttin
TT
E
ts s
ss
i ,,1 para0,cos
2










s
o
T
n



s
o
T
n
f


2
 Probabilidade de erro de símbolo 
– Limite para Detecção Coerente 
 
 
 
 
– Detecção Não-Coerente 
 
 
 
 
– Limite para Detecção Não-Coerente 
Modulação MFSK – Probabilidade de Erro 
 









0
1
N
E
QMP ss
 
0
2
1 N
E
s
s
e
M
P




    01
1
1
1 1
1
1 N
E
M
mM
m
m
s
s
e
m
M
m
P










 




Probabilidade de 
Erro de Bit 
 Taxa de Erro de Bit para Sinalizações Não-ortogonais 
– Cada um dos M símbolos representa uma palavra binária de 
k=log2M bits 
– Se houver erro ao transmitir um dado símbolo, é mais provável que 
o símbolo detectado seja um símbolo adjacente no espaço de 
sinais 
– Se um símbolo é recebido com erro, não necessariamente todos os 
bits estarão errados 
– Para minimizar o número de bits com erro, pode-se empregar a 
codificação de Gray, na qual as palavras binárias correspondentes 
a símbolos adjacentes diferem apenas de um bit 
• Numa palavra de k bits é mais provável haver apenas um bit errado 
 
– Assim, tem-se que: 
Probabilidade de Erro de Bit 
kMP
P
e
b 1
log
1
2

 Taxa de Erro de Bit para Sinalizações Não-ortogonais 
– Para constelações não-ortogonais (e.g. M-PSK, M-QAM), cada 
vetor de sinal não é equidistante dos demais 
Probabilidade de Erro de Bit 
– Empregando a codificação binária, apresentada na Figura a, 
pode-se verificar que um erro de símbolo pode acarretar em um 
ou mais erros de bit, mesmo para valores altos de SNR 
 
– Já empregando a codificação de Gray, apresentada na Figura b, 
de modo que ocorra a mudança de apenas 1 bit entre símbolos 
adjacentes, pode-se verificar que a ocorrência de um erro de 
símbolo gera normalmente apenas um erro de bit 
• A probabilidade de ocorrer múltiplos erros de bit é bastante reduzida, 
mas ela existe 
 
Probabilidade de Erro de Bit 
– Assim, considerando que o processo de mapeamento de 
símbolos utiliza codificação de Gray, tem-se que: 
 
 
 
• Quando o número de bits por símbolo é n = log2M 
 
 
– No geral, se tem que: 
Probabilidade de Erro de Bit 
M
P
BER e
2log

e
e PBER
M
P

2log
1eP
 Taxa de Erro de Bit para Sinalizações Ortogonais 
– Para constelações ortogonais (e.g. M-FSK), a probabilidade de 
selecionar um dos M – 1 símbolos errados possíveis é a mesma 
(equiprováveis), visto que os símbolos são equidistantes entre si 
– Desta forma, o número de maneiras que um erro de símbolo 
pode ocorrer é igual a 2k – 1 
– Mas, em um dado símbolo, há 2k – 1 formas diferentes de ocorrer 
um erro de bit (cada posição de bit que corresponde a um erro) 
Probabilidade de Erro de Bit 
– Assim, para constelações ortogonais, a taxa de erro de bit (BER) 
pode ser obtida por: 
 
 
 
Probabilidade de Erro de Bit 
ek
k
PBER 



12
2 1
eP
M
M
BER 


1
2
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
0 
Considera que a probabilidade de 
erro de qualquer símbolo é igual 
No limite, tem-se que: 
2
1
lim 

e
b
k P
P
1 erro de bit 
corresponde a 4 
erros de símbolo 
possíveis 
 Exemplo – MFSK com M=8 e k=3 
Modulação MFSK – Probabilidade de Erro 
7
4
12
2 1




k
k
e
b
P
P
Símbolo Palavra Binária 
1 000 
2 001 
3 010 
4 011 
5 100 
6 101 
7 110 
8 111 
eb PP 
7
4
 Pode-se adicionalmente alterar a relação sinal-ruído de 
símbolo para de bit: 
 
 
Probabilidade de Erro de Bit 0
2
0
log
N
ME
N
E bs 
Limite 
da 
União 
 Limite da União 
– Às vezes, o cálculo da probabilidade de erro de bit é impraticável 
devido a complexidade da constelação de sinais. Nestes casos, 
pode-se utilizar o Limite da União (Union Bound) 
 
– Considere que a probabilidade da união de 2 eventos quaisquer 
possa ser representada por: 
 
 
– Pode-se estabelecer o seguinte limite: 
 
 
– Que pode ser representado de uma forma geral por: 
Limite da União 
 









 M
i
i
M
i
i APAP
11

     BPAPBAP 
       BAPBPAPBAP 
– Aplicando este conceito, pode-se estimar a probabilidade de erro 
de símbolo, dado que o símbolo mi foi transmitido, fazendo: 
 
 
 
• Onde P2(si , sk) é a probabilidade do vetor recebido estar mais 
próximo de sk , dado que o sinal si foi transmitido 
 
– Para a transmissão de símbolos equiprováveis, tem-se: 
 
 
 
 
• Onde, 
Limite da União 
   


M
ik
k
kiie PmP
1
2 ,ss
   
 

2
2
1
02
0
2
,
ikd
N
ki deNP 

ss
kiik ssd 
2
02 N
– Assim, como visto, para símbolos equiprováveis, tem-se que: 
 
 
 
– De modo que a probabilidade de erro para o símbolo mi é dada por: 
 
 
 
– E a probabilidade média de erro de símbolo pode ser obtida por: 
 
Limite da União 
 










0
2
2
,
N
d
QP ikki ss
  












M
ik
k
ik
ie
N
d
QmP
1
02
    

M
i
ieie mPmPP
1
 













M
i
M
ik
k
ik
ie
N
d
QmPP
1 1
02
 Constelações Circulares Simétricas 
– Neste caso, as Pe(mi) são iguais para todos os i e a probabilidade 
média de erro de símbolo simplifica para: 
 
 
 
 
– Pois, 
 
 
 
Limite da União 













M
ik
k
ik
e
N
d
QP
1
02
  











 
M
ik
k
M
i
i
ik
e mP
N
d
QP
1
1
102 
– Para uma constelação simétrica onde M = 4 e N = 2, tem-se: 
Limite da União 













4
1 02
ik
k
ik
e
N
d
QP
 Método das Distâncias Mínimas 
– Pode-se definir a distância mínima como a menor distância entre 
quaisquer dois pontos da constelação: 
 
 
– Nesse caso, a probabilidade média de erro de símbolo é dada por: 
Limite da União 
ik
ik
dd

 minmin
 










0
min
2
1
N
d
QMPe
  









 














M
ik
k
M
i
M
ik
k
ik
ie
N
d
Q
N
d
QmPP
1 0
min
1 1 0 22
 Método dosVizinhos Próximos 
– Pode-se determinar a probabilidade média de erro de símbolo 
considerando apenas os vizinhos próximos de cada sinal que 
estão a dmin: 
 
 
 
• Onde, 
 Nmin é o n
o médio de vizinhos próximos dado por: 
 
 Ni é o n
o de vizinhos próximos ao sinal si que apresentam 
distância dmin 
Limite da União 










0
min
min
2 N
d
QNPe
 


M
i
ii spNN
1
min
Exemplos 
Limites 
 Exemplo: Determine a probabilidade de erro de símbolo de 
um sistema 8PSK com símbolos equiprováveis usando os 
limites apresentados 
– Para símbolos equiprováveis, as regiões de decisão são cônicas 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
– Considerando o Limite da União, tem-se: 
 
 
 
 
– Devido a simetria circular, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 













M
i
M
ik
k
ik
ie
N
d
QmPP
1 1
02













8
1
02ik
k
ik
e
N
d
QP
– A distância entre os símbolos é dada por: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
sE
12d
sE
13d
14d
15d
16d
17d
18d
– De modo que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
sE
sEd 215 
sEd 






8
sin212

sEd 213 
22
14
2
2
4
sin




















 sss
E
EEd

sE2
– Portanto, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 













8
1
02ik
k
ik
e
N
d
QP
















































0
15
0
14
0
13
0
12
2222
2
N
d
Q
N
d
Q
N
d
Q
N
d
QPe
 
















































00
14
00 2
2
22
2
2
8sin2
2
N
E
Q
N
d
Q
N
E
Q
N
E
QP
sss
e

 





































0
14
000 2
22
2
8sin2
2
N
d
Q
N
E
Q
N
E
Q
N
E
QP ssse 
– Considerando o Limite de Distâncias Mínimas, tem-se: 
 
 
 
 
 
– De modo que: 
 
 
 
 
 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
ik
ik
dd

 minmin
 










0
min
2
1
N
d
QMPe
  









 














M
ik
k
M
i
M
ik
k
ik
ie
N
d
Q
N
d
QmPP
1 0
min
1 1 0 22
– A distância mínima entre os símbolos é dada por: 
 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
sE
d
sE







8
sin2min

sEd













8
sin2
8
sin
2

ss EdE
d
– Portanto, tem-se: 
 
 
 
 
– Resultando em: 
 
 
 
 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 

















8
sin
2
7
0

N
E
QP se
   
 





















00
min
2
8sin2
18
2
1
N
E
Q
N
d
QMP
s
e

– Considerando o Limite dos Vizinhos Próximos (apenas vizinhos de 
cada sinal que estão a dmin), tem-se: 
 
 
 
 
• Onde, 
 Nmin é o n
o médio de vizinhos próximos dado por: 
 
 Ni é o n
o de vizinhos próximos ao sinal si a distância dmin 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 










0
min
min
2 N
d
QNPe
 


M
i
ii spNN
1
min
– A distância mínima entre os símbolos é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
– O no de vizinhos a distância dmin para todos os sinais é igual a 2 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
sE
d
sE







8
sin2min

sEd













8
sin2
8
sin
2

ss EdE
d
– Portanto, tem-se: 
 
 
 
 
– Como o no de vizinhos é igual para todos os sinais, tem-se: 
 
 
 
 
– De modo que: 
 
 
 
 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 

















8
sin
2
2
0

N
E
QP se
 





















0
min
0
min
min
2
8sin2
2 N
E
QN
N
d
QNP
s
e

  22
8
1 8
1
8
1
min  
 ii
ii spNN
Exemplos 
Probabilidade de Erro 
Exemplo 
MASK 
 Exemplo: Determine a probabilidade de erro de símbolo de 
um sistema MASK representado pela seguinte constelação 
de sinais: 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
1(t) 
d=4 
s1(t) 
0 
d=4 d=4 
s2(t) s3(t) s4(t) 
  

M
i
iim mpEE
1
2
d
a 
5
2 mEa 
 Exemplo – Cont. 
– Na representação vetorial, o tamanho do vetor representa: 
 
 
– Assim, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
366 111  EEs
iE
42 222  EEs
42 333  EEs
366 444  EEs
  20
1
 

M
i
iim mpEE
22 54 aEa m 
 Exemplo – Cont. 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
    




 

2
111
d
nPmRPmCP r
nsr  1
 anP 
z –a 
fZ(z) 







 









 0
2
0
2
2 N
a
Q
N
d
Q
 







 











 

0
22
11
N
a
Q
a
Q
a
ZPanP
NN 
2
02 N
N 
 Exemplo – Cont. 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
    








22
222
d
n
d
PmRPmCP r
nsr  2
 anaP 
z +a –a 
fZ(z) 
 







 









0
22
21
N
a
Q
a
Z
a
PanaP
NN 







 
0
22
N
a
Q







 
0
22
N
a
Q
2
02 N
N 
 Exemplo – Cont. 
– Devido a simetria, tem-se que: 
 
 
 
 
– Assim, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   23 mCPmCP 
   14 mCPmCP 
      

M
i
ii mpmCPCP
1
      21 22
4
1
mCPmCPCP 
 Exemplo – Cont. 
– Substituindo os valores, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
– Portanto, a probabilidade de erro é dada por: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 















 








 

0
2
0
2 2
21
2
1
2
1
N
a
Q
N
a
QCP
 







 

0
22
2
3
1
N
a
QCP
   CPErroP 1  







 

0
22
2
3
Na
QErroP
 Exemplo – Cont. 
– Como: 
 
 
– Tem-se que: 
 
 
 
– Logo: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 









05
2
2
3
N
E
QErroP m
5
5 22 mm
E
aaE 
    034.02
2
3
10
5
2
2
3








 QQErroP
Exemplo 
QPSK 
 Exemplo: Seja um sistema QPSK representado pelos 
sinais: 
 
 
 Como todos os sinais apresentam uma forma de onda 
senoidal de igual amplitude, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
    4,,1para
4
12cos10 





 iitts ci

si EE 
si PP 
2
2A
Ps 
2
100 T
TPE ss


T
E
A s


2
TEs  50
 Exemplo: continuação – Obtenha as bases ortonormais 
usando GS 
– Os sinais são dados por: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  






4
cos101
 tts c
  






4
3
cos102
 tts c
  






4
5
cos103
 tts c
  






4
7
cos104
 tts c
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 













































 


T T
c
T
c
T
c
T
g
dttdt
dtt
dttdttgE
0
0
0
0
0
2
0
2
1
2
2cos50
2
2cos1
2
1
100
4
cos10
1
  






TEg  501
   tstg 11    






4
cos101
 ttg c
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  






4
cos
2
1
 t
T
t c 
 
T
t
E
tg
t
c
g 








50
4
cos10
1
1
1


 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
     tststg 12122 
   
  
0
0
0
1221
2
2cos
2
cos
2
12
10
4
cos
2
4
3
cos10
2
1


































T
c
T
cc
t
t
dtt
T
dtt
T
tdtttss


021 s
  0
4
3
cos10
4
sen
2 













  




t
c
c
ttg
  






4
sen102
 ttg c
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 







































 


T T
c
T
c
T
c
T
g
dttdt
dtt
dttdttgE
0
0
0
0
0
2
0
2
2
2
2cos50
2
2cos1
2
1
100
4
sen10
2
  






TEg  502
  






4
sen102
 ttg c
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  






4
sen
2
2
 t
T
t c 
 
T
t
E
tg
t
c
g 








50
4
sen10
2
2
2


 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  






4
sen
2
2
 t
T
t c
  






4
cos
2
1
 t
T
t c
 
 
 
  2421414
2321313
2221212
2121111








ssts
ssts
ssts
ssts
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   




































  
0
00
0
1
0
111
2
2cos
2
12
10
4
cos
2
4
cos10
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss
T
c
T
c
T
c
T







Ts  5011
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
  
0
0
2
0
112
4
sen
2
4
cos10 dtt
T
t
dtttss
c
T
c
T





















012 s
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
 




































    
0
0
0
0
0
1
0
221
2cos
2
1
2
cos
2
12
10
4
cos
2
4
3
cos10
T
c
T
T
cc
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss







021 s
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   














































 



T T
c
T
cc
T
cc
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtt
T
t
dtttss
0
0
0
0
0
2
0
222
2
2cos
2
1
2
12
10
4
sen
2
4
sen10
4
sen
2
4
3
cos10
  











Ts  5022
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
 




































  
0
00
0
1
0
331
2
3
2cos
2
1
cos
2
12
10
4
cos
2
4
5
cos10
T
c
T
c
T
c
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss







Ts  5031
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
 




































  
0
0
0
0
0
2
0
332
2
3
2sen
2
1
sen
2
12
10
4
sen
2
4
5
cos10
T
c
T
c
T
c
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss







032 s
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
 




































    
0
0
0
0
0
1
0
441
22cos
2
1
2
3
cos
2
12
10
4
cos
2
4
7
cos10
T
c
T
c
T
c
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss







041 s
 Exemplo: continuação 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   
 




































  
0
00
0
2
0
442
22sen
2
1
2
3
sen
2
12
10
4
sen
2
4
7
cos10
T
c
T
c
T
c
T
dttdt
T
dtt
T
t
dtttss







Ts  5042
 Exemplo: continuação 
– Assim, pode-se representar um sistema QPSK usando apenas 
duas bases: 
 
 
 
– Os sinais si(t) podem ser representados como:Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  






4
sen
2
2
 t
T
t c  






4
cos
2
1
 t
T
t c
 
 
 
  214
213
212
211
500
050
500
050








Tts
Tts
Tts
Tts
 Exemplo: continuação 
– Na forma vetorial, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 













































t
t
t
t
T
tT
tT
tT
tT
ts
ts
ts
ts
2
1
2
1
2
1
2
1
4
3
2
1
50
50
50
50
50








0 1(t) 
2(t) 
T 50
T 50
T50
T50
 Exemplo: continuação 
– Definição das Regiões de Decisão: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 Exemplo: continuação 
– Rotacionando as bases de  / 4, pode-se obter 2 novas bases: 
 
 
 
– Assim, os sinais si(t) podem ser representados como: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   t
T
t c   sen
2
2   t
T
t c   cos
2
1
 
 
 
  214
213
212
211
2525
2525
2525
2525








TTts
TTts
TTts
TTts
 Exemplo: continuação 
– Na forma vetorial, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 
 
 
 
   
   
   
   




























tt
tt
tt
tt
T
ts
ts
ts
ts
21
21
21
21
4
3
2
1
25




1(t) 0 
2(t) 
 TT  25,25 TT  25,25
 TT  25,25  TT  25,25
T50
Td  252
Td  252
 Exemplo – Cont. 
 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   





 





 






 




NN
d
ZP
d
ZP
d
n
d
nP
mRPmCP

22
2
,
2
21
21
111 rnsr  1
z –d/2 
fZ(z) 








 02 N
d
Q
2
02 N
N 
2
0
2
2
1

















N
d
Q
 Exemplo – Cont. 
– Devido a simetria, tem-se que: 
 
 
– Assim, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
       4321 mCPmCPmCPmCP 
      

M
i
ii mpmCPCP
1
      114
4
1
mCPmCPCP 
 
2
0
2
0
2
2
0
2
22
21
2
1



































N
d
Q
N
d
Q
N
d
QCP
 Exemplo – Cont. 
– Portanto, a probabilidade de erro é dada por: 
 
 
 
 
– Substituindo os valores, tem-se: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   CPErroP 1  
2
0
2
0
2
22
2


















N
d
Q
N
d
QErroP
 
2
00 2
254
2
254
2







 








 

N
T
Q
N
T
QErroP
 Exemplo – Cont. 
– Como: 
 
 
– Tem-se que: 
 
 
 
– Logo: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
TEs  50
     2
2
00
101022 QQ
N
E
Q
N
E
QErroP ss 


















 
2
00
5050
2







 








 

N
T
Q
N
T
QErroP
  0015.0ErroP
Exemplo 
MPSK 
 Exemplo: Determine a probabilidade de erro de símbolo de 
um sistema MPSK com símbolos equiprováveis 
– A figura abaixo mostra um exemplo para 8PSK 
– Como os sinais são equiprováveis, as regiões de decisão são 
cônicas 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
 Exemplo – Cont. 
– Seja a mensagem m1 transmitida pelo sinal s1(t) 
– Como o espaço de sinais é bidimensional, s1(t) pode ser 
representado pelo vetor bidimensional s1 (s1 , 0) 
– A projeção do sinal recebido r no espaço de sinais é o vetor q 
(q1 , q2) e a projeção do ruído é n (n1 , n2), de modo que: 
 
 
 
 
– Assim, dado que foi transmitido s1 , tem-se que: 
 
 
• Volume sob a região cônica da pdf conjunta de q1 e q2 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
  








21
21211 ,,
qq
nnEnns

q
   111 mRPmCP  q
 Exemplo – Cont. 
– Como n1 e n2 são V.A. Gaussianas independentes de média 0 e 
variância N0/2, as componentes q1 e q2 também serão V.A. 
Gaussianas independentes, porém apresentando média E e 0, 
respectivamente, e variância N0/2 
– Assim, a função de densidade conjunta condicional de q1 e q2 , dado 
que foi enviado m1 pode ser obtida por: 
 
 
– Resultando em: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
     2121121 ,,, 212121 qEqfnnfmqqf NNNNQQ 
 



























0
2
2
0
2
1
21
00
121
11 N
q
N
Eq
QQ e
N
e
N
mqqf 
 Exemplo – Cont. 
– Integrando sobre a região R1 , tem-se que: 
 
 
 
– Logo, a probabilidade de decidir corretamente, dado que m1 foi 
transmitido, é: 
 
 
 
 
– Pode-se definir os limites dessa integração analisando a figura a 
seguir: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
   














1
0
2
1
2
0
2
2
12
0
1
1
q
N
Eq
q
N
q
dqedqe
N
mCP 
    





1
0
2
2
2
1
1
21 21
0
211211
1
R
N
qEq
R
QQ dqdqe
N
dqdqmqqfmCP 
 Exemplo – Cont. 
– Para integrar sobre R1, considere primeiro a faixa vermelha: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 







M
qq

tan12







M
qq

tan12
1q
1n
2n1
s
q
E
0
 Exemplo – Cont. 
– Ao longo da fronteira de R1, tem-se que: 
 
 
 
– Portanto, tem-se que: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 







M
qq

tan12
 
 
 
 





















0
1
tan
tan
2
0
1
0
2
1
1
1
0
2
2
1
dqedqe
N
mCP
N
Eq
I
Mq
Mq
N
q
  


 Exemplo – Cont. 
– A integral I entre parênteses é a função Q: 
Região de Decisão e Probabilidade de Erro 
q2 
 







 
2
tan
0
1
N
Mq
Q

fQ (q2) 














































2
2
2
2
tantan
tantan
11
121
q
q
q
q
M
q
Z
M
q
P
M
qQ
M
qP







 Mq tan1  Mq tan1 
 







 
2
tan
0
1
N
Mq
Q

0
2
q
2
02
2
N
q 
 Exemplo – Cont. 
– Logo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
– Portanto: 
Região de Decisão