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Caminho Livre Médio e 
Distribuição de Maxwell
BC0303 Aula 6
2N1
Maurício D. Coutinho Neto mauricio.neto@ufabc.edu.br
Caminho Livre Medio
Se vrms do N2 e do O2 a temperatura 
ambiente é de cerca de 500 m/s2 
porque um odor demora tanto para se 
propagar em um ambiente fechado ?
vrms =
√
3kT
m
Vrms depende somente de T e da 
massa da moéculas. Ate o momento 
estamos desconsiderando colisões 
moleculares. 
Qual seria o caminho médio que uma 
molécula poderia caminhar sem colidir 
com nenhuma outra ?
Caminho Livre Médio
• Modelo
• As colisões são elásticas.
• A molécula tem velocidade 
constante entre as colisões.
• As moléculas são esféricas.
• Consideraremos o caso 
particular de uma molécula livre, 
enquanto aas outras estão. 
Colisões
• Ocorrem quando a distância 
entre moléculas é menor que 
d. O raio molecular é de d/2.
• Equivalente a situação de que 
a nossa molécula “móvel” tem 
raio d (diâmetro 2d) e as 
“outras” moléculas são pontos.
Colisões
• Comprimento da trajetória 
durante Δt: Dist = vmed Δt
• Número de colisões 
durante Δt: proporcional a 
densidade ρ=N/V
• V é o volume “ocupado” 
pela partícula no tempo Δt
• Este Volume é o volume 
do cilindro (πd2)(vmed Δt)
Comprimento da trajetória 
durante Δt
Número de colisões em Δt
Caminho Livre Médio
Comprimento da trajetória 
durante Δt
Número de colisões em Δt
λ=
Ncol =
N
V
(pid2v∆t)
λ =
v∆t
pid2v∆tN/V
=
1
pid2N/V
Caminho Livre Médio Exato
• Tínhamos considerado que as 
outras moléculas eram estáticas!!!
• A fórmula correta deve utilizar a 
velocidade média relativa no 
denominador e não a média em 
relação a caixa!
• Para nossa sorte existe uma 
relação simples entre as duas.
Vrel = √2 Vmed
λ =
1√
2pid2N/V
Distribuição de Velocidades
• Qual a distribuição de velocidades em um gás ?
• James Clerk Maxwell respondeu esta questão em 1852:
• uma distribuição de probabilidades deve ser utilizada;
• deve ser função da velocidade;
• deve ser proporcional a temperatura;
Distribuição de Maxwell
P (v) = 4pi(
M
2piRT
)3/2v2e−Mv
2/2RT
∫
P (v)dv = 1
A área na distribuição da curva probabilidade 
corresponde a fração de moléculas com velocidades 
entre v1 e v2. ∫ v2
v1
P (v)dv = f
Distribuição de Maxwell
P (v) = 4pi(
M
2piRT
)3/2v2e−Mv
2/2RT
Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática
vmed =
∫
vP (v)dv
vrms = (v2)med =
∫
v2P (v)dv∫
x2n+1e−ax
2
dx =
n!
2an+1
(a > 0)Utilize: ∫
x2ne−ax
2
dx =
1× 3× 5× (2n− 1)
2n+1an
√
pi
a
P (v) = 4pi(
M
2piRT
)3/2v2e−Mv
2/2RT
Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática
vmed =
√
8RT
piM
vrms =
√
3RT
M
Velocidade Mais Provável
• A velocidade mais provável é definida pelo máximo da função 
de distribuição de probabilidade de velocidades. Ou seja, pela 
condição de dP(v)/dv = 0!
vp =
√
2RT
M
Conseqüências da Distribuição de Maxwell
• Velocidades muito maiores que a velocidade média podem 
ocorrer com probabilidade ∝ exp(-Mv^2/2RT).
• Estas moléculas com altas velocidades são mais reativas
• Processos pouco prováveis tornam-se permitidos 
energeticamente.
Fixação
• 20.5 - Um recipiente é cheio com gás oxigênio mantiod a 300K. 
Que fração das moléculas possui velocidades no intervalo 599 
a 601 m/s? M=0.0320 kg/mol. 
Para o intervalo considerado P(v) é 
quase constante. Portanto a integral é 
aproximada.∫
P (v)dv ≈ P (v)∆v