Variaveis Aleatorias Discretas

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Variáveis aleatórias 
discretas
Variáveis aleatórias discretas
O resultado do lançamento de uma moeda pode ser utilizado para tomar
decisões, por exemplo:
� O árbitro de uma partida de futebol sorteia quem inicia o primeiro
tempo do jogo e ainda o ganhador do sorteio escolhe a metade do
campo onde sua equipe iniciará o jogo.
� Um experimento é aleatório se não for possível antecipar seu resultado,
apesar de conhecer todos os resultados possíveis que definem o espaço
amostral do experimento.
� Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a
esse espaço amostral.
Variáveis aleatórias discretas
� Uma Variável Aleatória (VA) é uma função formada por
valores numéricos definidos sobre o espaço amostral de
um experimento:
� Uma VA é uma função X que associa a cada elemento do
espaço amostral um valor num conjunto enumerável de
pontos da reta é denominada variável aleatória discreta.
� Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de números
reais, X é denominada variável aleatória contínua.
Variáveis aleatórias discretas
� Dependendo dos valores numéricos, a variável
aleatória poderá ser discreta ou contínua.
� Se os valores numéricos da VA se referem a
contagens, então a VA será uma variável aleatória
discreta. Exemplo: o número de peças rejeitadas
por lote numa linha de produção.
� Se os valores numéricos da VA pertencem ao
conjunto dos números reais, então a VA será uma
variável aleatória contínua. Exemplo: o lucro
líquido mensal de uma empresa.
Variáveis aleatórias discretas 
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos.
� Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).
� Então X é uma VA discreta que assume valores no conjunto {0, 1,
2, 3}.
2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento.
� Defina X: tempo de reação ao medicamento.
� Então X é uma VA contínua que assume qualquer valor real
positivo.
� O termo aleatório indica que a cada possível valor da VA
atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
Variáveis aleatórias discretas 
� Considere a distribuição frequências relativa ao numero de 
acidentes diários em uma rodovia de Alagoas, durante o 
período de um mês:
Acidentes 0 1 2 3 4
Frequências 17 6 4 2 1
Probabilidades
17/30
0,57
6/30
0,20
4/30
0,13
2/30
0.07
1/30
0.03
2
Variáveis aleatórias discretas 
� Função de probabilidade (fp): É a função que atribui a cada 
valor xi da VA discreta X, sua probabilidade de ocorrência e 
pode ser apresentada pela tabela:
� Uma função de probabilidade deve satisfazer:
a)a)a)a) �	 � ��� 	 	
�) � �
b) ∑ ��� 	 	
�) 	 �
	�
	���
Variáveis aleatórias discretas 
� Exemplo 1 : Um dado é lançado duas vezes de forma
independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos
ser menor do que 6?
� Defina X: soma dos pontos.
Função de probabilidade de X:
P (X � 	6)	= P(X=5)+P(X=4)+P(X=3)+P(X=2) = 
�
��
+
�
��
+
�
��
+
�
��
= 
��
��
� 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
��� 	 �) 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Variáveis aleatórias discretas 
� Podemos estar interessados em outras VAs:
� Defina Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º
lançamento
� Defina Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
Função de probabilidade de X:
 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
��! 	 ") 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
y 1 2 3 4 5 6
P(Y=y) 1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
Variáveis aleatórias discretas 
Exemplo 2 : O Departamento de Estatística é formado por 35
professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de
3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três
membros do departamento.
� Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo
menos duas mulheres?
Variável Aleatória:
X: nº de mulheres na comissão
Variáveis aleatórias discretas 
Espaço amostral Probabilidade X
{HHH} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
�'
��
	= 0,203 0
{HHM} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,150 1
{HMH} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,150 1
{MHH} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,150 1
{HMM} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,097 2
{MHM} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,097 2
{MMH} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,097 2
{MMM} ��
�%
	 . 	
��
��
	 . 	
��
��
	= 0,056 3
� 0 1 2 3
� � = � 0,203 0,450 0,291 0,056
(	 	)	 ≥ + = ( ) = + + ( ) = - = �,+/� + �,�01 = �, -23
Variáveis aleatórias discretas 
Esperança Matemática
� Dada a VA X, assumindo os valores x1, x2, ..., xn,
chamamos de valor médio ou valor esperado ou
esperança matemática de X, o valor:
4 ) = 5�. P(X=5�) + ... + 56. P(X=56) = ∑ 57. P(X=57)
6
7��
� Qual é o valor médio da soma dos pontos no lançamento
de dois dados?
E(X) = 2.
�
-1
+ 3.
+
-1
+ ... + 11.
+
-1
+ 12.
�
-1
=
+0+
-1
= 7nção de
probabilidade de X:
3
Variáveis aleatórias discretas 
Variância
� A variância de uma variával aleatória é uma medida da
sua dispersão estatistica, indicando quão longe em geral
os seus valores se encontram do valor esperado.
� É a medida que fornece o grau de dispersão ou de
concentração de probabilidade em torno da média, dado
pelas fórmulas:
� 89: ) = ∑ 	 57 	− 4 )
+	. P(X=57)
6
7��
� 89: ) = <	 )+ - 4 ) +
Variáveis aleatórias discretas 
Desvio Padrão
� O desvio padrão é a medida mais comum da dispersão 
estatística. 
� E definido como a raiz quadrada positiva da Variância.
� =(	 ) = <	 )+ − 4 ) +
� =(	 ) = 89:	())
� Uma medida da dispersão que:
� É sempre um número não-negativo;
� Tem a mesma unidade de medida dos dados fornecidos 
inicialmente.
Variáveis aleatórias discretas 
Considerando o exemplo da soma dos pontos de lançamento de
dois dados:
89:	 ) = +− 3 +.
�
-1
+ - − 3 +.
+
-1
+ ...+ �� − 3 +.
+
-1
+ �+ − 3 +.
�
-1
=
+��
-1
= 		0, >-
� Alternativamente, poderíamos calcular:
89:	 ) 	 + +.
�
-1
+ - +.
+
-1
+ ...+ �� +.
+
-1
+ �+ +.
�
-1
- 	 3 + =
�/32
-1
; 2/	 	 		0, >-
=(	 ) 	 0, >- = 2,4145
Distribuição Binomial
É um modelo de distribuição discreta de probabilidade baseada
no processo de amostragem de Bernoulli.
Premissas de um experimento binomial:
� O experimento é repetido n vezes, e os n resultados do
experimento são independentes;
� O experimento tem apenas dois possíveis resultados (sucesso
ou fracasso);
� A probabilidade de sucesso do experimento é p e se mantem
constante durante os n repetições. A probabilidade de falha do
experimento é (1 – p).
Distribuição Binomial
Utilizada quando o enfoque é a determinação da probabilidade
de se obter k sucessos em “n” tentativas. Existem apenas dois
resultados possíveis ? “sucesso” e @ “fracasso”.
A	 � = � � = B =	
C
B
DEFGHE
Sendo:
� p = a probabilidade de sucesso
� q = a probabilidade de fracasso���� q = 1 – p
� n = número total de tentativas independentes
� K = número de vezes que ocorreu sucesso
Distribuição Binomial
Exemplo 1 – Um gerente de uma loja estima que de dez vendas
realizadas, três são microcomputadores e sete equipamentos
eletrônicos. Qual a probabilidade de que uma das próximas
quatro vendas seja um microcomputador?
P(M=1) = P (EEEM)+ P (EEME) + P (EMEE) + P (MEEE)
0,7 . 0,7. 0,7 . 0,3 + 0,7 . 0,7. 0,3 . 0,7 + 0,7 . 0,3. 0,7 . 0,7 + 0,3 . 0,7. 0,7 . 0,7 = 0,4116
0,7 . 0,7. 0,7 . 0,3 . 4 = 0,4116 � 4 x 0,3�	.	0,7� = 0,4116
� � = 1 =	
C
B
DEFGHE �
4
1
0,3�. 0,7�= 0,4116
4
Distribuição Binomial
Exemplo 2 – Vasco e Botafogo jogam entre si 6 vezes. Encontre a
probabilidadedo Vasco ganhar 4 jogos?
� n = 6;
� p=
�
-
;
� q =
+
-
;
� k = 4 ���� número de sucessos.
P (x = 4) =
1
2
.
�
-
2
	 .
+
-
+
=
P (x = 4) =
1	.0	.2!
+!	.2!
.
�
>�
	 .
2
/
		
+�
+2-
		0,0823
Distribuição Binomial
Usando Excel 
X P( x = ) P ( x < = )
0 0,0878 0,0878
1 0,2634 0,3512
2 0,3292 0,6804
3 0,2195 0,8999
4 0,0823 0,9822
5 0,0165 0,9986
6 0,0014 1,0000
Probabilidade acumulada – número máximo de sucessos 
Distribuição Binomial
Exemplo 3 – Uma moeda é lançada 6 vezes, encontre a probabilidade de:
a) Ocorrer 4 coroas;
b) Ocorrer pelo menos 2 coroas;
c) Ocorrer no máximo 3 coroas.
� Tem-se: n = 6; p=1/2; q = ½ e k = número de coroas (sucessos)
a) P (x = 4) =
1
2
.
�
+
2
	 .
�
+
+
=
�0
12
b) P (x ≥ +) =	P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)
P (x ≥ 2) = 6
2
.
1
2
�
	 .
1
2
�
	+ 6
3
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+
6
4
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+
6
5
.
1
2
%
	 .
1
2
�
+ 6
6
.
1
2
�
	 .
1
2
�
=
03
12
= 0,890625
c) P (x ≤ -) =	P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)
P (x ≤ 3) = 6
0
.
1
2
�
	 .
1
2
�
	+ 6
1
.
1
2
�
	 .
1
2
%
+
6
2
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+
6
3
.
1
2
�
	 .
1
2
�
=
2+
12
= 0,65625
Distribuição Binomial
b) P (x≥ +) =	P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+P(x=6)
P (x ≥ 2) = 6
2
.
1
2
�
	 .
1
2
�
	+ 6
3
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+
6
4
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+
6
5
.
1
2
%
	 .
1
2
�
+ 6
6
.
1
2
�
	 .
1
2
�
=
03
12
= 0,890625
c) P (x≤ -) =	P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)
P (x ≤ 3) = 6
0
.
1
2
�
	.
1
2
�
	+ 6
1
.
1
2
�
	 .
�
�
%
+ 6
2
.
1
2
�
	 .
1
2
�
+ 6
3
.
1
2
�
	.
1
2
�
=
2+
12
= 0,65625
X P( x = ) P ( x < = )
0 0,0156 0,01563
1 0,0938 0,10938
2 0,2344 0,34375
3 0,3125 0,65625
4 0,2344 0,89063
5 0,0938 0,98438
6 0,0156 1,00000
0,890625
Usando Excel
Distribuição Binomial
Média, variância e desvio padrão
Média = n . p
Var = n . p. q
DP =		 n . p. q 
Distribuição Poisson
� È aplicada nos casos em que interessa o número de vezes em que um
determinado evento pode ocorrer durante um intervalo de tempo ou
espaço, ou em um ambiente físico denominado de área de oportunidade.
� Interessa o número de durante um intervalo contínuo e não o número de
sucessos em n tentativas como ocorre com a distribuição binomial..
Exemplos:
� Número de acidentes de carros por dia, em uma determinada cidade;
� Números de chamadas telefônicas;
� Números de defeitos;
� Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade.
� È caracterizado apenas pelo parâmetro K,	que se refere ao número médio
de sucessos por área de oportunidade.
� As estatísticas da distribuição (média e variância) apresentam o mesmo 
valor, ou seja, são iguais a K.
5
Distribuição Poisson
� � =	
LHM	KN
�!
� Sendo:
� λ	 − números	esperado	de	sucesos;
� x	 − é	número	de	sucessos;
� e = 2,7182
� Média μ	= λ
� Variância σ�	 = 	λ
Distribuição Poisson
� ExemploExemploExemploExemplo 1111:::: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora.
Qual a probabilidade de que:
o)	Num	minuto	não	haja	nenhum	chamado?
� X: Números de chamados por minuto� λ =
���
��
= 	5
� � = 0	 = 	
tuv	.	%w
�!
= 0,006738
x)	Em	dois	haja	chamados? 2 minutos� λ = 10
� � = 2	 = 	
tuyw	.	��z
�!
= 0,002270
c) Em		t	minutos	não		haja	chamados? t minutos� λ = 5t
� � = 0	 = 	
tuv{		.	(%|)w
�!
= LH%|
Distribuição Poisson
� Exemplo 2: Chegam caminhões a um depósito à razão de 2,8
caminhões/hora, segundo uma distribuição de Poisson. Determine a
probabilidade de chegarem dois ou mais caminhões.
a) em um período de 0,5 horas;
b) em um período de 1 horas;
c) em um período de 2 horas.
λ = 1,4
� � ≥ 2	 = 		1	 − � � = 0 + �	 � = 1
Distribuição Poisson
� Exemplo 3: O número de mortes por afogamento em fins de
semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000
habitantes. Qual a probabilidade de que em:
o)	200.000	habitantes	ocorram	5	afogamentos?
X: Números de afogamentos por habitantes � λ 	 8
� � 	 5	 	 	
tu}	.		~v
%!
= 0,091603
b�	112.500	habitantes	ocorram	pelo	menos	3	afogamentos? λ 	 4,5
� � * 3	 	 		1	 ; � � � 3 	
1	 ; 0,011109 , 0,049990 , 0,112479
1 – 0,1735780 	 0,826422 = 
2			�	50.000
�			�	200.000
	��	8