Volume 20170606182310

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Disciplina: Cálculo Integral
Profa. Maria Imaculada Marcenes
Volume
Um sólido gerado pela rotação de uma região do plano em torno de uma reta no plano, chamada eixo de revolução ou eixo de rotação, é chamado sólido de revolução.
Exemplos
O volume de um sólido gerado pela rotação de uma função f(x), contínua no intervalo [a, b], em torno de um eixo de rotação, que toca a fronteira da região, ou não intercepta a região em ponto algum, será calculado neste estudo usando o método do disco. Isto significa que faremos uma aproximação do volume por meio do cálculo do limite da soma do volume de n discos circulares cujo raio é f(x).
Caso 1
Definição 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] e admitamos que f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x= a e x= b e se V for o número de unidades cúbicas no volume de S, então
A mesma definição cabe se a rotação da região se der em torno do eixo y. Nesse caso temos
Exemplos
A região limitada pela curva ,o eixo x e as retas x = 1 e x = 2 sofrem uma rotação em torno do eixo x. Calcule o volume do sólido de revolução gerado.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana delimitada pela função f(x) = x3/2, limitada pela reta x = 4 e y = 0, em torno do eixo x. Calcule o volume gerado pela rotação da mesma região em torno do eixo y. Resp 256π e 128π
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pela curva y = x3 e as retas y = 0 e x = 2. Resp. 
Resolver os problemas 19 e 20 da lista.
Caso 2
Caso em que a região a ser rotacionada é agora determinada pela interseção de duas funções.
Definição
Sejam f(x) e g(x) duas funções contínuas no intervalo [a, b], e admitamos que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas y = f(x), e y= g(x) e as retas x=a e x=b e se V for o número de unidades cúbicas no volume de S, então
Exemplos
Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitada pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3. Resp. 
A região compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume do sólido. Resp. 
Resolver o problemas 21 da lista.