Questão resolvida - Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através da

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. 
Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram 
inacessíveis através da Geometria Plana Clássica. Segundo isto, se , f x = - x² - 1( )
determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região 
sob o gráfico de f no intervalo .0, 1[ ]
 
Resolução:
 
Vamos, primeiro, encontrar a região de integração; 
 
Para f x = 0 0 = -x² - 1 -x² - 1 = 0 -x² = 1 x² = -1 x = ± ∄ em R( ) → → → → → -1
 
Ou seja, a função não toca o eixo y.
 
Para x = 0 f 0 = - 0 ² - 1 f 0 = - 0 - 1 f 0 = - 1→ ( ) ( ) → ( ) → ( )
 
A função não toca o eixo x, tem concavidade voltada para baixo e toca o eixo y em -1, com 
essas informações, podemos construir o gráfico identificando a região de integração;
 
Queremos o volume formado quando a região delimitada pela função e o eixo x gira em 
torno do mesmo eixo; a fórmula que fornece o volume desse sólido de revolução é;
 
 
GirarRegião
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
A curva em questão é , com limite de integração que vai de 0 a , assim, f x = - x² - 1( ) 1
temos que a integral que fornece o volume do sólido é:
 
V = 𝜋 -x² - 1 dx = 𝜋 x + 2x² + 1 dx
1
0
∫ ( )2
1
0
∫ 4
Temos uma integral polinomial de solução simples, então, o volume fica;
 
V = 𝜋 x + 2x² + 1 dx = 𝜋 + 2 + x = 𝜋 + 2 + 1 -𝜋 + 2 + 0
1
0
∫ 4 x
5
5 x
3
3 1
0
1
5
( )5 1
3
( )3 0
5
( )5 0
3
( )3
 
= 𝜋 + 2 ⋅ + 1 - 0 = 𝜋 + + 1 = 𝜋
1
5
1
3
1
5
2
3
3 + 10 + 15
15
 
V = 𝜋 u. v.
28
5
 
 
(Resposta )