nota aula 1 01 06 13h (1)

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Notas de aula para o curso de Engenharia Econômica 
Nota 1: conceitos básicos, regimes de capitalização, taxa de juros nominal e efetiva, 
equivalência e capitalização contínua 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Dois conceitos básicos 
Há dois conceitos básicos neste curso. O primeiro é o de fluxo de caixa. Todas as 
entidades que realizam transações econômicas incorrem em despesas (ou efluxos 
monetários) e geram receitas (ou influxos monetários). Isto é nítido para as empresas 
privadas, mas também é verdadeiro para empresas públicas e até mesmo para o 
governo, o qual obtém sua receita a partir da tributação da sociedade e realiza despesas 
para prestar serviços públicos, realizar obras de construção e manutenção de 
infraestrutura, programas sociais, etc. 
As características mais importantes dos fluxos monetários e que serão enfatizadas no 
curso são (i) o período em que ocorrem, (ii) a magnitude (valor) que representam e (iii) 
o sinal do fluxo que é sempre positivo para receitas (influxo) e despesas (efluxos). 
O conjunto de fluxos monetários enfrentados por uma entidade (empresa, família ou 
indivíduo), em um determinado período, é denominado por fluxo de caixa. A tabela 
abaixo fornece um exemplo hipotético de fluxo de caixa. Trata-se de uma empresa 
privada que gastou, durante um período de cinco anos, R$50.000,00/ano e gerou receita 
de R$60.000,00/ano nos dois primeiros anos, R$55.000,00 no terceiro ano, 
R$52.0000,00 no quarto ano e R$49.0000,00 no último ano do período. A terceira 
coluna reporta o fluxo de caixa líquido, entendido como a subtração da receita pela 
despesa. 
Exemplo hipotético de fluxo de caixa 
Ano Despesa Receita 
Fluxo de 
caixa 
líquido 
1 50,000.00 60,000.00 10,000.00 
2 50,000.00 60,000.00 10,000.00 
3 50,000.00 55,000.00 5,000.00 
4 50,000.00 52,000.00 2,000.00 
5 50,000.00 49,000.00 -1,000.00 
 
2 
 
Há uma forma alternativa à tabela de representar o fluxo de caixa, por meio do diagrama 
abaixo. Há dois eixos, o horizontal, indicando os períodos de tempo, e o vertical, 
indicando o sinal do fluxo de caixa líquido. 
Fluxo de caixa líquido, tabela acima 
 
O segundo conceito básico é o de custo de oportunidade do dinheiro (Newnan et al. 
2004, cap.3), entendido este como o rendimento monetário que poderia ser obtido em 
um dado período caso o dinheiro fosse aplicado a juros. A aplicação a juros funciona 
como uma base de comparação contra a qual todas as opções de aplicação têm de ser 
comparadas, inclusive a opção de não aplicar o dinheiro. Seja considerada esta última. 
Um indivíduo, possuindo uma soma monetária, considera a possibilidade de mantê-la 
em sua carteira durante um mês. Esta opção, a qual corresponde à abstenção à aplicação 
financeira, gera, após um mês, retorno nulo, assumindo uma taxa de inflação nula. Será 
esta a opção que rende maior retorno ao indivíduo? É resposta é negativa sempre que 
existir outro indivíduo ou instituição disposto a pagar pelo uso temporário de dinheiro 
pertencente a terceiros. É claro que tal promessa de pagamento tem de ser crível, i.e., a 
probabilidade de que tomador não honre a dívida deve ser desprezível aos olhos do 
credor – algo que também será assumido no curso. O dinheiro, assim como um imóvel 
ou equipamento, pode ser alugado, i.e., transferido temporariamente, desde que o 
detentor seja remunerado. Desta maneira, pois, adotando a hipótese de que a 
remuneração pelo “aluguel de dinheiro” é dada pela taxa de juros corrente – o que será 
assumido durante todo o curso – se esta for de 4% ao mês, ao manter o dinheiro na 
carteira, o indivíduo se abstém de receber uma remuneração de 4% sobre o valor de seu 
capital. Para cada R$100 de capital, o indivíduo, pois, deixa de ganhar, R$4. Este é o 
valor do custo de oportunidade do dinheiro neste caso particular. 
2 Matemática financeira 
2.1 Capitalização simples e composta 
2.1.1 Teoria geral 1, conceitos básicos e definição dos regimes de capitalização 
Seja considerada a perspectiva de um investidor, i.e., proprietário de uma soma de 
dinheiro, cujo objetivo é agir para aumentar tal soma, aplicando-a em “oportunidades de 
investimento. Para melhor compreender esta situação cabe definir seis conceitos 
básicos. 
10,000.00R$ 10,000.00R$ 5,000.00R$ 2,000.00R$ 
+ ↑ ↑ ↑ ↑
- 1 2 3 4 5 Anos
↓
1,000.00-R$ 
3 
 
Denomina-se por “capital inicial” ou “principal” a soma monetária a ser investida; ela 
será representada sinteticamente por C0. 
O número de instantes de tempo durante o qual a soma será mantida aplicada (em 
processo de crescimento) será denotado por T. Há um segundo conceito referente à 
dimensão temporal, o período de capitalização. Trata-se da unidade de medida da 
frequência com que a soma investida é aumentada, podendo ser diária, mensal, anual, 
entre outras possibilidades. Sendo diária, a cada dia que passa a soma aumenta um 
pouco mais, sendo mensal, a soma aumenta apenas passado o período de um mês, e 
assim por diante. Para simplificar vamos supor, por hora, um período de capitalização 
anual. 
O valor acumulado ao final de um instante genérico “t” de tempo é denominado por 
“montante” e será denotado por Ct. O montante mais comumente considerado é o 
referente ao último instante de tempo, CT. 
A taxa à qual a soma investida aumenta em aplicações de renda fixa, esta sendo a 
categoria de aplicações que será tomada como referência no curso, é geralmente 
equivalente a uma taxa de juro, denotada por “i” (i = 0.1125 para uma aplicação que 
paga a SELIC1). 
O sexto conceito é o de valor absoluto do juro, ou simplesmente juro (notar que não se 
trata de “taxa de juro”). Trata-se do excedente que sobra após deduzir o capital 
inicialmente investido do valor do montante ao final de um dado instante t, i.e., Jt = Ct – 
C0, em que Jt é o valor do juro associado ao t-ésimo instante de tempo. 
Há dois regimes de capitalização ou duas maneiras pelas quais o juro pode ser pago ao 
investidor, como segue: 
1. O regime de capitalização simples ou aritmética (ou simplesmente “juro simples”), 
em que a taxa de juro incide apenas sobre o capital inicial (C0). Como resultado, o 
juro aumenta linearmente com o tempo; 
2. O regime de capitalização composta ou geométrica (ou simplesmente “juro 
composto”), em que a taxa de juro incide sobre o capital inicial (C0) e sobre o juro 
referente ao instante anterior (Jt-1). Como resultado, o juro aumenta 
exponencialmente com o tempo. 
2.1.2 Teoria geral 2, estrutura dos regimes de capitalização 
É útil para fins práticos compreender o processo de crescimento da soma investida 
inerente a cada regime de capitalização e, com base nisso, chegar a fórmulas gerais que 
descrevam tais processos. Para isso, vamos considerar o quadro 1 na página a seguir. 
 
 
1 “SELIC” é o Sistema Especial de Liquidação e Custódia do Banco Central do Brasil, utilizado para 
realizar empréstimos interbancários à taxa conhecida pelo nome do sistema, a taxa SELIC, que é a taxa 
básica de juro da economia. 
4 
 
 
Quadro 1 capitalização aritmética durante 6 instantes de tempo (T = 6) 
t Ct Ct 
0 C0 100 
1 C0 + C0i 100 + 100*0.1 
2 C0 + C0i + C0i 100 + 100*0.1 + 100*0.1 
3 C0 + C0i + C0i + C0i 100 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 
4 C0 + C0i + C0i + C0i + C0i 100 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 
5 C0 + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i 100 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 
6 C0 + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i 100 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 + 100*0.1 
 
Quadro 2 capitalização geométrica durante 4 instantes de tempo (T = 4) 
t Ct Ct 
0 C0 100 
1 C0 + C0i (100) + (100)*0.1 
2 (C0 + C0i) + (C0 + C0i)i ((100) + (100)*0.1) + ((100) + (100)*0.1)*0.1 
3 ((C0 + C0i)+ (C0 + C0i)i) + ((C0 + C0i) + (C0 + C0i)i)i (((100) + (100)*0.1) + ((100) + (100)*0.1)*0.1) + (((100) + (100)*0.1) + ((100) + (100)*0.1)*0.1)*0.1 
4 ... ... 
5 ... ... 
6 ... ... 
 
5 
 
O quadro 1 apresenta os valores da soma monetária investida ao final de cada instante 
de tempo para valores genéricos desta soma e da taxa de juro (C0 e i) e para valores 
específicos (100 e 0.1). Ele foi construído aplicando-se dois princípios gerais, que 
valem para os dois regimes, sendo eles: 
P1 Ao final de cada instante, o investidor deve recuperar o valor investido no 
período anterior. Para investimentos em que a soma permanece aplicada por mais de um 
instante de tempo, é esclarecedor imaginar que, ao final de cada instante, a soma é 
reinvestida. Deste modo, o valor a ser recuperado é sempre equivalente ao valor do 
montante do período anterior; 
P2 Ao final de cada instante, o investidor deve receber um acréscimo como 
recompensa por ter mantido a soma investida. Este acréscimo é sempre igual à taxa de 
juro multiplicada por uma base de incidência. É exclusivamente em função da base de 
incidência da taxa de juro que diferem os dois regimes, por definição. 
No caso do regime aritmético, a base é o principal (C0), sempre. Daí por que neste 
regime, a cada instante que passa, a soma investida aumenta em uma mesma magnitude 
absoluta C0*i ou 100*0.1 (quadro 1). A base de incidência é constante e igual à C0. Isso 
significa que, em t = 1, C1 = C0 + C0*i, pois foi investido C0 em t = 0 e este valor deve 
ser recuperado e ampliado pela recompensa C0*i. Colocando C0 em evidência tem-se 
C1 = C0 (1+i). Em t = 2, C2 = C0 + C0*i + C0*i, pois foi investido C0+C0*i em t = 1 e 
a recompensa é C0*i. Sinteticamente, C2 = C0(1+2*i). 
No período t = 6, por exemplo, tem-se C6 = C0 + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i. 
Esta expressão grande também pode ser escrita de maneira sintética colocando-se C0 
em evidência: 
C6 = C0 + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i + C0i = C0(1+6*i) 
(fica nítido, pois, que a série de montantes ordenada no tempo é uma progressão 
aritmética de razão C0i) 
Simplificando os montantes de todos os instantes, chega-se à tabela abaixo. 
Quadro 2 Capitalização aritmética simplificada 
t Ct Ct 
0 C0 100 
1 C0(1+i) 100(1+0.1) 
2 C0(1+2*i) 100(1+2*0.1) 
3 C0(1+3*i) 100(1+3*0.1) 
4 C0(1+4*i) 100(1+4*0.1) 
5 C0(1+5*i) 100(1+5*0.1) 
6 C0(1+6*i) 100(1+6*0.1) 
Fica clara, pois, a fórmula geral que relaciona instante de tempo e valor do montante, 
qual seja: 
6 
 
Ct = C0(1+t*i) 
No quadro 2 acima há os valores do montante ao final de cada instante em um regime 
de capitalização geométrica. Neste regime, a base de incidência da taxa de juro 
compreende tanto principal como juro, no caso, o juro do período anterior. Uma vez que 
se entende por montante exatamente a soma de principal e juro, tem-se que a taxa de 
juro incide, em um dado instante, sobre o valor completo do montante correspondente 
ao período anterior. A base de incidência, pois, é o montante. E deve-se recordar que, a 
cada instante, o investidor deve recuperar o investido no período anterior. 
Representando de maneira sintética o que acaba de ser dito, tem-se Ct = Ct-1 + Ct-1i. Esta 
é a equação utilizada para elaborar o quadro 2. O primeiro membro da expressão do 
lado direito da equação verifica o princípio de recuperação da soma investida. O 
segundo membro verifica o princípio de que a taxa de juros incide sobre o montante do 
instante anterior. 
Vale notar que a magnitude absoluta em que o montante aumenta não é a mesma para 
todos os períodos. 
De t = 0 para t = 1, o montante aumenta em C0*i. 
De t = 1 para t = 2, o montante aumenta em (C0+C0*i)*i 
De t = 2 para t = 3, o montante aumenta em ((C0+C0*i) + (C0+C0*i)*i)*i 
Etc... 
Retomando a fórmula anterior, de forma ainda mais sintética, Ct = Ct-1 (1+i), o que 
permite simplificar o quadro 2 conforme se vê no quadro 4. 
Quadro 4 capitalização geométrica, simplificada 
t Ct Ct 
0 C0 C0 
1 C0 (1+i) 100 (1+0.1) 
2 C0(1+i)(1+i) 100(1+0.1)(1+0.1) 
3 C0(1+i)(1+i)(1+i) 100(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1) 
4 C0(1+i)(1+i)(1+i)(1+i) 100(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1) 
5 C0(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i) 100(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1) 
6 C0(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i)(1+i) 100(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1) 
 
 
7 
 
Aplicando o conceito de potência é possível simplificar ainda mais. 
Quadro 5 capitalização geométrica, ainda mais simplificada 
t Ct Ct 
0 C0 C0 
1 C0(1+i)1 100(1+0.1)1 
2 C0(1+i)2 100(1+0.1)2 
3 C0(1+i)3 100(1+0.1)3 
4 C0(1+i)4 100(1+0.1)4 
5 C0(1+i)5 100(1+0.1)5 
6 C0(1+i)6 100(1+0.1)6 
(fica nítido, pois, que a série de montantes ordenada no tempo é uma progressão 
geométrica de razão 1+i) 
A fórmula geral que relaciona instante de tempo e montante na capitalização geométrica 
é, pois, Ct = C0(1+i)t. 
2.1.2 Teoria: algumas equações úteis 
As equações gerais para o montante dos dois sistemas de capitalização são compostas 
por quatro incógnitas, CT, C0, i e T. Desta maneira, pois, conhecendo os valores de três 
destas incógnitas, pode-se obter o valor da quarta. Por exemplo, conforme foi explorado 
anteriormente, se forem definidos o período de aplicação, T, a taxa de juros, i, e o valor 
inicial aplicado, C0, pode-se chegar ao montante que será recuperado ao final. 
Mas há outros problemas em que um investidor pode estar interessado além da 
determinação do montante. Por exemplo, ele pode desejar descobrir durante quanto 
tempo é preciso aplicar um valor inicial (capital), C0, para atingir um determinado 
montante-alvo CT, dada uma taxa de juros i. Para obter uma resposta, basta manipular a 
equação do montante resolvendo-a para a o período T, como segue. 
CT = C0(1+i)T ↔ 
஼೅
஼బ
= (1 + i)். Para avançar é preciso aplicar o operador logaritmo 
(com qualquer número na base) nos dois lados da equação, chegando a: ݈݋݃ ቀ஼೅
஼బ
ቁ =
݈݋݃[(1 + i)்]. E basta recordar que o logaritmo de uma potência de x é equivalente ao 
produto do valor da potência por x, i.e., log(xa) = a logx e, portanto, a equação em forma 
logarítmica passa a ݈݋݃ ቀ஼೅
஼బ
ቁ = ݈ܶ݋݃(1 + i) ↔ ܶ = ௟௢௚ቀ಴೅಴బቁ
௟௢௚(ଵା୧). 
Outra questão interessante é a de descobrir a taxa de juros a que tem de ser aplicado um 
capital inicial C0 para obter ao final de T períodos um montante CT, o que pode ser feito 
resolvendo-se a equação para i. 
ܥ் = ܥ଴(1 + i)் ↔ ܥ்ܥ଴ = (1 + i)் ↔ ൬ܥ்ܥ଴൰ଵ/் = 1 + i ↔ ݅ = ൬ܥ்ܥ଴൰ଵ/் − 1 
8 
 
Também é possível resolver a equação para o capital inicial o que permite conhecer o 
valor dele que gera um montante-alvo, dados o período de aplicação e a taxa de juros, 
como segue. 
ܥ் = ܥ଴(1 + i)் ↔ ܥ଴ = ܥ்(1 + i)் 
A expressão do lado direito da equação é também denominada por valor presente do 
montante, pois, do ponto de vista financeiro, obter um valor CT após T períodos é 
equivalente a possuir o capital inicial que permite gerar tal valor-alvo após T períodos, 
dada a taxa de juros corrente. 
2.1.3 Exercícios 
(1) (investimento) [Bueno et al., 2011, Ex1.1, adaptado] Um capital de $1.000,00 é 
aplicado durante quatro anos a uma taxa de juros anual de 20%. Obter o montante 
recebido ao final desse período. Considere taxa de juros simples e compostos. 
R: 
(a) Capitalização aritmética (simples) 
CT = C0(1+Ti), C0 = $1.000,00, T = 4, i = 0,2 a.a  CT = 1000(1+4*0,2) = 1.800,00. 
(b) Capitalização geométrica (compostos) 
CT = C0(1+i)T, C0 = $1.000,00, T = 4, i = 0,2 a.a  CT = 1000(1+0,2)4 = 2073,6. 
(2) (investimento) [Bueno et al., 2011, Ex1.1, adaptado] Um capital de $100.000,00 
rendeu, após dois anos de aplicação, o montante de $112.500,00. Calcular a taxa de 
juros anual dessa aplicação considerando juros simples e compostos. 
R: 
a) Juros simples 
CT = C0(1+Ti)  i = (CT/C0 – 1)/T, C0 = $100.000,00, CT = $112.500,00, T = 1  
i = ($112.500,00/$100.000,00– 1)/2 = (1.125 – 1)/2 = 0.0625 
b) Juros compostos 
CT = C0(1+i)T  i = (CT/C0)1/T-1, C0 = $100.000,00, CT = $112.500,00, T = 1  
i = ($112.500,00/$100.000,00)1/2 – 1 = 1.125 – 1 = 0.06066 
(por que a taxa de juro composta é menor?) 
 
 
9 
 
(3) (juros compostos) [Bueno et al., 2011, Ex1.17] Uma economia cresce a uma taxa 
anual de 7%. Qual o tempo necessário para que ela dobre de tamanho? 
R: O enunciado faz analogia entre uma economia nacional e um capital aplicado a juro 
composto. O crescimento de uma economia é medido pela taxa de crescimento do PIB a 
qual é análoga à taxa de juro, pois a última é a taxa a que o capital cresce entre dois 
períodos. Como a taxa de crescimento incide sobre o tamanho da economia em um dado 
momento, tem-se um processo de crescimento análogo ao do capital aplicado a juro 
composto. O “montante” ou tamanho da economia após T períodos, partindo de um 
tamanho inicial, PIB0, é PIBT = PIB0(1+g)T. Em que g é a taxa de crescimento 
econômico. O enunciado pede para obter T tal que PIBT / PIB0 = 2. Trata-se, portanto, 
de resolver para T a equação 2 = (1+g)T, o que requer aplicar o logaritmo dos dois lados 
da equação, obtendo-se T = ln2/ln(1+g) = ln2/ln1,07 ~ 10. 
(4) (crédito, juros compostos) Uma empresa do setor industrial deseja tomar um 
empréstimo bancário para com isso financiar a aquisição de um equipamento. O valor 
do equipamento é V = R$100.000 e o banco permite à empresa pagar o empréstimo de 
uma só vez após 5 anos, cobrando uma taxa de juro de 4% ao ano (a.a.). Calcule o valor 
total da dívida da empresa (i.e., o valor completo que ela precisa devolver ao banco), 
incluindo os juros. Assuma, para isso, capitalização composta da dívida. 
R: Ao tomar o empréstimo, a empresa assume a obrigação de devolver o valor 
emprestado, R$100.000, e, além disso, pagar o juro que incide sobre este valor durante 
todo o período de ressarcimento do crédito (vide figura 2 abaixo). Como a capitalização 
é composta, a taxa de juros incide, em um dado ano do período de cinco anos, sobre o 
montante do valor da dívida correspondente ao período anterior. Ou seja, é como se o 
valor emprestado fosse um capital inicial aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a 
durante 5 períodos e o valor do montante é o valor da dívida da empresa. E é de fato 
isso que prevalece da perspectiva do credor: o banco realmente aplica seu capital, ao 
emprestá-lo para a empresa, a uma taxa de juros de 4% durante cinco anos. 
Figura 2 Fluxo de caixa para a tomada de um empréstimo de R$100.000,00 a 
ser pago em uma única parcela após 5 anos (perspectiva da empresa tomadora) 
 
Desta maneira, pois, o valor da dívida é D = C5 = C0(1+i)5, com C0 = 100.000 e, 
portanto, D = 100.000 (1+0.04)5, um valor equivalente a R$121.665,29. Este é o valor 
total da dívida da empresa. O valor do juro pago é de R$121.665,29 - 100.000 = 
R$21.665,29, 18% do valor total da dívida. 
100.000,00$ 
+ ↑
- 0 1 2 3 4 5
↓
C5
10 
 
2.2 Taxa de juro nominal (Bueno, seção 7.5) 
2.2.1 Teoria 
A assim chamada “taxa de juro nominal” é um conceito alternativo de taxa de juro. Uma 
definição prática para o conceito é a de que a taxa nominal é apenas uma taxa de juro de 
referência para um horizonte de tempo que compreende múltiplos períodos de 
capitalização, não correspondendo à taxa de capitalização de fato, i.e., não 
correspondendo à taxa em que o capital é efetivamente aumentado a cada período de 
capitalização. Sempre, pois, a taxa nominal é expressa com referência a uma unidade de 
tempo distinta daquela em que a capitalização de fato ocorre. 
Por exemplo, é comum a informação de que um comprovante de depósito bancário 
(CDB) paga uma taxa nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. A correta 
interpretação desta informação exige cautela: 12% ao ano é apenas uma taxa de 
referência, não se tratando da taxa efetiva a que o valor aplicado no CDB aumenta a 
cada mês e nem mesmo após um ano. Isso quer dizer que o montante obtido após um 
ano não é equivalente a C0(1+ 0,12)12. 
Para calcular corretamente o montante ao final do período de referência, é preciso 
considerar duas convenções. A primeira é a de que a taxa efetiva correspondente à 
unidade de tempo do período de capitalização (mensal, no exemplo anterior) é 
equivalente à razão da taxa nominal pelo número de períodos de capitalização 
compreendidos no período de referência, N. Formalmente, ief. = inom./N. Esta convenção 
não possui uma razão de ser, sendo apenas parte da definição da taxa nominal. No caso 
do exemplo, a taxa efetiva mensal é 0.12/12 = 0.01 a.m. 
A segunda convenção decorre do conceito de capitalização composta e estabelece que, 
se ao longo do período de referência ocorrem N períodos de capitalização, então o 
montante a ser recuperado a partir da aplicação de um capital C0 durante o período de 
referência, corresponde a CN = C0(1+ ief.)N = C0(1+ inom./N)N. Consequentemente, a taxa 
efetiva definida em um período de capitalização equivalente ao período de referência, 
ief.N, corresponde à taxa em que o capital cresceu entre t = 0 e t = N, i.e: 
ief.N = (1+ inom./N)N-1 
Retomando o exemplo, pode-se concluir que a taxa efetiva a que o capital aumenta 
considerando o período de referência (anual) é equivalente a (CN – C0) / C0 = (1+ 
inom./N)N – 1 = (1+ 0.12/12)12 – 1 = (1+ 0.01)12 – 1 = 12.68% a.a. Esta é a taxa efetiva na 
unidade de tempo de referência (ano). Um número diferente do informado como taxa de 
juro nominal. 
2.2.2 Exercícios 
(1) (BOVESPA, 2008, Q63) Considere uma taxa nominal igual a 24% ao ano com 
capitalização mensal. Neste caso, a taxa efetiva ao mês é: 
a) 2% 
11 
 
b) 2,1% 
c) 1,9% 
d) 1,8% 
Resposta a 
R: Basta recordar que ief. = inom./N; no caso, N = 12 meses, e inom = 0,24, portanto ief = 
0,12. Para complementar o exercício, vamos calcular a taxa efetiva ao ano. Basta fazer: 
iaef. = (1 + ief. )12 – 1 = 0,2682. 
(2) (BOVESPA, 2008, Q65) A empresa XYZ tomou um empréstimo de 
R$200.000,00 por seis meses à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. 
O valor a ser devolvido após seis meses é próximo de: 
a) R$225.232,00 
b) R$224.000,00 
c) R$222.710,00 
d) R$226.165,00 
Resposta a 
R: Uma taxa nominal de 24% a.a. é equivalente a uma taxa de 2% a.m. Como a empresa 
aplicou durante seis meses, o montante é C6 =200.000,00 (1,02)6 =225.232,4839. 
(3) (BOVESPA, 2008, Q68) José e Maria estão discutindo sobre fazer um 
investimento pelos próximos 180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma 
taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria 
conseguiu uma taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa? 
a) Devem aplicar no banco de José 
b) Devem aplicar no banco de Maria 
c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento 
d) Devem aplicar 50% em cada alternativa 
Resposta a 
R: A melhor aplicação é sempre a que gera o maior montante ou, de maneira 
equivalente, proporciona a maior taxa de capitalização no período como um todo, 
tomando como referência um único período. O primeiro passo está em calcular as taxas 
de retorno das duas aplicações. Deve ser levado em conta que 180 dias = 3 bimestres. 
12 
 
Há duas maneiras de resolver este problema. A primeira consiste em expressar as duas 
taxas de juros em um único período de capitalização, o que significa converter uma 
delas para o período de capitalização da outra. Esta primeira abordagem de resolução se 
desdobra, portanto, em duas resoluções. A segunda consiste em aplicar as taxas 
expressas em períodos de capitalização distintos ao mesmo período de referência, 180 
dias. 
Abordagem 1, resolução 1: conversão das taxas de juro para o período de capitalização 
bimestral. 
(i) A taxa efetiva de José é de 2% ao bimestre, pois 12%a.a/6 bimestres = 12% a.a /6 
bimestres=2% ao bimestre. 
(ii) A taxa efetiva de Maria é capitalizada ao ano, período que cobre 6 bimestres. Para 
descobrir a taxa equivalente com capitalização bimestral, basta tomar uma taxa 
bimestral que renda, no período de referência de um ano, a mesma taxa obtida por 
Maria. Ou seja, é preciso encontrar a taxa com capitalização bimestral equivalente à 
taxa de 12% a.a. com capitalização anual, um problema de equivalência de taxas de 
juros (próximo tópico). Trata-se de obter ibim a partir da equação (1+ ibim)6 = (1+ ianual), o 
que resulta em ibim = (1+ ianual)1/6 – 1 = (1+ 0,12)1/6 – 1 = 1,91%. 
(iii) Ambas as taxas de juros bimestrais serão aplicadas em um período de referência de 
180 duas ou 3 bimestres, desta maneira, a maior taxa bimestral renderá o maior 
montante ao final do período. De (i), tem-se que ibimJosé = 2% e, de (ii), ibimMaria = 1,91%. 
Conclusivamente, a aplicação de José é a melhor alternativa. 
Abordagem 1, resolução 2: conversão das taxas de juro para o período de capitalização 
anual. 
(i) A taxa efetiva de José é de 2% ao bimestre, pois 12%a.a/6 bimestres = 12% a.a /6 
bimestres =2% ao bimestre. Para obter a taxa equivalente com capitalização ao ano, 
basta considerar que tal taxa tem de ser equivalente ao rendimento anual da aplicação 
com capitalização bimestral. Ou seja, basta obter ianual a partir de (1+ ibim)6 = (1+ ianual), 
o que equivale a calcular ianual = (1+ ibim)6 – 1 = (1+ 0,02)6 – 1 = 12,62%. 
(ii) A taxa efetiva de Maria é de 12% a.a. com capitalização anual 
(iii) Comparando (i) e (ii) fica claro que a taxa de José é maior. Como ambas as taxas 
serão aplicadas no período de 180 dias, a aplicação de José é a melhor alternativa. 
Abordagem 2: aplicar as duas taxas de juro ao mesmo período de referência. 
(i) Aplicar durante B bimestres a uma taxa de juro de 2% ao bimestre gera uma taxa de 
juro efetiva no período de iJosé = (1+0,02)B – 1; 
(ii) Aplicar durante N anos a uma taxa de juro de 12% rende uma taxa de juro efetiva no 
período de iMaria = (1+0,12)N – 1; 
13 
 
(iii) A relação entre número de bimestres, B, e número de anos, N, é sempre B = 6N. 
Esta relação vale sempre que as taxas de José e Maria são aplicadas ao mesmo período 
de referência. 
(iv) Incorporando (iii) em (i), chega-se a: iJosé = (1+0,02)6N – 1; 
(v) O problema se resume a descobrir qual das duas taxas, iMaria e iJosé é maior nas 
condições acima. Ou seja, basta verificar se é verdadeira a inequação abaixo. 
iJosé > iMaria ⟷ (1+0,02)6N – 1 > (1+0,12)N – 1 
Manipulando, tem-se (1+0,02)6N > (1+0,12)N. Aplica a raiz de índice N aos dois lados 
da equação, chega-se a: (1+0,02)6 > (1+0,12), o que é claramente verdadeiro, uma vez 
que apenas sob capitalização simples uma taxa de 2% renderia, após seis períodos, 12%. 
Este resultado tem uma implicação com maior generalidade. De fato, fica estabelecido 
que a determinação da taxa que proporciona o maior rendimento dentro de um mesmo 
período de referência, comparando-se uma taxa com capitalização bimestral, ibim, e 
outra com capitalização anual, é independente da duração do período de referência. E 
isso pois, a inequação genérica (1+ ibim)6N > (1+ ia)N é sempre equivalente a (1+ ibim)6 > 
(1+ ia), esta última prescindindo de N. O que implica que a solução do problema sob 
consideração seria a mesma se fosse considerado um período de 360 dias, 540 dias, etc. 
 
2.3 Equivalência de taxas de juro com capitalização discreta 
2.3.1 Teoria 
Os períodos em que a capitalização de um investimento ou a atualização de uma dívida 
ocorrem não necessariamente correspondem aos horizontes de referência dos 
investidores. Por exemplo, pode-se desejar conhecer o rendimento mensal 
proporcionado por uma aplicação de capitalização anual ou vice-versa. É simples 
converter taxas de juro para períodos de referência distintos do período de capitalização. 
Basta determinar a taxa de juro equivalente com período de capitalização igual ao 
período de referência. Duas taxas são equivalentes quando proporcionam o mesmo 
rendimento dentro de um dado período de referência. Mais precisamente: 
Definição de equivalência de taxas de juro 
Duas taxas de juro são equivalentes se e somente se geram, a partir de um mesmo 
capital inicial (C0), um mesmo montante (CT) após um mesmo período de aplicação (T). 
Duas taxas de juro genéricas im, com capitalização mensal, e ia, com capitalização anual 
são, pois, equivalentes, se e somente se: 
C0(1+ia) = C0(1+im)12 
14 
 
Notar que a equação acima está plenamente de acordo com a definição de equivalência 
pois (i) o capital inicial aplicado nas oportunidades referentes a cada uma das taxas é o 
mesmo, (ii) o período de aplicação é o mesmo, 1 ano no caso da taxa anual e 12 meses 
no caso da taxa mensal (1 ano = 12 meses), e (iii) os montantes ao final obtidos são 
iguais, conforme o uso do símbolo de igualdade garante2. 
Por exemplo, se há um investimento com capitalização composta anual com uma taxa 
de juro efetiva de 4% a.a., o rendimento mensal dele tem de ser equivalente ao de um 
investimento com capitalização composta mensal que paga 4% após um ano ou, de 
maneira equivalente, após 12 meses. Ou seja, aplicar durante um ano no investimento 
com capitalização anual tem de gerar o mesmo resultado do que aplicar durante doze 
meses no investimento com capitalização mensal à taxa de juro equivalente. 
Para obter, pois, a taxa mensal a que o investimento anual capitaliza, basta utilizar a 
equação im = (1+ia)1/12 – 1. A operação contrária também pode ser útil. I.e., pode-se 
desejar conhecer a taxa de rendimento anual de um investimento com capitalização 
mensal, o que é feito a partir de ia = (1+im) 12 – 1. 
Há, ainda, outras operações de conversão de períodos de referência úteis. Por exemplo, 
uma taxa de juros anual pode ser especificada considerando-se um ano de 360 dias (juro 
ordinário), 365 dias (juro exato) ou 252 dias (dias úteis). Qual é a taxa de rendimento de 
uma aplicação que paga uma taxa ia em 365 dias no período de referência de 252 dias? 
O primeiro passo a ser dado está em converter a taxa anual de 365 dias em uma taxa 
diária e, como segundo passo, basta considerar que o período de aplicação é de 252 dias 
e então calcular a taxa correspondente. 
Primeiro passo: um investimento que paga ia em 365 dias é equivalente a um 
investimento que paga uma id diariamente desde que a última gere, em 365 dias, o 
mesmo montante. Formalmente: C0(1+id)365 = C0(1+ia), i.e., id= (1+ia)1/365 – 1. 
Agora, para calcular a taxa de rendimento na base de 252 dias, basta partir da equação 
id, 252 = (1+id)252 – 1 = [1+(1+ia)1/365 – 1]252 – 1 = (1+ia)252/365– 1. Em linhas gerais, pode-
se considerar a fórmula iref.inv.= (1+ia)ref.inv/ref.orig.– 1, em que “ref.inv” representa a 
referência temporal do investidor ou “desejada” e “ref.orig” a referência temporal do 
 
2 De forma ainda mais genérica, sejam duas taxas iu, com capitalização a cada u instantes de tempo, e iv, 
com capitalização a cada v instante de tempo. Tais taxas são equivalentes se e somente se: 
C0(1+iu)mmc(u,v)/u = C0(1+iv) mmc(u,v)/v 
A sutileza está no período de aplicação a ser considerado para cada taxa de juro. É necessário definir um 
período de aplicação comum segundo a definição. O adequado é que tal período seja um múltiplo dos 
períodos de capitalização das duas taxas, para evitar períodos fracionários. Daí o recurso ao mínimo 
múltiplo comum (MMC). O segundo passo está em determinar o número de vezes igual àquele em que o 
período de capitalização respectivo “cabe” dentro do período de aplicação comum. Por isso calcula-se, 
para cada taxa, mmc(u,v)/u ou mmc(u,v)/v. Importante notar que a unidade de medida do tempo das 
expressões mmc(u,v)/u e mmc(u,v)/v deve ser a mesma. Para verificar que a fórmula faz sentido, 
considere u = semestree v = bimestre. 
15 
 
investimento, i.e., o período de capitalização. Deve assinalar que as duas devem ser 
medidas na mesma unidade de tempo, i.e., ambas as referências devem ser medidas em 
dias, como no exemplo apresentado. 
2.3.2 Exercícios 
(1) [Bueno et al., 2011, Ex 1.4 (adaptado)] Calcular a taxa de juros para 12, 35, 87 e 
265 dias, sabendo-se que a taxa de juros [compostos efetiva] mensal é de 1,75%. 
R: Seja assumido que o mês tem 30 dias. Neste caso, é preciso obter a taxa de juro 
diária equivalente à taxa mensal informada, a partir de: 
(1 + id)30 = (1+ im)  id = (1 + im)1/30 – 1 = (1,0175)1/30 – 1 = 0,000578455 = 0,05%. 
(i) 12 dias: (1 + id)12 - 1 = 0,006963589 
(ii) 35 dias: (1 + id)35 - 1 = 0,020446297 
(iii) 87 dias: (1 + id)87 - 1 = 0,051598146 
(iii) 267 dias: (1 + id)267 - 1 = 0,166960939 
Uma maneira mais direta de resolver o exercício é partir da fórmula geral: 
is = (1+im) s/360 
Em que a taxa de juros referente a um número s de dias é representada por is. 
(3) (BOVESPA, 2008, Q110) Uma empresa tomou um empréstimo de 
R$400.000,00 para pagar R$430.000,00 em cinco meses. Qual a taxa equivalente ao 
ano? 
a) 18,95% ao ano 
b) 19,57% ao ano 
c) 17,33% ao ano 
d) 20,02% ao ano 
Resposta a 
R: Do ponto de vista do banco, um investimento de R$400.000,00 gerou, após cinco 
meses, um montante de R$430.000,00, formalmente: 400.000(1+im)5 = 430.000. 
Isolando im: (43/40)1/5 – 1 = 0,014569244 = 1,457% a.m. Esta taxa, contudo, é mensal. 
Mas o enunciado requer a taxa anual equivalente. Basta considerar que (1+ im)12 = (1+ia) 
E, pois, ia = (1+ im)12 – 1 = (1+ 0,01457)12 – 1 = 0,189554098 = 18,95%. Notar que se 
chegaria ao mesmo resultado com base na fórmula iref.inv.= (1+iinf.)ref.inv/ref.orig.– 1, com iinf. 
sendo a taxa informada no enunciado, ref.inv = 12 e ref.orig. = 5. E isso pois: 
iref.inv.= [1+(43/40-1)]12/5– 1 = 0,189554098. 
16 
 
(4) (BOVESPA, 2008, Q112) Um banco captou R$1.000.000,00 com um CDB de 
252 dias úteis pagando uma taxa de 12 meses equivalente a 6% por 126 dias úteis e 
emprestou este recurso para seus clientes também por 252 dias úteis a uma taxa igual a 
14% ao ano. Determine o lucro desta operação. 
a) R$16.400,00 
b) R$16.200,00 
c) R$16.000,00 
d) R$16.600,00 
Resposta a 
R: O enunciado descreve uma operação de repasse de recursos. Ela pode ser subdividida 
em duas sub-operações, como segue. 
(i) (banco como tomador) Trata-se da tomada de crédito por parte do banco (tomador) 
em relação aos clientes (credores). O pagamento a ser feito pelo banco após 252 dias 
tem valor C252 = 106 (1+ 0,06)252/126, uma vez que o rendimento de 6% se refere ao 
período de capitalização, de 126 dias, mas o período de referência da operação é de 252 
dias. 
(ii) (banco como credor) Em um segundo momento, o banco repassou o recurso e deve 
receber, após 252 dias, C252’ = 106 (1+ 0,14). Atenção: a segunda operação de crédito 
ocorre com uma taxa de juro com período de capitalização equivalente ao período de 
referência da operação (taxa efetiva). 
(iii) Lucro: o lucro do banco foi de C252’ - C252 = 106(1+ 0,14) - 106 (1+ 0,06)252/126 = 
R$16.400,00. 
2.4 Capitalização contínua 
2.4.1 Teoria 
Nos regimes de capitalização simples e composta há um intervalo de tempo 
considerável entre dois períodos de capitalização, ou seja, entre dois períodos tomados 
como referência para aplicar o capital à taxa de juros. Por exemplo, caso a taxa de juros 
seja mensal, o capital inicial é acrescido pelo juro após um mês de aplicação ou 30 dias 
e sempre que transcorrer um novo período de um mês o montante será acrescido pelo 
juro. Caso a taxa de juro seja anual, o juro é computado sempre após um ano (ou 365 
dias). A unidade de medida do período de aplicação, T (dia, mês, ano, etc.), é sempre 
discreta em tais casos, isto é, o tempo é um número natural. Porém, há um sistema de 
capitalização alternativo, em que o tempo pode ser fracionário, e, mais precisamente, 
um número real positivo. Trata-se da capitalização contínua, em que o intervalo entre 
dois instantes em que se contabiliza a capitalização, i.e., o período de capitalização, é 
infinitesimal, desprezível. Isso pode ser interpretado, de maneira esclarecedora ainda 
17 
 
que imprecisa, como se o tempo fosse medido em milissegundos (um milésimo de 
segundo), de maneira que a cada milissegundo o montante fosse acrescido por juro. 
A taxa de juro sempre pode ser pensada como a taxa percentual em que o capital 
inicialmente investido aumenta entre dois períodos. Para uma taxa composta i: 
ܥ௧ାଵ − ܥ௧
ܥ௧
= ݅ 
Porém, considerando uma distância muito pequena, infinitesimal, entre dois períodos, 
denotada por Δt, a taxa percentual de aumento média no tempo entre t e t + Δt é dada 
por: 
ܥ௧ା୼୲ − ܥ௧
ܥ௧
1
Δt 	(1) 
As oportunidades de investimento com capitalização contínua são geralmente 
relacionadas a uma taxa discreta equivalente com capitalização composta, “i”, definida, 
esta, em termos de um intervalo discreto específico de tempo. Cabe conhecer a relação 
entre esta taxa, “i”, e a taxa a que, efetivamente, o capital aumenta a cada instante 
infinitesimal de tempo. Esta última será chamada de “r”. 
Retomando a fórmula 1 acima e considerando capitalização composta à taxa “i”, os 
montantes podem ser reescritos como segue: 
ܥ଴(1 + ݅)௧ା୼୲ − ܥ଴(1 + ݅)୲
ܥ଴(1 + ݅)୲ 1Δt = (1 + ݅)୼୲ − 1Δt 
A notação correta para Δt infinitesimal é Δt  0, em que a flecha representa 
convergência, e, portanto, a maneira rigorosa de denotar a taxa efetiva de capitalização 
contínua, r, é: 
ݎ = lim
୼୲→଴
(1 + ݅)୼୲ − 1
Δt 
(a taxa r é a taxa de rendimento-limite correspondente à maior frequência possível de 
capitalização) 
O limite acima é uma indeterminação pois resulta em 0/0. Para vencer esta dificuldade, 
pode-se aplicar a regra L’hôspital. Esta estabelece que um limite que resulta em 0/0 é 
equivalente ao limite da razão das derivadas do numerador e do denominador do limite 
original. Ou seja, basta derivar numerador e denominador da expressão original e tomar 
a razão, o que leva a3: 
 
3 Deve-se recordar que a derivada de ax é equivalente a ax lna, uma vez que ܽ௫ = ݁௟௡௔ೣ = ݁௫௟௡௔ =
݂(݃(ݔ)), com f(x) = ex e g(x) = xlna. Pela regra da cadeia, ݂൫݃(ݔ)൯ = ݂′(݃(ݔ))݃ᇱ(ݔ) = ݁௟௡௔ೣlna =
ܽ௫lna. Basta considerar x = Δt e a = (1+i). 
18 
 
ݎ = lim
୼୲→଴
(1 + ݅)୼୲ln	(1 + ݅)1 → ݎ = ln	(1 + ݅) 
E, portanto, i = er – 1, i.e., o rendimento efetivo gerado por uma aplicação contínua 
durante o período discreto de referência que corresponde ao período em função do qual 
a taxa “i” está definida é equivalente a er – 1. Desta maneira, pois, aplicar a uma taxa 
efetiva composta “i” durante um período é equivalente a aplicar à taxa er – 1. Assim 
sendo, a aplicação contínua rende, após t períodos discretos, um montante dado por Ct = 
C0 (1+i)t, ou, de maneira equivalente Ct = C0ert. 
Deve-se assinalar que é uma convenção do mercado de capitais a de apresentar taxas 
contínuas com referência a períodos discretos. Por exemplo, afirmar que uma aplicação 
com capitalização contínua paga uma taxa de 1% ao mês. Esta afirmação parece ser 
mais comumente interpretada, na prática do mercado de capitais, como significando que 
a capitalização contínua acumula, após um mês, 1% de rendimento. Ou seja, r = 0,01 
a.m. A interpretação de que 1% é uma taxa discreta de referência, i.e., i = 0,01 a.m., 
parece ser menos comum. Ao menos é o que se pode concluir com base nos exercícios 
da BOVESPA (apostila no TIDIA) e no exposto em Bueno et al (2011, seção 1.3). 
O cálculo de taxas equivalentes é mais simples no caso da capitalização contínua. A 
única diferença está em uma sutileza crucial da definição do regime de capitalização 
contínua: entre dois instantes discretos de tempo, o capitalcresce a uma taxa percentual 
equivalente a er – 1. O que decorre do fato anterior segundo o qual er – 1 = i, sendo i a 
taxa de juro composta equivalente à taxa de juro contínua r. Para entender porquê, basta 
tomar como base o crescimento do capital à taxa composta i. Partindo-se de Ct deve-se 
chegar à Ct+1 = Ct(1+i). Usando o fato er – 1 = i, então Ct+1 = Ct er. Portanto, a taxa de 
crescimento entre t e t+1 pode ser expressa como Ct+1 / Ct – 1 = er – 1. 
O fato acima é equivalente a Ct+1/Ct = er, i.e., a cada instante discreto que passa, o 
capital é multiplicado por er. Ou seja, investindo C0 em t = 0, o montante ao final do 
primeiro instante discreto, um mês, p.ex., t = 1, é de C1 = C0er, ao final do segundo 
instante infinitesimal, o montante é C2 = C0erer = C0e2r, em t = 3, C3 = C0e3r, etc. Ao 
final de 12 meses, o montante é C12 = C0e12r (o processo de acúmulo do capital se dá por 
multiplicação). 
Com isso, o cálculo da taxa ra à qual a aplicação contínua rende com periodicidade 
anual com base na taxa de rendimento mensal, rm, é simples e dada pela equação abaixo: 
ܥ଴݁ଵଶ௥೘ = ܥ଴݁௥ೌ → ݎ௔ = 12ݎ௠ 
A mesma equação permite calcular a taxa de rendimento com periodicidade mensal caso 
se disponha da informação quanto ao rendimento anual. 
2.4.2 Exercícios 
1 Calcule a taxa efetiva que incide, durante o período de um ano, sobre uma 
aplicação com capitalização contínua que paga uma taxa nominal de 1% ao ano. 
19 
 
Basta utilizar a fórmula݅ = ݁௥ − 	1, tomando r = 0.01 e considerando que e = 2.71828, 
de modo a obter ݎ = ݁଴.଴ଵ − 	1 = 1.005%. 
2 Calcule a taxa efetiva que incide, durante o período de um mês, sobre uma 
aplicação com capitalização contínua que paga uma taxa nominal de 1% ao ano. 
Neste caso, como o período de referência da taxa nominal não é equivalente ao período 
de capitalização que se deseja conhecer, é preciso transformar a taxa nominal dividindo-
a pelo número de vezes em que os períodos de capitalização ocorrem dentro do período 
de referência, 12, no caso (pois o ano possui 12 meses). O cálculo completo é ݅ =
݁௥ ଵଶ⁄ − 	1 = ݁଴.଴ଵ ଵଶ⁄ − 	1 = 0.08% a.m. 
3 (BOVESPA, Q206) Uma aplicação rendeu 5% ao mês de taxa contínua, 
terminado em R$100.000,00 após dois meses. O valor inicial da aplicação era, 
aproximadamente, igual a: 
a) R$90.484,00 
b) R$90.703,00 
c) R$90.909,00 
d) R$90.586,00 
R: O enunciado deste exercício é dúbio no que tange à taxa de 5% ao mês. Tanto é 
possível entender que se trata da taxa contínua efetiva (r), como da taxa discreta 
nominal (i). Por isso, as duas soluções serão consideradas. 
Solução 1.a, r = 0,05 
A fórmula do montante é Cத = C଴݁த௥ , e, pois o capital inicial é C଴ = Cఛ݁ିத௥ 	(i), com τ 
representando o período de aplicação, de 2 meses no caso e r = 0.05. Neste caso, tem-se: C଴ = 100.000݁ିଶ∗଴.଴ହ = 90483.7418~ܴ$90.484, resposta (a); 
Solução 1.b, r = 0,05 
As taxas r e i estão relacionadas segundo a equação r = ln(1+i), uma relação de 
equivalência. I.e., aplicar um mesmo capital inicial C0 a uma taxa r com capitalização 
contínua gera o mesmo montante do que aplicar a uma taxa i com capitalização 
composta, desde que, é claro, o período de aplicação seja o mesmo. 
O enunciado informa que r = 5% a.m., logo i = er - 1= 0,05127 é uma taxa mensal. 
Retomando a afirmado no parágrafo anterior, tem-se que 100.000 = C0(1+0,05127)2, 
i.e., C0 = 100.00/(1+0,5127)2 = 90.483,93 ~ܴ$90.484, resposta (a). 
Solução 2, i = 0,05 
É possível entender, alternativamente, que o enunciado não informa r, mas sim uma taxa 
“i” com capitalização discreta mensal, tratando-se, pois, de uma taxa nominal. Para 
20 
 
obter a taxa efetiva com capitalização contínua, basta usar a equação ln(1+i) = r, o que 
leva a r = ln(1+0,05) = 0,04879 (ii). 
Levando a taxa efetiva obtida em (ii) à (i), chega-se ao resultado desejado: C଴ = 100.000݁ିଶ(଴,଴ସ଼଻ଽ) = 90702,9776~ܴ$90.703, resposta (b). Notar que se 
chegaria à mesma resposta utilizando a fórmula do montante para aplicação a um juro 
composto i = 0,05 durante 2 meses (e isso pois C0eτln(1+r) = C0(1+r)τ).