P2 CDI João Caminada

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Gabarito da Prova 2 de CDI I - Turma 07
Professor João Caminada
04 de julho de 2017
Questão 1. Calcule os limites:
(a) (0.5) lim
x→0
x
arctg (4x)
(b) (1.0) lim
x→∞(1 + 2x)
1/(2 lnx)
Solução.
(a) Note que
lim
x→0
x = 0 e lim
x→0
arctg (4x) = 0.
Pela Regra de L'Hôspital,
lim
x→∞
x
arctg (4x)
= lim
x→0
1
4
1+(4x)2
=
1
4
.
(b) Podemos escrever
(1 + 2x)1/(2 lnx) = eln(1+2x)
1/(2 ln x)
= e
ln(1+2x)
(2lnx) .
Note que
lim
x→∞ ln(1 + 2x) =∞ e limx→∞ 2 lnx =∞.
Pela Regra de L'Hôspital,
lim
x→∞
ln(1 + 2x)
2 lnx
= lim
x→∞
2
1+2x
2
x
= lim
x→∞
x
1 + 2x
=
1
2
.
Pela continuidade da função f(x) = ex obtemos que
lim
x→∞(1 + 2x)
1/(2 lnx) = lim
x→∞ e
ln(1+2x)
2 ln x =
√
e.
Questão 2. Considere a função f(x) =
e−1/x
x
.
(a) (0.3) Determine o domínio de f .
(b) (0.2) Determine os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.
(c) (1.0) Determine os pontos críticos de f e os classifique.
(d) (1.0) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f .
(e) (1.0) Determine a concavidade do gráfico de f e seus pontos de inflexão.
(f) (1.0) Determine as assíntotas verticais e horizontais de f .
(g) (1.0) Esboce o gráfico de f .
Solução.
(a) O domínio é R\{0}.
(b) Não há interseção com os eixos
(c) Calculamos a derivada de f :
f ′(x) =
e−1/x
x3
(1− x).
Como a função é derivável em todos os pontos do domínio, segue que os pontos críticos são
os pontos x tais que f ′(x) = 0. Esta condição é satisfeita exatamente quando
1− x = 0 ⇐⇒ x = 1.
Ademais a função f ′ é negativa em (−∞, 0) ∪ (1,∞) e positiva em (0, 1). Portanto, x = 1
é ponto de máximo local de f .
(d) Como vimos em (c), f é crescente em (0, 1) e decrescente em (−∞, 0) ∪ (1,∞).
(e) A segunda derivada de f é
f ′′(x) =
e−1/x
x5
(2x2 − 4x+ 1) = e
−1/x
x5
(
x−
(
1−
√
2
2
))(
x−
(
1 +
√
2
2
))
.
Segue que f é côncava para cima em(
0, 1−
√
2
2
)
∪
(
1 +
√
2
2
,∞
)
,
côncava para baixo em
(−∞, 0) ∪
(
1−
√
2
2
, 1 +
√
2
2
)
e (
1−
√
2
2
,
2e
−2
1−√2
1−√2
)
e
(
1 +
√
2
2
,
2e
−2
1+
√
2
1 +
√
2
)
são pontos de inflexão de f .
(f) Temos
lim
x→±∞
e−1/x
x
= 0
e
lim
x→0−
e−1/x
x
= −∞ e lim
x→0+
e−1/x
x
= 0.
Portanto, y = 0 é assíntota horizontal de f e x = 0 é assíntota vertical de f .
(g) Gráfico na próxima página.
Questão 3. Integre
(a) (1.0)∫
x+ 4
x2 + 5x− 6dx
(b) (1.0)∫
6 cos(2t+ 1)
(1 + sen(2t+ 1))3
dt
(c) (1.0) ∫
x3 lnxdx
Solução.
(a) Temos
x+ 4
x2 + 5x− 6 =
x+ 4
(x− 1)(x+ 6) .
Podemos escrever a função racional em uma decomposição em frações parciais da forma
x+ 4
(x− 1)(x+ 6) =
A
x− 1 +
B
x+ 6
.
Segue que A = 5/7 e B = 2/7. Logo,∫
x+ 4
x2 + 5x− 6dx =
5
7
∫
1
x− 1dx+
2
7
∫
1
x− 6dx =
5
7
ln |x+ 1|+ 2
7
ln |x− 6|+ C
(b) Façamos a substituição u = 1 + sen(2t + 1), donde calculamos que du = 2 cos(2t + 1)dt.
Portanto,∫
6 cos(2t+ 1)
(1 + sen(2t+ 1))3
dt = 3
∫
1
u3
du = − 3
2u2
+ C = − 3
2(1 + sen(2t+ 1))2
+ C.
(c) Por integração por partes, segue que∫
x3 lnxdx =
x4 lnx
4
− 1
4
∫
x4
1
x
dx =
x4 lnx
4
− 1
4
∫
x3dx
=
x4 lnx
4
− x
4
16
+ C =
x4
4
(
lnx− 1
4
)
+ C.