Relatório 2 Estabilidade no Domínio da Frequência

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Universidade Federal de Ouro Preto-UFOP 
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas 
Campus João Monlevade 
 
 
 
 
Segunda Prática de Controle I: 
Estabilidade no Domínio da Frequência 
 
 
 
 
 
Integrantes: Matrícula: 
Douglas Amaral Monteiro 11.2.8041 
José Luiz Oliveira Rocha 13.1.8340 
 
Professor: Márcio Braga 
 
 
João Monlevade, 03 de Março de 2017 
1. INTRODUÇÃO 
 Nesta prática analisaremos os critérios de estabilidade de Nyquist e buscaremos 
uma forma de resolver o problema do processo quando ele é instável. O critério de 
Nyquist é o mais apropriado para analisar sistema com atraso em transporte, que é um 
problema de instabilidade. 
 
2. OBJETIVOS DA PRÁTICA 
 
 Atraso de Transporte 
 Diagrama de Bode 
 Critério de Nyquist 
 
 
3. DESENVOLVIMENTO 
 Temos nesta prática um sistema de controle de nível como foi apresentado na 
figura 1 do roteiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 - Sistema de controle de nível retirado do roteiro. 
Recebemos a seguinte informação: 
 O retardo no tempo entre o ajuste da válvula e a saída do fluido e T = d/v. Portanto, 
se a vazão for de 5 m3/s, a área da seção reta da tubulação for 1 m2 e a distância igual a 5 
m, então tem-se um retardo no tempo T = 1 s. A função de transferência de malha aberta 
é: 
 
 
L(s) = Ga(s)G(s)Gf(s)e-sT = 
31,5
(𝑠+1)(30𝑠+1)(
𝑠2
9
+
𝑠
3
+1)
𝑒−𝑠𝑇 
 
 
Agora, segue a análise do que se pede. 
 
 
3.1 Análise de estabilidade: 
 
a) Obtenha o diagrama de Bode, utilizando o Matlab, para o sistema sem o 
atraso de transporte. 
 
O diagrama de bode, utilizando o Matlab, para o sistema sem o atraso de 
transporte: 
 
Figura 2: Diagrama de Bode sem o atraso em transporte. 
 
 
 
b) Encontre as margens de fase e de ganho para o sistema do item (a), utilizando 
o diagrama de Bode. 
 
Busca-se encontrar as margens de fase e de ganho para o sistema sem o atraso de 
transporte: 
 
Sabe-se que: 
 
Margem de fase: trata-se de uma quantidade incremental ao deslocamento do 
ganho L(jw) que apresentará uma magnitude unitária que causará um sistema 
marginalmente estável, com a quase exata ou exata interseção no ponto -1 + 0j no 
diagrama de Nyquist. Se tivermos por base o diagrama de bode, a margem de fase 
será quando o ponto crítico estiver para a estabilidade em u = -1 e v = 0 no plano 
L(s). Para termos esse ponto crítico precisamos que a magnitude logarítmica seja 
de 0 dB e uma amplitude fase de 180º (ou -180º) no diagrama de bode. 
 
Margem de ganho: Trata-se de um acréscimo no ganho do sistema quando a fase 
é igual a -180º resultando em um sistema marginalmente estável com a intercessão 
do ponto -1 + 0j no diagrama de Nyquist. Como percebemos o critério de 
estabilidade de Nyquist é baseado em torno do ponto (-1,0), que pode ser achado 
no diagrama de bode (0 dB, -180) no diagrama de fase do diagrama de bode. Então 
para acharmos a frequência da margem de fase, basta acharmos o ponto 0 dB ou 
mais próximo de 0dB no diagrama de magnitude do diagrama de bode. Para 
acharmos a frequência da Margem de ganho, basta acharmos o ponto de -180º no 
diagrama de fase do diagrama de Bode. 
 
Utilizando a função de marcação de pontos do Matlab, podemos ver que os valores 
serão próximos de, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: Marcando a margem de ganho e fase. 
Então: 
 Margem de Ganho: 0.58 dB 
 Margem de Fase: -177 deg 
 
Lembrando que esses resultados são aproximados. 
 
c) Verifique os valores obtidos anteriormente utilizando os comandos 
 
[Gm,Pm,Wgm,Wpm] = margin(sys) ou margin(sys). 
 
Agora utilizando a funções do Matlab para acharmos a Margem de ganho e fase, 
temos os seguintes resultados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Margem de Ganho: 7.55 dB 
Margem de Fase: 35.6 deg 
 
Que é um valor bem próximo do esperado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Margem de ganho e fase usando comando “margin” do Matlab. 
 
d) Repita os passos (a)-(c) para o sistema com o atraso de transporte. 
 
Agora realiza-se os mesmos passos acima, porém agora aplicando o atraso de 
transporte. O diagrama de Bode será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5: Diagrama de Bode com atraso 
 
Agora achando os pontos próximos a frequência de margem de fase e ganho acha-
se que, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Margem de fase e ganho. 
 
 
Margem de Ganho: 0,548 dB 
Margem de Fase: -177° 
 
 
Agora utilizando a função do Matlab, encontramos os valores mais exatos de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7: Margem de fase e ganho utilizando o comando margin. 
 
 
Margem de Ganho: -1.52 dB 
Margem de Fase: -12.3° 
 
 
e) Por meio do diagrama de bode, discuta a estabilidade de ambos os sistemas. 
 
Para que um sistema seja considerado estável, utilizando o critério de margem de 
ganho e de fase pelo diagrama de Boda, ambos os valores devem ser maiores 0, 
ou seja, positivos. Como se pode observar, após a inclusão do atraso de transporte 
o sistema em questão passou a apresentar um comportamento instável, segundo 
visto pelo seus valores de margem de fase e de ganho negativos. 
 
 
 
 
f) Obtenha o diagrama de Nyquist para o sistema com e sem o atraso de 
transporte. 
 
Agora vamos obter o diagrama e Nyquist para o sistema com e sem o atraso de 
transporte. Para isso, utilizaremos um comando especial do Matlab: 
 
 Figura 8: Diagrama de Nyquist. 
 
g) Por meio dos diagramas obtidos no item f), confirme a sua análise. Discuta-
a. 
 
R- Neste sistema temos polos apenas no semiplano esquerdo do plano s. São eles: 
 
P1 = -1 
P2= -1/30 
P3= -3/2 + j√18 /2 
P4= P3= -3/2 - j√18 /2 
 
Pelo critério de Nyquist, o sistema só será estável se e somente se neste caso não 
apresentar nenhum contorno em volta do ponto (-1,0), pois os dois sistemas 
apresentam polos apenas no semiplano esquerdo. Desta forma podemos afirmar 
analisando o diagrama de Nyquist que: 
 
Sistema sem atraso de transporte: estável 
Sistema com atraso de transporte: instável 
 
 
h) Utilizando o comando step, confirme a análise de estabilidade efetuada nos 
itens e) e g). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9: Step sem atraso. Estável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10: Step com atraso. Instável. 
 
 
 
3.2 Projeto de um Controlador Proporcional para o sistema com retardo de 
transporte. 
 
Objetivo: Dado que o sistema com retardo de transporte é instável em malha 
 fechada, projete um controlador Kc que deverá ser colocado no ramo 
 direto, antes da planta, para que a margem de fase seja igual a 30º. 
 
Recebemos as seguintes informações: 
 
1- Utilizando o diagrama de Bode obtido, item (d), da secção anterior, encontre 
o valor do ganho que garanta uma margem de fase igual a 30º. 
 
2- Com o ganho calculado, obtenha o diagrama de Bode do sistema compensado 
e encontre as margensde fase e de ganho. Verifique se o critério foi atendido. 
Caso não seja, repita o item 1 até que o critério seja atendido. 
 
 Observação 1: Somar M dB no diagrama de magnitude significa multiplicar o 
 ganho na função de transporte por 10
𝑀
20. Analogamente, para substituir dB no 
 diagrama de magnitude deve-se dividir o ganho na função de transferência por 
 10
𝑀
20. 
 
 Observação 2: Caso a visualização do diagrama de Bode não seja adequado, 
 pode-se definir a faixa de valores de frequência que deve ser utilizada no diagrama 
 de bode. Para isso, utilize o comando : 
 
Bode (sys, {freq_min freq_max}) 
 
 
Resolução 
 
Para que a margem de fase seja de 30º então precisamos adiantar a fase do 
diagrama de Bode em 30º. Desta forma, analisando o diagrama de Bode para o 
sistema em atraso, marcamos o ponto onde a fase deixa de ser -180º e passa a ser 
-150º. Neste ponto, vemos qual é a frequência do processo e no diagrama de 
magnitude procuramos o ponto mais perto desta frequência e olhamos a 
magnitude. Como antes a magnitude era 0 dB o valor da magnitude encontrado 
neste ponto será a magnitude que teremos que aumentar no sistema. Com isso 
marcamos os pontos no diagrama de Bode. 
 
 
 
Figura 11: achando a magnitude de aumento. 
 
 
Vemos que Margem de ganho = 5,78 dB 
 
Demos multiplicar a função de transferência por um fator A, que será: 
 
 A= 
1
10
𝑀
20
 
 
Neste caso, nosso ganho será: 
 
 A= 
1
10
5,78
20
 = 0,514. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12: Calculo da margem de fase e ganho usando a função margin. 
Margem de Ganho: 4.26 dB 
Margem de Fase: 30.2° 
 
Como vemos, o critério foi atendido. 
 
3- Plote o diagrama de Nyquist e verifique se o sistema compensado foi 
estabilizado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Diagrama de Nyquist do sistema corrigido. 
Como vemos o sistema não circula o ponto (-1,0) e assim o sistema está estável. 
 
4- Aplique uma entrada em degrau unitário e discuta a estabilidade do sistema 
em malha fechada: 
 
 
Figura 14 -Resposta ao Degrau do sistema corrigido. 
 
Como era esperado, o sistema após a correção possui um comportamento estável 
em malha fechada, como previsto pelo critério de Nyquist. Utilizando a função 
stepinfo()é fácil de se chegar nas características da resposta ao degrau. 
 
No diagrama acima, pode-se observar um valor de aproximadamente 53% para o 
máximo sobressinal e um tempo de assentamento de 28.8 segundos. 
 
 
5- O que pode ser afirmado sobre o erro em regime permanente do sistema com 
o controlador. 
 
Quando aplicamos esse controlador o nosso ganho será menor, pois estamos 
multiplicando a nossa função de transferência por um valor positivo menor que 1. 
Desta forma analisamos a função do erro permanente para a entrada ao degrau, 
temos que: 
 
ess = 
𝐴
1+𝐾𝑝
 
 
Então se nós diminuímos o ganho, diminuímos o Kp e conseguintemente 
aumentamos o erro em regime permanente para uma entrada em degrau. Ou seja, 
ao estabilizar, o sistema com atraso de transporte aumentamos o seu erro em 
regime permanente. 
 
 
 
4. CONCLUSÃO 
 
 Nessa prática foi realiza a análise de um sistema de malha fechada através de 3 
ferramentas essenciais no projeto de controladores: o diagrama de boda, o diagrama de 
Nyquist e os conceitos de margem de ganho e margem de fase. As vantagens dessas 
analise sobre outros, como por exemplo o critério de Routh-Hurwitz, se mostram 
claramente no fato de que aqui é possível realizar visualizações gráficas do 
comportamento do sistema, um processo mais natural e simples do que realizar as 
operações matemáticas da tabela de RH. 
 Além disso, por exemplo, pelo critério de Nyquist a função de transferência não 
precisa estar na forma de malha fechada, o que facilita a analise, tanto computacional 
quanto analítica, uma vez que a função de malha aberta é mais simples. 
 As análises de Bode, através das margens de fase e de ganho e o diagrama de 
Nyquist permitem dizer se um sistema é estável ou não, além de oferecerem um bom 
método de projeto de controladores pela variação do ganho. Atrasos de tempo 𝑒−𝑠𝑇 são 
inevitáveis em sistemas de controle, e assim, introduzem atrasos de fase, tornando o 
sistema menos estável. 
 Portanto, as ferramentas vistas nessa prática permitem ao engenheiro projetar 
controladores de forma a obter uma resposta mais estável, e portanto, mais confiável 
através da modificação do ganho do sistema, ao custo de um maior erro em regime 
permanente do sistema.