livro Mecânica dos Fluidos 4ª Ed.

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mecanica dos fluidos 23/06/00 16:54 Page Imecanica dos fluidos 23/06/00 16:54 Page I
MECÂNICA
dos Fluidos
Luis Adriano Oliveira
António Gameiro Lopes
Actualizada
e Aumentada
3.ª
Edição
MECÂNICA
dos Fluidos
Actualizada
e Aumentada
3.ª
Edição
4.ª Edição
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MECÂNICA
DOS FLUIDOSDOS Luis Adriano Oliveira
António Gameiro Lopes
 
MECÂNICA
DOS FLUIDOSDOS Luis Adriano Oliveira
António Gameiro Lopes
 
4.ª Edição
154 Mecânica dos Fluidos 
 
 
yc
v p v 2V .grad v f 2 divV
t y y y 3
v w u v
z z y x y x
ρ μ
μ μ
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = − + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
JJJJJGG G
 (4.40.(b)) 
zc
w p w 2V .grad w f 2 divV
t z z z 3
u w v w
x z x y z y
ρ μ
μ μ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
JJJJJGG G
 (4.40.(c)) 
As igualdades (4.40) representam as conhecidas equações de Navier-Stokes, aqui 
referidas a um sistema de coordenadas cartesianas. Usando notação vectorial (válida, 
portanto, para qualquer sistema de coordenadas), as expressões (4.40.(a/c)) podem ser 
condensadas numa única (cf., para a simbologia usada, anexo A1 ): 
( ) c ijDV V V .grad V f grad p divDt tρ ρ τ⎡ ⎤∂= + = − +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
G G JJJJJG JJJJJG JJJGGG G
 (4.40.(d)) 
em que as componentes do tensor ijτ são dadas por (4.36), tendo em atenção (4.38). Se, 
como aqui, apenas for considerada a contribuição do campo gravítico para as forças de 
corpo, então c gravf f gρ= =
G G G . Caso, além disso, as propriedades ρ e μ possam ser 
consideradas constantes, então (4.40.(d)) assume a forma já avançada em (2.14), que aqui 
se recorda: 
( ) 2Va V . grad V grad p g Vtρ ρ ρ μ⎡ ⎤∂= + = − + + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦
G JJJJJG JJJJJGG G GG G
 (4.40.(e)) 
A versão correspondente a (4.40.(e)), referida a um sistema de coordenadas cilíndricas, 
poderá ser consultada no anexo A1 . 
 
 Em resumo, as equações de Navier-Stokes traduzem, para a unidade de 
volume de um fluido em escoamento, um balanço entre o produto da sua 
massa pela correspondente aceleração (ou seja, da sua taxa de variação da 
quantidade de movimento), por um lado, e o conjunto das forças (de corpo, de 
pressão e de atrito viscoso) a que a mesma se encontra sujeita, por outro. 
Trata-se, pois, da representação, sob forma diferencial, da lei de conservação da 
quantidade de movimento. A formulação equivalente da conservação de energia será 
objecto da próxima secção. 
186 Mecânica dos Fluidos 
 
 
V
laser
V
t4
5 6
71
2 3 
FIGURA 5.7 – Anemometria laser de efeito Döppler. 
A figura 5.7 esquematiza a cadeia de medição. Assim, o feixe emitido pela unidade 
laser (1) é separado em dois feixes de igual intensidade, numa unidade óptica que se 
designa por divisor de feixe (2). Ao atravessarem a unidade óptica de focagem (3), os dois 
feixes paralelos, resultantes de (2), são levados a convergir no volume de medida (4). A 
informação proveniente do volume de medida envolve ondas de frequência distinta: a que 
incide sobre a partícula (não perturbada) e a que é por ela difundida (esta sim, afectada 
pelo efeito Döppler, decorrente da sua velocidade). Ambas são captadas pelo sistema 
óptico (5) e aí feitas convergir para o fotodetector (6), que compara e detecta a diferença 
das duas frequências acima referidas, num processo que se designa por heterodinagem. 
Essa diferença é directamente proporcional ao módulo da velocidade, V, que pode, assim, 
ser medido, registado e estatisticamente analisado numa unidade de processamento de 
sinal, como em (7). 
Enquanto leitura complementar, sugere-se Durst et al. (1981), uma das referências mais 
consagradas sobre o tema. 
De referir, por fim, que a visualização da trajectória de partículas traçadoras, 
acompanhada por digitalização da imagem e subsequente processamento, pode revelar-se 
um processo de notória versatilidade na obtenção da distribuição do campo de velocidade, 
em toda uma vastíssima gama de escoamentos. 
5.8 – Notas conclusivas 
O fenómeno da turbulência é um estado de permanente instabilidade, em que o fluido 
apresenta um comportamento irregular de natureza aparentemente aleatória. Não o é, no 
entanto, em rigor, já que lhe está associado todo um conjunto de estruturas organizadas. 
Tais estruturas – que designamos por turbilhões – envolvem uma gama muito vasta de 
escalas de comprimento e de frequência. A obtenção de soluções teóricas através da 
resolução de problemas tridimensionais e dependentes do tempo exige o recurso a 
capacidades computacionais que, na grande maioria dos casos, excedem as actualmente 
disponíveis. Em alternativa, é usual o recurso à via estatística, com a formulação de médias 
para um conjunto de quantidades relevantes na caracterização do campo turbulento. Poderá 
entender-se, assim, como "escoamento médio" aquele onde os fenómenos de pequena 
escala não são directamente representados, mas cuja influência sobre os fenómenos de 
maiores escalas é tomada em consideração. 
A decomposição de Reynolds recorre ao conceito de média temporal, a que se sobrepõe 
uma flutuação para obter o campo instantâneo. Neste sentido, as componentes médias da 
velocidade satisfazem as equações do movimento para regime laminar, desde que às 
tensões laminares sejam acrescentadas "tensões" adicionais, conhecidas por tensões de 
Reynolds. Em relação à difusão viscosa, estas últimas representam um mecanismo 
240 Mecânica dos Fluidos 
 
 
. . . .
p
2
p D p p p
3 3 2 6
1D C V A
2
12 814 10 1 02 10 12 5 5000 1 1214 10 N
2
ρ
−
= =
= × × × × × × = ×
 
Portanto, a potência para a qual o sistema propulsor deve ser dimensionado é: 
. . .6 6p p pP D V 1 1214 10 12 5 14 017 10 W= = × × = × 
7.6.5 – Breve referência aos túneis aerodinâmicos e de água 
O comportamento aerodinâmico de veículos automóveis, aviões, edifícios ou estruturas 
(em que, como se referiu acima, o número de Reynolds constitui o principal parâmetro 
independente) é frequentemente analisado através de testes laboratoriais efectuados sobre 
um modelo em túnel aerodinâmico de baixa velocidade, ou seja, com níveis de 
velocidade tais que permitem desprezar qualquer efeito de compressibilidade (até 100 m/s, 
aproximadamente). 
V1
(a)p1
A1
A2 , p2,
V2
p3
A3
V3
(1) (2) (3) (4)
(6)
(5)
 
(b) 
FIGURA 7.3 – Túnel aerodinâmico. 
(a): circuito aberto; (b): circuito fechado. 
De acordo com a esquematização da figura 7.3, um túnel aerodinâmico pode ser 
encarado como um tubo de Venturi de dimensões apreciáveis, em cuja secção mais estreita 
(a câmara de ensaio (3)) é colocado o modelo a ensaiar (6). O escoamento de ar é 
assegurado por um ventilador (5), ligado a um motor eléctrico. Basicamente, os túneis 
aerodinâmicos podem funcionar em circuito aberto (figura 7.3.(a)) ou em circuito 
322 Mecânica dos Fluidos 
 
 
9.15 – Teoria elementar dos perfis alares 
 A teoria dos perfis alares tem por principal objectivo a determinação da 
circulação desenvolvida pelo escoamento em torno de um perfil aerodinâmico 
(e, por consequência, da força de sustentação assim gerada), enquanto função 
da sua forma, das condições de aproximação e também do ângulo de ataque. 
Toda a teoria envolve a utilização de uma nomenclatura específica, em que noções 
como perfil e ângulo de ataque, entre outras, deverão ser, agora, clarificadas. 
9.15.1 – Nomenclatura 
Remeter-nos-emos, numa óptica introdutória como a presente, à nomenclatura 
estritamente indispensável à sequência do texto. Informação complementar poderá ser 
encontrada em textos de natureza maisespecializada, como os de Anderson (1989, 1991). 
São, aqui, consideradas essenciais as definições a seguir apresentadas. 
α
(a)
D
L
V
c
Ap
(b)
d esqueleto
linha de corda
c
h
b
 
FIGURA 9.27 – Nomenclatura essencial à teoria dos perfis alares. 
(a) superfície sustentadora; (b) perfil. 
– Superfície sustentadora: Corpo com forma aproximadamente plana ou ligeiramente 
encurvada, destinado a originar, no seu movimento em relação ao fluido envolvente, 
uma força de sustentação tão grande quanto possível e uma força de resistência que se 
procura minimizar. As asas de um avião, as velas de um barco ou as pás de uma 
turbomáquina axial são exemplos de superfícies sustentadoras. A figura 9.27.(a) 
representa uma ilustração desse conceito; 
– Envergadura: A maior dimensão segundo a perpendicular à direcção do movimento. 
Esta grandeza, denotada por b na figura 9.27.(a), é considerada infinita na análise 
bidimensional, o que equivale a ignorar os efeitos de extremidade. Desse domínio, 
supostamente infinito, é prática usual realizar o estudo 2-D sobre uma “fatia” de 
espessura unitária, sendo os resultados daí decorrentes válidos “por unidade de 
envergadura”; 
– Perfil: Secção recta da superfície sustentadora (figura 9.27.(b)). Pode ser constante ou 
variável ao longo da envergadura. É considerada constante na análise bidimensional; 
Exemplos de Aplicação Prática 551 
 
 
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13.7.2.4 – Turbina 
Ao sair da câmara de combustão, o fluido é parcialmente expandido (fenómeno que 
consiste em reduzir a sua pressão) ao passar pela turbina (do tipo turbina de gás), cujas 
pás são construídas em material resistente a altas temperaturas e pressões – nomeadamente 
uma liga de níquel, crómio, e ferro, chamada inconel, ou então uma liga de níquel e 
cobalto, ou ainda, mais recentemente, material cerâmico monocristalino. A energia – de 
pressão e cinética – assim comunicada pelo fluido às pás da turbina, serve para lhes 
conferir movimento de rotação, movimento esse que é directamente comunicado ao 
compressor, já que ambos – compressor e turbina – têm em comum o mesmo veio (cf. e.g. 
figura 13.7.5). 
 
FIGURA 13.7.8 – Vista em corte de um motor turboreactor General Electric J85-GE-17A. 
Fonte: Wikipedia, © Acharya, S. 
No corte de motor da figura 13.7.8, são claramente visíveis a turbina (sobre a direita), o 
compressor (à esquerda) e o veio que liga as duas turbomáquinas. Embora a fatia mais 
significativa (cerca de dois terços) da energia de rotação da turbina seja usada para mover 
o compressor, uma parte do remanescente é consumida no accionamento de equipamentos 
acessórios, tais como bombas hidráulicas, de combustível ou de óleo. 
13.7.2.5 – Bocal de saída 
 
FIGURA 13.7.9 – Bocais de saída de um aparelho F-15E Eagle. 
Fonte: Wikipedia, © Jenkins, S. M. 
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568 Mecânica dos Fluidos 
 
 
Na expressão (13.8.10), o termo fonte Sφ foi explicitado como uma combinação linear 
envolvendo φ , ou seja, fez-se: 
1 2S S Sφ φ= + (13.8.11) 
com 1S e 2S constantes158. 
Δxe+
uo
wb
wt
ue
Δx
Δxo Δxe
Δzt
Δzb
Δxe-
 O
 o
 E
 e
 T
 t
 B
 b
 P
z
x
 
FIGURA 13.8.2 – Volume de controlo centrado na variável φ. 
A integração da equação anterior, no VC envolvendo o ponto P representado na figura 
13.8.2, conduz a159: 
( )
( )P P
0 0
P P P P P OE P
e e e e o o o o
e o
T P P B
t t t t b b b b 1 2 P
t b
x z
u u
t x x
w w S S x z
z z
ρ φ ρ φ Δ Δ φ φφ φρ φ Γ ρ φ ΓΔ Δ Δ
φ φ φ φρ φ Γ ρ φ Γ φ Δ ΔΔ Δ
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−−+ − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −− − − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(13.8.12) 
ou 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )P P
0 0
P P P P
e e e E P o o o P O
t t t T P b b b P B 1 2 P
x z
F D F D
t
F D F D S S x z
ρ φ ρ φ Δ Δ φ φ φ φ φ φΔ
φ φ φ φ φ φ φ Δ Δ
− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (13.8.13) 
sendo F e D os coeficientes advectivos e difusivos, respectivamente: 
e e e o o o t t t b b bF u ; F u ; F w ; F wρ ρ ρ ρ= = = = (13.8.14) 
 
158 A necessidade de se proceder à linearização do termo fonte decorre de os métodos iterativos de resolução das 
equações discretizadas serem essencialmente vocacionados para tratar equações lineares. Informação adicional 
sobre este aspecto pode ser consultada em Patankar (1980). 
159 Recorde-se, de novo, que se considera aqui profundidade unitária, ou seja, y 1Δ ≡ . 
594 Mecânica dos Fluidos 
 
 
aplicar deve, no entanto, ser cuidadosamente ajustada, uma vez que influencia 
marcadamente a força de sustentação. 
 
FIGURA 13.10.5 – Sucção através de uma plataforma porosa colocada sob o veículo. 
13.10.1.4 – O método da simetria 
Do ponto de vista de um referencial solidário com o veículo, o solo é geometricamente 
coincidente com uma linha de corrente. Tirando partido deste facto, o método da simetria 
consiste na colocação de um segundo modelo, idêntico ao primeiro, em posição invertida 
relativamente a este, na zona de escoamento não perturbado (portanto, fora da camada 
limite), como mostra a figura 13.10.6. Este método garante a semelhança (entre modelo e 
protótipo) da linha de corrente na posição (agora fictícia) do solo. Contudo, não garante a 
semelhança em termos da velocidade do escoamento ao longo dessa mesma linha de 
corrente: no protótipo, a velocidade é constante e igual à do escoamento de aproximação 
(por imposição da aderência parietal no solo); no modelo, o seu valor varia, sendo 
dependente da geometria da parte inferior do veículo. 
 
FIGURA 13.10.6 – Ensaio de modelo em túnel de vento. Fixação independente das rodas. 
Este método é utilizado para o estudo de perfis alares, mas é pouco adoptado no caso de 
veículos, sobretudo por a área da secção transversal do túnel dever ser suficientemente 
grande para acomodar os dois modelos, mantendo a blocagem (ver secção 13.10.2) num 
valor aceitável. Acrescem, ainda, os custos inerentes ao modelo extra (construção e 
eventuais alterações posteriores de geometria, decorrentes da optimização). 
Exemplos de Aplicação Prática 609 
 
 
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descreverá mais adiante, este vórtices condicionam, em grande medida, as 
características de arrasto e de sustentação do veículo. 
 
FIGURA 13.11.3 – Sistema de vórtices típico num veículo de utilização quotidiana. 
13.11.3 – Forças aplicadas num veículo automóvel 
O resultado do escoamento de ar em torno de um veículo automóvel não se traduz 
unicamente na força de arrasto, mas sim num conjunto de forças e de momentos, 
referenciados a cada um dos eixos coordenados. 
Com base na figura 13.11.4, identificam-se: 
– D: força de arrasto, que actua segundo a direcção do movimento do veículo (Drag, 
na designação inglesa); 
– L: força de sustentação, que actua segundo a direcção perpendicular ao plano do solo 
(Lift, na designação inglesa); 
– Y: força lateral, que actua no plano do solo, perpendicularmente à direcção do 
movimento do veículo (side force, na designação inglesa); 
– M: momento de inclinação, definido com base no eixo perpendicular à direcção do 
movimento, no plano do solo (Pitch, na designação inglesa). Este momento estabelece 
a repartição do apoio aerodinâmico (força perpendicular ao plano do solo) entre o 
eixo dianteiro e o eixo traseiro; 
– N: momento de direcção, definido com base no eixo perpendicular ao plano do solo 
(Yaw, na designação inglesa); 
– R: momento de rolamento, definido com base no eixo paralelo à direcção de 
movimento do veículo (Roll, na designaçãoinglesa). 
Na ausência de vento lateral, actuam, sobre o veículo, somente a força de arrasto, D, a 
força de sustentação, L, e o momento de inclinação, M. Na presença de vento lateral (ou 
seja, para valores não nulos do ângulo β (cf. figura 13.11.4)), verifica-se uma assimetria do 
escoamento, surgindo, adicionalmente, a força lateral, Y, bem como os momentos de 
direcção, N, e de rolamento, R. 
Pilar C Pilar A
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Resolução dos Exercícios Propostos 653 
 
 
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Resolução dos exercícios referentes ao capítulo 2 
 
 EExxeerrccíícciioo PPrrooppoossttoo 22..11 
Dados: óleod 0.8= 1h 5cm= 2h 5cm= 3h 12cm= 4h 1cm= 
Resolução: 
Apesar de estarem ao mesmo nível e ligados pelo mesmo fluido na tubeira horizontal, 
os pontos A e B não se encontram à mesma pressão em virtude de o fluido aí existente estar 
em movimento. Não se trata, portanto, de uma situação hidrostática. Verifica-se, 
consequentemente, uma perda de carga ao longo do escoamento, traduzida numa queda de 
pressão. Diferente é a situação no tubo manométrico, onde os fluidos estão em repouso, 
sendo aí lícita a aplicação da lei fundamental da hidrostática. Assim, tomando o percurso 
de A até B através do tubo, pode-se escrever: 
( )B A água 1 óleo 2 Hg 4 3 1 2 óleo 3 água 4p p g h g h g h h h h g h g hρ ρ ρ ρ ρ= − − − + − − + + 
( )B A água 1 óleo 2 Hg 4 3 1 2 óleo 3 água 4p p g h h h h h h h hρ ρ ρ ρ ρ⎡ ⎤− = − − − + − − + +⎣ ⎦ 
Substituindo valores, obtém-se: 
. . . . . .
.
3 3
B A
B A
p p 9 81 10 0 05 800 0 05 13560 0 03 800 0 12 10 0 01
p p 3833 75 Pa
⎡ ⎤− = × − × − × − × + × + ×⎣ ⎦
− = − 
 
 EExxeerrccíícciioo PPrrooppoossttoo 22..22 
Dados: 3óleo 750 kg / mρ = 1h 0.4 m= 2h 3m= 
Resolução: 
a) Aplicando a equação fundamental da hidrostática entre os pontos A 
e B ao longo do tubo manométrico, e introduzindo a dimensão auxiliar h 
(ver figura ao lado), obtém-se: 
( ) ( ) ( )B A água C A óleo D C água D Bp p g z z g z z g z zρ ρ ρ= − − − − + − 
( )B A água óleo 1 água 1 2p p g h h h h hρ ρ ρ⎡ ⎤− = − − + + +⎣ ⎦ 
( )B A óleo 1 água 1 2p p g h h hρ ρ⎡ ⎤− = − + +⎣ ⎦ 
Substituindo valores: 
( ). . .3B Ap p 9 81 750 0 4 10 0 4 3 30411Pa⎡ ⎤− = × − × + + =⎣ ⎦ (1) 
b) Designe-se por atrpΔ a contribuição (em módulo) do atrito do escoamento nas 
paredes da tubeira para a variação de pressão entre os pontos A e B. Então: 
A
h
C
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DDEESSCCRRIIÇÇÃÃOO DDEE SSOOFFTTWWAARREE AAnneexxoo SS 
S4.1 – Programa EasyCFD: Cálculo numérico de escoamentos 
A presente obra disponibiliza uma versão simplificada do programa de cálculo 
EasyCFD, limitada a escoamentos isotérmicos, de um só fluido, em geometrias 
constituídas por fronteiras rectilíneas horizontais e verticais (sem contemplar, portanto, 
fronteiras inclinadas ou curvilíneas). A formulação teórica subjacente a esta versão 
encontra-se descrita na secção 13.8.6. 
São três as etapas a cumprir sequencialmente no tratamento de um problema: 
– Definição do Problema 
– Cálculo 
– Pós-Processamento 
Descrevem-se, seguidamente, cada uma destas fases de trabalho. 
S4.1.1 – Definição do Problema 
A figura S4.1 apresenta a interface gráfica para a Definição do Problema. Diversas 
zonas da interface (Espaços) encontram-se identificadas, para mais fácil referência. 
 
FIGURA S4.1 – Interface gráfica para a fase de Definição do Problema. 
5
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4 
5 
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