Aulas Introdução à Teoria Eletromagnética

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EE 521EE 521
Introdução à Teoria EletromagnéticaIntrodução à Teoria Eletromagnética
Força e Campo 
Eletrostático
Quadro 2
Introdução
� Matematicamente, um campo é uma distribuição 
espacial de uma quantidade escalar ou vetorial, 
que pode (variante) ou não (estático) ser uma 
função do tempo.
� Em eletrostática, as cargas elétricas (fontes) 
estão em repouso e os campos elétricos são 
invariantes no tempo e não há campos 
magnéticos.
� Em magnetostática, as fontes podem ser um imã 
permanente, um campo elétrico variando 
linearmente com o tempo ou uma corrente 
contínua (carga em movimento, principal foco de 
estudo).
Quadro 3
Introdução II
� Campos variáveis no tempo: o que 
acontece se o campo elétrico varia com o 
tempo? Como isto pode acontecer? E se o 
campo magnético for variável no tempo, 
quais as conseqüências? Qual a origem 
desta variação?
� Conceitos que levam a formulação das 
Equações de Maxwell.
Quadro 4
Força e campo eletrostáticoForça e campo eletrostático
� Lei de Coulomb e cargas elétricas.
� Campo elétrico devido a cargas pontuais e 
distribuídas (linha, superfície e volume).
� Campo elétrico de reta de cargas e plano 
uniformemente carregado.
� Linhas de campo elétrico.
Quadro 5
Carga e conservação
� Quem nunca observou o efeito de atração posterior ao 
atrito entre diferentes materiais?
� Na natureza, pode-se dizer que tudo e todos tendem a 
procurar um estado de equilíbrio.
� Os materiais, que são compostos por átomos e moléculas, 
apresentam um comportamento neutro em relação à 
eletricidade quando em equilíbrio.
� Em outras palavras, o somatório de cargas é nulo 
(princípio de conservação da carga).
� Carga: propriedade fundamental da matéria que existe 
somente em múltiplos positivos ou negativos da carga de 
um elétron :
e = 1,6021892 × 10-19 C
� C: unidade que define a carga – coulomb
Quadro 6
Atrito e atração
� Após o atrito entre corpos, cargas são transferidas de um 
material para outro, de forma a se quebrar a neutralidade 
→ os corpos passam a possuir carga.
� Se um corpo (mais leve) neutro ou com carga de sinal 
oposto é colocado próximo ao que foi friccionado, 
observa-se que uma atração passa a existir, ou seja, uma 
força age de forma semelhante ao que acontece com a 
gravidade, aproximando-se os corpos ao ponto de 
contato. 
� Este fenômeno já era observado desde a Grécia antiga. 
� Foi um coronel das forças armadas francesas, Charles 
Coulomb, intrigado por este efeito de atração, que 
elaborou uma série de experimentos para verificar este 
fenômeno.
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Quadro 7
Experimento de Coulomb
� Coulomb utilizou uma delicada 
balança de torção que inventou 
para determinar quantitativamente 
a força exercida entre dois objetos 
com determinada carga elétrica 
estática.
� Cargas iguais – repulsão.
� Cargas diferentes – atração. 
http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/
java/torsionbalance/index.html
Quadro 8
Como se acumulava carga??
Quadro 9
Lei de Coulomb
� Coulomb estabeleceu que a intensidade da força entre 
dois objetos pequenos, separados pelo vácuo ou pelo 
espaço livre, a uma distância grande comparada aos seus 
tamanhos, é diretamente proporcional à carga de cada 
um e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre eles:
� F é a força (N), Q1 e Q2 são as quantidades de cargas 
positivas ou negativas e R é a distância entre as cargas 
(m).
2
21
R
QQkF =
Quadro 10
Lei de Coulomb II
� A constante de proporcionalidade k é dada por:
� A permissividade do espaço livre tem valor dado 
por:
04
1
piε
=k
F/m10
36
110854,8 9120 −− ×≈×= pi
ε
Quadro 11
Lei de Coulomb III
� No entanto, como qualquer força, a lei de 
Coulomb tem caráter vetorial.
� Coulomb observou que a força de atração (cargas 
diferentes) ou repulsão (cargas iguais) age ao 
longo de uma linha imaginária que une as cargas. 
� Não esquecer que esta força é mútua (ação e 
reação): as forças que uma carga exerce sobre a 
outra são iguais em módulo, de mesmas direções, 
porém de sentidos opostos.
Quadro 12
Lei de Coulomb IV
� Sejam Q1 e Q2 duas 
cargas de mesmo sinal. A 
força que, por exemplo, 
Q1 exerce sobre Q2 é dada 
por:
122
120
21
122
12
21
12 ˆ4
ˆ a
R
QQ
a
R
QQkF
piε
==
r
12
12
12
12
12
12
12ˆ
rr
rr
R
R
R
R
a rr
rrr
r
r
−
−
===
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Quadro 13
Exemplo 1
Considere que uma carga Q1 = 3 × 10-4 C é colocada no ponto 
(1,2,3) do sistema cartesiano. Já a carga Q2 = -1 × 10-4 C é 
colocada em (2,0,5). Qual a força exercida por Q1 em Q2?
( ) ( ) ( )
zyx
zyx
zyxzyx
aaaR
aaarrR
aaaraaar
)))r
)))rrr
)))r)))r
22
352012
502321
12
1212
21
+−=
−+−+−=−=
++=++=
Resposta:
Primeiramente, encontram-se os vetores r1 e r2 e, depois, o vetor 
R12: 
Quadro 14
Exemplo 1 (cont.)
Assim, o versor a12 na direção do vetor R12 (representa o segmento 
orientado que vai da carga 1 à carga 2) é dado por:
3
ˆ2ˆ2ˆ
221
ˆ2ˆ2ˆ
ˆ
222
12
12
12
zyxzyx aaaaaa
R
R
a
+−
=
++
+−
== r
r
Aplicando a expressão que determina a força:
( )( )
( ) N3
ˆ2ˆ2ˆ
30
3
ˆ2ˆ2ˆ
310
36
14
101103
29
44
12 




 +−
−=
+−






×
×−×
=
−
−−
zyxzyx aaaaaaF
pi
pi
r
Quadro 15
Intensidade de Campo Elétrico
� A intensidade de campo elétrico é definida como sendo 
a força por unidade de carga que uma carga de teste 
muito pequena e estacionária sofre quando é colocada 
numa região (vácuo ou espaço livre) onde um campo 
elétrico existe.
� Em outras palavras, suponha que a carga Q1 esteja em 
uma posição fixa. Se a posição da carga Q2 é mudada 
lentamente em torno de Q1, observa-se que haverá 
sempre uma força atuando na segunda, independente-
mente da sua nova posição.
� Assim, Q2 está evidenciando a existência de um campo 
de força!!!
Quadro 16
Intensidade de Campo Elétrico II
� Se a segunda carga for considerada como uma carga 
de prova Qp, a força que age sobre ela é dada por:
� Escrevendo esta força por unidade de carga, tem-se o 
vetor intensidade de campo elétrico:
p
p
p
p aR
QQ
F 12
10
1
1 ˆ4piε
=
r
p
pp
p
a
R
Q
Q
F
E 12
10
11
ˆ
4piε
==
r
r
Quadro 17
Intensidade de Campo Elétrico III
� O vetor intensidade do campo elétrico, dado em 
unidades de newtons por coulomb (N/C), que equivale 
à volt (N.m/C) por metro (V/m), depende apenas da 
carga Q1 e está dirigido ao longo do segmento que vai 
desta carga à carga de prova.
� Dependendo da geometria do problema sendo 
analisado, pode ser necessário a adoção de um 
sistema de coordenadas mais adequado (cartesiano, 
cilíndrico ou esférico), para simplificar o problema.
Quadro 18
Generalizando o vetor E
� Seja Q uma carga positiva 
localizada em um determinado 
ponto do espaço. 
� O vetor E calculado em um 
ponto P do espaço é dado 
por:
RaR
QE ˆ
4 20piε
=
r
rr
rr
R
R
R
R
aR
′
−
′−
=== rr
rrr
r
r
ˆ
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Quadro 19
Exemplo 2
� Considere que uma carga q é colocada na origem de um 
sistema cartesiano. Determine o vetor intensidade de 
campo elétrico a uma distância (x,y,z) da origem.
zyxR
zyx
zyxzyx
a
zyx
z
a
zyx
y
a
zyx
x
R
R
a
azayaxrrR
azayaxraaar
ˆˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆˆ0ˆ0ˆ0
222222222 ++
+
++
+
++
==
++=′−=
++=++=′
r
r
rrr
rr
Resposta:
Como a carga está na origem, temos que o vetor r’ = 0. Portanto, 
os vetores r e R e o versor aR são dados por:
Quadro 20
Exemplo 2 (cont.)
zyxr a
zyx
z
azyx
y
a
zyx
x
a ˆˆˆˆ
222222222 ++
+
++
+
++
=
Observar que o versor aR corresponde, exatamente, ao versor ar das 
coordenadas esféricas, como se devia esperar: 
Assim, em coordenadas esféricas: 
r
a
r
qE ˆ
4 20piε
=
r
Quadro 21
Exemplo 3
� No ponto (-0,2; 0; -2,3), determine a intensidade de 
campo elétrico devido a uma carga Q = 5 × 10-9 C que é
colocada no ponto (0,2; 0,1; -2,5).
Resposta:
Neste caso como a carga não está na origem, deve-se trabalhar com 
o sistema cartesiano. Primeiramente, encontram-se os vetores r’, r
e R, e, depois, o versor aR:
( ) ( ) ( )222 2,01,04,0
ˆ2,0ˆ1,0ˆ4,0
ˆ
ˆ2,0ˆ1,0ˆ4,0
ˆ3,2ˆ0ˆ2,0ˆ5,2ˆ1,0ˆ2,0
+−+−
+−−
==
+−−=′−=
−+−=−+=′
zyx
R
zyx
zyxzyx
azaa
R
R
a
azaarrR
aaaraaar
r
r
rrr
rr
Quadro 22
Exemplo 3 (cont.)
Assim, a intensidade do campo elétrico é dada por:
( )
( )
( )V/mˆ437,0ˆ218,0ˆ873,05,214
458,0
ˆ2,0ˆ1,0ˆ4,0
458,010
36
14
105
29
9
zyx
zyx
aaaE
aaa
E
+−−=
+−−






×
×
=
−
−
r
r
pi
pi
Como ficaria o campo elétrico em um determinado ponto se mais 
de uma carga estivesse sendo considerada????
Quadro 23
Campo de n cargas pontuais
� Como ficaria o campo elétrico em um determinado 
ponto do espaço se mais de uma carga estiver sendo 
considerada simultaneamente?
� Observando-se a lei de Coulomb, chega-se a conclusão 
que a mesma é linear → assim, a intensidade do 
campo elétrico devido à contribuição de n cargas pode 
ser obtido aplicando-se o princípio da superposição, de 
tal forma que: 
k
k
n
k k
k
n
k
k
k
k
rr
rr
rr
Q
a
R
QE rr
rr
rr
r
−
−
−
== ∑∑
== 1
2
01
2
0 4
1
ˆ
4
1
piεpiε
Quadro 24
Exemplo 4
Considere que as cargas Q1 e Q2 são colocadas no espaço 
de acordo com o diagrama apresentado. Determine o vetor 
intensidade de campo elétrico no ponto P.
x
y
z
Q1
Q2
P
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Quadro 25
Exemplo 4 (cont.)
Resposta: o diagrama abaixo mostra uma possível solução para o 
problema apresentado.
( ) ( )








−
−
+
−
−
= 3
2
22
3
1
11
04
1
rr
rrQ
rr
rrQE rr
rr
rr
rr
r
piε
Quadro 26
Campo devido a cargas distribuídas
� Ao considerar uma região do espaço preenchida por um número 
muito grande de cargas separadas por distâncias infinitesimais, 
pode-se substituir esta distribuição de cargas pontuais por uma 
distribuição suave e contínua chamada de densidade volumétrica 
de carga.
� Se um pequeno volume ∆v deste espaço contém uma pequena 
quantidade de carga ∆Q uniformemente distribuída, a densidade 
volumétrica de carga (C/m3) pode ser escrita como:
v
Q
v ∆
∆
=ρ
Quadro 27
Densidade volumétrica de carga
� Matematicamente, pode-se transformar a contribuição 
do elemento de carga ∆Q em pontual aplicando-se o 
limite quando ∆v tende a zero, de maneira que:
� A carga total (distribuída uniformemente) é, portanto:
dv
dQ
v
Q
v
v =∆
∆
=
→∆ 0
limρ
∫=
volume
vdvQ ρ
Quadro 28
O campo elétrico e ρv
� Considerando-se o que foi apresentado em relação ao 
campo elétrico de várias cargas pontuais, cada 
elemento de carga dQ pode ser assumido como uma 
carga pontual e, portanto, gerar uma contribuição 
vetorial dE à intensidade total de campo elétrico dada 
por: 
RaR
dQEd ˆ
4 20piε
=
r
Quadro 29
O campo elétrico e ρv II
� Como se assume uma distribuição de cargas, o 
somatório pode ser substituído por uma integração, de 
maneira que o campo elétrico total fica: 
∫∑∑ =⇒=
∞
=
∞
=
R
k
R
k
a
R
dQEa
R
dQEd ˆ
4
1
ˆ
4
1
2
01
2
01 piεpiε
rr
∫∫
′
−
′
−
′
−
==
volume
v
volume
v
R dv
rrrr
rrdv
R
aE 2
0
2
0 4
1
ˆ
4
1
rrrr
rr
r ρ
piε
ρ
piε
Quadro 30
Comentários
� Na equação acima, o vetor r liga a origem ao ponto onde 
o vetor E está sendo determinado.
� O vetor r’ liga a origem ao ponto onde se situa o 
elemento de carga dQ = ρvdv. 
� A distância entre o elemento de carga e o ponto é dado 
pelo termo em módulo.
� A notação “volume” da integral deve ser considerada 
como uma integração tripla.
∫
′
−
′−
=
volume
v
dv
rr
rrE 3
04
1
rr
rr
r
ρ
piε
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Quadro 31
Densidade superficial de carga
� Se a região de concentração de um número muito grande de 
cargas separadas por distâncias infinitesimais for uma superfície, 
pode-se substituir esta distribuição de cargas pontuais por uma 
distribuição suave e contínua chamada de densidade superficial 
de carga ρs.
� Esta distribuição de carga é importante, pois pode representar 
aquelas encontradas em linhas de transmissão do tipo fita ou 
em capacitores de placas paralelas. 
� Como será visto posteriormente, como a carga eletrostática 
permanece na superfície de condutores, o conceito de ρs se 
torna útil no estudo de vários problemas.
Quadro 32
O campo elétrico e ρs
� De maneira semelhante ao que foi definido em relação à 
densidade volumétrica de carga, a densidade superficial de 
carga é dada por:
� Assim, assumindo-se um elemento de carga superficial dQ como 
uma carga pontual, a contribuição vetorial dE à intensidade total 
de campo elétrico dada por: 
R
s a
R
ds
Ed ˆ
4 20piε
ρ
=
r
ds
dQ
s
Q
s
s
=
∆
∆
=
→∆ 0
limρ
Quadro 33
O campo elétrico e ρs II
� Integrando-se as contribuições pontuais, campo 
elétrico total fica: 
∫=
área
R
s a
R
ds
E ˆ
4
1
2
0
ρ
piε
r
∫
′
−
′−
=
área
s
ds
rr
rrE 3
04
1
rr
rr
r
ρ
piε
Quadro 34
Densidade linear de carga
� Pode-se ainda considerar a região de concentração de 
um número muito grande de cargas separadas por 
distâncias infinitesimais como sendo uma linha (uma 
dimensão). 
� Da mesma forma que anteriormente, esta distribuição 
de cargas pontuais pode ser substituída por uma 
distribuição suave e contínua chamada de densidade 
linear de carga ρl.
� Por exemplo, no caso de um feixe de elétrons, se a 
movimentação dos mesmos é constante e uniforme, 
pode-se considerar esta situação como de elétrons 
estacionários com carga distribuída ρl.
Quadro 35
O campo elétrico e ρl
� Mais uma vez, de maneira semelhante ao que foi definido para 
densidade volumétrica de carga, a densidade linear de carga é 
dada por:
� Assim, assumindo-se um elemento de carga linear dQ como uma 
carga pontual, a contribuição vetorial dE à intensidade total de 
campo elétrico dada por: 
R
l a
R
dl
Ed ˆ
4 20piε
ρ
=
r
dl
dQ
l
Q
ll
=
∆
∆
=
→∆ 0
limρ
Quadro 36
O campo elétrico e ρl II
� Integrando-se as contribuições pontuais, campo 
elétrico total fica: 
∫=
linha
R
l a
R
dl
E ˆ
4
1
2
0
ρ
piε
r
∫
′
−
′−
=
linha
l dl
rr
rrE 3
04
1
rr
rr
r
ρ
piε
© Aldário Bordonalli 7
Quadro 37
Exemplo 5
Calcular o campo elétrico num ponto P devido a 
uma linha de carga reta de comprimento infinito e 
densidade linear de carga uniforme ρl.
.
.
.
P
.
.
.
ρl
Quadro 38
Exemplo 5 (cont.)
� Uma maneira de simplificar a solução de um problema de 
eletromagnetismo é procurar algum tipo de simetria em relação 
à origem do sistema de coordenadas a ser adotado.
� Com isto, pode-se chegar a conclusões qualitativas, tais como 
em que coordenadas o campo não varia e/ou quais 
componentes do campo não estão presentes. 
� Para o exemplo em questão, por se tratar de uma linha infinita, 
pode-se adotar a origem de coordenadas sobre a linha de 
carga, num ponto onde uma reta imaginária,perpendicular à
linha e passando por P, corta a linha de carga.
� Dada a simetria do problema, que é a de encontrar o campo 
num ponto P a uma certa distância da linha, o sistema de 
coordenadas cilíndricas se mostra o mais adequado.
Quadro 39
Exemplo 5 (cont.)
.
.
.
P
.
.
.
ρl
x
y
z
Quadro 40
Exemplo 5 (cont.)
Tomando-se agora um elemento de carga dQ distante da 
origem de uma distância L, o elemento de campo dE pode 
ser determinado segundo o esquema abaixo.
ρl
dEρ
d
Quadro 41
Exemplo 5 (cont.)
Considerando a simetria relativa ao ponto P, há um elemento de carga 
dQ distante da origem também de L, em posição simétrica em relação 
ao primeiro. Assim, pode-se concluir que o campo total deverá existir 
apenas na direção radial → isto ocorrerá pois haverá o cancelamento 
das componentes em z devido à simetria dos elementos de carga. 
Se o ponto for girado em torno do eixo z, a situação continuará se 
repetindo e apenas a componente radial continua existindo → portanto, 
não há componente de campo nas direções z e φ. 
R
dEρ
dEz
dEρ
Quadro 42
Exemplo 5 (cont.)
R
l a
R
dlEd ˆ
4 20piε
ρ
=
r
rrR ′−= rr
r
( ) constante== ll z ρρ
22
sin
Ld
d
+
=θ
22 LdrrR +=′−= rr
r
R
R
aR r
r
=ˆ
dLdl =
θρ
ρρρ
sin
ˆ
EddE
adEEdEd
r
rr
=
==Como há simetria, o campo existe apenas na 
direção radial, de maneira que:
ρl
d
r’
r
dL
dEρ
aρ
© Aldário Bordonalli 8
Quadro 43
Exemplo 5 (cont.)
( )
( )
( )mV
d
aE
d
E
Ld
dLdE
Ld
d
Ld
dLdE
R
dLdE
l
l
l
l
l
/
2
ˆ
2
4
4
sin
4
0
0
2/322
0
22222
0
2
0
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
θ
piε
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
=∴
=
+
=
++
=
=
∫
∞+
∞−
r
ρl
d
r’
r
dL
dEρ
aρ
Quadro 44
Comentários
� A adoção da origem do sistema de coordenadas em 
relação ao ponto P facilitou a resolução do problema – a 
solução ficaria bem mais complicada se a origem fosse 
arbitrária, sem levar a simetria em consideração. 
� A adoção do sistema de coordenadas cilíndricas também 
tende a simplificar a solução. 
� Se a densidade de carga linear não for uniformemente e 
simetricamente distribuída, componentes de campo na 
direção z poderão existir. 
� Apesar da linha de carga infinita não existir fisicamente, 
os resultados obtidos podem ser aproximados para uma 
longa linha de carga finita, em pontos próximos (distância 
muito menor que o comprimento da linha) à linha. 
Quadro 45
Exemplo 6
Calcular o campo elétrico num ponto P devido a 
uma superfície plana infinita de cargas com 
densidade superficial de carga uniforme ρs.
.
.
.
P
.
.
.
ρs
...
...
Quadro 46
Exemplo 6 (cont.)
� Para o exemplo em questão, por se tratar de uma 
superfície plana infinita, pode-se adotar o plano yz
como representando a superfície, com o eixo x
perpendicular a ela e passando por P.
� Se um elemento superficial de carga de comprimento 
infinito paralelo ao eixo z e espessura dy a uma 
distância y da origem for considerado, a simetria em z
(valem as conclusões da linha infinita de carga) e em 
y (existe um elemento simétrico em relação à origem 
com as mesmas dimensões) levam à conclusão de que 
o campo só poderá existir na direção x.
Quadro 47
Exemplo 6 (cont.)
Considerando o elemento de carga dQ distante da origem de y, o elemento 
de campo dE = dEx pode ser determinado segundo o esquema abaixo
xˆ
dEx
Eρ
Quadro 48
Exemplo 6 (cont.)
� É interessante notar observar que a análise do problema 
pode partir dos resultados obtidos para a linha de carga 
infinita → a superfície infinita é formada por um infinito 
número de linhas de carga infinitas colocadas 
paralelamente!!
� Como a distribuição de cargas é uniforme, sem perda de 
generalidade, pode-se escrever que:
� Portanto, o campo gerado por uma linha de carga contida 
na superfície e pertencente ao elemento de carga é: 
dysl ρρ =
θ
piε
ρ
piε
ρ
ρρ cos22
ˆ
00 R
dydE
R
aE sxl =⇒=
r
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Quadro 49
Exemplo 6 (cont.)
xˆ
dEx
Eρ
( )
( )
0
0
22
0
22
0
0
2
ˆ
2
2
2
cos
2
ε
ρ
ε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
θ
piε
ρ
s
x
s
x
s
x
s
x
s
x
xE
E
dy
yx
xE
yx
xdydE
R
dydE
=∴
=
+
=
+
=
=
∫
∞+
∞−
r
Quadro 50
Comentários
� Se o ponto P fosse escolhido no eixo x negativo, o campo 
seria o mesmo, porém, acrescido do sinal de menos. 
� O resultado mostra que o campo resultante de uma placa 
plana infinita é constante em módulo e direção, 
independentemente da distância do ponto de referência à 
superfície.
� Fica como sugestão resolver novamente o problema, 
considerando o elemento de carga como um anel cujo 
centro coincide com a origem do sistema de 
coordenadas. 
� O que aconteceria com a intensidade do campo elétrico 
se uma segunda superfície infinita de densidade uniforme 
de carga -ρs fosse colocada paralelamente à primeira, a 
uma distância x = a?
Quadro 51
O capacitor de placas paralelas
� Como a intensidade do campo independe da distância, a 
contribuição de cada placa será, em módulo, a mesma!!!! 
� Para x > a: 
� Para x < 0:
� Para 0 < x < a:
0
2
ˆ
2
ˆ 21
0
2
0
1 =+=−== EEExExE totalss
rrrrr
ε
ρ
ε
ρ
0
2
ˆ
2
ˆ 21
0
2
0
1 =+==−= EEExExE totalss
rrrrr
ε
ρ
ε
ρ
0
21
0
2
0
1 ˆ2
ˆ
2
ˆ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ s
total
ss xEEExExE =+===
rrrrr
Quadro 52
Comentários
� O resultado mostra que, quando duas superfícies infinitas 
de densidades superficiais de carga uniformes e de sinais 
contrários são colocadas paralelamente uma à outra, a 
intensidade de campo elétrico resultante é zero para 
região externa às superfícies e constante no interior, 
independentemente da distância entre as superfícies.
� O resultado aproxima-se daquele obtido para um 
capacitor de placas paralelas, contanto que as dimensões 
das placas sejam muito maiores que a separação entre 
elas e que o ponto de referência esteja bem distante das 
bordas. 
� O campo externo de um capacitor real é diferente de 
zero, porém, na maioria dos casos, desprezível. 
Quadro 53
Linhas de campo
� Por definição, as linhas de campo são linhas tangentes, 
em cada ponto, ao vetor intensidade de campo elétrico 
resultante. 
� Como as análises do campo produzido por diferentes 
distribuições de carga resultam em equações vetoriais, 
nem sempre a interpretação do módulo e da distribuição 
espacial deste campo é uma tarefa simples, como no 
caso dos exemplos até agora analisados. 
� Em muitos casos, utilizar um recuso visual para a 
representação do campo permite uma interpretação mais 
simples e rápida do mesmo, contanto que se saiba o que 
se pretende desenhar → o conceito de linhas de campo 
se torna útil.
� Por exemplo, considere o campo produzido por uma linha 
de carga → das análises feitas, este campo possui 
direção radial, com intensidade caindo com o inverso da 
distância. Como ficariam as linhas de campo?
Quadro 54
Linhas de campo de uma linha de carga
Representação 
pobre
Representação 
direcional e de 
intensidade
Representação 
direcional e de 
intensidade
Representação 
apenas direcional
© Aldário Bordonalli 10
Quadro 55
A representação direcional
� Como observado, a representação da intensidade do 
campo pode conter mais detalhes do que se pode 
imaginar. 
� No último exemplo, observa-se que houve a 
preocupação, apenas, de se mostrar a direção do campo. 
� Foram desenhadas linhas contínuas, partindo da carga e 
tangentes, em qualquer ponto, ao campo, onde assetas 
indicam a direção do mesmo.
� Estas linhas, representação mais comum das linhas de 
campo (ou linhas de fluxo ou linhas de direção), podem 
conter a informação da intensidade do campo se o 
espalhamento entre as linhas for levado em consideração 
(espaçamento inversamente proporcional à intensidade).
� No exemplo anterior, as linhas ficam mais distantes umas 
das outras (a intensidade do campo cai) conforme o 
ponto de referência se afasta da linha de carga. 
Quadro 56
Linhas de campo de um dipolo
( ) ( )[ ]θθ
piε θ
sinˆcos2ˆ
4 30
aa
R
qdE r +=
r
x
z
θ
Quadro 57
Como esboçar as linhas de campo?
� Obviamente, o esboço das linhas de campo do 
exemplo anterior é mais complexo que o 
mostrado, pois apenas o plano que contém as 
cargas foi considerado.
� Normalmente, esta simplificação é adotada para 
facilitar a visualização.
� Deve-se destacar que duas linhas de campo 
nunca se cortam pois, se isto acontecesse, na 
interseção teriam-se duas direções para o campo 
em um mesmo ponto, o que, pela definição de 
linhas de campo, seria impossível.
Quadro 58
Como esboçar as linhas de campo?
� Seja um arco elementar orientado dl
de uma linha de campo → a 
condição de paralelismo entre o 
vetor campo elétrico e dl (com 
componentes dy e dx) determina a 
proporcionalidade entre suas 
componentes de campo, de maneira 
que:
� Este procedimento permite montar 
as equações diferenciais para as 
linhas de campo.






==
dz
E
dy
E
dx
E zyx
Quadro 59
Exemplo 7
Determinar as linhas de força de uma linha de 
carga com ρl = 2piε0. 
( )mV
d
aE /1ˆρ=
r
Neste caso, tem-se que:
Em coordenadas cartesianas:
0ˆˆ1ˆ
sin1ˆˆ1ˆ
cos
1
ˆˆ
1
ˆ
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
zzz
yyy
xxx
aa
d
aEA
d
aa
d
aEA
d
aa
d
aEA
ρ
ρ
ρ
φ
φ
r
r
r
( )mV
yx
y
a
yx
x
aE
yx
x
yx
y
yxd
yx /ˆˆ
cossin
2222
2222
22
+
+
+
=
+
=
+
=
+=
r
φφ
Quadro 60
Exemplo 7 (cont.)
Assim:
Portanto, tem-se que:
x
dx
y
dy
x
y
E
E
dx
dy
x
y
=⇒==
( )
Cxy
CCCxCxy
x
dx
y
dy
=∴
=′+=′+=⇒= lnlnlnlnln
O resultado acima permite-se traçar as linhas de campo 
para uma linha de carga infinita no plano xy, ao se variar o 
valor da constante C.
© Aldário Bordonalli 11
Quadro 61
Exemplo 7 (cont.)
Quadro 62
Exemplo 8
Determinar a equação das linhas de campo para o 
campo elétrico: 
( )mV
y
a
x
aE yx /
1
ˆ
1
ˆ +=
r
Neste caso, tem-se que: ydyxdx
y
x
E
E
dx
dy
x
y
=⇒==






=′=−⇒′+=⇒=
222
22
22 CCCyxCyxydyxdx
hipérbole
Assim:
Quadro 63
Exemplo 8 (cont.)
C = 1
C = 4
C = 16