Aula 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Introduc¸a˜o a` Econometria
Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo
Aula 3
5 Jan 2008 5:56 p.m.
Revisa˜o de Estat´ıstica I
0. INTRODUC¸A˜O
O objetivo desta aula e´ apresentar noc¸o˜es ba´sicas da teoria da probabilidade, concentrando-se nos axiomas,
no conceito de varia´vel aleato´ria, valor esperado e variaˆncia, bem como destacar algumas distribuic¸o˜es
estat´ısticas e a noc¸a˜o do teste de hipo´tese.
1. TEORIA DA PROBABILIDADE
Pierre Laplace propoˆs a seguinte definic¸a˜o para a probabilidade:
Definic¸a˜o 1:
Se um experimento aleato´rio e´ composto por N eventos exclusivos e igualmente poss´ıveis e NA representa a
ocorreˆncia de um evento A, enta˜o a probabilidade de A e´ definida como:
P (A) =
NA
N
Vejamos uma ilustrac¸a˜o para este conceito. Considere o conjunto dos poss´ıveis resultados para o jogo
de duas moedas:
S = {(C,K), (K,C), (C,C), (K,K)}, N = 4.
Onde C representa “cara” e K “coroa”. Defina A como os eventos onde observa-se pelo menos uma cara.
Assim,
A = {(C,K), (K,C), (C,C)}.
Neste caso, NA = 3, sendo assim, a probabilidade de A sera´ P (A) = 34 . Esta abordagem, ilustrada a
partir deste exemplo simples, e´ conhecida como definic¸a˜o cla´ssica da probabilidade. Entretanto, na˜o ob-
stante a` sua importaˆncia, esta definic¸a˜o possui uma limitac¸a˜o importante: ela e´ aplicada apenas a`s situac¸o˜es
onde existam apenas um nu´mero finito de poss´ıveis resultados.
Digamos que o jogo possua a seguinte regra: joga-se a moeda ate´ que a coroa aparec¸a. Desta forma,
poder´ıamos ter S = {(K), (C,K), (C,C,K), (C,C,C,K), ...}. Neste caso, como calcular as probabilidades a
partir da abordagem cla´ssica? Duas alternativas sa˜o propostas: as abordagens “frequ¨eˆntista” e “subjetiva”.
O argumento ba´sico da teoria frequ¨eˆntista e´ que a probabilidade na˜o pode ser restrita a uma situac¸a˜o
de simetria (igualmente poss´ıvel) e sim a partir da estabilidade observada em frequ¨eˆncias emp´ıricas. Por
exemplo, no caso do jogo das moedas a probabilidade do evento A = {C} sera´ 12 , na˜o por conta da simetria
entre os eventos igualmente poss´ıveis. A probabilidade sera´ 12 , pois se a moeda for jogada um grande nu´mero
de vezes, a frequ¨eˆncia de ocorreˆncia de A convergira´ para este nu´mero. Ou seja,
lim
n→∞
(
nA
n
)
= PA.
Ja´ a abordagem subjetiva incorpora as informac¸o˜es a priori a respeito da ocorreˆncia do evento. Ou
seja, o pesquisador baseia-se em experieˆncias passadas criando um “banco” de resultados, estas informac¸o˜es
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 3 pa´gina 2
sa˜o introduzidas no ca´lculo da probabilidade do evento a partir da regra de Bayes. Por conta disso, este
procedimento e´ conhecido como abordagem bayesiana da probabilidade.
2. ABORDAGEM AXIOMA´TICA
O ponto de partida para a abordagem axioma´tica e´ a definic¸a˜o de experimento aleato´rio:
Definic¸a˜o 2:
Um experimento aleato´rio, denotado por E, que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(i) todos os poss´ıveis e distintos resultados sa˜o conhecidos a priori e;
(ii) pode ser repetido sob condic¸o˜es ideˆnticas.
Neste contexto, a abordagem axioma´tica pode ser vista como uma formalizac¸a˜o do conceito de experi-
mento aleato´rio.
Definic¸a˜o 3:
O espac¸o amostral, denotado por S, e´ definido como o conjunto de todos os poss´ıveis resultados do
experimento E. Os elementos de S sa˜o denomindados de eventos elementares.
Exemplo:
Considere o experimento E de jogar duas moedas e obervar sua face. Desta forma, o espac¸o amostral
de E sera´:
S = {(C,K), (K,C), (C,C), (K,K)},
onde (C,K),(K,C),(C,C),(K,K) sa˜o os eventos elementares de S.
Sendo assim, a probabilidade e´ definida como um conjunto de func¸o˜es que satisfazem os seguintes
axiomas:
Axioma 1: P (A) ≥ 0;
Axioma 2: P (S) = 1;
Axioma 3: P (
⋃∞
i=1Ai) =
∑∞
i=1 P (Ai) se {Ai}∞i=1 e´ uma sequ¨eˆncia de eventos exclusivos (Ai ∩Aj =Ø);
Destacam-se algumas propriedades importantes:
P1: P (A) = 1− P (A);
P2: P (Ø)= 0;
P3: se A1 ⊂ A2, P (A1) ≤ P (A2);
P4: P (A1 ∪A2) = P (A1) + P (A2)− P (A1 ∩A2);
P5: se {An}∞n=1 e´ uma sequ¨eˆncia mono´tona, enta˜o P (limn→∞An) = limn→∞ P (An).
2.1. Probabilidade Condicional
O ca´lculo da probabilidade condicional e´ efetuado de acordo com a seguinte fo´rmula:
PA(A1) = P (A1|A) = P (A1 ∩A)
P (A)
.
Vejamos, seja A1 = {(C,K)} e A = {(C,K), (C,C)}, sabendo que P (A1) = 14 , P (A) = 12 , P (A1 ∩A) =
P ({(C,K)}) = 14 , enta˜o:
PA(A1) = P (A1|A) = 1/41/2 = 1/2
Da fo´rmula apresentada deduz-se que:
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P (A1 ∩A2) = P (A1|A2)P (A2)
P (A1 ∩A2) = P (A2|A1)P (A1),
se,
P (A2|A1) = P (A1),
enta˜o A1 e A2 sa˜o independentes.
3. VARIA´VEL ALEATO´RIA
O resultado de um experimento aleato´rio e´ denominado de varia´vel aleato´ria (va’s). Geralmente, as va sa˜o
representadas por letras maiu´sculas, enquanto seus valores observados sa˜o indicados por letras minu´sculas.
Uma va pode ser discreta ou cont´ınua. No caso discreto a va assumira´ um nu´mero finito de valores.
Ja´ no caso cont´ınuo ela podera´ assumir qualquer valor dentro de um intervalo cont´ınuo.
Exemplos:
a) Se definirmos a va X como a soma dos nu´meros que aparecem no jogo de dois dados, enta˜o X
assumira´ os valores: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Ou seja, X sera´ uma va discreta;
b) Caso a va Y seja definida como a altura de um aluno desta sala. Neste caso, Y sera´ uma va cont´ınua,
dado que ela pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo.
Vejamos agora a associac¸a˜o entre a va e as distribuic¸o˜es de probabilidade. Vamos iniciar com o caso
univariado discreto. Vimos que a va X pode assumir um conjunto de valores x1, x2, ..., xk e estes, por sua vez,
esta˜o associados a probabilidades p1, p2, ..., pk. Neste caso a func¸a˜o de densidade de probabilidade (FDP)
sera´:
f(x) = P (X = xi), i = 1, 2, ..., n, ...
f(x) = 0, x 6= xi
Desta forma, considerando ainda o exemplo “a”, onde a va X representa a soma dos nu´meros observados
na face dos dois dados, teremos,
x = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12.
Suas respectivas probabilidades sera˜o:
f(x) =
(
1
36
)(
2
36
)(
3
36
)(
4
36
)(
5
36
)(
6
36
)(
5
36
)(
4
36
)(
3
36
)(
2
36
)(
1
36
)
.
Para o caso cont´ınuo as seguintes condic¸o˜es sa˜o requeridas:
f(x) ≥ 0∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1
∫ b
a
f(x)dx = P (a ≤ x ≤ b),
onde f(x)dx representa o elemento de probabilidade e P (a ≤ x ≤ b) a probabilidade de X se encontrar no
intervalo ab. Sabemos que no caso cont´ınuo a probabilidade de X assumir um valor espec´ıfico e´ zero.
Exemplo:
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Considere a seguinte func¸a˜o de densidade:
f(x) =
1
9
x2, 0 ≤ x ≤ 3
Note que
f(0) =
1
9
02 = 0
f(1) =
1
9
12 = 0, 111...
f(3) =
1
9
32 = 1.
Logo, f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 3). Em segundo lugar, sabemos que a integral de f(x) sera´:∫
f(x)dx =
1
27
x3
1
27
x3|30 =
1
27
33 − 1
27
03 = 1.
Digamos que se queira observar a probabilidade de se encontrar um x ∈ (0, 1), enta˜o:∫
f(x)dx =
1
27
x3,
1
27
x3|10 =
1
27
13 − 1
27
03 =
1
27
.
Vejamos a func¸a˜o de densidade de probabilidade conjunta. Sejam X e Y duas va’s discretas,
enta˜o:
f(x, y) = P (X = x;Y = y)
f(x, y) = 0, X 6= x, Y 6= y.
Esta func¸a˜o e´ conhecida como func¸a˜o de densidade de probabilidade conjunta discreta, ou seja,
ela fornece a probabilidade de X assumir o valor x e Y assumir o valor y.
Considere agora a func¸a˜o de densidade de probabilidade marginal discreta:
f(x) =
∑
y
f(x, y),
ou seja, a marginal de X, da mesma forma:
f(y) =
∑
x
f(x, y),
e´ a marginal de Y .
Ja´ a func¸a˜o de densidade de probabilidade condicional e´ dada por:
f(x|y)= P (X = x|Y = y).
As FDP’s condicionais podem ser obtidas por:
f(x|y) = f(x, y)
f(y)
,
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e,
f(y|x) = f(x, y)
f(x)
,
ou seja, como a raza˜o entre a FDP conjunta e a FDP marginal de outra varia´vel.
Estes conceitos conduzem ao resultado da independeˆncia estat´ıstica:
f(x, y) = f(x)f(y),
ou seja, as varia´veis aleato´rias sera˜o consideradas independentes se a FDP conjunta puder ser expressa como
o produto das FDP’s marginais.
4. CARACTERI´STICAS DAS DISTRIBUIC¸O˜ES DE PROBABILIDADE
Valor esperado
O valor esperado de um va discreta X, denominado E(X), e´ definido por:
E(X) =
∑
x
xf(x),
onde f(x) e´ a FDP de X.
Exemplo:
Considere o exemplo do jogo dos dados discutido anteriormente, assim:
E(X) = 2
(
1
36
)
+ 3
(
2
36
)
+ ...+ 12
(
1
36
)
= 7.
O valor esperado de uma va cont´ınua X sera´:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx,
onde a u´nica diferenc¸a para o caso discreto reside na considerac¸a˜o da integral no lugar do somato´rio.
Exemplo:
No caso da func¸a˜o f(x) = 19x
2, 0 ≤ x ≤ 3, este valor sera´:
E(X) =
∫ 3
0
x
(
1
9
x2
)
dx
E(X) =
1
9
∫ 3
0
(
x3
)
dx
E(X) =
1
9
(
x4
4
)∣∣∣∣∣
3
0
E(X) =
1
9
(
34
4
)
− 1
9
(
04
4
)
= 2, 25.
Propriedades dos valores esperados
Para uma constante b:
E(b) = b.
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Se a e b forem constantes:
E(aX + b) = aE(X) + b.
Se X e Y forem va’s independentes:
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Variaˆncia
Se X e´ uma va com E(X) = µ, enta˜o a dispersa˜o dos valores de X em torno de sua me´dia pode ser
medida pela variaˆncia, que e´ definida por:
V ar(X) = σ2X = E(X − µ)2.
A raiz quadrada positiva de σ2X , σX , e´ definida como desvio padra˜o. Na forma discreta, a variaˆncia e´
definida por:
V ar(X) =
∑
x
(X − µ)2f(x),
na forma cont´ınua ela sera´:
V ar(X) =
∫ ∞
−∞
(X − µ)2f(x)dx.
Por vezes, a variaˆncia e´ calculada da seguinte forma:
var(X) = E(X − µ)2
var(X) = E(X2 − 2Xµ+ µ2)
var(X) = E(X2)− E(2Xµ) + E(µ2))
var(X) = E(X2)− 2E(X)E(X) + E(X)2
var(X) = E(X2)− 2E(X)2 + E(X)2
var(X) = E(X2)− E(X)2.
Exemplo:
No caso da func¸a˜o f(x) = 19x
2, 0 ≤ x ≤ 3, a variaˆncia sera´:
E(X2) =
∫ 3
0
x2
(
1
9
x2
)
dx
E(X2) =
1
9
∫ 3
0
(
x4
)
dx
E(X2) =
1
9
(
x5
5
)∣∣∣∣∣
3
0
E(X2) =
1
9
(
35
5
)
− 1
9
(
05
5
)
= 5, 40.
Como E(X) = 2, 25, enta˜o:
var(X) = 5, 40− (2, 25)2 = 5, 40− 5, 06 = 0, 34.
Propriedades da variaˆncia
A variaˆncia de uma constante e´ zero.
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Se a e b forem constantes:
var(aX + b) = a2var(X).
Se X e Y forem va’s independentes:
var(X + Y ) = var(X) + var(Y ).
Se X e Y forem va’s independentes e a e b forem constantes:
var(aX + bY ) = a2var(X) + b2var(Y ).
5. MOMENTOS SUPERIORES DAS FDP’s
Na sec¸a˜o anterior foram discutidos os conceitos de esperanc¸a e variaˆncia comomomentos da distribuic¸a˜o de
uma va. Consideremos agora os momentos superiores de uma f(x) como uma forma de captar importantes
caracter´ısticas desta func¸a˜o.
Terceiro momento
E(X − µ)3.
Quarto momento
E(X − µ)4.
Em termos gerais define-se o r-e´simo momento como:
E(X − µ)r.
O terceiro e o quarto momento servem para estudar a “apareˆncia da distribuic¸a˜o”, ou mais es-
pec´ıficamente, sua assimetria S (auseˆncia de simetria) e a sua curtose K (ou seja, a elevac¸a˜o ou achata-
mento). Seus ca´lculos podem ser obtidos a partir das seguintes fo´rmulas:
S =
[E(X − µ)3]2
[E(X − µ)2]3 ,
K =
E(X − µ)4
[E(X − µ)2]2 .
6. DISTRIBUIC¸O˜ES DE PROBABILIDADE
Distribuic¸a˜o Normal
Diz-se que uma va cont´ınuaX se distribui de acordo com uma Normal (gaussiana) se sua FDP apresentar
a seguinte forma:
f(x) =
1
σ
√
2pi
exp
(
− (x− µ)
2
2σ2
)
, −∞ < x <∞.
onde µ e σ2 sa˜o, respectivamente, a me´dia e a variaˆncia da distribuic¸a˜o.
A distribuic¸a˜o Normal possui as seguintes propriedades:
a) e´ sime´trica em torno da me´dia;
b) aproximadamente 68% da a´rea sob a curva normal se encontra entre os valores µ ± σ, cerca de 95% da
a´rea se encontra entre µ± 2σ e cerca de 99,7% da a´rea se encontra entre µ± 3σ.
c) a distribuic¸a˜o depende dos paraˆmetros µ e σ2 de modo que, uma vez determinados os seus valores, a
probabilidade de X se encontrar dentro de um intervalo podera´ ser determinada a partir do uso das tabelas
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 3 pa´gina 8
de distribuic¸a˜o. Para tanto, sera´ necessa´rio transformar a va X normalmente distribu´ıda em uma varia´vel
normalmente padronizada Z, ou seja,
Z =
x− µ
σ
Neste caso, a nova varia´vel Z possuira´ me´dia 0 e variaˆncia 1, e sua FDP sera´:
f(Z) =
1√
2pi
exp
(
− 1
2
Z2
)
Por convenc¸a˜o, uma varia´vel normalmente distribu´ıda e´ representada por
X ∼ N(µ, σ2),
no caso da varia´vel padronizada sua representac¸a˜o sera´:
X ∼ N(0, 1).
Exemplo:
Suponha que X ∼ N(8, 4). Qual a probabilidade de X vir a assumir um valor entre x1 = 4 e x2 = 12?
Para realizar este ca´lculo, vamos transformar a X em uma varia´vel padronizada:
Z1 =
x1 − µ
σ
=
4− 8
2
= −2
Z2 =
x2 − µ
σ
=
12− 8
2
= 2
Observando na Tabela constata-se que Pr(0 ≤ Z ≤ 2) = 0, 4772. Enta˜o, por simetria, Pr(−2 ≤ Z ≤
0) = 0, 4772. Logo, a probabilidade de X assumir um valor entre 4 e 12 sera´ 0,4772+0,4772=0,9544.
d) Teorema do Limite Central
Suponha uma sequ¨eˆncia de va’s X1, X2, ..., Xn com me´dia µ e variaˆncia σ2. Considere um estimador
para me´dia amostral dado por: X =
∑
Xi
n . Enta˜o, conforme n→∞,
X
P7−→N
(
µ,
σ2
n
)
;
e) uma distribuic¸a˜o Normal e´ caracterizada por uma assimetria igual a zero e uma curtose igual a 3. Uma
das formas de se testar a normalidade de uma FDP e´ fornecida pelo teste de Jarque-Bera:
JB = n
[
S2
6
+
(K − 3)2
24
]
.
onde JB se distribui de acordo com uma Qui-Quadrado (χ2) com 2 graus de liberdade.
Distribuic¸a˜o Qui-Quadrado (χ2)
Sejam Z1, Z2, ..., Zn varia´veis Normais padronizadas inependentes, enta˜o:
Z =
k∑
i=1
Z2i ∼ χ2k
onde k representa o nu´mero de varia´veis independentes na soma anterior.
A distribuic¸a˜o χ2 e´ assime´trica e sua assimetria dependera´ do nu´mero de graus de liberdade. Sua me´dia
sera´ igual a k e sua variaˆncia igual a 2k.
Exemplo:
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 3 pa´gina 9
Qual a probabilidade de se obter um valor de χ2 maior do que 20, dados 10 graus de liberdade?
De acordo com a tabela, a probabilidade de se obter um valor superior a 20,4831 e´ de 0,025.
Distribuic¸a˜o t-student (t)
Se temos duas varia´veis independentes uma, Z1, e´ normalmente padronizada e a outra, Z2, segue uma
distribuic¸a˜o χ2, enta˜o:
t =
Z1√
(Z2/k)
segue uma t-student com k graus de liberdade.
Assim como a Normal, a t-student e´ sime´trica so´ que mais achatada. Entretanto, na medida em que
seus graus de liberdade crescem ela se aproxima de uma Normal. Sua me´dia e´ zero e sua variaˆncia e´ igual a
k/(k − 2).
Distribuic¸a˜o de Fisher (F )
Se temos duas varia´veis independentes Z1 e Z2 cada uma distribu´ıda de acordo com uma χ2, com k1 e
k2 graus de liberdade, enta˜o:
F =
F1/k1
F2/k2
∼ Fk1,k2 .
Ou seja, a raza˜o entre estas varia´veis segue uma distribuic¸a˜o F com k1 e k2 graus de liberdade. Seu valor
me´dio sera´ k2/(k2 − 2) para k2 > 2. Sua variaˆncia sera´
2k22(k1 + k2 − 2)
k1(k2 − 2)2(k2 − 4) .
7. INFEREˆNCIA ESTATI´STICA
A ana´lise do comportamento de uma va envolve duas etapas. Primeiro, admite-se que o seu Processo Gerador
segue uma determinada FDP. Segundo, busca-se, a partir de enta˜o, inferir os paraˆmetros desta distribuic¸a˜o.
Por exemplo, digamos que X segue uma Normal. Como demonstrado na sec¸a˜oanterior a distribuic¸a˜o Normal
depende de dois paraˆmetros, quais sejam, a me´dia e a variaˆncia, geralmente desconhecidos. Neste ponto,
entra a infereˆncia estat´ıstica, ou seja, o procedimento utilizado para estimar inco´gnitas. O processo de
estimac¸a˜o envolve a selec¸a˜o de uma amostra aleato´ria de tamanho n.
Exemplo: suponha que a va X possua uma FDP f(x; θ), onde θ representa o paraˆmetro da distribuic¸a˜o.
Digamos que a forma funcional da FDP e´ conhecida, uma distribuic¸a˜o de Cauchy por exemplo.1 Sendo
assim, seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n e emprega-se um me´todo de infereˆncia de modo a
fornecer uma estimativa para θ, isto e´:
θˆ = f(x1, x2, ..., xn).
onde θˆ e´ conhecido como a estat´ıstica ou estimador para o verdadeiro paraˆmetro populacional θ. Note
que θˆ pode ser tratado como uma varia´vel aleato´ria, dado que ele e´ uma func¸a˜o dos dados amostrais. isto
posto, surge uma pergunta: como definir qual e´ o melhor estimador para o paraˆmetro θ?
Em geral, a comparac¸a˜o entre os diversos estimadores e´ realizada a partir de algumas caracter´ısticas
ba´sicas, destacando-se:
a) auseˆncia de vie´s:
E(θˆ) = θ, ∀θi ∈ Θ.
Ou seja, a esperanc¸a do paraˆmetro estimado e´ igual ao paraˆmetro populacional para todos os paraˆmetros θ
pertencentes ao espac¸o parame´trico Θ;
b) variaˆncia mı´nima:
var(θˆ) ≤ var(θˆi), ∀θˆi.
1 Isto e´: f(x; θ) = 1/θ(1 + x2), −∞ < x <∞.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 3 pa´gina 10
O estimador θˆ possuira´ a menor variaˆncia dentre todos os estimadores θˆi.
A unia˜o das propriedades “a” e “b” e´ conhecida por eficieˆncia;
c) consisteˆncia:
lim
n→∞Pr(|θˆn − θ| > ²) = 0, ² > 0.
Ou seja, a medida em que se aumenta a amostra n, o paraˆmetro θˆn converge em probabilidade para o
paraˆmetro populacional.
d) melhor estimador na˜o-viesado:
Se θˆ1 e θˆ2 forem dois estimadores na˜o viesados de θ, e a variaˆncia de θˆ1 for menor igual a de θˆ2, enta˜o
θˆ1 sera´ um estimador na˜o-viesado de variaˆncia mı´nima;
e) linearidade:
Diz-se que um estimador θˆ e´ linear se ele for uma func¸a˜o linear das observac¸o˜es amostrais;
e) melhor estimador linear na˜o-viesado:
Se θˆ for linear, na˜o-viesado e apresentar varia˜ncia mı´nima (eficiente), ele sera´ denominado de melhor
estimador linear na˜o-viesado MELNV.
8. TESTE DE HIPO´TESE
Como geralmente o paraˆmetro populacional θ e´ desconhecido, levanta-se uma questa˜o: sera´ que a
estimativa θˆ e´ compat´ıvel com algum valor hipote´tico de θ? Ou seja, seria θ = θˆ? Esta abordagem pode ser
sumarizada pelas hipo´teses: H0 : θ = θˆ (hipo´tese nula), frente a H1 : θ 6= θˆ (hipo´tese alternativa).
Para testar a hipo´tese nula usamos as informac¸o˜es obtidas a partir de uma amostra. Vejamos um
exemplo:
Digamos que Xi ∼ N(µ, σ2) = N(µ, 6, 25). Suponha que o ca´lculo da me´dia amostral resulte em µˆ = 67,
para n = 100.
Considere enta˜o o seguinte teste:
H0 : µ = µˆ = 69
H1 : µ 6= µˆ
A pergunta relacionada ao teste e´: poderia a amostra com me´dia µˆ = 67 ter vindo de uma populac¸a˜o com
me´dia 69? Intuitivamente, podemos na˜o rejeitar a hipo´tese nula se µˆ for “muito pro´ximo” de µ. Entretanto,
como determinar tal “proximidade”?
Uma alternativa e´ fornecida pela abordagem do intervalo de confianc¸a. Ou seja, como sabemos que
Xi ∼ N(µ, σ2), enta˜o, pelo teorema do limite central, µˆ ∼ N(µ, σ2/n). Sendo assim, sera´ poss´ıvel estabelecer
um intervalo de confianc¸a para µ, desta forma, se µˆ estiver inserido dentro deste intervalo de confianc¸a, enta˜o
na˜o se rejeita a hipo´tese de que µ = µˆ.
Sabemos que se Xi ∼ N(µ, σ2), enta˜o,
Zi =
µˆ− µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1).
Pela tabela da distribuic¸a˜o Normal
Pr(−1, 96 ≤ Zi ≤ 1, 96) = 0, 95
ou seja,
Pr
(
− 1, 96 ≤ µˆ− µ
σ/
√
n
≤ 1, 96
)
= 0, 95,
o que e´ equivalente a:
Pr
(
µˆ− 1, 96 σ/√n ≤ µ ≤ µˆ+ 1, 96 σ/√n
)
= 0, 95.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 3 pa´gina 11
Este e´ um intervalo de confianc¸a de 95% para µ. Vejamos quais os valores para este intervalo:
Pr
(
67− 1, 96 2, 5/
√
100 ≤ µ ≤ 67 + 1, 96 2, 5/
√
100
)
= 0, 95,
o que resulta em
66, 51 ≤ µ ≤ 67, 49.
Logo, este intervalo na˜o inclui µ = 69. Sendo assim, a hipo´tese nula pode ser rejeitada com um n´ıvel de
confianc¸a de 95%. Na lingu¨agem do teste de hipo´tese o intervalo de confianc¸a e´ denominado de regia˜o de
aceitac¸a˜o e a a´rea fora deste intervalo e´ conhecida como regia˜o de rejeic¸a˜o. Os limites inferior e superior
da regia˜o de aceitac¸a˜o sa˜o denominados de valores cr´ıticos.
REFEREˆNCIAS
[1] Gujarati, Damodar N. (2000) Econometria ba´sica. Sa˜o Paulo: Makron Books.
[2] Johnston, J.; DiNardo, J. (2001). Metodos Econome´tricos. Lisboa: McGraw Hill.
[3] Spanos, Aris. (1986). Statistical Foundation of Econometric Modelling. Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press.