Aula 13 Momentum angular e Torque

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MOMENTUM ANGULAR E TORQUE
Momentum Angular
Figura 1
Momentum angular LO de uma partícula de massa m em relação ao ponto O:
L não é único; depende do ponto de referência!
Exemplo:
Figura 2
×
O
r
m
v p = mv
p┴
r┴
θ
θ
× LO
×
O'
LO'.
×
O''
LO” = 0
r'
LO≡r×p
LO=r p sinθ=r ( p sinθ)=r p⊥
LO=r p sinθ=(r sinθ) p=r⊥ p
[L]=[ p]L=(MLT−1)L=ML2T−1
Unidade S.I.: kg m2/s=kg m/s2 m s = J s
L0=r×p⇒L0=R p sin 90
∘=R(mv)=mRv
m
p
r
O
R
L
Torque
Figura 3
Torque τO da força F sobre a partícula de massa m em relação ao ponto O:
τO não é único; depende do ponto de referência!
Exemplo: MCU
Figura 4
τO≡r×F
τO=r F sinα=r (F sinα)=r F⊥
τO=r F sinα=(r sinα) p=r⊥F
[τ ]=[F ]L=(MLT−2)L=ML2T−2
Unidade S.I.: kg m2/s2=N m
×
O
r
P
F
F┴
r ┴
 ≡ 
br
aç
o 
de
 a
la
va
nc
a α
α
× τO
Linha de ação de F
m
v
r
O
R
F
τO=r×F⇒τO=r F sin 180
∘=0⇒ τO=0
Sistema de Partículas
Figura 5
Então:
L=r×p⇒d L
dt
=d
dt
(r×p)=d r
dt
×p+r× d p
dt
=v×p+r×∑ F=∑ r×F
⇒d L
dt
=∑ τ (Segunda Lei de Newton de Rotação para uma partícula)
∑ τ=0⇒ d Ldt =0⇒L=cte. (Conservação do momentum angular de uma partícula)
Momentum angular da partícula i :
Li=r i×p i
Momentum angular do sistema:
Ltot≡∑
i=1
n
Li
d Ltot
dt =
d
dt∑i=1
n
L i=∑
i=1
n d L i
dt =∑i=1
n
τ res ,i=∑
i=1
n
τ res ,i
int +∑
i=1
n
τ res ,i
ext =∑ τext
ri
rj
i jFji Fij
r┴
O
F ij=−F ji e possuem a mesma linha de ação⇒ τ ij=−τ ji
d
dt
L tot=∑ τext (Segunda Lei de Newton de rotação para um sistema de partículas )
∑ τext=0⇒Ltot=cte. (Conservação do momentum angular de um sistema de partículas)
Corpo Rígido
Figura 1 - Disco homogêneo griando em torno do seu eixo de simetria.
No presente caso,
Porém, em geral, L e ω não são paralelos.
Para um corpo girando em torno de um eixo de simetria:
p i=mi v i⇒ pi=mi(r iω)=mi r iω
Li=r i×p i⇒Li=r i(mi r iω)=mi r i
2ω
L=∑
i=1
n
Li
Uma vez que o disco é bidimensional, todos os momenta angular Δ Li apontam na direção z :
L=∑
i=1
n
Li=∑
i=1
n
mi r i
2ω=(∑i=1
n
mi r i
2)ω
Logo: L=I ω
L=I ω⇒d
dt
L=d
dt
( I ω)
Se I=cte. (corpo rígido), então:
⇒
d L
dt = I
dω
dt =I α
Mas d L
dt
=∑ τ , então:
∑ τ= I α (Segunda Lei de Newton de rotação)
L= I ω
L= I ω
Exemplo: Máquina de Atwood
Figura 2
m1:
∑ F y=ma y⇒+T 1−m1g=m1(−a)⇒T 1=m1( g−a) (1)
m2:
∑ F y=ma y⇒+T 2−m2 g=+m1a⇒T 2=m2( g+a) (2)
Polia :
∑ τ= I cmα⇒+T 1 R sin 90∘−T 2R sin 90∘=(12 M R
2)(a
R
)⇒T 1−T 2=
1
2
M a (3)
(1)−(2)=(3)
m1( g−a)−m2(g+a)=
1
2
M a⇒(m1−m2) g=(m1+m2+M )a⇒a=
m1−m2
m1+m2+M /2
g (4)
Substituindo a Eq. (4) nas Eqs. (1) e (2), resulta:
T 1=m1(g−
m1−m2
m1+m2+M / 2
g )=
(2m2+M /2)m1
m1+m2+M / 2
g
T 2=m2( g+
m1−m2
m1+m2+M /2
g)=
(2m1+M /2)m2
m1+m2+M /2
g
m1 m2
R
aa a
m1 > m2
Eixo sem atrito
M
Disco homogêneo
m1
M
m2
a
a
T1
T1
T2
m1g m2g
Mg
T
α
×
T2
τ1 τ2
R R
Conferência:
T 2<T 1? Sim.
T 1>m1 g ? Sim.
T 2<m2 g? Sim.
m1=m2≡m⇒a=0 e T 1=
(2m+M /2)m
2m+M / 2
g=mg=T 2
M=0⇒a=
m2−m1
m1+m2
g e T 1=
2m1m2
m1+m2
g=T 2