Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações Inequações

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EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito – EP 09 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 1 Determine o sinal de: 
a) tan (
11𝜋
5
) b) sen(21°) × cos (90°1′) × tan(181°) 
Resolução: 
 
a) 
11𝜋
5
=
10𝜋+𝜋
5
= 2𝜋 +
𝜋
5
≡
𝜋
5
 e 0 <
𝜋
5
<
𝜋
2
, ou seja, 
𝜋
5
 é um ângulo do 1º. quadrante. 
Portanto, tan
11𝜋
5
= tan
𝜋
5
 é positivo. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 21° está no 1º. quadrante, logo sen(21°) é positivo. 
90°1′ está no 2º. quadrante, logo cos (90°1′) é negativo. 
181° está no 3º. quadrante, logo tan(181°) é positivo. 
Produto de dois positivos por um negativo, o resultado é negativo. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2 Para que ângulos, no intervalo [−3𝜋, 5𝜋], a tangente não está definida? E a cotangente? 
Resolução: 
Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 
Uma maneira de resolver é substituir os valores de 𝑘 e verificar se 𝜃 está no intervalo [−3𝜋, 5𝜋]. 
Para 𝑘 = 0, temos 𝜃 =
𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = 1, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝜋 =
3𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = −1, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 𝜋 = −
𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = 2, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 2𝜋 =
5𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = −2, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 2𝜋 = −
3𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = 3, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 3𝜋 =
7𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = −3, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 3𝜋 = −
5𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = 4, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 4𝜋 =
9𝜋
2
∈ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = −4, temos 𝜃 =
𝜋
2
− 4𝜋 = −
7𝜋
2
 ∉ [−3𝜋, 5𝜋] 
Para 𝑘 = 5, temos 𝜃 =
𝜋
2
+ 5𝜋 =
11𝜋
2
∉ [−3𝜋, 5𝜋] 
Portanto, a tangente não está definida em −
5𝜋
2
, −
3𝜋
2
, −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
. 
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Outra maneira: 
resolver uma inequação na incógnita 𝑘 e depois substituir os valores de 𝑘. 
Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 
−3𝜋 ≤ 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3𝜋 −
𝜋
2
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 −
𝜋
2
⟺ −
7𝜋
2
≤ 𝑘𝜋 ≤
9𝜋
2
⟺ −
7
2
≤ 𝑘 ≤
9
2
. 
Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4. 
Logo os correspondentes valores de 𝜃 são: 
𝜋
2
− 3𝜋 = −
5𝜋
2
 ; 
𝜋
2
− 2𝜋 = −
3𝜋
2
; 
𝜋
2
− 𝜋 = −
𝜋
2
 ; 
𝜋
2
 ; 
𝜋
2
+ 𝜋 =
3𝜋
2
 ; 
𝜋
2
+ 2𝜋 =
5𝜋
2
 ; 
𝜋
2
+ 3𝜋 =
7𝜋
2
 ; 
𝜋
2
+ 4𝜋 =
9𝜋
2
. 
Portanto, a tangente não está definida em −
5𝜋
2
, −
3𝜋
2
, −
𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
,
5𝜋
2
,
7𝜋
2
,
9𝜋
2
. 
Agora, para a cotangente. 
Sabemos que cot 𝜃 não está definida quando 𝜃 = 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 
−3𝜋 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3 ≤ 𝑘 ≤ 5. 
Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,
5. 
Portanto, a cotangente não está definida em −3𝜋, −2𝜋, −𝜋, 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3 Calcule tan 𝑥, sabendo que cos 𝑥 = −
5
6
 e que 𝜋 < 𝑥 <
3𝜋
2
. 
Resolução: 
Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = ± √1 −
25
36
=
± 
√11
6
, como 𝑥 é um ângulo do 3º quadrante, sen 𝑥 = − 
√11
6
, . Logo, tan 𝑥 =
√11
5
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 4 Simplifique as expressões: 
a) 
sec2 𝑥
1+tan2 𝑥 
 b) 
sen4𝑥−cos4𝑥
1−√2cos𝑥
 c) 
tan𝑥+cot𝑥
csc2 𝑥
 
Resolução: 
a) 
sec2 𝑥
1+tan2 𝑥 
=
1
cos2𝑥
cos2𝑥+sen2𝑥
cos2𝑥
=
1
cos2𝑥
1
cos2𝑥
= 1 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 
sen4𝑥−cos4𝑥
1−√2cos𝑥
=
(sen2𝑥−cos2𝑥)(sen2𝑥+cos2𝑥)
1−√2cos𝑥
=
(sen2𝑥−cos2𝑥).1
1−√2cos𝑥
=
1−cos2𝑥−cos2𝑥
1−√2cos𝑥
=
1−2cos2𝑥
1−√2cosx
= 
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(1−√2cos𝑥)(1+√2cos𝑥)
(1−√2cos𝑥)
= 1 + √2 cos 𝑥. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 
tan𝑥+cot𝑥
csc2 𝑥
=
sen 𝑥
cos𝑥
+
cos𝑥
𝑠en 𝑥
1
sen2𝑥
 =
sen2𝑥+cos2𝑥
cos𝑥 sen 𝑥
1
sen2𝑥
=
1
cos𝑥 sen 𝑥
. sen2𝑥 = tan 𝑥. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5 Dado cos 𝑥 =
√5
3
 e tan 𝑥 > 0, calcule 𝑦 = tan2 𝑥 + 2sen 𝑥. 
Resolução: 
Observe que 𝑥 é um ângulo do 1º quadrante, pois cos 𝑥 > 0 e tan 𝑥 > 0. Assim, pela identidade 
trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = √1 −
5
9
=
2
3
 e 
consequentemente, tan 𝑥 =
sen𝑥
cos𝑥
 = 
2
3
√5
3
= 
2
3
 ×
3
√5
 = 
2
 √5 
 . 
Portanto, 𝑦 = tan2 𝑥 + 2sen 𝑥 =
4
5
+ 2.
2
3
=
32
15
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6 Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
cot𝑥+csc𝑥
sen 𝑥
 b) 
cos2𝑥− sen2𝑥
cos2𝑥− sen𝑥 cos𝑥
 c) 
cos(
𝜋
2
 − 𝑥)sen(
𝜋
2
 − 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥) cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
 + 𝑥)
 
Resolução: 
a) 
cot𝑥+csc𝑥
sen𝑥
=
cos𝑥
sen𝑥
+
1
sen𝑥
sen𝑥
 = 
cos𝑥 +1
sen2𝑥
=
cos𝑥+1
1−cos2𝑥
=
1+cos𝑥
(1+cos𝑥)(1−cos𝑥)
 = 
1
1−cos𝑥
. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
cos2𝑥− sen2𝑥
cos2𝑥−sen𝑥 cos𝑥
=
(cos𝑥−sen𝑥)(cos𝑥+sen𝑥)
cos𝑥(cos𝑥−sen𝑥)
=
cos𝑥+sen𝑥
cos𝑥
= 1 + tan 𝑥. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 
cos(
𝜋
2
 − 𝑥) sen(
𝜋
2
 − 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥) cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
 + 𝑥)
 = 
sen𝑥 cos𝑥(−cos𝑥)
sen𝑥 cos𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥)
= cot 𝑥. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7 Demonstre as identidades: 
a) tan(𝛼 + 𝛽) = 
tan𝛼+tan𝛽
1−tan𝛼 tan𝛽
 para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 − tan𝛼 tan𝛽 ≠ 0. 
b) tan(𝛼 − 𝛽) = 
tan𝛼−tan𝛽
1+tan𝛼 tan𝛽
. para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 + tan𝛼 tan𝛽 ≠ 0. 
Resolução: 
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a) tan(𝛼 + 𝛽) =
sen(𝛼+𝛽)
cos(𝛼+𝛽)
=
sen𝛼 cos𝛽+sen𝛽 cos𝛼
cos𝛼 cos𝛽−sen𝛼 sen𝛽
=
tan𝛼+tan𝛽
1−tan𝛼 tan𝛽
, onde a última igualdade foi obtida 
dividindo-se o numerador e o denominador da fração anterior por cos 𝛼 cos𝛽. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Idem à anterior ou substitua em a) 𝛽 𝑝𝑜𝑟 − 𝛽. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8 Se tan 𝑥 =
6
5
, qual o valor de tan 2𝑥 ? 
(Sugestão: use o exercício 7) anterior ou a identidade (5) já provada. 
Resolução: 
Pelo item a) do ex. 7 com 𝑥 = 𝛼 = 𝛽, temos tan 2𝑥 =
2 tan𝑥
1−tan2 𝑥
=
2×6
5
1−(
6
5
)
2 = −
60
11
. 
Muito cuidado, não é correto simplificar assim: 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐭𝐚𝐧𝒙. Se fosse correto, teríamos 
tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 = 2 ×
6
5
=
12
5
 , mas 
12
5
≠ −
60
11
 (obtido acima). Sabe por que fizemos esse comentário? 
Porque muitos alunos cometem esse tipo de erro na prova, e não gostaríamos que você fosse mais um! 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9 Mostre que tan(22°30′) = √2 − 1. 
Resolução: 
Pelo item a) do ex. 7, ou pela identidade 5, com 𝑥 = 22°30′, temos 1 = tan(45°) =
2 tan(22°30′)
1−tan2(22°30′)
. 
Chamemos 𝑡 = tan(22°30′), então devemos resolver a equação 1= 
2𝑡
1−𝑡2
, logo 1 − 𝑡2 = 2𝑡, donde 𝑡 é 
solução da equação do 2° grau 𝑡2 + 2𝑡 − 1 = 0. 
As raízes dessa equação são −1 ± √2 e como 𝑡 > 0 (1° quadrante), temos 𝑡 = −1 + √2. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 10 Se 𝑥 ∈ [
𝜋
12
,
𝜋
6
], encontrar o intervalo de variação de 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥). 
Resolução: 
𝑥 ∈ [
𝜋
12
,
𝜋
6
] ⟹ 
𝜋
12
≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
 ⟹ 
 𝜋
6
≤ 2𝑥 ≤
𝜋
3
 . 
Mudando a variável, fazendo 𝜃 = 2𝑥, temos que 
𝜋
6
≤ 𝜃 ≤
𝜋
3
. 
Podemos analisar a variação de 𝜃 e do correspondente valor de 
tan 𝜃 no círculo trigonométrico. 
tan (
𝜋
6
) =
sen(
𝜋
6
)
cos(
𝜋
6
)
=
1
2
√3
2
=
1
√3
 e tan (
𝜋
3
) =
sen(
𝜋
3
)
cos(
𝜋
3
)
=
√3
2
1
2
= √3, 
podemos marcar esses valores da tangente na reta orientada 𝑡, 
tangente ao círculo trigonométrico. 
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Observando a variação da tan 𝜃 na reta orientada 𝑡, temos que 
1
√3
≤ tan𝜃 ≤ √3. 
Voltando à variável original 𝑥, temos que 
1
√3
≤ tan 2𝑥 ≤ √3. 
1
√3
≤ tan2𝑥 ≤ √3 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 √3 
⇒ 1 ≤ √3 tan 2𝑥 ≤ 3 
𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 2
⇒ 
 
 
3 ≤ 2 + √3 tan 2𝑥 ≤ 5. 
Portanto 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥) ∈ [3, 5]. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 11 Em cada item, encontre a solução e marque-a no círculo trigonométrico. 
a) tan 𝑥 = −1 em [𝜋, 5𝜋]. 
b) sec 𝑥 =
2
√3
 em [
3𝜋
2
, 2𝜋] 
c) √3 |cot 2𝑥| = 1 em ℝ. 
d) 2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥, em [0,2π]. 
Solução: 
a) Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que 
𝑥 = −
𝜋
4
 é um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑥) = −1. 
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem 
ser da forma 𝑥 = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 , onde 𝑘 é um inteiro. 
Para determinar os valores de 𝑘 para os quais −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋], 
precisamos resolver a inequação: 
𝜋 ≤ −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 +
𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 +
𝜋
4
 ⟺ 
5𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤
21𝜋
4
 ⟺ 
5
4
≤ 𝑘 ≤
21
4
 
 
𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
⇒ 2 ≤ 𝑘 ≤ 5. 
Logo a solução é: 𝑆 = {−
𝜋
4
+ 2𝜋,−
𝜋
4
+ 3𝜋,−
𝜋
4
+ 4𝜋, −
𝜋
4
+ 5𝜋} = {
7𝜋
4
,
11𝜋
4
,
15𝜋
4
,
19𝜋
4
}. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
OBSERVAÇÃO: outra forma de resolver é: 
Observando no círculo trigonométrico, na figura acima, temos que 𝑥 =
3𝜋
4
 é um ângulo do 2º. quadrante 
tal que tan(𝑥) = −1. 
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem ser da forma 𝑥 =
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 , 
onde 𝑘 é um inteiro. 
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Para determinar os valores de 𝑘 para os quais 
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋], precisamos resolver a inequação: 
𝜋 ≤
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 −
3𝜋
4
≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 −
3𝜋
4
 ⟺ 
𝜋
4
≤
𝑘𝜋 ≤
17𝜋
4
 ⟺ 
1
4
≤ 𝑘 ≤
17
4
 
 
𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
⇒ 1 ≤ 𝑘 ≤ 4. 
Logo a solução é: 𝑆 = {
3𝜋
4
+ 𝜋,
3𝜋
4
+ 2𝜋,
3𝜋
4
+ 3𝜋,
3𝜋
4
+ 4𝜋} =
{
7𝜋
4
,
11𝜋
4
,
15𝜋
4
,
19𝜋
4
}. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) sec 𝑥 =
2
√3
 em [
3𝜋
2
, 2𝜋] 
sec 𝑥 =
2
√3
 
 sec𝑥=
1
cos𝑥
, 𝑥≠
𝜋
2
+𝑘𝜋 
⇔ 
1
cos𝑥
=
2
√3
⟺ cos 𝑥 =
√3
2
 
Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que 𝑥 =
𝜋
6
 ou 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
6
=
11𝜋
6
 são os 
ângulos do 1º e 4º. quadrantes para os quais cos 𝑥 =
√3
2
. 
Como foi pedido 𝑥 ∈ [
3𝜋
2
, 2𝜋], a única solução é 𝑥 =
11𝜋
6
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) √3 |cot 2𝑥| = 1 ⟺ |cot 2𝑥| =
1
√3 
 
 cot2𝑥=
1
tan2𝑥
, 2𝑥≠𝑘𝜋, 2𝑥≠
𝜋
2
+𝑘𝜋 
⇔ |
1
tan2𝑥
| =
1
√3 
⟺ |tan2𝑥| = √3 . 
Mudando a variável, fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que resolver a equação |tan 𝑦| = √3. 
Para resolver, vamos usar o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑦. 
|tan 𝑦| = √3 ⟺ tan𝑦 = √3 𝑜𝑢 tan 𝑦 = −√3. 
Como sen
𝜋
3
=
√3
2
 e cos
𝜋
3
=
1
2
, concluímos que o ângulo 𝑦 =
𝜋
3
 é um 
ângulo do 1º. quadrante tal que tan(𝑦) = √3. 
Pelas simetrias no círculo trigonométrico, na figura ao lado, 𝑦 = −
𝜋
3
 é 
um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑦) = −√3. 
Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação são: 
y = −
π
3
+ k1π ou y =
π
3
+ k2π, onde k1, k2 são inteiros. 
Voltando à variável original 𝑥, as soluções são: 
2x = −
π
3
+ k1π ou 2x =
π
3
+ k2π, onde k1, k2 são inteiros. 
Solução final: x = −
π
6
+ k1
π
2
 ou x =
π
6
+ k2
π
2
, onde k1, k2 são inteiros. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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d) 2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥, em [0,2π] 
2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥 
 csc𝑥=
1
sen𝑥
, 𝑥≠𝑘𝜋 
⇔ 2 ∙
1
sen2 𝑥
 = 9 − 4 sen2 𝑥 ⟹ 2 = 9 sen2 𝑥 − 4 sen4 𝑥. 
Mudando a variável, fazendo 𝑦 = sen2 𝑥 , temos que 2 = 9y − 4y2. 
Resolvendo a equação em 𝑦,: 
2 = 9y − 4y2 ⟺ 4y2 − 9y + 2 = 0 ⟺ 𝑦 =
 −(−9)±√(−9)2−4(4)(2)
2∙4
 
𝑦 = 
9±√81−32
8
 =
 9±√49
8
 ⟺ y =
9+7
8
= 2 ou y =
9−7
8
=
1
4
. 
Voltando à variável original 𝑥, temos que sen2 𝑥 =
1
4
 ou sen2 𝑥 = 2. Resolvendo cada equação: 
 sen2 𝑥 = 2 não tem solução pois sabemos que – 1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1, logo 0 ≤ sen2 𝑥 ≤ 1. 
 sen2 𝑥 =
1
4
 ⟺sen 𝑥 =
1
2
 ou sen 𝑥 = −
1
2
. 
Logo, observando no círculo trigonométrico, temos que, para 
𝑥 ∈ [0,2π], as soluções são: 
 sen 𝑥 =
1
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
 
 sen 𝑥 = −
1
2
 ⟺ 𝑥 =
7𝜋
6
 𝑜𝑢 𝑥 =
11𝜋
6
 
Portanto, obtemos 𝑆 = {
𝜋
6
,
5𝜋
6
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
}. 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 12 Dê o domínio de cada função. 
a) 𝑓(𝑥) =
1
1−tan 
𝑥
2
 b) 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥 
Solução: 
a) Temos duas restrições para o domínio de 𝑓(𝑥) =
1
1−tan 
𝑥
2
: 
I) A tangente está definida em ℝ− {
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, logo, devemos ter; 
𝑥
2
≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } 
II) O denominador deve ser não nulo, logo devemos ter: 1 − tan (
𝑥
2
) ≠ 0. 
Resolvendo a equação associada, tan (
𝑥
2
) = 1 ⟺ 
𝑥
2
=
𝜋
4
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. 
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Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }. 
Portanto: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋 𝑒 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) Temos duas restrições para o domínio de 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥. 
I) A secante está definida em ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } 
II) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja, 2 − sec2 𝑥 ≥ 0. 
Simplificando a inequação, 
2 − sec2 𝑥 ≥ 0 ⟺ sec2 𝑥 ≤ 2 
 sec𝑥=
1
cos𝑥
 
⇔ 
1
cos2 𝑥
≤ 2 ⟺ 
1
2
≤ cos2 𝑥 ⟺ cos2 𝑥 ≥
1
2
 
⟺ √cos2 𝑥 ≥ √
1
2
 ⟺ |cos 𝑥| ≥
1
√2
=
√2
2
 ⟺ cos 𝑥 ≥
√2
2
 𝑜𝑢 cos 𝑥 ≤ −
√2
2
 
As equações associadas são: cos 𝑥 =
√2
2
 ou cos 𝑥 = −
√2
2
, resolvendo-as no intervalo [0, 2𝜋], 
cos 𝑥 =
√2
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
7𝜋
4
. 
cos 𝑥 = −
√2
2
 ⟺ 𝑥 =
3𝜋
4
 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
4
 . 
Podemos marcar as soluções dessas equações no círculo 
trigonométrico e marcar os segmentos no eixo horizontal, que 
correspondem às inequações cos 𝑥 >
√2
2
 ou cos 𝑥 < −
√2
2
. 
Para escrever as soluções na forma de intervalos precisamos prestar muita atenção se estamos 
escrevendo intervalos de forma que o extremo esquerdo seja menor que o extremo direito, por 
exemplo, 
para 𝐜𝐨𝐬 𝒙 >
√𝟐
𝟐
 NÃO É CORRETO escrever 
𝟕𝝅
𝟒
< 𝑥 <
𝝅
𝟒
 𝒐𝒖 𝒙 ∈ [
𝟕𝝅
𝟒
,
𝝅
𝟒
] , o correto é considerar o 
ângulo do extremo esquerdo como o maior ângulo congruente com 
𝟕𝝅
𝟒
, que é menor do que 
𝝅
𝟒
 , isto é, 
o ângulo 
𝟕𝝅
𝟒
− 𝟐𝝅 = −
𝝅
𝟒
≡
𝟕𝝅
𝟒
. 
Assim, podemos concluir que as soluções da inequação cos2 𝑥 ≥
1
2
 estão em um dos intervalos 
[−
𝜋
4
,
𝜋
4
] ou [
3𝜋
4
,
5𝜋
4
] ou qualquer outro intervalo congruente com um desses intervalos. 
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Portanto a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋], 𝑘 é um 
inteiro. 
Como 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼, concluímos: 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋, 𝑥 ∈ [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ ℤ} 
Como 
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ∉ [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] e 
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋 ∉ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] 
𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [−
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] ∪ [
3𝜋
4
+ 2𝑘𝜋,
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋] 𝑘 ∈ ℤ 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 13 Para cada função, faça o que se pede. 
(i) Se preciso, use identidades trigonométricas para simplificar a função. 
(ii) Encontre o domínio da função contido no intervalo 𝐼 dado. 
(iii) Descreva uma possível sequência de transformações para obter o gráfico da função. 
(iv) Esboce o gráfico marcando pelo menos 6 (seis) pontos, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 no eixo 𝑥 em que é 
possível identificar pontos no gráfico da função. 
(v) Dê a imagem da função. 
a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋]. 
b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 +
𝜋
5
) 𝐼 = [0,4𝜋]. 
c) 𝑝(𝑥) =
4sen𝑥
1−cos𝑥
− 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋] 
Sugestão: para simplificar, multiplique por (1 + cos𝑥) tanto o numerador quanto o denominador da fração 
contida na expressão de 𝑝(𝑥). 
d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋] 
e) 𝑟(𝑥) = {
−1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
1 − tan 𝑥 se 
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋
 𝐼 = [0, 𝜋] 
Solução: 
a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋]. 
(i) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
 
cot(x)tem período π, cot(𝜋−𝑥)=cot(−𝑥) 
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(−𝑥)
 
 
cot(x)é ímpar, cot(−𝑥)=−cot𝑥 
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) +
1
cot(𝑥)
 
tan(𝑥)=
1
cot𝑥
⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) + tan(𝑥). 
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Logo, 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥). 
(ii) O domínio de 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) −
1
cot(𝜋−𝑥)
 tem três restrições: 
I) A função tan(𝑥) está definida para 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 
Logo a solução da restrição (I) é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
II) A função cot(𝜋 − 𝑥) está definida para 𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 
𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 ≠ −𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 𝜋 − 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋 
Observe que: 
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {(1 − 0)𝜋} ∪ {(1 − 1)𝜋, (1 − 2)𝜋, (1 − 3)𝜋, (1 − 4)𝜋,⋯ } ∪ 
{(1 − (−1))𝜋, (1 − (−2))𝜋, (1 − (−3))𝜋, (1 − (−4))𝜋, ⋯ } = 
{𝜋} ∪ {0,−𝜋,−2𝜋,−3𝜋,⋯ } ∪ {2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋,⋯ } = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Logo, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Logo a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
III) O denominador deve ser não nulo, isto é, cot(𝜋 − 𝑥) ≠ 0. 
cot(𝜋 − 𝑥) = 0 ⟺ 𝜋 − 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
𝜋 − 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = −𝜋 +
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = −
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
− 𝑘𝜋. 
Mas, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
𝜋
2
− 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
Logo a solução da restrição (III) é 𝑆𝐼𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋], temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ [−3𝜋, 3𝜋]; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = 
[−3𝜋, 3𝜋] − {−3𝜋, −
5𝜋
2
, −2𝜋, −
3𝜋
2
, −𝜋, −
𝜋
2
, 0,
𝜋
2
, 𝜋, 
3𝜋
2
, 2𝜋, 
5𝜋
2
, 3𝜋}, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3𝜋,−
5𝜋
2
) ∪ (−
5𝜋
2
, −2𝜋) ∪ (−2𝜋, −
3𝜋
2
) ∪ (−
3𝜋2
, −𝜋) ∪ (−𝜋, −
𝜋
2
) ∪ 
(−
𝜋
2
, 0) ∪ (0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋) ∪ (𝜋,
3𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) ∪ (2𝜋,
5𝜋
2
) ∪ (
5𝜋
2
, 3𝜋) 
(iii) y = tan 𝑥 
 (1) 
→ y = 2 tan 𝑥 
 (2) 
→ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥) 
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(1) Como 2 > 0, alongamento vertical do gráfico de y = tan 𝑥, por um fator multiplicativo 2. 
(2) Translação vertical do gráfico de y = 2 tan 𝑥, de 2 unidades para cima. 
(iv) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(v) Imagem de 𝑓 é ℝ − {2}. 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 +
𝜋
5
) 𝐼 = [0,4𝜋]. 
(i) Não é preciso simplificar. 
(ii) A função secante está definida em ℝ − {
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, 
Logo, 𝑥 +
𝜋
5
≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝜋
2
−
𝜋
5
+ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
3𝜋
10
+ 𝑘𝜋. 
Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [0,4𝜋], temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ [0,4𝜋]; 𝑥 ≠
3𝜋
10
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,4𝜋] − {
3𝜋
10
,
13𝜋
10
,
23𝜋
10
,
33𝜋
10
} 
(iii) 𝑦 = sec 𝑥 
 (1) 
→ 𝑦 = 3 sec 𝑥 
 (2) 
→ y = 3 sec (𝑥 +
𝜋
5
) 
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(1) Como 3 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = sec 𝑥, por um fator multiplicativo 3. 
(2) Translação horizontal do gráfico de 𝑦 = 3 sec 𝑥, de 
𝜋
5
 unidades para esquerda. 
(iv) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(v) 𝐼𝑚(ℎ) = (−∞,−3] ∪ [3,∞) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 𝑝(𝑥) =
4sen𝑥
1−cos𝑥
− 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋] 
(i) 
4 sen𝑥
1−cos𝑥
− 4 cot 𝑥 =
(4 sen𝑥)(1+cos𝑥)
(1−cos𝑥)(1+cos𝑥)
 −
4 cos𝑥
sen𝑥 
=
(4 sen𝑥)(1+cos𝑥)
(1−cos2 𝑥)
−
4 cos𝑥
sen𝑥 
=
(4 sen𝑥)(1+cos𝑥)
sen2 𝑥
 −
4 cos𝑥
sen𝑥 
= 
4(1+cos𝑥)
sen𝑥
 −
4cos𝑥
sen𝑥 
=
4+4cos𝑥
sen𝑥
 −
4 cos𝑥
sen𝑥 
=
4
sen𝑥 
= 4 csc 𝑥 
Logo 𝑝(𝑥) = 4 csc 𝑥. 
(ii) O domínio de 𝑝(𝑥) tem 2 restrições: 
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I) cot 𝑥 está definida para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
II) O denominador deve ser não nulo, 1 − cos 𝑥 ≠ 0 
1 − cos 𝑥 = 0 ⟺ cos x = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑝) = {𝑥 ∈ [0,3𝜋]; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
𝐷𝑜𝑚(𝑝) = [0,3𝜋] − {0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋}. 
(iii) 𝑦 = csc 𝑥 
 (1) 
→ 𝑦 = 4 csc 𝑥 
(1) Como 4 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = csc 𝑥, por um fator multiplicativo 4. 
(iv) figuras ao lado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(v) 𝐼𝑚(𝑝) = (−∞,−4] ∪ [4,∞) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋] 
(i) Não é preciso simplificar a função. 
(ii) A cotangente está definida em ℝ− {𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. 
Logo, para 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 |, devemos ter que para 𝑘 ∈ ℤ, 2𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
 . 
Como queremos o domínio de 𝑞(𝑥) contido em 𝐼 = [0,2𝜋], temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑞) = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠
𝑘𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ } = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠
𝜋
2
, 𝑥 ≠ 𝜋, 𝑥 ≠
3𝜋
2
, 𝑥 ≠ 2𝜋 } 
𝐷𝑜𝑚(𝑞) = (0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋) ∪ (𝜋,
3𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, 2𝜋) 
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(iii) 𝑦 = cot 𝑥 
 (1) 
→ 𝑦 = cot(2𝑥) 
 (2) 
→ 𝑦 = |cot(2𝑥)|
 (3) 
→ 𝑦 = −|cot(2𝑥)|
 (4) 
→ 𝑦 = 4 − |cot(2𝑥)| 
(1) Como 2 > 0, redução horizontal do gráfico de 𝑦 = cot 𝑥 com fator multiplicativo 
1
2
 . 
Note que o período da cotangente, que é igual a 𝜋 também será multiplicado pelo fator 
1
2
 , logo o 
período da função 𝑦 = cot 2𝑥 será 
𝜋
2
. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, da parte negativa do gráfico de 𝑦 = cot(2𝑥). Note que nesse caso o período não 
se altera. 
(3) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = |cot(2𝑥)|. Note que nesse caso o período não se altera. 
(4) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −|cot(2𝑥)| de 4 unidades para cima. Note que 
nesse caso o período não se altera. 
Pela observações sobre o período em cada transformação, concluímos que o período da função 
𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | será igual ao período de 𝑦 = cot 2𝑥, que é igual a 
𝜋
2
. 
Além disso, foi pedido que o domínio da função 𝑞(𝑥) deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑞. Qual será o intervalo da função inicial 𝑦 = cot 𝑥, 
para atender essa exigência do domínio de q? 
Como a variável do domínio só será alterada na 1ª. transformação, basta analisar essa transformação. 
Vamos denominar a função inicial, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 e a função transformada 𝑦 = 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 , 
nesse caso, 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(2𝑥) . 
O domínio de 𝑔 é igual ao domínio de 𝑞 e deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, 
onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑔 e do domínio de 𝑞. 
Então, fazendo uma mudança de variável, 𝑧 = 2𝑥, temos que 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(𝑧) e o domínio da 
função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑧) = cot 𝑧, deverá estará contido em 𝐼 = [0,4𝜋], já que 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟹
 0 ≤ 2𝑥 ≤ 4𝜋 ⟹ 0 ≤ 𝑧 ≤ 4𝜋. 
Agora, se substituirmos o nome da variável da função inicial, trocando 𝑧 por 𝑥, podemos responder: 
o intervalo da função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥, será 𝐼 = [0,4𝜋], 
 
 
(iv) 
 
 
 
 
 
 
 
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 (v) 𝐼𝑚(𝑞) = (−∞, 4] 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) 𝑟(𝑥) = {
−1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
1 − tan 𝑥 se 
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋
 𝐼 = [0, 𝜋] 
(i) Não precisa simplificar. 
(ii) A tangente não é definida em 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 
Como 𝑥 ∈ [0, 𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋] 
(iii) Para 0 ≤ 𝑥 <
𝜋
2
: temos 𝑦 = tan 𝑥 
 (1) 
→ 𝑦 = −1 + tan 𝑥 
(1) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, de 1 unidade para baixo. 
Para 
𝜋
2
< 𝑥 ≤ 𝜋, temos 𝑦 = tan 𝑥 
 (1) 
→ 𝑦 = − tan 𝑥
 (2) 
→ 𝑦 = 1 − tan 𝑥 
(1) Reflexão do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, em torno do eixo 𝑥. 
(2) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −tan 𝑥, de 1 unidade para cima. 
 
(iv) 
 
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Gráfico de 𝑦 = 𝑟(𝑥): 
 
 
 
 
 
 
(v) 𝐼𝑚(𝑟) = [−1,∞)