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EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 1 de 16 CEDERJ Gabarito – EP 09 Pré-Cálculo _____________________________________________________________________________________ Exercício 1 Determine o sinal de: a) tan ( 11𝜋 5 ) b) sen(21°) × cos (90°1′) × tan(181°) Resolução: a) 11𝜋 5 = 10𝜋+𝜋 5 = 2𝜋 + 𝜋 5 ≡ 𝜋 5 e 0 < 𝜋 5 < 𝜋 2 , ou seja, 𝜋 5 é um ângulo do 1º. quadrante. Portanto, tan 11𝜋 5 = tan 𝜋 5 é positivo. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ b) 21° está no 1º. quadrante, logo sen(21°) é positivo. 90°1′ está no 2º. quadrante, logo cos (90°1′) é negativo. 181° está no 3º. quadrante, logo tan(181°) é positivo. Produto de dois positivos por um negativo, o resultado é negativo. _____________________________________________________________________________________ Exercício 2 Para que ângulos, no intervalo [−3𝜋, 5𝜋], a tangente não está definida? E a cotangente? Resolução: Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. Uma maneira de resolver é substituir os valores de 𝑘 e verificar se 𝜃 está no intervalo [−3𝜋, 5𝜋]. Para 𝑘 = 0, temos 𝜃 = 𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = 1, temos 𝜃 = 𝜋 2 + 𝜋 = 3𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = −1, temos 𝜃 = 𝜋 2 − 𝜋 = − 𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = 2, temos 𝜃 = 𝜋 2 + 2𝜋 = 5𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = −2, temos 𝜃 = 𝜋 2 − 2𝜋 = − 3𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = 3, temos 𝜃 = 𝜋 2 + 3𝜋 = 7𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = −3, temos 𝜃 = 𝜋 2 − 3𝜋 = − 5𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = 4, temos 𝜃 = 𝜋 2 + 4𝜋 = 9𝜋 2 ∈ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = −4, temos 𝜃 = 𝜋 2 − 4𝜋 = − 7𝜋 2 ∉ [−3𝜋, 5𝜋] Para 𝑘 = 5, temos 𝜃 = 𝜋 2 + 5𝜋 = 11𝜋 2 ∉ [−3𝜋, 5𝜋] Portanto, a tangente não está definida em − 5𝜋 2 , − 3𝜋 2 , − 𝜋 2 , 𝜋 2 , 3𝜋 2 , 5𝜋 2 , 7𝜋 2 , 9𝜋 2 . EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 2 de 16 Outra maneira: resolver uma inequação na incógnita 𝑘 e depois substituir os valores de 𝑘. Sabemos que tan 𝜃 não está definida quando 𝜃 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. −3𝜋 ≤ 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3𝜋 − 𝜋 2 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 − 𝜋 2 ⟺ − 7𝜋 2 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 9𝜋 2 ⟺ − 7 2 ≤ 𝑘 ≤ 9 2 . Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4. Logo os correspondentes valores de 𝜃 são: 𝜋 2 − 3𝜋 = − 5𝜋 2 ; 𝜋 2 − 2𝜋 = − 3𝜋 2 ; 𝜋 2 − 𝜋 = − 𝜋 2 ; 𝜋 2 ; 𝜋 2 + 𝜋 = 3𝜋 2 ; 𝜋 2 + 2𝜋 = 5𝜋 2 ; 𝜋 2 + 3𝜋 = 7𝜋 2 ; 𝜋 2 + 4𝜋 = 9𝜋 2 . Portanto, a tangente não está definida em − 5𝜋 2 , − 3𝜋 2 , − 𝜋 2 , 𝜋 2 , 3𝜋 2 , 5𝜋 2 , 7𝜋 2 , 9𝜋 2 . Agora, para a cotangente. Sabemos que cot 𝜃 não está definida quando 𝜃 = 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. −3𝜋 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ −3 ≤ 𝑘 ≤ 5. Como 𝑘 é número inteiro, concluímos que os valores possíveis de 𝑘 são: −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Portanto, a cotangente não está definida em −3𝜋, −2𝜋, −𝜋, 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋. _____________________________________________________________________________________ Exercício 3 Calcule tan 𝑥, sabendo que cos 𝑥 = − 5 6 e que 𝜋 < 𝑥 < 3𝜋 2 . Resolução: Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = ± √1 − 25 36 = ± √11 6 , como 𝑥 é um ângulo do 3º quadrante, sen 𝑥 = − √11 6 , . Logo, tan 𝑥 = √11 5 . _____________________________________________________________________________________ Exercício 4 Simplifique as expressões: a) sec2 𝑥 1+tan2 𝑥 b) sen4𝑥−cos4𝑥 1−√2cos𝑥 c) tan𝑥+cot𝑥 csc2 𝑥 Resolução: a) sec2 𝑥 1+tan2 𝑥 = 1 cos2𝑥 cos2𝑥+sen2𝑥 cos2𝑥 = 1 cos2𝑥 1 cos2𝑥 = 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ b) sen4𝑥−cos4𝑥 1−√2cos𝑥 = (sen2𝑥−cos2𝑥)(sen2𝑥+cos2𝑥) 1−√2cos𝑥 = (sen2𝑥−cos2𝑥).1 1−√2cos𝑥 = 1−cos2𝑥−cos2𝑥 1−√2cos𝑥 = 1−2cos2𝑥 1−√2cosx = EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 3 de 16 (1−√2cos𝑥)(1+√2cos𝑥) (1−√2cos𝑥) = 1 + √2 cos 𝑥. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ c) tan𝑥+cot𝑥 csc2 𝑥 = sen 𝑥 cos𝑥 + cos𝑥 𝑠en 𝑥 1 sen2𝑥 = sen2𝑥+cos2𝑥 cos𝑥 sen 𝑥 1 sen2𝑥 = 1 cos𝑥 sen 𝑥 . sen2𝑥 = tan 𝑥. _____________________________________________________________________________________ Exercício 5 Dado cos 𝑥 = √5 3 e tan 𝑥 > 0, calcule 𝑦 = tan2 𝑥 + 2sen 𝑥. Resolução: Observe que 𝑥 é um ângulo do 1º quadrante, pois cos 𝑥 > 0 e tan 𝑥 > 0. Assim, pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1, temos que sen 𝑥 = √1 − 5 9 = 2 3 e consequentemente, tan 𝑥 = sen𝑥 cos𝑥 = 2 3 √5 3 = 2 3 × 3 √5 = 2 √5 . Portanto, 𝑦 = tan2 𝑥 + 2sen 𝑥 = 4 5 + 2. 2 3 = 32 15 . _____________________________________________________________________________________ Exercício 6 Simplifique as expressões abaixo: a) cot𝑥+csc𝑥 sen 𝑥 b) cos2𝑥− sen2𝑥 cos2𝑥− sen𝑥 cos𝑥 c) cos( 𝜋 2 − 𝑥)sen( 𝜋 2 − 𝑥)cos (𝜋+𝑥) sen(𝜋 − 𝑥) cos(𝑥 − 2𝜋)cos ( 𝜋 2 + 𝑥) Resolução: a) cot𝑥+csc𝑥 sen𝑥 = cos𝑥 sen𝑥 + 1 sen𝑥 sen𝑥 = cos𝑥 +1 sen2𝑥 = cos𝑥+1 1−cos2𝑥 = 1+cos𝑥 (1+cos𝑥)(1−cos𝑥) = 1 1−cos𝑥 . --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) cos2𝑥− sen2𝑥 cos2𝑥−sen𝑥 cos𝑥 = (cos𝑥−sen𝑥)(cos𝑥+sen𝑥) cos𝑥(cos𝑥−sen𝑥) = cos𝑥+sen𝑥 cos𝑥 = 1 + tan 𝑥. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ c) cos( 𝜋 2 − 𝑥) sen( 𝜋 2 − 𝑥)cos (𝜋+𝑥) sen(𝜋 − 𝑥) cos(𝑥 − 2𝜋)cos ( 𝜋 2 + 𝑥) = sen𝑥 cos𝑥(−cos𝑥) sen𝑥 cos𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥) = cot 𝑥. _____________________________________________________________________________________ Exercício 7 Demonstre as identidades: a) tan(𝛼 + 𝛽) = tan𝛼+tan𝛽 1−tan𝛼 tan𝛽 para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 − tan𝛼 tan𝛽 ≠ 0. b) tan(𝛼 − 𝛽) = tan𝛼−tan𝛽 1+tan𝛼 tan𝛽 . para todo 𝛼 ∈ ℝ e todo 𝛽 ∈ ℝ tais que 1 + tan𝛼 tan𝛽 ≠ 0. Resolução: EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 4 de 16 a) tan(𝛼 + 𝛽) = sen(𝛼+𝛽) cos(𝛼+𝛽) = sen𝛼 cos𝛽+sen𝛽 cos𝛼 cos𝛼 cos𝛽−sen𝛼 sen𝛽 = tan𝛼+tan𝛽 1−tan𝛼 tan𝛽 , onde a última igualdade foi obtida dividindo-se o numerador e o denominador da fração anterior por cos 𝛼 cos𝛽. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ b) Idem à anterior ou substitua em a) 𝛽 𝑝𝑜𝑟 − 𝛽. _____________________________________________________________________________________ Exercício 8 Se tan 𝑥 = 6 5 , qual o valor de tan 2𝑥 ? (Sugestão: use o exercício 7) anterior ou a identidade (5) já provada. Resolução: Pelo item a) do ex. 7 com 𝑥 = 𝛼 = 𝛽, temos tan 2𝑥 = 2 tan𝑥 1−tan2 𝑥 = 2×6 5 1−( 6 5 ) 2 = − 60 11 . Muito cuidado, não é correto simplificar assim: 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 = 𝟐 𝐭𝐚𝐧𝒙. Se fosse correto, teríamos tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 = 2 × 6 5 = 12 5 , mas 12 5 ≠ − 60 11 (obtido acima). Sabe por que fizemos esse comentário? Porque muitos alunos cometem esse tipode erro na prova, e não gostaríamos que você fosse mais um! _____________________________________________________________________________________ Exercício 9 Mostre que tan(22°30′) = √2 − 1. Resolução: Pelo item a) do ex. 7, ou pela identidade 5, com 𝑥 = 22°30′, temos 1 = tan(45°) = 2 tan(22°30′) 1−tan2(22°30′) . Chamemos 𝑡 = tan(22°30′), então devemos resolver a equação 1= 2𝑡 1−𝑡2 , logo 1 − 𝑡2 = 2𝑡, donde 𝑡 é solução da equação do 2° grau 𝑡2 + 2𝑡 − 1 = 0. As raízes dessa equação são −1 ± √2 e como 𝑡 > 0 (1° quadrante), temos 𝑡 = −1 + √2. _____________________________________________________________________________________ Exercício 10 Se 𝑥 ∈ [ 𝜋 12 , 𝜋 6 ], encontrar o intervalo de variação de 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥). Resolução: 𝑥 ∈ [ 𝜋 12 , 𝜋 6 ] ⟹ 𝜋 12 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 6 ⟹ 𝜋 6 ≤ 2𝑥 ≤ 𝜋 3 . Mudando a variável, fazendo 𝜃 = 2𝑥, temos que 𝜋 6 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 3 . Podemos analisar a variação de 𝜃 e do correspondente valor de tan 𝜃 no círculo trigonométrico. tan ( 𝜋 6 ) = sen( 𝜋 6 ) cos( 𝜋 6 ) = 1 2 √3 2 = 1 √3 e tan ( 𝜋 3 ) = sen( 𝜋 3 ) cos( 𝜋 3 ) = √3 2 1 2 = √3, podemos marcar esses valores da tangente na reta orientada 𝑡, tangente ao círculo trigonométrico. EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 5 de 16 Observando a variação da tan 𝜃 na reta orientada 𝑡, temos que 1 √3 ≤ tan𝜃 ≤ √3. Voltando à variável original 𝑥, temos que 1 √3 ≤ tan 2𝑥 ≤ √3. 1 √3 ≤ tan2𝑥 ≤ √3 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 √3 ⇒ 1 ≤ √3 tan 2𝑥 ≤ 3 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 2 ⇒ 3 ≤ 2 + √3 tan 2𝑥 ≤ 5. Portanto 𝑓(𝑥) = 2 + √3 tan(2𝑥) ∈ [3, 5]. _____________________________________________________________________________________ Exercício 11 Em cada item, encontre a solução e marque-a no círculo trigonométrico. a) tan 𝑥 = −1 em [𝜋, 5𝜋]. b) sec 𝑥 = 2 √3 em [ 3𝜋 2 , 2𝜋] c) √3 |cot 2𝑥| = 1 em ℝ. d) 2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥, em [0,2π]. Solução: a) Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que 𝑥 = − 𝜋 4 é um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑥) = −1. Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem ser da forma 𝑥 = − 𝜋 4 + 𝑘𝜋 , onde 𝑘 é um inteiro. Para determinar os valores de 𝑘 para os quais − 𝜋 4 + 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋], precisamos resolver a inequação: 𝜋 ≤ − 𝜋 4 + 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 + 𝜋 4 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 + 𝜋 4 ⟺ 5𝜋 4 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 21𝜋 4 ⟺ 5 4 ≤ 𝑘 ≤ 21 4 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ⇒ 2 ≤ 𝑘 ≤ 5. Logo a solução é: 𝑆 = {− 𝜋 4 + 2𝜋,− 𝜋 4 + 3𝜋,− 𝜋 4 + 4𝜋, − 𝜋 4 + 5𝜋} = { 7𝜋 4 , 11𝜋 4 , 15𝜋 4 , 19𝜋 4 }. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- OBSERVAÇÃO: outra forma de resolver é: Observando no círculo trigonométrico, na figura acima, temos que 𝑥 = 3𝜋 4 é um ângulo do 2º. quadrante tal que tan(𝑥) = −1. Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação devem ser da forma 𝑥 = 3𝜋 4 + 𝑘𝜋 , onde 𝑘 é um inteiro. EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 6 de 16 Para determinar os valores de 𝑘 para os quais 3𝜋 4 + 𝑘𝜋 ∈ [𝜋, 5𝜋], precisamos resolver a inequação: 𝜋 ≤ 3𝜋 4 + 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 ⟺ 𝜋 − 3𝜋 4 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 5𝜋 − 3𝜋 4 ⟺ 𝜋 4 ≤ 𝑘𝜋 ≤ 17𝜋 4 ⟺ 1 4 ≤ 𝑘 ≤ 17 4 𝑘 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 ⇒ 1 ≤ 𝑘 ≤ 4. Logo a solução é: 𝑆 = { 3𝜋 4 + 𝜋, 3𝜋 4 + 2𝜋, 3𝜋 4 + 3𝜋, 3𝜋 4 + 4𝜋} = { 7𝜋 4 , 11𝜋 4 , 15𝜋 4 , 19𝜋 4 }. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) sec 𝑥 = 2 √3 em [ 3𝜋 2 , 2𝜋] sec 𝑥 = 2 √3 sec𝑥= 1 cos𝑥 , 𝑥≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 ⇔ 1 cos𝑥 = 2 √3 ⟺ cos 𝑥 = √3 2 Observando no círculo trigonométrico, na figura ao lado, temos que 𝑥 = 𝜋 6 ou 𝑥 = 2𝜋 − 𝜋 6 = 11𝜋 6 são os ângulos do 1º e 4º. quadrantes para os quais cos 𝑥 = √3 2 . Como foi pedido 𝑥 ∈ [ 3𝜋 2 , 2𝜋], a única solução é 𝑥 = 11𝜋 6 . ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ c) √3 |cot 2𝑥| = 1 ⟺ |cot 2𝑥| = 1 √3 cot2𝑥= 1 tan2𝑥 , 2𝑥≠𝑘𝜋, 2𝑥≠ 𝜋 2 +𝑘𝜋 ⇔ | 1 tan2𝑥 | = 1 √3 ⟺ |tan2𝑥| = √3 . Mudando a variável, fazendo 2𝑥 = 𝑦, temos que resolver a equação |tan 𝑦| = √3. Para resolver, vamos usar o círculo trigonométrico para o ângulo 𝑦. |tan 𝑦| = √3 ⟺ tan𝑦 = √3 𝑜𝑢 tan 𝑦 = −√3. Como sen 𝜋 3 = √3 2 e cos 𝜋 3 = 1 2 , concluímos que o ângulo 𝑦 = 𝜋 3 é um ângulo do 1º. quadrante tal que tan(𝑦) = √3. Pelas simetrias no círculo trigonométrico, na figura ao lado, 𝑦 = − 𝜋 3 é um ângulo do 4º. quadrante tal que tan(𝑦) = −√3. Como a tangente tem período igual a 𝜋, as soluções da equação são: y = − π 3 + k1π ou y = π 3 + k2π, onde k1, k2 são inteiros. Voltando à variável original 𝑥, as soluções são: 2x = − π 3 + k1π ou 2x = π 3 + k2π, onde k1, k2 são inteiros. Solução final: x = − π 6 + k1 π 2 ou x = π 6 + k2 π 2 , onde k1, k2 são inteiros. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 7 de 16 d) 2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥, em [0,2π] 2csc2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥 csc𝑥= 1 sen𝑥 , 𝑥≠𝑘𝜋 ⇔ 2 ∙ 1 sen2 𝑥 = 9 − 4 sen2 𝑥 ⟹ 2 = 9 sen2 𝑥 − 4 sen4 𝑥. Mudando a variável, fazendo 𝑦 = sen2 𝑥 , temos que 2 = 9y − 4y2. Resolvendo a equação em 𝑦,: 2 = 9y − 4y2 ⟺ 4y2 − 9y + 2 = 0 ⟺ 𝑦 = −(−9)±√(−9)2−4(4)(2) 2∙4 𝑦 = 9±√81−32 8 = 9±√49 8 ⟺ y = 9+7 8 = 2 ou y = 9−7 8 = 1 4 . Voltando à variável original 𝑥, temos que sen2 𝑥 = 1 4 ou sen2 𝑥 = 2. Resolvendo cada equação: sen2 𝑥 = 2 não tem solução pois sabemos que – 1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1, logo 0 ≤ sen2 𝑥 ≤ 1. sen2 𝑥 = 1 4 ⟺ sen 𝑥 = 1 2 ou sen 𝑥 = − 1 2 . Logo, observando no círculo trigonométrico, temos que, para 𝑥 ∈ [0,2π], as soluções são: sen 𝑥 = 1 2 ⟺ 𝑥 = 𝜋 6 𝑜𝑢 𝑥 = 5𝜋 6 sen 𝑥 = − 1 2 ⟺ 𝑥 = 7𝜋 6 𝑜𝑢 𝑥 = 11𝜋 6 Portanto, obtemos 𝑆 = { 𝜋 6 , 5𝜋 6 , 7𝜋 6 , 11𝜋 6 }. __________________________________________________________________________________ Exercício 12 Dê o domínio de cada função. a) 𝑓(𝑥) = 1 1−tan 𝑥 2 b) 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥 Solução: a) Temos duas restrições para o domínio de 𝑓(𝑥) = 1 1−tan 𝑥 2 : I) A tangente está definida em ℝ− { 𝜋 2 + 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, logo, devemos ter; 𝑥 2 ≠ 𝜋 2 + 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } II) O denominador deve ser não nulo, logo devemos ter: 1 − tan ( 𝑥 2 ) ≠ 0. Resolvendo a equação associada, tan ( 𝑥 2 ) = 1 ⟺ 𝑥 2 = 𝜋 4 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. Para explicitar a variável 𝑥 podemos multiplicar tudo por 2 𝑥 = 𝜋 2 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ. EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 8 de 16 Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ }. Portanto: 𝐷𝑜𝑚(𝑓)= 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝑘 𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 2𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Temos duas restrições para o domínio de 𝑔(𝑥) = √2 − sec2 𝑥. I) A secante está definida em ℝ − { 𝜋 2 + 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. Logo a solução dessa restrição é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ } II) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja, 2 − sec2 𝑥 ≥ 0. Simplificando a inequação, 2 − sec2 𝑥 ≥ 0 ⟺ sec2 𝑥 ≤ 2 sec𝑥= 1 cos𝑥 ⇔ 1 cos2 𝑥 ≤ 2 ⟺ 1 2 ≤ cos2 𝑥 ⟺ cos2 𝑥 ≥ 1 2 ⟺ √cos2 𝑥 ≥ √ 1 2 ⟺ |cos 𝑥| ≥ 1 √2 = √2 2 ⟺ cos 𝑥 ≥ √2 2 𝑜𝑢 cos 𝑥 ≤ − √2 2 As equações associadas são: cos 𝑥 = √2 2 ou cos 𝑥 = − √2 2 , resolvendo-as no intervalo [0, 2𝜋], cos 𝑥 = √2 2 ⟺ 𝑥 = 𝜋 4 𝑜𝑢 𝑥 = 7𝜋 4 . cos 𝑥 = − √2 2 ⟺ 𝑥 = 3𝜋 4 𝑜𝑢 𝑥 = 5𝜋 4 . Podemos marcar as soluções dessas equações no círculo trigonométrico e marcar os segmentos no eixo horizontal, que correspondem às inequações cos 𝑥 > √2 2 ou cos 𝑥 < − √2 2 . Para escrever as soluções na forma de intervalos precisamos prestar muita atenção se estamos escrevendo intervalos de forma que o extremo esquerdo seja menor que o extremo direito, por exemplo, para 𝐜𝐨𝐬 𝒙 > √𝟐 𝟐 NÃO É CORRETO escrever 𝟕𝝅 𝟒 < 𝑥 < 𝝅 𝟒 𝒐𝒖 𝒙 ∈ [ 𝟕𝝅 𝟒 , 𝝅 𝟒 ] , o correto é considerar o ângulo do extremo esquerdo como o maior ângulo congruente com 𝟕𝝅 𝟒 , que é menor do que 𝝅 𝟒 , isto é, o ângulo 𝟕𝝅 𝟒 − 𝟐𝝅 = − 𝝅 𝟒 ≡ 𝟕𝝅 𝟒 . Assim, podemos concluir que as soluções da inequação cos2 𝑥 ≥ 1 2 estão em um dos intervalos [− 𝜋 4 , 𝜋 4 ] ou [ 3𝜋 4 , 5𝜋 4 ] ou qualquer outro intervalo congruente com um desses intervalos. EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 9 de 16 Portanto a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = [− 𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 𝜋 4 + 2𝑘𝜋] ∪ [ 3𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 5𝜋 4 + 2𝑘𝜋], 𝑘 é um inteiro. Como 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼, concluímos: 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘 𝜋, 𝑥 ∈ [− 𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 𝜋 4 + 2𝑘𝜋] ∪ [ 3𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 5𝜋 4 + 2𝑘𝜋] , 𝑘 ∈ ℤ} Como 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ∉ [− 𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 𝜋 4 + 2𝑘𝜋] e 𝜋 2 + 𝑘 𝜋 ∉ [ 3𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 5𝜋 4 + 2𝑘𝜋] 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [− 𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 𝜋 4 + 2𝑘𝜋] ∪ [ 3𝜋 4 + 2𝑘𝜋, 5𝜋 4 + 2𝑘𝜋] 𝑘 ∈ ℤ __________________________________________________________________________________ Exercício 13 Para cada função, faça o que se pede. (i) Se preciso, use identidades trigonométricas para simplificar a função. (ii) Encontre o domínio da função contido no intervalo 𝐼 dado. (iii) Descreva uma possível sequência de transformações para obter o gráfico da função. (iv) Esboce o gráfico marcando pelo menos 6 (seis) pontos, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3,𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 no eixo 𝑥 em que é possível identificar pontos no gráfico da função. (v) Dê a imagem da função. a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) − 1 cot(𝜋−𝑥) 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋]. b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 + 𝜋 5 ) 𝐼 = [0,4𝜋]. c) 𝑝(𝑥) = 4sen𝑥 1−cos𝑥 − 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋] Sugestão: para simplificar, multiplique por (1 + cos𝑥) tanto o numerador quanto o denominador da fração contida na expressão de 𝑝(𝑥). d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋] e) 𝑟(𝑥) = { −1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 2 1 − tan 𝑥 se 𝜋 2 < 𝑥 ≤ 𝜋 𝐼 = [0, 𝜋] Solução: a) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) − 1 cot(𝜋−𝑥) 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋]. (i) 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) − 1 cot(𝜋−𝑥) cot(x)tem período π, cot(𝜋−𝑥)=cot(−𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) − 1 cot(−𝑥) cot(x)é ímpar, cot(−𝑥)=−cot𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) + 1 cot(𝑥) tan(𝑥)= 1 cot𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) + tan(𝑥). EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 10 de 16 Logo, 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥). (ii) O domínio de 𝑓(𝑥) = 2 + tan(𝑥) − 1 cot(𝜋−𝑥) tem três restrições: I) A função tan(𝑥) está definida para 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. Logo a solução da restrição (I) é 𝑆𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} II) A função cot(𝜋 − 𝑥) está definida para 𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 é um inteiro. 𝜋 − 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 ≠ −𝜋 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 𝜋 − 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋 Observe que: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {(1 − 0)𝜋} ∪ {(1 − 1)𝜋, (1 − 2)𝜋, (1 − 3)𝜋, (1 − 4)𝜋,⋯ } ∪ {(1 − (−1))𝜋, (1 − (−2))𝜋, (1 − (−3))𝜋, (1 − (−4))𝜋, ⋯ } = {𝜋} ∪ {0,−𝜋,−2𝜋,−3𝜋,⋯ } ∪ {2𝜋, 3𝜋, 4𝜋, 5𝜋,⋯ } = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. Logo, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ (1 − 𝑘)𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. Logo a solução da restrição (II) é 𝑆𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} III) O denominador deve ser não nulo, isto é, cot(𝜋 − 𝑥) ≠ 0. cot(𝜋 − 𝑥) = 0 ⟺ 𝜋 − 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝜋 − 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = −𝜋 + 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ⟺ −𝑥 = − 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 = 𝜋 2 − 𝑘𝜋. Mas, {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = 𝜋 2 − 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} Logo a solução da restrição (III) é 𝑆𝐼𝐼𝐼 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [−3𝜋, 3𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ [−3𝜋, 3𝜋]; 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} = [−3𝜋, 3𝜋] − {−3𝜋, − 5𝜋 2 , −2𝜋, − 3𝜋 2 , −𝜋, − 𝜋 2 , 0, 𝜋 2 , 𝜋, 3𝜋 2 , 2𝜋, 5𝜋 2 , 3𝜋}, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−3𝜋,− 5𝜋 2 ) ∪ (− 5𝜋 2 , −2𝜋) ∪ (−2𝜋, − 3𝜋 2 ) ∪ (− 3𝜋 2 , −𝜋) ∪ (−𝜋, − 𝜋 2 ) ∪ (− 𝜋 2 , 0) ∪ (0, 𝜋 2 ) ∪ ( 𝜋 2 , 𝜋) ∪ (𝜋, 3𝜋 2 ) ∪ ( 3𝜋 2 , 2𝜋) ∪ (2𝜋, 5𝜋 2 ) ∪ ( 5𝜋 2 , 3𝜋) (iii) y = tan 𝑥 (1) → y = 2 tan 𝑥 (2) → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2 + 2 tan(𝑥) EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 11 de 16 (1) Como 2 > 0, alongamento vertical do gráfico de y = tan 𝑥, por um fator multiplicativo 2. (2) Translação vertical do gráfico de y = 2 tan 𝑥, de 2 unidades para cima. (iv) (v) Imagem de 𝑓 é ℝ − {2}. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ b) 𝑔(𝑥) = 3sec (𝑥 + 𝜋 5 ) 𝐼 = [0,4𝜋]. (i) Não é preciso simplificar. (ii) A função secante está definida em ℝ − { 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, Logo, 𝑥 + 𝜋 5 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 𝜋 2 − 𝜋 5 + 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 3𝜋 10 + 𝑘𝜋. Como foi pedido o domínio contido em 𝐼 = [0,4𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ [0,4𝜋]; 𝑥 ≠ 3𝜋 10 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,4𝜋] − { 3𝜋 10 , 13𝜋 10 , 23𝜋 10 , 33𝜋 10 } (iii) 𝑦 = sec 𝑥 (1) → 𝑦 = 3 sec 𝑥 (2) → y = 3 sec (𝑥 + 𝜋 5 ) EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 12 de 16 (1) Como 3 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = sec 𝑥, por um fator multiplicativo 3. (2) Translação horizontal do gráfico de 𝑦 = 3 sec 𝑥, de 𝜋 5 unidades para esquerda. (iv) (v) 𝐼𝑚(ℎ) = (−∞,−3] ∪ [3,∞) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ c) 𝑝(𝑥) = 4sen𝑥 1−cos𝑥 − 4 cot 𝑥 𝐼 = [0,3𝜋] (i) 4 sen𝑥 1−cos𝑥 − 4 cot 𝑥 = (4 sen𝑥)(1+cos𝑥) (1−cos𝑥)(1+cos𝑥) − 4 cos𝑥 sen𝑥 = (4 sen𝑥)(1+cos𝑥) (1−cos2𝑥) − 4 cos𝑥 sen𝑥 = (4 sen𝑥)(1+cos𝑥) sen2 𝑥 − 4 cos𝑥 sen𝑥 = 4(1+cos𝑥) sen𝑥 − 4cos𝑥 sen𝑥 = 4+4cos𝑥 sen𝑥 − 4 cos𝑥 sen𝑥 = 4 sen𝑥 = 4 csc 𝑥 Logo 𝑝(𝑥) = 4 csc 𝑥. (ii) O domínio de 𝑝(𝑥) tem 2 restrições: EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 13 de 16 I) cot 𝑥 está definida para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ II) O denominador deve ser não nulo, 1 − cos 𝑥 ≠ 0 1 − cos 𝑥 = 0 ⟺ cos x = 1 ⟺ 𝑥 = 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑝) = {𝑥 ∈ [0,3𝜋]; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 𝑒 𝑥 ≠ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 𝐷𝑜𝑚(𝑝) = [0,3𝜋] − {0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋}. (iii) 𝑦 = csc 𝑥 (1) → 𝑦 = 4 csc 𝑥 (1) Como 4 > 0, alongamento vertical do gráfico de 𝑦 = csc 𝑥, por um fator multiplicativo 4. (iv) figuras ao lado (v) 𝐼𝑚(𝑝) = (−∞,−4] ∪ [4,∞) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ d) 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | 𝐼 = [0,2𝜋] (i) Não é preciso simplificar a função. (ii) A cotangente está definida em ℝ− {𝑥 = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}. Logo, para 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 |, devemos ter que para 𝑘 ∈ ℤ, 2𝑥 ≠ 𝑘𝜋 ⟺ 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 2 . Como queremos o domínio de 𝑞(𝑥) contido em 𝐼 = [0,2𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑞) = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠ 𝑘𝜋 2 , 𝑘 ∈ ℤ } = {𝑥 ∈ [0,2𝜋]; 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ 𝜋 2 , 𝑥 ≠ 𝜋, 𝑥 ≠ 3𝜋 2 , 𝑥 ≠ 2𝜋 } 𝐷𝑜𝑚(𝑞) = (0, 𝜋 2 ) ∪ ( 𝜋 2 , 𝜋) ∪ (𝜋, 3𝜋 2 ) ∪ ( 3𝜋 2 , 2𝜋) EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 14 de 16 (iii) 𝑦 = cot 𝑥 (1) → 𝑦 = cot(2𝑥) (2) → 𝑦 = |cot(2𝑥)| (3) → 𝑦 = −|cot(2𝑥)| (4) → 𝑦 = 4 − |cot(2𝑥)| (1) Como 2 > 0, redução horizontal do gráfico de 𝑦 = cot 𝑥 com fator multiplicativo 1 2 . Note que o período da cotangente, que é igual a 𝜋 também será multiplicado pelo fator 1 2 , logo o período da função 𝑦 = cot 2𝑥 será 𝜋 2 . (2) Reflexão no eixo 𝑥, da parte negativa do gráfico de 𝑦 = cot(2𝑥). Note que nesse caso o período não se altera. (3) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = |cot(2𝑥)|. Note que nesse caso o período não se altera. (4) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −|cot(2𝑥)| de 4 unidades para cima. Note que nesse caso o período não se altera. Pela observações sobre o período em cada transformação, concluímos que o período da função 𝑞(𝑥) = 4 − | cot 2𝑥 | será igual ao período de 𝑦 = cot 2𝑥, que é igual a 𝜋 2 . Além disso, foi pedido que o domínio da função 𝑞(𝑥) deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑞. Qual será o intervalo da função inicial 𝑦 = cot 𝑥, para atender essa exigência do domínio de q? Como a variável do domínio só será alterada na 1ª. transformação, basta analisar essa transformação. Vamos denominar a função inicial, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 e a função transformada 𝑦 = 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 , nesse caso, 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(2𝑥) . O domínio de 𝑔 é igual ao domínio de 𝑞 e deverá estar contido em 𝐼 = [0,2𝜋], ou seja, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋, onde 𝑥 é a variável do domínio de 𝑔 e do domínio de 𝑞. Então, fazendo uma mudança de variável, 𝑧 = 2𝑥, temos que 𝑔(𝑥) = cot 2𝑥 = 𝑓(𝑧) e o domínio da função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑧) = cot 𝑧, deverá estará contido em 𝐼 = [0,4𝜋], já que 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 ⟹ 0 ≤ 2𝑥 ≤ 4𝜋 ⟹ 0 ≤ 𝑧 ≤ 4𝜋. Agora, se substituirmos o nome da variável da função inicial, trocando 𝑧 por 𝑥, podemos responder: o intervalo da função inicial 𝑦 = 𝑓(𝑥) = cot 𝑥, será 𝐼 = [0,4𝜋], (iv) EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 15 de 16 (v) 𝐼𝑚(𝑞) = (−∞, 4] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ e) 𝑟(𝑥) = { −1 + tan 𝑥 se 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 2 1 − tan 𝑥 se 𝜋 2 < 𝑥 ≤ 𝜋 𝐼 = [0, 𝜋] (i) Não precisa simplificar. (ii) A tangente não é definida em 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Como 𝑥 ∈ [0, 𝜋], temos que 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = [0, 𝜋 2 ) ∪ ( 𝜋 2 , 𝜋] (iii) Para 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 2 : temos 𝑦 = tan 𝑥 (1) → 𝑦 = −1 + tan 𝑥 (1) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, de 1 unidade para baixo. Para 𝜋 2 < 𝑥 ≤ 𝜋, temos 𝑦 = tan 𝑥 (1) → 𝑦 = − tan 𝑥 (2) → 𝑦 = 1 − tan 𝑥 (1) Reflexão do gráfico de 𝑦 = tan 𝑥, em torno do eixo 𝑥. (2) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −tan 𝑥, de 1 unidade para cima. (iv) EP 09 – 2016-1 – GABARITO – Tan, Sec, Cot e Csc no Círculo. Equações-Inequações-Gráfico - Pré-Cálculo Página 16 de 16 Gráfico de 𝑦 = 𝑟(𝑥): (v) 𝐼𝑚(𝑟) = [−1,∞)
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