Lista 3 Funções Vetoriais

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Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 3 - Ca´lculo 2
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Calcule os limites:
(a) lim
t→0
(
cos(t)~i+ sen(t)~j + (1− t)~k
)
(b) lim
t→1
(√
t+ 1~i+
t− 1
t2 − 1
~j +
3
1 + t
~k
)
(c) lim
t→0
(
et − 1
t
~i+
√
1 + t− 1
t
~j +
t
1− t
~k
)
(2) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es vetoriais:
(a) ~r(t) = t2~i+ (1− t)~j +√t~k
(b) ~r(t) = cos(
√
2 t)~i+ t~j + sen(3t)~k
(c) ~r(t) =~i−~j + e−5t~k
(d) ~r(t) = ln(4− t2)~i+ t~j − 4te−2t~k
(3) Calcule as integrais:
(a)
∫ 1
0
(t~i+ t2~j + t3 ~k)dt
(b)
∫
(et~i+ 2t~j + ln(t)~k)dt
(c)
∫
(cos(pi t)~i+ sen(pi t)~j + t~k)dt
(d)
∫ pi/4
0
(cos(2t)~i+ sen(2t)~j +
√
t~k)dt
(4) Para cada func¸a˜o vetorial em (i), (ii) e (iii):
(a) desenhe o gra´fico da curva plana com a equac¸a˜o vetorial dada,
(b) encontre
d
dt
~r(t),
(c) desenhe o vetor posic¸a˜o ~r(t) e o vetor tangente
d
dt
~r(t) para o valor dado de t.
(i) ~r(t) = (t− 2)~i+ (t2 + 1)~j, t = −1
(ii) ~r(t) = sen(t)~i+ 2cos(t)~j, t = pi/4
(iii) ~r(t) = e2t~i+ et~j, t = 0
(5) Se ~r(t) = t~i+ t2~j + t3~k, determine ~r ′ (t), ~r ′′ (t) e ~r ′ (t)× ~r ′′ (t).
(6) Determine equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva, descrita pela func¸a˜o ve-
torial ~r(t), no ponto P especificado.
(a) ~r(t) = (1 + 2
√
t)~i+ (t3 − t)~j + (t3 + t)~k, P = (3, 0, 2)
(b) ~r(t) = (e−t cos(t))~i+ (e−t sen(t))~j + e−t~k, P = (1, 0, 1)
(7) Sejam ~u(t) = x1(t)~i+ y1(t)~j + z1(t)~k e ~v(t) = x2(t)~i+ y2(t)~j + z2(t)~k func¸o˜es vetoriais de
uma varia´vel real, mostre as seguintes igualdades
(a)
d
dt
[~u(t)× ~v(t)] = d
dt
~u(t)× ~v(t) + ~u(t)× d
dt
~v(t) (× denota produto vetorial)
(b)
d
dt
[~u(t) · ~v(t)] = d
dt
~u(t) · ~v(t) + ~u(t) · d
dt
~v(t) (· denota produto escalar)