Aula 4 Introdução ao estudos do pilares de concreto armado

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Introdução ao estudos do pilares
de concreto armado
Me. Eng. Jackson Deliz Ditz
jackson.ditz@imed.edu.br
IMED – Faculdade Meridional
Escola de Engenharia Civil
Concreto armado II
Pilares de concreto armado
• São elementos de cálculo complexos e cruciais em
estruturas de concreto armado.
• Comumente classifica-se a criticidade de falhas dos
elementos de concreto em edifícios:
• O cálculo dos pilares é complexo por diferentes razões:
– Flexão composta normal ou oblíqua Esforços.
– Efeitos de primeira e segunda ordem Flambagem.
– Fluência Deformabilidade.
Lajes
Vigas
Pilares
Modelo de cálculo
• As ações nos pilares são obtidas através do cálculo do pórtico
espacial ou dos pavimentos isolados (grelhas).
• Desde que se façam as considerações corretas, ambas as
possibilidades são válidas.
• O mais comum atualmente é calcular lajes e vigas como uma grelha
e usar os esforços para carregar o pórtico espacial.
Modelo de cálculo
Discretização!
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Cálculo
considerando
pórtico plano
Esforços
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Esforços
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Esforços
E = Módulo de elasticidade
P = Carga distribuída uniforme
F = Força concentrada
l = Vão
f = Flecha
I = Inércia (bh³/12 para seção retangular)
R = Reações verticais de força
M = Reações de momento fletor
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Deslocabilidade da estrutura
• A deslocabilidade da estrutura afeta a maneira de
calcular os pilares.
• As estruturas podem ser consideradas de nós fixos ou
nós deslocáveis ou móveis.
• Como saber se a estrutura é de nós fixos ou móveis?
• Estes parâmetros são usados internacionalmente para
estimar a deslocabilidade das estruturas.
Parâmetros de estimativa: a ou gz.
Deslocabilidade da estrutura
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Deslocabilidade da estrutura
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Deslocabilidade da estrutura (α)
• A estrutura pode ser considerada de nós fixos
quando o coeficiente α for menor que o limite
α1. 
 
 
Se n ≤ 3
Se n ≥ 4
Htot = Altura total da edificação
Nk = Esforço normal de serviço
total sobre a edificação
Ec.Ic = Medida de rigidez = EIeq
Deslocabilidade da estrutura (α)
• E rigidez equivalente (EIeq) pode ser determinada,
segundo o CEB por:
– onde FH é a força horizontal equivalente
concentrada no topo do pórtico, htot é a altura
total do pórtico e U é o deslocamento horizontal
no topo do pórtico, obtido por algum software.
𝐸𝐼𝑒𝑞 =
𝐹𝐻ℎ𝑡𝑜𝑡
3
3𝑈
Deslocabilidade da estrutura (α)
• O pórtico na direção
considerada abaixo possui
15 pavimentos com 4
metros de altura cada. Se
a rigidez equivalente
concentrada no topo do
pórtico for igual a 27,34e6
kN.m², determinar o valor
do coeficiente alfa,
verificando se a estrutura
é de nós fixos ou nós
móveis. O esforço vertical
de serviço total sobre o
pórtico é 20000 kN.
Obs: o cálculo de EIeq pode ser realizado usando o FTOOL, por exemplo. Seu
cálculo depende dos esforços horizontais, verticais, inércia de vigas e pilares, que
determinam os deslocamentos horizontais (será visto no próximo exemplo)
Deslocabilidade da estrutura (γz)
• A estrutura pode ser considerada de nós fixos
quando o coeficiente gz for menor que 1,1.
 
Onde é o momento de tombamento em relação à base, resultado da ação de todas as 
forças transversais à estrutura. 
 é o momento das forças verticais causados pelo deslocamento lateral da estrutura, 
obtidos na análise de primeira ordem. 
M1,tot,d = É o momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de
todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de
cálculo, em relação à base da estrutura
ΔMtot,d = É a soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na
estrutura, na combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos
deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da
análise de primeira ordem
Deslocabilidade da estrutura (γz)
• Calcular o coeficiente gama-z para o pórtico plano da estrutura abaixo.
Altura de cada
pavimento de três
metros
Deslocabilidade da estrutura (γz)
• Calcular o coeficiente gama-z para o pórtico plano da estrutura abaixo.
Deslocabilidade da estrutura
• Se a estrutura é considerada de nós fixos, os
efeitos globais de segunda ordem podem ser
desprezados e os pilares podem ser calculados
de maneira isolada apenas com os efeitos de
primeira ordem mais os efeitos locais de
segunda ordem.
Deslocabilidade da estrutura
• Efeitos de primeira ordem
– São os que surgem diretamente da análise da
estrutura.
Deslocabilidade da estrutura
• Se a estrutura é considerada de nós móveis, os
efeitos globais de segunda ordem devem ser
considerados obrigatoriamente.
Mas o que são os efeitos de segunda ordem?
São efeitos que resultam da não-linearidade da
estrutura.
Deslocabilidade da estrutura
• Efeitos de segunda ordem: Efeitos que surgem
em função da não linearidade da estrutura.
– Não linearidade
• Física
• Geométrica
Deslocabilidade da estrutura
• A não linearidade física deve-se ao
comportamento não-linear dos materiais 
Diagrama tensão-deformação não é uma reta.
Diagrama tensão x
deformação do concreto
é NÃO LINEAR
Deslocabilidade da estrutura
• A não-linearidade física é considerada no
cálculo de estruturas de concreto armado de
diferentes maneiras.
• A mais simples consiste em diminuir a rigidez
dos elementos durante o cálculo.
– 0,80 .E.Ic para os pilares
– 0,40 .E.Ic para as vigas
– 0,50 .E.Ic para as lajes
Deslocabilidade da estrutura
• Não linearidade geométrica
– A não-linearidade geométrica resulta em efeitos sobre a
estrutura em função das deformações que ocorrem
quando esta é carregada.
– A não-linearidade geométrica pode ser global ou local.
Deslocabilidade da estrutura
• Não linearidade geométrica
– A não-linearidade global é a que surge em função dos esforços
externos que passam a atuar fora de suas posições iniciais
quando a estrutura deforma.
Deslocabilidade da estrutura
• A não-linearidade global é avaliada por
métodos aproximados ou mais precisos.
• O método aproximado mais usado é a
majoração pelo coeficiente gama-z.
– Multiplicando o coeficiente gama-z pelos esforços
de primeira ordem, tem-se os esforços de segunda
ordem globais. (Gama-z > 1,1 e gama-z < 1,3).
Deslocabilidade da estrutura
• A não-linearidade local é a que surge em
função da tendência de instabilidade que
peças comprimidas ficam sujeitas 
Flambagem.
Estruturas de aço para edifícios – Valdir Pignatta e Silva | Fabio Domingos Pannoni
Deslocabilidade da estrutura
• Os métodos para encontrar os efeitos de segunda
ordem geométricos locais buscam encontrar ao
longo do comprimento da peça os acréscimos de
excentricidade no esforço normal.
Resumindo
Excentricidades
A maneira mais usual de abordar os
passos no cálculo de um tramo de
pilar é de acrescentar ao esforço
normal de primeira ordem
excentricidades a fim de resultar
em acréscimos de momentos
fletores em função de cada análise
realizada.
 
 
Soma de todas
excentricidades
Excentricidades
• Excentricidade inicial
– São as excentricidades resultantes do cálculo da estrutura.
Por exemplo, pilares em função da sua posição em planta,
podem estar sujeitos a momentos fletores em nenhuma,
uma ou duas direções.
– Se tem-se momentos,tem-se excentricidades.
Excentricidades
• Teoricamente, um pilar central não está
sujeito a momentos fletores em função das
vigas, contudo, a NBR 6118 (2014) não
permite que um pilar seja calculado como
centrado, sendo obrigatório considerar uma
excentricidade mínima.
• Resulta, então, que pilares sempre estarão
sujeitos a flexo-compressões normais ou
oblíquas.
Excentricidades
• Excentricidades de fôrma
– São as excentricidades que surgem em função da
necessidade de atender as particularidades
arquitetônicas do edifício.
– Dificilmente é possível fazer coincidir os planos de
carga das vigas com o eixo dos pilares. Daí surgem
excentricidades que podem ser significativas na
determinação dos esforços.
Excentricidades
• Excentricidades acidentais
– São as excentricidades difíceis de serem previstas por
resultarem de erros executivos, como erros de prumo,
erros de locação, etc...
– Todas as estruturas são imperfeitas e, assim, deve-se de
alguma maneira considerar estes erros executivos.
– A excentricidade é escrita em função d do ângulo de
desaprumo θ1:
 
Excentricidades
• O ângulo de desaprumo, θ1, é dado por:
• Onde L é a altura do pavimento.
 
Onde L é altura do pavimento. 
Excentricidades
• Excentricidade mínima (primeira ordem)
– Se o momento atuante for menor que o mínimo, deve-se
adotar o momento mínimo.
– Na realidade a excentricidade mínima substitui as
anteriores. Se a soma das primeiras é menor que a
excentricidade mínima, adota-se esta.
 
 
h = Altura do pilar
Excentricidades
• Há ainda as excentricidades de segunda ordem, que
devem ser consideradas através de algum processo
aproximado (normatizado) ou de um processo p-
delta.
• Estas são decorrentes da deslocabilidade global da
estrutura e da flambagem. Devem ser consideradas
em estruturas de nós móveis.
• Há também a excentricidade de segunda ordem
devido a fluência do concreto. Fluência?
– A fluência é o aumento de uma deformação com o
tempo sob a ação de cargas ou tensões repetitivas.
Excentricidades
• Excentricidades de segunda ordem
– Um processo aproximado para sua obtenção é 
encontrado em ARAÚJO (2010):
• Onde Le é o comprimento de flambagem da coluna e h a largura 
do pilar na direção considerada.
• Nd é a carga vertical de cálculo no pilar e Ac é a área de concreto 
do pilar
𝑒2 =
𝐿𝑒2
10
0,005
𝜐0 + 0,5 ℎ
𝜐0 =
𝑁𝑑
𝐴𝑐𝑓𝑐𝑑
Excentricidades
• Obtida a excentricidade de segunda ordem,
soma-se esta as excentricidades de primeira
ordem e tem-se a excentricidade total. Faz-se isso
nas duas direções (x e y) para a seção do pilar.
• Com as excentricidades calculadas, tem-se o
momento fletor total de cálculo:
𝑀𝑑 = 𝑁𝑑(𝑒1 + 𝑒2)
Excentricidades
• Determinar a excentricidade de segunda ordem
no pilar abaixo ao longo da direção x.
– Bi-engastado;
– Altura igual a 3,6 m;
– Esforço normal de cálculo = 700 kN;
– fck = 20 MPa;
40 cm
20 cm
x
y