Lista - Calculo 1 - Derivadas, derivada impl+¡cita e taxas relacionadas

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Ca´lculo 1 - Derivadas, derivada impl´ıcita e taxas relacionadas
Professor Roney Rachide Nunes
roneyrnunes2@yahoo.com.br
1. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule (usando a definic¸a˜o), f ′(0), f ′(1) e f ′(x).
2. Calcule f ′(p) usando a definic¸a˜o, em cada um dos casos abaixo:
(a) f(x) =
√
x no ponto p = 3.
(b) f(x) =
1
x
no ponto p = 2.
(c) f(x) = x3 + 2x− 1 no ponto p = 1.
3. Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)), em cada um dos casos abaixo:
(a) f(x) = x2 e p = 1.
(b) f(x) = 2x2 − 5x+ 1 e p = 0.
4. Deˆ exemplo, por meio de um gra´fico, de uma func¸a˜o deriva´vel e que f ′(3) = 0.
5. Verifique se a func¸a˜o f e´ deriva´vel em p = 1.
f(x) =
{
x2 + 2, se x < 1
2x+ 1 x ≥ 1
f e´ con´ınua em p = 1?
6. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que e´ cont´ınua, mas na˜o e´ deriva´vel, em p igual a 2.
7. Quantos exemplos voceˆ e´ capaz de apresentar de func¸o˜es deriva´veis em x = 5, mas que na˜o sa˜o cont´ınuas em
x = 5?
8. Voceˆ pode apresentar algum exemplo de func¸o˜es deriva´veis em x = 5 mas que na˜o e´ cont´ınua em x = 6?
9. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a equac¸a˜o y = ex + x2 + 3 no ponto de abscicssa 0.
10. Se f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1, mostre que f ′(x) = ln a · ax.
11. Se g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1, mostre que g′(x) =
1
x ln a
.
12. Demonstre, usando a definic¸a˜o, que se f(x) = cosx, enta˜o f ′(x) = −senx.
13. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico y = tg x no ponto em que o gra´fico corta o eixo y.
14. Dentre as func¸o˜es abaixo, quais sa˜o cont´ınuas? E quais sa˜o deriva´veis?
(a)
f(x) =
{
x2 + 1, sex < 2
x3 + 2, sex ≥ 2
(b)
f(x) =
{
x2 se x ≤ 0
−x2 se x > 0
(c)
f(x) =
{ −x se x < 4
x− 8 se x ≥ 5.
15. Divirta-se derivando...
(a) f(x) = 3x2 + 4
(b) f(x) = 7x3 + ln 3 + cos 2
(c) f(x) = ex lnx
(d) f(x) = 2x log3 x
(e) f(x) =
x+ 1
x− 1
1
(f) f(x) = xe
x
(g) f(x) = ex
2+2x−3
(h) f(x) =
xcosx
(4x− pi)(e2x−1)
(i) f(x) = cos
[
ex
2+sen x−1tg (2x− 9)
]
(j) f(x) = sen (8x− 4)
(k) f(x) = arc tg (senx)
(l) f(x) = arc sen
(
1
x2 + 1
)
(m) f(x) = 3
√
x+
√
x2 + 1
(n) f(x) = xcotg x
(o) f(x) =
x− 1
arc senx
(p) f(x) =
x
cosx
(q) f(x) =
x+ senx
x− senx
(r) f(x) =
x2e3x
cos(4x)
(s) f(x) = x2 lnx+ ln(4x) + (x− 1)11
(t) f(x) =
lnx
x
(u) f(x) = log3 x+ lnx+ ln(log2 3)
(v) f(x) =
√
x+
3
x
− senx
lnx
(w) u = u 3
√
u secu
(x) x = cos t · sen t
(y) x =
t
t− 1
(z) w =
z2
cos z − sen z
16. Derivando...
(a) f(x) = (1 + ex)x
2
(b) f(x) = sen (x2x)
(c) f(x) = xx
x
(d) f(x) = (x+ 8)x
(e) f(x) = (2 + senx)cos x
(f) f(x) = xxsenx
(g) f(x) = e−x + ex + 2x − x2
(h) f(x) = xlnx
(i) f(x) = sec(tg x)
(j) f(x) = tg (ex)
(k) f(x) = etg x
(l) f(x) = (x2 + cotg (x4))(x− 2)
(m) f(x) = e−xcos3(x2)
(n) f(x) =
te2t
ln(3t+ 1)
(o) f(x) = tg (3x)
(p) f(x) =
√
x+ ex
2
(q) f(x) = 3
√
cosx+ lnx
e2x + e−x
(r) f(x) =
(
senx− 1
ex − 2
)7
(s) f(x) = (senx+ cosx)4
(t) f(x) = sen 2x+ cos2 x
(u) f(x) = ln(11x2 + 3x+ 9)
(v) f(x) = cos(x9 − 8x4 + 3x+ e)
(w) f(x) = (e3x + e3x+ 3ex)(x3 + 3x + 3)
(x) f(x) = x2ex cosx
(y) f(x) = arc senx · arc cosx · arc tg x
(z) f(x) =
arc tg x
arc senx
17. Esboce os gra´ficos de f e f ′, se
f(x) =
{
x2 se x ≥ 1
1 se x < 1
18. Determine y′, y′′ e y′′′.
(a) y = 3x3 + 2x− 8
(b) y = sen (3x)
(c) y = ln(9x)
(d) y = cosx
(e) y = ex
(f) y = e−x
(g) y =
1
x
19. Determine uma padra˜o para derivada n−e´sima de cada uma das func¸o˜es abaixo.
(a) y = ex
(b) y = e2
(c) y = cosx
(d) y = e4x
(e) y = lnx
(f) y = x3 + x2 + 3x− 3
20. Seja f uma func¸a˜o deriva´vel e g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(5) = 7, calcule g′(2).
21. Seja f uma func¸a˜o deriva´vel e g(x) = f(lnx). Supondo f ′(1) = 22, calfule g′(1).
22. Se y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o y3 + y = x, calcule y′ e a reta tangente ao gra´fico de f no
ponto (2, 1).
23. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, em um ponto arbitra´rio (x0, y0), com y0 6= 0.
24. Uma part´ıcula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posic¸a˜o x e´ dada por x = 3t2 + 2t+ 9, t ≥ 0,
onde x e´ dado em metros e t em segundos.
(a) Determine as posic¸o˜es ocupadas pela part´ıcula nos instantes t = 1, t = 2 e t = 3.
(b) Qual a velocidade no instante t?
(c) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
25. Um ponto move-se sobre a semicurcunfereˆncia x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha dx/dt > 0. Determine o ponto da
curva em que a velocidade em y seja o dobro da velocidade em x. (Lembre-se: x e y sa˜o func¸o˜es de t.)
3
26. Enche-se um resevato´rio, cuja forma e´ um cone circular reto, de a´gua a uma taxa de 0, 1m3/s. O ve´rtice esta´ a
15m do topo e o raio do topo e´ 10m. Com que velocidade o n´ıvel h da a´gua esta´ subindo, no instante h = 5m?
27. Seja f(x) = x2 − x. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal no ponto de abscissa 0.
28. r e´ uma reta que passa por (1,-1) e e´ tangente ao gra´fico x3 − x. Determine r e o ponto de tangeˆncia.
29. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ perpendicular a reta 2y + x = 3 e tangente ao gra´fico de f(x) = x2 − 3x.
30. Os lados x e y de um retaˆngulo esta˜o variando a taxas constantes 0, 2m/s e 0, 1m/s, respectivamente. A que
taxa esta´ variando a a´rea do retaˆngulo no instante em que x = 10cm e y = 2dm?
31. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto esta˜o variando de modo a manter constante o volume V . Num
determinado instahte h = 3cm e r = 1cm a altura esta´ variando a uma taxa de 0, 2cm/s. A que taxa estara´
variando o raio neste instante?
32. Calcule φ′(φ(x)), sendo φ dada por
(a) φ(x) = senx
(b) φ(x) = ln(x2 + 1)
(c) φ(x) = ex
2
33. Calcule lim
x→4
x1234567 − 41234567
x− 4 .
34. Se x3 + y3 = 6xy, determine y′, e a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico no ponto (3, 3). E´ poss´ıvel encontrar
a equac¸a˜o de uma reta que seja tangente ao gra´fico no ponto (0, 1)? Em quais pontos do primeiro quadrante a
reta tangente e´ horizontal? (A curva x3 + y3 = 6xy e´ conhecida como folium de Descartes.)
35. Determine y′, se sen (x+ y) = y2 cosx.
36. Utilize derivac¸a˜o impl´ıcita para obter a y′, se 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2). Em seguida, obtenha a equac¸a˜o da
reta tangente a curva no ponto (3, 1).
37. Encontre y′, se xy = yx.
38. Determine y′, se y = ln(x2 + y2).
39. Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3m/s. Com
que rapidez estara´ variando a a´rea englobada pela onda crescente, ao final de 10 segundos?
40. Pela ruptura de um tanque, uma mancha de o´leo espalha-se em forma de c´ırculo, cuja a´rea cresce a uma taxa
constante de 6km2/h. Com que rapidez estara´ variando o raio da mancha crescente quando a a´rea for de 9km2?
41. Um bala˜o esfe´rico e´ inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3m3/min. Com que rapidez o diaˆmetro
do bala˜o estara´ crescendo quando o raio for de 1 m?
42. Uma escada de 17 m esta´ apoiada em uma parede. Se a base da escada for puxada ao longo do cha˜o, afastando-se
da parede a uma taxa constante de 5m/s, com que rapidez o topo da escada estara´ movendo-se para baixo na
parede, quando ela estiver 8m acima do solo?
43. Um tanque coˆnico com ve´rtice para baixo e com a´gua tem um raio de 10 m no topo e uma altura de 24m. Se a
a´gua fluir para dentro do tanque a uma velocidade de 20m3/min, com que velocidade a profundidade da a´gua
estara´ aumentando quando ela estiver a 18m de profundidade?
44. Uma bola de neve esta´ se formando de tal modo que seu volume cresce a uma taxa de 8cm3/h. Ache a taxa
segundo a qual o a a´rea da superf´ıcie da esfera esta´ variando, quando a bola de neve tiver 4cm de diaˆmetro.
45. Se duas resisteˆncias R1 e R2 ohms esta˜o conectadas em paralelo emum circuito ele´trico, resultando em uma
resisteˆncia R ohms, o valor de R sera´ dado por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
Se R1 diminui a uma taxa de 1 ohm/min e R2 aumenta a uma taxa de 0,5 ohm/min, a que taxa esta´ variando
R, quando R1 = 75 ohms e R2 = 50 ohms?
46. Gra˜os caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 8m3/min, formando uma pilha coˆnica cuja altura e´
sempre o dobro de seu raio. Com que rapidez a pilha esta´ crescendo no momento em que sua altura e´ de 6 m?
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