FAMAT49010-2020L2 (7)

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Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina : Cálculo Diferencial e Integral 1 (FAMAT49010)
Assunto: Regras de Derivação, Aplicações da derivada primeira (Taxa de Variação, Reta tangente e
Regra de L’Hopsital), Derivadas de Ordem superior, Máximos e Mı́nimos absolutos, Gráficos de
funções, Otimizações
Prof: Sato
2a Lista de Exerćıcios
1 Derivadas: exemplos e regras de derivação
1. Faça a dedução da derivada da função f (x) = ax (ver páginas 188 e 189 de [ST]). Em seguida,
interprete a afirmação:
”A taxa de variação de qualquer função exponencial é proporcional à sua função”
2. Ache a primeira derivada em relação a x para as seguintes funções
(a) y = f (x) = 2x+1
x2−1
(b) y = f (x) =
(
x+1
x−1
)2
3. Usando as regras de derivações determine as seguintes derivadas de primeira ordem f ′ (x) para
seguintes funções
(a) f (x) = x2 cos (x) (b) f (x) = e
x
1+x (c) f (x) =
x−3x
√
x
x
(d) f (x) = x cos (x) sen (x ) (e) f (x) = sec (x) (f) f (x) = x−3x
√
x
x
4. A quantidade de carga Q em coloumbs (C) que passa através de uma seção reta de um fio até
o instante t (medido em segundos) é dada por
Q = Q (t) = t3 − 2t2 + 6t+ 2, t ≥ 0.
(a) Encontre a corrente quando (a) t = 0, 5 s e (b) t = 1 s.
(b) Em que instante a corrente é mais baixa?
5. Uma faixa elástica é pendurada em um gancho e uma massa está presa na extremidade inferior
da faixa. Quando a massa é puxada para baixo e então solta, ela oscilar verticalmente. A
equação do movimento é
s = 2 cos (t) + 3sen (t) , t ≥ 0 ,
onde s é medido em cent́ımetros e t, em segundos. (Consideramos o sentido positivo como sendo
para baixo.)
(a) Encontre a fórmula Fase-Amplitude desse movimento.
(b) Encontre a velocidade no instante t.
(c) Faça os gráficos das funções velocidade e posição.
(d) Quando a massa passa pela posição de equiĺıbrio pela primeira vez?
(e) A que distância da posição de equiĺıbrio a massa chega?
(f) Quando a velocidade é máxima?
1
2 Derivadas: Regra da Cadeia, Derivadas das funções composta e
impĺıcita
1. Determine as derivadas das funções f (x) = sen (ax ) e g (x) = [sen (ax )]n em que a é um
constante real e n um natural maior do que 1.
2. Usando a regra da cadeia, determine y′, sendo:
(a) y = (3x+ 5)50 (b) y =
(
4x3 + 3x− 1
)7
(c) y = e−2x
(d) y =
(
3x−2
2x+1
)8
(e) y = x2ex
2+1 (f) y =
(
x2 + 1
)20 (
x3 − 2x
)−11
3. Em cada caso, escreva a função dada na forma de uma composta h (x) = y = f (g (x)), iden-
tificando a função u = g (x) e a função y = f (u). Em seguida, encontre a derivada da função
h (x)
(a) y = exp (x cos (x)) (b) y = e−3xsen (3x ) (c) y = e−2x
4. Enuncie a regra da derivada da função inversa. Use este resultado para calcular a derivada da
função f (x) = ax.
5. Calcule as derivadas sucessivas, até a ordem n dada:
(a) y = 3x4 − 2x, n = 5 (b) y = 3x4 − 2x, n = 4 (c) y =
√
3− x2, n = 3
(d) y = 1x−1 , n = 4 (e) y = e
2x+1, n = 3 (f) y = ln (2x) , n = 4
6. Em cada caso, escreva a função dada na forma de uma composta h (x) = y = f (g (x)), identi-
ficando a função u = g (x) e a função y = f (u). Em seguida, encontre a derivada de segunda
ordem da função h (x)
(a) y = exp (x cos (x)) (b) y = e−3xsen (3x ) (c) y = e−2x
7. Calcule as derivadas sucessivas paras funções f (x) = 1x e g (x) = sen (x ). Em seguida, para
cada uma delas determine uma lei de formação, ou seja, expresse f (n) (x) e g(n) (x) em função
de x e n.
8. Usando o Teorema da função impĺıcita, encontre dydx para cada item a seguir:
(a) x2 + y2 = 16 (b) x2 − y2 + 3y = 1 (c)
√
x2 + y2 + x2 = 20
(d y = xe
x
(e) x2 − y2 + 3y = 1 (f)
√
x2 + y2 + x2 = 20
9. Para cada uma das funções f (x) = u (x)v(x), em que u (x) e v (x) são dadas a seguir, faça o que
se pede
(a) u (x) = x e v (x) = ex ⇐⇒ f (x) = [x]e
x
(b) u (x) = sen (x ) e v (x ) = x 2 ⇐⇒ f (x) = [sen (x )]x
2
(c) u (x) = ex e v (x) = tag (x ) ⇐⇒ f (x) = [ex]tag(x)
(a) Reescreva f (x), usando uma propriedade dos logaritmos, como
f (x) = eln(u(x)
v(x)) = ev(x) ln(u(x)) = (h ◦ g) (x)
em que g (x) = v (x) ln (u (x)) e h (x) = ex. Em seguida, use a regra da cadeia para obter
f ′ (x).
(b) Aplique o logaritmo na igualdade f (x) = u (x)v(x) obtendo
ln (f (x)) = ln
(
u (x)v(x)
)
= v (x) ln (u (x))
Em seguida, derive essa igualdade, usando o Teorema da função impĺıcita, para obter f ′ (x).
2
10. A função f (x) = sen (x + sen (x )), 0 < x < π, aparece em aplicações para a sintetização de
frequência modulada (FM).
(a) Use uma calculadora gráfica para esboçar um gráfico da função f (x), em seguida, use esse
gráfico para dar um esboço, mesmo que grosseiro, do gráfico de sua derivada f ′ (x).
(b) Calcule f ′ (x) e utilizando uma calculadora gráfica plote seu gráfico. Compare com o obtido
no item (a).
3 Regra de L’Hospital
1. Explique o significado das expressões ”indeterminadas”abaixo e exemplifique esta situação:
(a) Produtos Indeterminados (ver página 311 de [ST]);
(b) Diferenças Indeterminadas (ver página 312 de [ST]);
(c) Potências Indeterminadas (ver página 312 de [ST]).
2. Nos itens que seguem, use a Regra de L’Hôspital onde for apropriado. Se existir um método
mais elementar, use-o. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
(a) lim
x−→π
2
+
cos(x)
1−sen(x) (b) limx−→0
e3x−1
x (c) limx−→+∞
ex
x3
(d) lim
x−→0+
sen (x ) ln (x ) (e) lim
x−→+∞
(
2x−3
2x+5
)x
(f) lim
x−→0
x−sen(x)
x+cos(x)
3. Mostre que
lim
x−→∞
ex
xn
= ∞
para qualquer inteiro positivo n. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente
ao infinito que qualquer potência de x.
4. Mostre que
lim
x−→∞
ln (x)
xp
= 0
para todo número p > 0. Isso mostra que a função logaritmo tende a infinito mais vagarosamente
que qualquer potência de x.
5. Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade v após t
segundos, levando-se em conta a resistência do ar, e
v = v (t) =
mg
c
(
1− e
−ct
m
)
onde g é a aceleração da gravidade e c e uma constante positiva.
(a) Calcule
lim
t−→∞
v (t)
Qual o significado desse limite?
(b) Para um valor fixo de t, use a Regra de L’Hospital para calcular lim
t−→∞
v (t), que você pode
concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo?
3
4 Taxa Relacionadas
1. Se um tanque contém, inicialmente, 5.000 galões de água, que escoa pelo fundo em 40 minutos,
então a Lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como
V = V (t) = 500
(
1− t
40
)2
em que 0 ≤ t ≤ 40.
(a) Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque depois de: (a) 5 min, (b)
10 min, (c) 20 min e (d) 40 min.
(b) Em que instante o fluxo é mais rápido? E mais vagaroso? Resuma o que você encontrou.
(ver exemplo 1 página 199 de [ST] e exerćıcios 18 e 20 da página 208.)
2. Um objeto com peso W é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao
longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo 00 com o plano, então a grandeza
da força é
F =
µW
µsen (θ) + cos (θ)
onde µ é uma constante chamada coeficiente de atrito.
(a) Encontre a taxa de variação de F em relação a θ.
(b) Quando essa taxa de variação é igual a 0?
(c) Se W = 50 lb e µ = 0, 6, faça um esboço do gráfico de F como uma função de θ e use-o
para localizar o valor de θ para o qualdFdθ = 0. Esse valor é consistente com a resposta dada
na parte (b)?
3. Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola cai da mesma altura em
um ponto situado a 30 pés de distância do poste (Veja a figura a seguir). A que velocidade a
sombra da bola se desloca no solo 12 segundo depois? (Considere que na queda a bola percorreu
s = 16t2 pés em t segundos)
4. Uma escada com 13 pés está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a
escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 pés da casa, ela
escorrega a uma taxa de 5 pés/s.4
(a) A que taxa o topo da escada escorrega para baixo nesse momento?
(b) A que taxa a área do triângulo, formado pela escada, parede e pelo solo, varia?
(c) A que taxa o ângulo θ, formado pela escada e pelo solo, varia?
5 Reta tangente e normal
1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa
dada:
(a) y = x3 − 5x+ 1, x = 1 (b) y = x+ 4 ln (x) , x = 1 (c) y = e−x, x = 0
2. Determinar a equação da reta tangente à curva y = 1 − x2, que seja paralela à reta y = 1 − x.
Esboçar os o gráficos da função, da reta dada e da reta tangente encontrada. Deteremine,
também, a reta normal à essa curva passando pelo ponto de tangência.
3. Em qual ponto do gráfico da função y = [ln (x+ 4)]2 a reta tangente é horizontal?
4. Encontre os pontos sobre a elipse x2+2y2 = 1 onde a reta tangente tem inclinaçao 1. Para esses
pontos determine, também, a equação da reta normal à curva.
5. Encontra a reta tangente à astroide
3
√
x2 + 3
√
y2 =
3
√
a2, em que a > 0 é um constante, em um
ponto P (x0, y0) da curva.
6 Aproximação linear e aproximação da variação de uma função
1. Quando f (x) derivável quando x = a, a variação aproximada do valor de f , quando x varia de
a para a+△x é dado pelo diferencial total avaliado no ponto x = a, ou seja,
△f (x) = f (a+△x)− f (a) ∼= df (a) = f ′ (a) dx
(variação da linearização de f correspondente à variação dx = △x). Use diferenciais para apro-
ximar os números 2
√
3, 98 e 2
√
4, 05. Essas aproximações estão superestimadas ou subestimadas?
2. Encontre a linearização de segunda ordem (ou quadrática) para f(x) = 3
√
1 + 3x em torno de
a = 0. Use a aproximação correspondente para dar um valor aproximado de 3
√
1, 03. Em seguida,
determine os valores de x para os quais a aproximaçãodada na parte é precisa dentro de 0.001.
7 Derivadas de ordem superior
1. Determine as séries de Taylor das seguintes funções com centro c = 0.
(a) f (x) = cos (x) , x ∈ R.
(b) f (x) = 1
1+x2
, |x| < 1
(c) f (x) = arctag (x ) , |x| < 1.
5
8 Teorema do Valor Médio e Aplicações
1. Uso o Teorema do Valor Intermediário junto com o Teorema de Rolle para provar que o polinômio
P (x) = x3 + x− 3, possui um único zero real (raiz da equação x3 + x− 3 = 0).
2. Mostrar que a função f (x) = 2x− 1− sen (x ) , x ∈ R, tem exatamente um zero real.
3. Mostre que a equação x4 + 4x+ c = 0 tem no máximo duas ráızes reais.
4. Estude o exemplo 1 página 297 de [ST]. Em seguida, encontre os intervalos nos quais f (x) é
crescente ou decrescente nos seguintes casos:
(a) f (x) = x2 ln (x) (b) f (x) = (x− 1) (x− 2) (x+ 3) (c) f (x) = x2ex
5. Um empresário verificou que quando vendia liquidificadores a p reais cada um, os clientes com-
pravam um total de x = 8000p liquidificadores por mês. Sabendo que em t meses o preço dos
liquidificadores será de p (t) = 0, 05t
3
2 +16, 8 reais, calcule a taxa de variação da demanda mensal
de liquidificadores com relação ao tempo, daqui a 16 meses.
6. Usando o Teorema do Valor Médio prove as desigualdades
b− a
b
< ln
(
b
a
)
<
b− a
a
,
para quaisquer 0 < a < b.
9 Máximo e Mı́nimo absolutos
1. Encontre os valores máximo e mı́nimo absolutos da função y (x) = x+ 2sen (x ), 0 ≤ x ≤ 2π.
2. Dada a função f (x) = 10x−x2, obtenha seus pontos de máximo e mı́nimo relativos e absolutos,
sabendo-se que o domı́nio é D = [0; 6]..
3. Uma empresa foi fundada em 1990 e sua capacidade de produção P = P (t) evoluiu segundo:
P (t) =
50000[
700 + (t− 20)2
]2 , t ≥ 0.
(a) Em que ano a empresa alcançou sua capacidade máxima de produção?
(b) Qual foi essa capacidade?
4. Um cartaz deve conter 50 cm2 de matéria impressa com duas margens de 4 cm cada, na parte
superior e na parte inferior e duas margens laterais de 2 cm cada. Determine as dimensões
externas do cartaz de modo que sua área total seja mı́nima.
5. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semićırculo de raio r.
10 Gráficos de funções
1. Faça um estudo qualitativo das funções dadas a seguir. Em seguida, esboce seus gráfico, desta-
cando os pontos de máximo e mı́nimo locais e/ou globais, pontos de inflexão e assintotas (caso
existam).
(a) f (x) = 2x3 − 12x2 + 18x− 2 (b) f (x) = 2x√
x2−1 (c) f (x) =
3x+1
(x+2)(x−3)
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2. Trace o gráfico de uma função cont́ınua y = f (x), tendo todas as seguintes propriedades:
(a) f (0) = 10; f (−3) = 0; f (3) = 0;
(b) f ′ (x) > 0 para x < 0 e f ′ (x) < 0 para x > 0;
(c) f ′′ (x) > 0 para x < 0 e f ′′ (x) > 0 para x > 0.Problemas de otimização
11 Probemas de otimizações
1. A altura de um objeto que se desloca verticalmente é dada por
h = −16t2 + 96t+ 112,
com h em m e t em segundos. Determine:
(a) a velocidade do objeto quando t = 0;
(b) sua altura máxima e quando esta ocorre;
(c) sua velocidade quando s = 0.
2. Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal sobre a ação de uma forca
F agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um ângulo θ com o plano,
então a intensidade da forca é
F =
µmg
µsen (θ) + cos (θ)
onde µ, é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para qual valor de θ a F é a menor
posśıvel?
3. Um barco deixa as docas às 14h e viaja para o sul com velocidade de 20km/h. Outro barco
estava rumando leste a 15km/h e alcança a mesma doca às 15h. Em que momento os dois botes
estavam mais próximos um do outro?
4. Jane está em um barco a 2 km da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea localizada 6 km
ao longo de uma linha costeira retiĺınea desde o ponto (na costa) mais próximo do barco. Ela
rema a 2 km/h e caminha a 5 km/h. Onde ela deve aportar para chegar à cidade no menor
tempo posśıvel?
5. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material da tampa
e da base vai custar R$3, 00 por cent́ımetro quadrado e o material para os lados R$1, 50 por
cent́ımetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mı́nimo.
6. Uma janela tem a forma de um retângulo sob uma semicircunferência. Para um peŕımetro de 5
metros, encontre as dimensões de tal janela de forma que ela admita a maior quantidade posśıvel
de luz.
Referências
[TH] THOMAS, G. B. Cálculo (2 vols.). 10a. ed. São Paulo: Editora Pearson Education, 2002.
[ST] STEWART, J. Cálculo (2 vols.). 5a. ed. São Paulo: Editora Pioneira - Thomson Learning, 2006.
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