APOSTILA ECONOMETRIA

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Universidade Federal de Sergipe/UFS Econometria I Profa. Heliana Quintino 
 
 
REVISÃO DE INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA 
 
 
Conceitos Básicos: 
 
 
 Estimador 
 Estimativa 
 Inferência 
 Econometria 
 Metodologia econométrica 
 
 
Leitura (Gujarati) – Introdução e Capítulos 1 e 2 
 
 
 
ANÁLISE DE REGRESSÃO 
Cap.2 (Gujarati) 
 
 
1) Modelo Matemático: Relação Determinística 
 
Ex. Função elementar da demanda: Q = f(Px) 
 
 
2) Modelo Econométrico: Relação Estocástica 
 
Ex. Função expandida da demanda: Q = f(Px, R, Ps, Pc, ...) 
 
 
2.1) Função Econométrica 
 
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + ⋯+ 𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 
 
Onde: 
 
Y = Variável dependente, variável explicada, variável endógena, regressando; 
X = Variável independente, Variável explicativa, variável exógena, regressor; 
𝛽1 , … , 𝛽𝑘 = coeficientes, parâmetros; 
ui = Termo de perturbação estocástica da i-ésima observação em que i = 1,2,...,n 
 
 
3) Regressão Simples 
 
Função de Regressão Populacional (FRP)  Função de esperança condicional de Y dado Xi 
 
𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝒊 + 𝒖𝒊 
 
𝛽1 = mede o efeito autônomo sobre Y quando os X’s forem nulos. 
𝛽2 = mede o efeito marginal de X sobre Y. 
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4) Média Condicional de Y: E(Y|Xi) 
 
Suponha Y(altura dos filhos), X (altura dos pais). Estamos interessados em prever a altura média 
dos filhos sabendo a altura de seus pais. 
 
Altura dos 
pais 
1,55 1,62 1,75 ... k 
 
 
Altura dos 
filhos 
1,57 1,68 1,72 . 
1,59 1,71 1,79 . 
1,60 1,75 1,80 . 
1,62 1,77 1,81 . 
1,65 1,80 1,85 . 
 1,81 1,89 . 
 1,90 . 
 n 
 
 
Função de Regressão Amostral (FRA)  Estimador de ponto 
 
 
𝒀𝒊 = �̂�𝟏 + �̂�𝟐𝑿𝒊 + �̂�𝒊 
 
 
Em termos estimados: 
 
�̂�𝒊 = �̂�𝟏 + �̂�𝟐𝑿𝒊 
 
Graficamente: 
 
 Y 
 Yi 
 FRA: 𝑌�̂� = �̂�1 + �̂�2𝑋𝑖 
 �̂�𝒊 
 𝒖𝒊 
 
 FRP: 𝐸(𝑌|Xi) = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 
 
 
 
 
 
 
 
 Xi X 
 
 
 
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5) Estimação dos Parâmetros: O Método dos Mínimos Quadrados Ordinários – MQO 
 (Carl Friedrich Gauss/ matemático alemão) - Cap. 3 
 
 
Critério: Mín ∑ �̂�𝒊
𝟐 = ∑(𝒀𝒊 − �̂�𝒊)² 
 = ∑(𝒀𝒊 − �̂�𝟏 − �̂�𝟐𝑿𝒊) ² 
 
Equações normais de mínimos quadrados (variáveis em nível): 
 
∑𝑌𝑖 = 𝑛�̂�1 + �̂�2 ∑𝑋𝑖 
 
∑𝑌𝑖𝑋𝑖 = �̂�1 ∑𝑋𝑖 + �̂�2 ∑𝑋𝑖
2 
 
 
 
Equações dos estimadores: 
 
�̂�1 = �̅� − �̂�2�̅� 
 
 
�̂�2 = 
𝑛 ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 − ∑𝑋𝑖𝑌𝑖 
𝑛 ∑𝑋𝑖
2 − (∑𝑋𝑖)²
 
 
 
Forma de desvio: 
 
 
�̂�2 = 
∑𝑥𝑖𝑦𝑖 
 ∑ 𝑥𝑖
2 
 
 
 
6) Regressão de três variáveis (Regressão múltipla) 
 
Função de Regressão Populacional (FRP)  Função de esperança condicional de Y dados X2i e 
X3i 
 
𝒀𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟐𝒊 + 𝜷𝟑𝑿𝟑𝒊 + 𝒖𝒊 
 
𝛽1 = mede o efeito autônomo sobre Y quando os X’s forem nulos. 
𝛽2 = mede o efeito marginal de X2 sobre Y. 
𝛽3 = mede o efeito marginal de X3 sobre Y. 
 
 
 
 
 
 
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Função de Regressão Amostral (FRA)  Estimador de ponto 
 
𝒀𝒊 = �̂�𝟏 + �̂�𝟐𝑿𝟐𝒊 + �̂�𝟑𝑿𝟑𝒊 + �̂�𝒊 
 
 
Em termos estimados: 
 
 
�̂�𝒊 = �̂�𝟏 + �̂�𝟐𝑿𝟐𝒊 + �̂�𝟑𝑿𝟑𝒊 
 
 
7) Estimação dos parâmetros 
 
Critério: Mín ∑ �̂�𝒊
𝟐 = ∑(𝒀𝒊 − �̂�𝒊)² 
 = ∑(𝒀𝒊 − �̂�𝟏 − �̂�𝟐𝑿𝟐𝒊 − �̂�𝟑𝑿𝟑𝒊) ² 
 
 
Equações normais de mínimos quadrados (variáveis em nível): 
 
 
𝑌 = �̂�1 + �̂�2𝑋2 + �̂�3𝑋3 
 
∑𝑌𝑖 𝑋2𝑖 = �̂�1 ∑𝑋2𝑖 + �̂�2 ∑𝑋2𝑖
2 + �̂�3 ∑𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 
 
∑𝑌𝑖 𝑋3𝑖 = �̂�1 ∑𝑋3𝑖 + �̂�2 ∑𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 + �̂�3 ∑𝑋3𝑖
2 
 
 
 
Equações dos estimadores: 
 
 
�̂�1 = �̅� − �̂�2𝑋2 − �̂�3𝑋3 
 
 
�̂�2 = 
(∑𝑦𝑖𝑥2𝑖)(∑𝑥3𝑖
2 ) − (∑𝑦𝑖𝑥3𝑖)(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖) 
(∑ 𝑥2𝑖
2 )(∑𝑥3𝑖
2 ) − (∑ 𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2 
 
 
 
�̂�3 = 
(∑𝑦𝑖𝑥3𝑖)(∑𝑥2𝑖
2 ) − (∑𝑦𝑖𝑥2𝑖)(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖) 
(∑ 𝑥2𝑖
2 )(∑𝑥3𝑖
2 ) − (∑ 𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2 
 
 
 
 
 
 
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O Modelo de Regressão Linear Clássico (MRLC) 
 
1) Hipóteses do MRLC 
 
H1 - O modelo de regressão é linear nos parâmetros. 
H2 - Os valores de X são fixados em amostras repetidas. 
H3 - O valor médio do erro (ui) é igual à zero (prova). 
H4 - A variância de ui é constante (prova). 
H5 - Ausência de correlação entre ui e uj (prova). 
H6 - Ausência de correlação entre ui e Xi (prova). 
H7 - O número de observações “n” deve ser maior que o número de parâmetros a serem estimados. 
H8 - Variabilidade dos valores de X. 
H9 - Ausência de tendência de especificação do modelo. 
H10 – Ausência de correlação linear perfeita entre as variáveis X. 
 
2) Propriedades dos Estimadores de Mínimos Quadrados (BLUE) 
 
Propriedades de amostras finitas (se sustentam qualquer que seja o tamanho da amostra). 
 
a) Linearidade 
b) Não-tendenciosidade (prova) 
c) Eficiência 
 
Teorema de Gauss-Markov: “Dadas as premissas do Modelo Clássico de Regressão Linear, os 
estimadores de Mínimos Quadrados da classe dos estimadores lineares não viesados têm variância mínima, 
isto é, são o melhor estimador linear não viesado” (Gujarati). 
 
d) Propriedade da consistência 
e) A reta de regressão passa pelas médias �̅�, �̅�2e �̅�3 
f) O valor médio de �̂� é igual ao valor médio de Yi verdadeiro (prova) 
g) A média do erro estimado é igual à zero 
h) Ausência de correlação entre o erro estimado e as variáveis independentes Xi 
i) Ausência de correlação entre �̂�𝑖 e �̂�𝑖 
 
3) Decomposição da Variação Amostral 
 
 
 Y 
 Yi 
 FRA 
 
 
 
 �̅� 
 
 
 
 
 
 �̅� X 
 
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4) Soma dos Quadrados com duas variáveis: 
Considere a FRA: 𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�𝑖 
∑𝒚𝒊
𝟐 = ∑ �̂�𝒊
𝟐 + ∑ �̂�𝒊
𝟐  SQT = SQE + SQR 
 
5) ANOVA para regressão com duas variáveis 
Fonte de 
Variação 
Soma dos Quadrados 
(SQ) 
Graus de 
Liberdade 
(gl) 
Média da Soma 
dos Quadrados 
(MSQ) 
Devido à 
Regressão 
(SQE) 
 
∑�̂�𝑖
2 = ∑(�̂�𝑖 − �̅�)
2
 
 = �̂�2
2 ∑𝑥𝑖
2 
 
 
k = 1 
 
∑ �̂�𝑖
2
𝑔𝑙
 
Devido 
aos 
resíduos 
(SQR) 
 
∑�̂�𝑖
2n – 2 
 
∑ �̂�𝑖
2
𝑔𝑙
 
Total 
(SQT) 
 
∑𝑦𝑖
2 = ∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2 
 
 
n - 1 
 
∑𝑦𝑖
2
𝑔𝑙
 
 
6) Coeficiente de Determinação - r2 
𝑟2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 ou 𝑟2 = 1 − 
𝑆𝑄𝑅
𝑆𝑄𝑇
 
 
𝑟2 =
�̂�2
2
(∑𝑥𝑖
2)
(∑ 𝑦𝑖
2)
=
(∑𝑥𝑖𝑦𝑖)
2
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑦𝑖
2 ou 𝑟
2 = 1 −
∑𝑢𝑖
2
∑ 𝑦𝑖
2
 
 
7) O r2 Ajustado 
 �̅�2 = 
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙
𝑆𝑄𝑇
𝑔𝑙
 𝑜𝑢 �̅�2 = 1 − 
𝑆𝑄𝑅
𝑔𝑙
𝑆𝑄𝑇
𝑔𝑙
 
 
 
 
 
 
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8) Soma dos Quadrados com três variáveis: 
Considere a FRA: 𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�3𝑋3𝑖 + �̂�𝑖 
∑𝒚𝒊
𝟐 = ∑ �̂�𝒊
𝟐 + ∑ �̂�𝒊
𝟐  SQT = SQE + SQR 
 
9) ANOVA para regressão com três variáveis 
Fonte de 
Variação 
Soma dos Quadrados 
(SQ) 
Graus de 
Liberdade 
(gl) 
Média da Soma 
dos Quadrados 
(MSQ) 
Devido à 
Regressão 
(SQE) 
 
∑�̂�𝑖
2 = ∑(�̂�𝑖 − �̅�)
2
 
 = �̂�2 ∑𝑦𝑖𝑥2𝑖 + �̂�3 ∑𝑦𝑖𝑥3𝑖 
 
 
k = 2 
 
∑ �̂�𝑖
2
𝑔𝑙
 
Devido 
aos 
resíduos 
(SQR) 
 
∑�̂�𝑖
2 
 
 
n – 3 
 
∑ �̂�𝑖
2
𝑔𝑙
 
Total 
(SQT) 
 
∑𝑦𝑖
2 = ∑(𝑌𝑖 − �̅�)
2 
 
 
n - 1 
 
∑𝑦𝑖
2
𝑔𝑙
 
 
10) Coeficiente de Determinação múltiplo - R2 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
 ou 𝑅2 = 1 − 
𝑆𝑄𝑅
𝑆𝑄𝑇
 
 
𝑅2 =
�̂�2 ∑ 𝑦𝑖𝑥2𝑖+ �̂�3 ∑ 𝑦𝑖𝑥3𝑖 
∑ 𝑦𝑖
2
 ou 𝑅2 = 1 −
∑𝑢𝑖
2
∑ 𝑦𝑖
2
 
 
11) O R2 Ajustado 
 �̅�2 = 
𝑆𝑄𝐸
𝑔𝑙
𝑆𝑄𝑇
𝑔𝑙
 𝑜𝑢 �̅�2 = 1 − 
𝑆𝑄𝑅
𝑔𝑙
𝑆𝑄𝑇
𝑔𝑙
 
 
12) Teste de Hipóteses 
Considerando: 
(1) 𝑢𝑖~ 𝑁𝐼𝐷 (0, 𝜎
2) 
(2) Os estimadores de MQO são BLUE 
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i) Estatística F: testa Pr{F < Fα} = [1 – α]x100 
𝐹(𝑘−1, 𝑛−𝑘) = 
∑ �̂�𝑖
2
𝑘 − 1
⁄
∑ �̂�𝑖
2
𝑛 − 𝑘
⁄
 
ii) Estatística t: testa Pr{-tα/2 < 
�̂�𝑖− 𝛽𝑖
∗
𝑒𝑝(�̂�𝑖)
 < tα/2 } = [1 – α]x100 
𝑡(∝/2, 𝑛−𝑘) = 
�̂�𝑖 − 𝛽𝑖
𝑒𝑝(�̂�𝑖)
 
 
 
 
 
Teste unicaudal 
 
 
Teste bicaudal 
 f(x) 
 
 
 
 
 x (∞) 
 
 f(x) 
 
 
 
 
 (−∞) x (∞) 
i) α = 0,01  int. de confiança = 99% i) α = 0,01/2 = 0,005  int. de confiança = 99% 
ii) α = 0,05  int. de confiança = 95% ii) α = 0,05/2 = 0,025  int. de confiança = 95% 
iii) α = 0,10  int. de confiança = 90% iii) α = 0,10/2 = 0,05  int. de confiança = 90% 
 
 
Ex.: consultando a tabela (apêndices Gujarati) 
 
 
 α = 0,01 = 99,0 
F(gl.num.=2/gl.den.=2) = α = 0,05 = 19,0 
 α = 0,10 = 9,0 
 
 
 
 
 α = 0,01 = 9,925 
t(α, gl=2) = α = 0,05 = 4,303 
 α = 0,10 = 2,920 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício (sala de aula e laboratório): Suponha que queiramos fazer um estudo sobre a influência do 
volume de divisas disponível no Brasil (X1) e a taxa de câmbio (X2) sobre as importações nacionais (Y) com 
base na amostra de dados anuais (2000 a 2004) disponível na tabela abaixo: 
Ano Y X1 X2 
2000 2 1 1 
2001 5 3 4 
2002 7 5 2 
2003 4 2 3 
2004 8 5 2 
 
 
 
 
 
 
 
Modelo 2: Estimativas OLS usando as 5 observações 2000-2004 
Variável dependente: Y 
 
 VARIÁVEL COEFICIENTE ERRO PADRÃO ESTAT. T P-VALOR 
 
 const 0,702461 0,316276 2,221 0,15648 
 X1 1,13647 0,0547070 20,774 0,00231 *** 
 X2 0,263982 0,0994960 2,653 0,11753 
 
 Média da variável dependente = 5,2 Estatística de Durbin-Watson = 1,65052 
 Desvio padrão da variável dependente = 2,38747 Coeficiente de autocorrelação de primeira-ordem = 0,114205 
 Soma dos resíduos quadrados = 0,102908 Logaritmo da verossimilhança = 2,6137 
 Erro padrão dos resíduos = 0,226835 Critério de informação de Akaike (AIC) = 0,77261 
 R-quadrado não-ajustado = 0,995486 Critério Bayesiano de Schwarz (BIC) = -0,399076 
 R-quadrado ajustado = 0,990973 Critério de Hannan-Quinn (HQC) = -2,37208 
 Estatística-F (2, 2) = 220,557 (p-valor = 0,00451) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Distribuições Amostrais 
Como 𝑢𝑖~ 𝑁[0, 𝜎
2] implica que 𝑌𝑖~𝑁[𝐸(𝑌𝑖), 𝜎
2] 
 
 
ii) Variância e Covariância dos Estimadores �̂�: 
 
 
ii.1) Regressão Simples: 
 
 ii.1.1) 𝑉𝑎𝑟(�̂�1) =
∑𝑋𝑖
2
𝑛 ∑𝑥𝑖
2 �̂�
2 
 
 
 𝑒𝑝(�̂�1) = √𝑉𝑎𝑟(�̂�1) 
 
 
ii.1.2) 𝑉𝑎𝑟(�̂�2) =
�̂�2
∑𝑥𝑖
2 
 
 
 𝑒𝑝(�̂�2) = √𝑉𝑎𝑟(�̂�2) 
 
 
ii.1.3) 𝑐𝑜𝑣(�̂�1, �̂�2) = −�̅� (
�̂�2
∑𝑥𝑖
2) 
 
 
ii.1.4) �̂� = √
∑𝑢𝑖
2
𝑛−2
 
 
 
ii.2) Regressão Múltipla 
 
 
ii.2.1) 𝑉𝑎𝑟(�̂�1) =
1
𝑛
+
�̅�2
2 ∑𝑥3𝑖
2
+�̅�3
2 ∑𝑥2𝑖
2 −2�̅�2�̅�3 ∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖
(∑𝑥2𝑖
2 )(∑𝑥3𝑖
2 )−(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2 �̂�
2 
 
 
 𝑒𝑝(�̂�1) = √𝑉𝑎𝑟(𝛽1̂) 
 
 
ii.2.2) 𝑉𝑎𝑟(�̂�2) =
∑𝑥3𝑖
2
(∑𝑥2𝑖
2 )(∑𝑥3𝑖
2 )−(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2 �̂�
2 
 
 
𝑉𝑎𝑟(�̂�2) = 
�̂�2
∑𝑥2𝑖
2 (1 − 𝑟23
2 )
 
 
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 𝑒𝑝(�̂�2) = √𝑉𝑎𝑟(�̂�2) 
 
 
ii.2.3) 𝑉𝑎𝑟(�̂�3) =
∑𝑥2𝑖
2
(∑𝑥2𝑖
2 )(∑𝑥3𝑖
2 )−(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2 �̂�
2 
 
 
𝑉𝑎𝑟(�̂�3) = 
�̂�2
∑𝑥3𝑖
2 (1 − 𝑟23
2 )
 
 
 
 𝑒𝑝(�̂�3) = √𝑉𝑎𝑟(�̂�3) 
 
 
ii.2.4) 𝑉𝑎𝑟(�̂�𝑗) = 
�̂�2
∑𝑥𝑗
2(1−𝑅𝑗
2)
 
 
 
ii.2.5) 𝑐𝑜𝑣(�̂�2, �̂�3) = 
−𝑟23�̂�
2
(1−𝑟23
2 )√∑𝑥2𝑖
2 √∑𝑥3𝑖
2
 
 
 
ii.2.6) �̂�2 = 
∑𝑢𝑖
2
𝑛−3
 
 
 
ii.2.7) 𝑟23
2 = 
(∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖)
2
∑𝑥2𝑖
2 ∑𝑥3𝑖
2 
 
 
Coeficiente de Correlação Simples 
 
Para um modelo do tipo: 𝑌𝑖 = 𝑓(𝑋𝑖) 
 
𝑟 = 
(∑𝑥𝑖𝑦𝑖)
√(∑𝑥𝑖
2)(∑𝑦𝑖
2)
 
 
 
Coeficiente de Correlação Parcial 
 
Para um modelo múltiplo do tipo: 𝑌𝑖 = 𝑓(𝑋2𝑖, 𝑋3𝑖) 
 
𝑟12.3 =
𝑟12 − 𝑟13𝑟23
√(1 − 𝑟13
2 )(1 − 𝑟23
2 )
 
 
 
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𝑟13.2 =
𝑟13 − 𝑟12𝑟23
√(1 − 𝑟12
2 )(1 − 𝑟23
2 )
 
 
 
𝑟23.1 =
𝑟23 − 𝑟12𝑟13
√(1 − 𝑟12
2 )(1 − 𝑟13
2 )
 
 
 
Onde: 
 
i) 𝑟12 =
∑𝑥2𝑖𝑦𝑖
√(∑𝑥2𝑖
2 )(∑𝑦𝑖
2)
 ; 𝑟13 =
∑𝑥3𝑖𝑦𝑖
√(∑𝑥3𝑖
2 )(∑𝑦𝑖
2)
 ; 𝑟23 =
∑𝑥2𝑖𝑥3𝑖
√(∑𝑥2
2)(∑𝑥3
2)
 
 
 
ii) −1 ≤ 𝑟𝑖𝑗 ≤ 1 
 
 
FORMAS FUNCIONAIS DO MODELO DE REGRESSÃO 
 
I) Modelo Quadrático e Polinomiali) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖
2 + 𝑢𝑖 
 
ii) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖
2 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖
𝑛 + 𝑢𝑖 
 
 
II) Modelos Logarítmicos: Log-Log, Duplo-Log ou Log-Lineares 
 
𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋𝑖
𝛽2𝑒𝑢𝑖 
 
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝑙𝑛𝛽1 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 
 
𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽2𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 
 
𝑌𝑖
∗ = 𝛼 + 𝛽2𝑋𝑖
∗ + 𝑢𝑖 
 
Propriedades: 
1) 𝛽2 mede a elasticidade parcial de Y em relação a X; 
2) A variação em lnY por unidade de variação em lnX permanece constante qualquer que seja lnX; 
3) �̂�1 = antilog(�̂�) é um estimador viesado. 
 
 
III) Modelos Semilogarítmicos 
 
III.1) Modelo Log-Lin 
 
𝑌𝑡 = 𝑌0(1 + 𝑟)
𝑡 
 
𝑙𝑛𝑌𝑡 = 𝑙𝑛𝑌0 + 𝑡 ln(1 + 𝑟) 
 
𝛽1 = ln 𝑌0 
 
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𝛽2 = ln (1+r) 
 
ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 
 
ln 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 
 
Propriedades: 
1) 𝛽2 mede a variação instantânea relativa (ou proporcional) constante em Y para uma dada variação 
absoluta em t; 
2) (100 ∗ 𝛽2) mede a variação instantânea percentual ou taxa de crescimento instantânea de Y para uma 
variação absoluta em t; 
3) [𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔(𝛽2) − 1] ∗ 100 mede a taxa de crescimento composta de Y. 
III.2) Modelo de Tendência Linear 
 
𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝑢𝑡 
 
Propriedades: 
1) a variável de tempo t é a variável de tendência; 
2) 𝛽2 mede a taxa absoluta de crescimento de Y em relação ao tempo. 
3) Se o coeficiente angular for positivo, Y apresentará uma tendência crescente; se for negativo, Y terá 
tendência decrescente. 
 
III.3) Modelo Lin-Log 
 
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 ln 𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 
 
Propriedade: (0,01 ∗ 𝛽2 ) mede a variação absoluta em Y para uma dada variação relativa em Xi; 
 
IV) Modelos Recíprocos 
 
IV.1) Modelo Recíproco 
 
𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2 (
1
𝑋𝑖
) + 𝑢𝑖 
 
Propriedade: Esses modelos trazem embutidos um valor assíntota, ou limite que a variável dependente 
assumirá quando o valor da variável X aumentar indefinidamente. 
 
IV.2) Modelo da Hipérbole Logarítmica ou Modelo Recíproco Logarítmico 
 
ln 𝑌𝑖 = 𝛽1 − 𝛽2 (
1
𝑋𝑖
) + 𝑢𝑖 
 
Propriedade: Aumentando o valor de X, inicialmente Y aumenta a uma taxa crescente (a curva é 
inicialmente convexa) e então aumenta a uma taxa decrescente (torna-se côncava). 
 
 
 
 
 
 
 
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ESTIMAÇÃO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA (MV) 
 
 
I) INTRODUÇÃO 
 
Sob a premissa 𝑢𝑖~𝑁𝐼𝐷 (0, 𝜎
2), os estimadores de MV e MQO dos coeficientes de regressão são idênticos, 
contudo isso não se verifica com o estimador 𝜎2. Porém, assintoticamente (em amostras muito grandes), 
�̃�2 também é não viesado, ou seja, limE (�̃�2) = 𝜎2 quando 𝑛 → ∞. Pode-se demonstrar adicionalmente que 
�̃�2é também um estimador consistente; conforme n aumenta indefinidamente, �̃�2 converge para seu valor 
verdadeiro 𝜎2. 
 
II) MÉTODO 
 
 
Considere: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 ∴ 𝑌𝑖 ~ 𝑁𝐼𝐷(𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖, 𝜎
2) 
 
 
A Função de Verossimilhança FV (𝛽1, 𝛽2, 𝜎
2) é expressa por: 
 
 
FV (𝛽1, 𝛽2, 𝜎
2) = 
1
𝜎𝑛(√2𝜋)
𝑛 𝑒𝑥𝑝 {−
1
2
∑
(𝑌𝑖−𝛽1−𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
} 
 
Aplicando o logaritmo natural: 
 
ln 𝐹𝑉 = −𝑛 ln𝜎 −
𝑛
2
ln(2𝜋) −
1
2
∑
(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
 
 
ln 𝐹𝑉 = −
𝑛
2
ln 𝜎2 −
𝑛
2
ln(2𝜋) −
1
2
∑
(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2
𝜎2
 
 
 
Derivando-a com relação aos coeficientes 𝛽′𝑠 𝑒 𝜎2, obtém-se: 
 
𝜕 ln𝐹𝑉
𝜕𝛽1
= −
1
𝜎2
∑(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)(−1) 
 
𝜕 ln𝐹𝑉
𝜕𝛽2
= −
1
𝜎2
∑(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)(−𝑋𝑖) 
 
𝜕 ln𝐹𝑉
𝜕𝜎2
= −
𝑛
2𝜎2
+
1
2𝜎4
∑(𝑌𝑖 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋𝑖)
2 
 
 
Igualando essas equações a zero (condição de primeira ordem para a otimização) e denotando os estimadores 
de máxima verossimilhança por �̃�1, �̃�2 e �̃�
2 obtemos: 
 
1
�̃�2
∑(𝑌𝑖 − �̃�1 − �̃�2𝑋𝑖) = 0 
 
1
�̃�2
∑(𝑌𝑖 − �̃�1 − �̃�2𝑋𝑖) (𝑋𝑖) = 0 
 
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−
𝑛
2�̃�2
+
1
2�̃�4
∑(𝑌𝑖 − �̃�1 − �̃�2𝑋𝑖)
2
= 0 
Após a simplificação, 
∑𝑌𝑖 = 𝑛�̃�1 + �̃�2 ∑𝑋𝑖 
∑𝑌𝑖𝑋𝑖 = �̃�1 ∑𝑋𝑖 + �̃�2 ∑𝑋𝑖
2 
que são exatamente as equações normais da teoria dos mínimos quadrados. 
�̃�2 =
1
𝑛
∑(𝑌𝑖 − �̃�1 − �̃�2𝑋𝑖)
2
 
Substituindo na equação os estimadores de máxima verossimilhança (= MQO) 
�̃�2 =
1
𝑛
∑(𝑌𝑖 − �̂�1 − �̂�2𝑋𝑖)
2
 
�̃�2 =
1
𝑛
∑�̂�𝑖
2 
Tomando-se a esperança matemática de ambos os lados, obtemos 
𝐸(�̃�)2 =
1
𝑛
𝐸 (∑�̂�𝑖
2) 
𝐸(�̃�)2 = (
𝑛 − 2
𝑛
)𝜎2 
𝐸(�̃�)2 = 𝜎2 −
2
𝑛
𝜎2 
que mostra que �̃�2 é viesado para baixo (isto é, subestima o verdadeiro 𝜎2) em amostras pequenas. Quando 
n, o tamanho da amostra, aumenta indefinidamente, o segundo termo da equação, o fator de viés, tende a 
zero. Portanto, assintoticamente (em amostras muito grandes), �̃�2 também é não viesado, ou seja, limE(�̃�2) 
= 𝜎2 quando 𝑛 → ∞. 
 
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REGRESSÃO LINEAR: ABORDAGEM MATRICIAL 
 
 
 
Funções de Regressão do MCRL 
 
(1)Função de Regressão Populacional (FRP): 
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + ⋯+ 𝛽𝐾𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 
 
𝑌1 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋21 + 𝛽3𝑋31 + ⋯+ 𝛽𝐾𝑋𝑘1 + 𝑢1 
𝑌2 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋22 + 𝛽3𝑋33 + ⋯+ 𝛽𝐾𝑋𝑘3 + 𝑢3 
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 
𝑌𝑛 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑛 + 𝛽3𝑋3𝑛 + ⋯+ 𝛽𝐾𝑋𝑘𝑛 + 𝑢𝑛 
 
[
𝑌1
𝑌2
⋮
𝑌𝑛
] = [
1 𝑋21 𝑋31 ⋯ 𝑋𝑘1
1
⋮
1
𝑋22
⋮
𝑋2𝑛
𝑋32
⋮
𝑋3𝑛
⋯
⋯
⋯
𝑋𝑘2
⋮
𝑋𝑘𝑛
] [
𝛽1
𝛽2
⋮
𝛽𝑘
] + [
𝑢1
𝑢2
⋮
𝑢𝑛
] 
 𝐲 = 𝐗 𝛃 + 𝐮 
𝑛 × 1 𝑛 × 𝑘 𝑘 × 1 𝑛 × 1 
em que y = vetor coluna n × 1 de observações da variável dependente Y 
X = matriz n× k dando n observações das k-1 variáveis de 𝑋2 a 𝑋𝑘, a primeira coluna toda 
de 1 representando o termo de intercepto (essa matriz é também conhecida como matriz 
dos dados) 
β = vetor coluna k × 1 de parâmetros desconhecidos 𝛽1, 𝛽2, . . . , 𝛽𝑘 
u = vetor coluna n × 1 de n termos de erro ui 
(2) Hipóteses do Modelo de MQO: 
 
i) 𝐸(𝑢) = 0, em que 0 é um vetor nulo 
 
ii) 𝐸(𝑢𝑢′) = 𝜎2𝐼 ∴ 𝐼 é uma matriz identidade (nxm) 
 
iii) A matriz X é não estocástica 
 
iv) O posto de X é 𝜌(𝑋) = 𝑘 logo (𝑋′𝑋)−1 existe. 
v) vetor u possui uma distribuição normal multivariada, ou seja, 𝐮~𝐍(𝟎, 𝛔𝟐𝐈) 
Universidade Federal de Sergipe/UFS Econometria I Profa. Heliana Quintino 
 
Hipótese I 
𝐸 [
𝑢1
𝑢2
⋮
𝑢𝑛
] = [
𝐸(𝑢1)
𝐸(𝑢2)
⋮
𝐸(𝑢𝑛)
] = [
0
0
⋮
0
] 
 
Hipótese II 
𝐸(𝐮𝐮′) = 𝐸 [
𝑢1
𝑢2
⋮
𝑢𝑛
] [𝑢1 𝑢2 ⋯ 𝑢𝑛] 
𝐸(𝐮𝐮′) = 𝐸
[
 
 
 
𝑢1
2 𝑢1𝑢2 ……… 𝑢1𝑢𝑛
𝑢2𝑢1
………
𝑢𝑛𝑢1
𝑢2
2
………
𝑢𝑛𝑢2
………
………
………
𝑢2𝑢𝑛
………
𝑢𝑛
2
]
 
 
 
 
𝐸(𝐮𝐮′) =
[
 
 
 
𝐸(𝑢1
2) 𝐸(𝑢1𝑢2) ……… 𝐸(𝑢1𝑢𝑛)
𝐸(𝑢2𝑢1)
………
𝐸(𝑢𝑛𝑢1)
𝐸(𝑢2
2)
………
𝐸(𝑢𝑛𝑢2)
………
………
………
𝐸(𝑢2𝑢𝑛)
………𝐸(𝑢𝑛
2) ]
 
 
 
 
𝐸(𝐮𝐮′) = [
𝜎2
0
⋯
0
0
𝜎2
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
𝜎2
] 
𝐸(𝐮𝐮′) = 𝜎2 [
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋯
⋯
⋯
⋯
0
0
⋯
1
] 
𝐸(𝐮𝐮′) = 𝜎2𝐈 
 
Hipótese IV 
𝜆1𝑋1𝑖 + 𝜆2𝑋2𝑖 + ⋯+ 𝜆𝑘𝑋𝑘𝑖 = 0 
𝛌′𝐱 = 0 
 
 
 
 
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(3) Função de Regressão Amostral (FRA): 
Estimação do modelo em notação matricial 
 
𝑌𝑖 = �̂�1 + �̂�2𝑋2𝑖 + �̂�3𝑋3𝑖 + ⋯+ �̂�𝐾𝑋𝑘𝑖 + �̂�𝑖 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 
[
𝑌1
𝑌2
⋮
𝑌𝑛
] = [
1 𝑋21 𝑋31 ⋯ 𝑋𝑘1
1
⋮
1
𝑋22
⋮
𝑋2𝑛
𝑋32
⋮
𝑋3𝑛
⋯
⋯
⋯
𝑋𝑘2
⋮
𝑋𝑘𝑛
] 
[
 
 
 
�̂�1
�̂�2
⋮
�̂�𝑘]
 
 
 
+ [
�̂�1
�̂�2
⋮
�̂�𝑛
] 
 𝐲 = 𝐗 �̂� + �̂� 
𝑛 × 1 𝑛 × 𝑘 𝑘 × 1 𝑛 × 1 
𝐲 = 𝐗�̂� + �̂� 
A partir do critério de minimização da soma do quadrado dos erros, têm-se: 
 
𝑀í𝑛 �̂�′�̂� = [�̂�1 �̂�2 ⋯ �̂�𝑛] [
�̂�1
�̂�2
⋮
�̂�𝑛
] = �̂�1
2 + �̂�2
2 + ⋯+ �̂�𝑛
2 = ∑ �̂�𝑖
2
 
 
�̂� = 𝐲 − 𝐗�̂� 
 
�̂�′�̂� = (𝐲 − 𝐗�̂�)
′
(𝐲 − 𝐗�̂�) 
 
 �̂�′�̂� = 𝐲′𝐲 − 𝟐�̂�′𝐗′𝐲 + �̂�′𝐗′𝐗�̂� em que �̂�′𝐗′𝐲 = 𝐲′𝐗�̂� 
 
𝛛�̂�′�̂�
𝛛�̂�
= 𝟎 
 
Equações normais de mínimos quadrados (variáveis em nível): 
 
 
𝑛�̂�1 + �̂�2 ∑𝑋2𝑖 + �̂�3 ∑𝑋3𝑖 + ⋯+ �̂�𝑘 ∑𝑋𝑘𝑖 = ∑𝑌𝑖 
 
�̂�1 ∑𝑋2𝑖 + �̂�2 ∑𝑋2𝑖
2 + �̂�3 ∑𝑋2𝑖𝑋3𝑖 + ⋯+ �̂�𝑘 ∑𝑋2𝑖𝑋𝑘𝑖 = ∑𝑋2𝑖𝑌𝑖 
 
�̂�1 ∑𝑋3𝑖 + �̂�2 ∑𝑋3𝑖𝑋2𝑖 + �̂�3 ∑𝑋3𝑖
2 + ⋯+ �̂�𝑘 ∑𝑋3𝑖𝑋𝑘𝑖 = ∑𝑋3𝑖𝑌𝑖 
 
........................................................................................................... 
 
�̂�1 ∑𝑋𝑘𝑖 + �̂�2 ∑𝑋𝑘𝑖𝑋2𝑖 + �̂�3 ∑𝑋𝑘𝑖𝑋3𝑖 + ⋯+ �̂�𝑘 ∑𝑋𝑘𝑖
2 = ∑𝑋𝑘𝑖𝑌𝑖 
 
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[
 
 
 
 
 
 
 𝑛 ∑𝑋2𝑖 ∑𝑋3𝑖
∑𝑋2𝑖 ∑𝑋2𝑖
2 ∑𝑋2𝑖𝑋3𝑖
∑𝑋3𝑖 ∑𝑋3𝑖𝑋2𝑖 ∑𝑋3𝑖
2
⋯
⋯
⋯
∑𝑋𝑘𝑖
∑𝑋2𝑖𝑋𝑘𝑖
∑𝑋3𝑖𝑋𝑘𝑖
⋯ ⋯ ⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
∑𝑋𝑘𝑖 ∑𝑋𝑘𝑖𝑋2𝑖 ∑𝑋𝑘𝑖𝑋3𝑖 ⋯ �̂�𝑘 ∑𝑋𝑘𝑖
2
]
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
�̂�1
�̂�2
�̂�3
⋮
⋮
�̂�𝑘]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
1 1
𝑋21 𝑋22
𝑋31 𝑋32
⋯
⋯
⋯
1
𝑋2𝑛
𝑋3𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑋𝑘1 𝑋𝑘2 ⋯ 𝑋𝑘𝑛]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝑌1
𝑌2
𝑌3
⋮
𝑌𝑛]
 
 
 
 
 
 (𝐗′𝐗) �̂� 𝐗′ 𝐲 
 
 𝐗′𝐗�̂� = 𝐗′𝐲 
 
Se a matriz inversa (X′X)−1 da matriz X existe, multiplicando ambos os lados da equação por essa inversa: 
(𝐗′𝐗)−𝟏(𝐗′𝐗)�̂� = (𝐗′𝐗)−𝟏𝐗′𝐲 
𝐈�̂� = (𝐗′𝐗)−𝟏𝐗′𝐲 
�̂� = (𝐗′𝐗)−𝟏 𝐗′ 𝐲 
 𝑘 × 1 𝑘 × 𝑘 𝑘 × 𝑛 𝑛 × 1 
 
�̂�𝟏 = 𝐘 − �̂�𝟐�̅�𝟐 − ⋯− �̂�𝐤�̅�𝐤 
 
A representação matricial de um modelo de regressão de “n” equações simultâneas (FRP’s) é definido como 
(i). A contrapartida amostral é representada matricialmente em (ii): 
 
 
(i) FRP: 𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝑢 
 
(ii) FRA: 𝑌 = 𝑋�̂� + �̂� 
 
 
Onde: 
 
Y = vetor coluna (nx1) sobre a variável dependente 
X = matriz de dados (nxk), sendo a primeira coluna o termo do intercepto 
𝛽 = vetor coluna (kx1) dos parâmetros desconhecidos 
u = vetor coluna (nx1) das “n” perturbações 
4) Soma dos quadrados: 
STQ: ∑𝑦𝑖
2 = 𝒚′𝒚 − 𝑛�̅�2 
SQE: ∑ �̂�𝑖
2 = �̂�2 ∑𝑦𝑖𝑥2𝑖 + ⋯+ �̂�𝑘 ∑𝑦𝑖𝑥𝑘𝑖 = 𝛃
′𝐗′𝐲 − 𝑛�̅�2 
SQR: �̂�′�̂� = 𝐲′𝐲 − �̂�′𝐗′𝐲 
 
 
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5) Tabela ANOVA: 
Fonte de 
variação 
SQ gl MSQ 
X �̂�′𝐗′𝐲 − 𝑛�̅�2 k-1 �̂�′𝐗′𝐲 − 𝑛�̅�2
𝑘 − 1
 
u 𝐲′𝐲 − �̂�′𝐗′𝐲 n-k 𝐲′𝐲 − �̂�′𝐗′𝐲
𝑛 − 𝑘
 
Total 𝐲′𝐲 − 𝑛�̅�2 n-1 𝐲′𝐲 − 𝑛�̅�2
𝑛 − 1
 
6) Coeficiente de Determinação R2: 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇
= 
�̂�′𝐗′𝐲 − 𝑛�̅�2
𝐲′𝐲 − 𝑛�̅�2
 
7)Variância e covariância de �̂�: 
Por definição: 
var-cov(�̂�) = 𝐸{[�̂� − 𝐸(�̂�)][�̂� − 𝐸(�̂�)]
′
} 
var-cov(�̂�) = [
𝐸(�̂�1)
𝐸(�̂�2)…
𝐸(�̂�𝑛)
] [𝐸(�̂�1) 𝐸(�̂�2) 𝐸(�̂�𝑛)] 
 
var-cov(�̂�) =
[
 
 
 
 𝐸(�̂�1
2) 𝐸(�̂�1�̂�2) ……… 𝐸(�̂�1�̂�𝑛)
𝐸(�̂�2�̂�1)
………
𝐸(�̂�𝑛�̂�1)
𝐸(�̂�2
2)
………
𝐸(�̂�𝑛�̂�2)
………
………
………
𝐸(�̂�2�̂�𝑛)
………
𝐸(�̂�𝑛
2) ]
 
 
 
 
 
Logo: 
var-cov(�̂�) =
[
 
 
 
 𝑣𝑎𝑟(�̂�1)
𝑐𝑜𝑣(�̂�2, �̂�1)
………… .
𝑐𝑜𝑣(�̂�𝑘 , �̂�1)
 𝑐𝑜𝑣(�̂�1, �̂�2)
𝑣𝑎𝑟(�̂�2)
………… .
𝑐𝑜𝑣(�̂�𝑘 , �̂�2)
 
 𝑐𝑜𝑣(�̂�1, �̂�𝑘)
𝑐𝑜𝑣(�̂�2, �̂�2)
…………… .
𝑣𝑎𝑟(�̂�𝑘) ]
 
 
 
 
 
var-cov(�̂�) = 𝜎2(𝐗′𝐗)−1 
8) Estimador da variância de �̂�: 
�̂�2 =
∑ �̂�𝑖
2
𝑛 − 𝑘
 
�̂�2 =
�̂�′�̂�
𝑛 − 𝑘
 
 
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9) Matriz de correlações 
𝑅 = [
𝑟11 𝑟12 𝑟13
𝑟21 𝑟22 𝑟23
⋯
⋯
𝑟1𝑘
𝑟2𝑘
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑟𝑘1 𝑟𝑘2 𝑟𝑘3 ⋯ 𝑟𝑘𝑘
] 
𝑅 = [
1 𝑟12 𝑟13
𝑟21 1 𝑟23
⋯
⋯
𝑟1𝑘
𝑟2𝑘
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
𝑟𝑘1 𝑟𝑘2 𝑟𝑘3 ⋯ 1
] 
10) Teste de hipóteses sobre coeficientes de regressão individual em notação matricial 
𝐮~𝑁(𝟎, 𝜎2𝐈) 
�̂�~𝑁[𝛃, 𝜎2(𝐗′𝐗)−1] 
𝑡 =
�̂�𝑖 − 𝛽𝑖
ep(�̂�𝑖)
 
11) Teste da significância geral da regressão em notação matricial 
𝐹 =
(�̂�′𝐗′𝐲 − 𝑛�̅�2) (𝑘 − 1)⁄
(𝐲′𝐲 − �̂�′𝐗′𝐲) (𝑛 − 𝑘)⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1. Considere os dados de importação (Y), produção (X1), formação de estoques (X2) e consumo (X3), em milhões de 
reais, aos preços de janeiro de 2003: 
(a) Estime Yt = α0 + α1X1t + α2X2t + εt pelo método matricial, considerando o período entre os anos de 1997 e 2003; 
(b) Teste a significância global e parcial dos estimadores αi 
ANO EMPREGO (Y) INVESTIMENTO (X1) PIB(X2) 
1997 5 26 40 
1998 17 18 45 
1999 9 16 55 
2000 10 12 60 
2001 14 10 70 
2002 18 9 75 
2003 20 7 80 
2004 24 6 85 
2005 30 4 90 
2006 43 2 100 
 
2. Ampliando as estatísticas da Tabela 1 para 17 anos e acrescentando o regressor X3 (consumo) à amostra de dados, 
estime o novo modelo, teste e corrija, quando necessário, a presença de: 
a) Multicolinearidade; 
b) Heterocedasgticidade; 
c) Autocorrelação 
ANO IMPORTACAO (Y) 
PRODUTO 
DOMESTICO 
BRUTO(X1) 
FORMAÇAO DE 
ESTOQUE(X2) 
CONSUMO(X3) 
1997 15,9 149,3 4,2 108,1 
1998 16,4 161,2 4,1 114,8 
1999 19,0 171,5 3,1 123,2 
2000 19,1 175,5 3,1 126,9 
2001 18,8 180,8 1,1 132,1 
2002 20,4 190,7 2,2 137,7 
2003 22,7 202,1 2,1 146,0 
2004 26,5 212,4 5,6 154,1 
2005 28,1 226,1 5,0 162,3 
2006 27,6 231,9 5,1 164,3 
2007 26,3 239,0 0,7 167,6 
2008 31,1 258,0 5,6 176,8 
2009 33,3 269,8 3,9 186,6 
2010 37,0 288,4 3,1 199,7 
2011 43,3 304,5 4,6 213,9 
2012 49,0 323,4 7,0 223,8 
2013 50,3 336,8 1,2 232,0 
2014 56,6 353,9 4,4 242,9 
 
Universidade Federal de Sergipe/UFS Econometria I Profa. Heliana Quintino 
 
 
 
Universidade Federal de Sergipe/UFSEconometria I Profa. Heliana Quintino 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUEBRA DE PRESSUPOSTOS DO MCRL 
Considere o modelo: Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t+ ut 
 
1. MULTICOLINEARIDADE: Cov[Xi,Xj] ≠ 0 para todo i ≠j 
1.1. Consequência da Multicolinearidade 
i) Multicolinearidade não perfeita: 
Suponha cov(X2, X3) ≠ 0  var(β) ≠ mín 
ii) Multicolinearidade perfeita: 
Det[X’X] = 0  [X’X]−1 ∄ 
1.2. Testes para detectar a multicolinearidade 
I) Matriz de coeficiente de correlação 
 r11 r12 r13 r12= r21 
R = r21 r22 r23 Onde: r13 = r31 e-1≤ rij≤ 1 
 r31 r32 r33 r23 = r32 
 
II) Se rij2 ≥ R2multicolinearidade 
III) o valor do R2 cancelado: 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t+ ut ==>R2 
ii) Estima 
Yt = β1 + β2X2t + β3X3t+ ut ==>R21 
Yt = β1 + β2X2t + β4X4t+ ut==>R22 
Yt = β1 + β3X3t + β4X4t+ ut==>R23 
iii) Se o maior R2i ≈ R2multicolinearidade 
1.3. Métodos de correção da multicolinearidade 
i) Omissão de uma variável correlacionada 
ii) Ampliação do tamanho da amostra 
iii) utilização de informações a priori 
iv) Miscelânia de outras soluções: reespecificação do modelo: usando razões, primeiras diferenças, 
logaritmos, log nas primeiras diferenças. 
 
2.HETEROCEDASTICIDADE: E[u – E(u)] ≠ σ2para todo Xt 
2.1. Consequência da heterocedasticidade 
var(β) ≠ mín 
2.2. Testes para detectar a heterocedasticiade 
 
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I) Método gráfico 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + utût2 
ii)Obtém o gráfico de dispersão de ût2= f(Yt) 
 
II) Teste de Glejser (grandes amostras) 
 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + utût 
ii) Regride: |ût| = β1 + β2X2t + ut 
|ût| = β1 + β2√X2t + ut 
|ût| = β1 + β2(1/X2t) + ut 
|ût| = β1 + β2(1/√X2t) + ut 
iii) Testa a hipótese nula H0: β2 = 0 σ21 = σ22 = σ2ncontra H1:β2≠ 0 σ21≠σ22≠σ2n c 
 
III) Teste de White 
 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t+ utût
2 
ii)Estima a regressão auxiliar ût
2= α1 + α2X2 + α3X3 + α4X2.i
2+α5X3.i
2+ α6X2.iX3.i + ui R2 
iii) Testa H0:α = 0 (homocedasticidade), calculando: nR2 ~ χ
2onde n = tamanho da amostra 
iv) Se χ2de III com gl = k de II (i.e., gl=5) e nível de significância>χ2críticoRejeita H0 
2.3. Método de correção da heterocedasticidade 
I) Processo alternativo de estimação: Mínimos Quadrados Ponderados (MQP) 
Suponha E[ut
2] = σ2X2 
i) Considere:Yt = β1 + β2Xt+ ut onde E[ ut,Xt]≠ 0 
ii) Divida ambos os lados de (i) por Xt: Yt/Xt = β2+ β1/Xt + ut/XtYt* = β2+ β1/Xt + ut* 
iii) Estima Yt* = β2+ β1/Xt + ut* 
 
3.AUTOCORRELAÇÃO: E[ui,uj] ≠ 0 para todo i ≠ j 
3.1. Consequência da Autocorrelação 
var(β) ≠ mín 
3.2. Testes para detectar a autocorrelação 
I) Modelo autoregressivo de 1ª ordem - AR(1) 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t+ utût e ût-1 
ii) Estima ût = ρût-1 + ϵt onde -1≤ ρ ≤ 1 e ϵt ~N[0,σ
2] 
iii) testa as hipóteses: H0: ρ = 0 (ausência de autocorrelação) contra Ha: ρ ≠ 0 (presença de autocorrelação 
positiva ou negativa), através da estatística t:t = ρ/ep(ρ) onde var(ρ) = (1- ρ2)/n e ρ = ∑ûtût-1/∑ût 
 
II) Teste Durbin-Watson (d) 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + utût , ût-1 e ût
2 
Universidade Federal de Sergipe/UFS Econometria I Profa. Heliana Quintino 
 
ii) Calcula d = ∑(ût - ût-1)
2/∑ût
2 onde 0 ≤ d ≤ 4 ou d = 2(1 – ρ) 
iii) iii) Testa H0: ausência de autocorrelação, segundo as regras de decisão: 
 
III) Teste d Modificado 
i) H0: ρ = 0 contra H1: ρ > 0  se d < du Rejeita H0 ao nível de α 
ii) H0: ρ = 0 contra H1: ρ < 0  se (4 – d) < du Rejeita H0 ao nível de α 
iii) H0: ρ = 0 contra H1: ρ ≠ 0  se d < du ou (4 – d) < du Rejeita H0 ao nível de 2α 
3.3) Método de correção da autocorrelação 
I) Método Iterativo de Cochrane-Orcutt 
i) Estima Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t+ ut  ût , ût-1 e ût-2 
ii) estima 𝜌 = 
∑ �̂�𝒕�̂�𝒕−𝟏
∑ �̂�𝒕
 
iii) Obtém (I) defasada em AR(1) e multiplica por ρ estimado: 
Yt-1 = β1 + β2X2t-1 + β3X3t-1 + β4X4t-1 + ut-1 
ρYt-1 = ρβ1 + β2ρX2t-1 + β3ρX3t-1 + β4ρX4t-1 + ρut-1 
iv) Subtrai (III) de (I): 
Yt - ρYt-1 =β1(1-ρ) + β2(X2t - ρX2t-1) + β3(X3t- ρX3t-1) + β4(X4t- ρX4t-1) + ut - ρut-1 
v) Estima: Yt* = β1* + β2X2t* + β3X3t* + β4X4t* + ut* 
II) Método da Primeira Diferença 
Aplica os passos 3 e 4 do item (I) e considera ρ = 1: 
Yt - Yt-1 = β2(X2t - X2t-1) + β3(X3t - X3t-1) + β4(X4t - X4t-1) + ut - ut-1 
Yt* = β1* + β2X2t* + β3X3t* + β4X4t* + ut* 
Obs.: Empregue a forma de primeira diferença sempre que d < R2 (Madalla)