aula 09

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Pag *
AULA 09
Prof. Claudio Maciel
BEM-VINDO À DISCIPLINA
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Pag *
Pag *
AULA 09 – Limites de uma função 
Limite de função em um ponto
O estudo dos limites verifica qual o comportamento da função y = f(x), quando x está próximo de um ponto p.
Dizer que o limite de uma função y = f(x), em um ponto p, é um número L; significa que à medida que x se aproxima de p, os valores da função aproximam-se do número L.
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Exemplo 
Exemplo 1:
Como se comportam os valores da função y = 3x + 5 quando x se aproxima do ponto p = 4?
Solução: 
À medida que x se aproxima de 4, o valor 3x aproxima-se de 12 e (3x + 5) aproxima-se de 17.
O limite, portanto, é: L = 17 e indicamos:
lim (3x + 5) = 17
x 4
3 4 5
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Exemplo 2 
Seja a função f(x)=2x + 1. 
Como se comportam os valores da função f(x) quando x se aproxima do ponto p = 1?
Vamos atribuir a x valores que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de f(x).
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Exemplo 2 
X
1,5
1,3
1,1
1,05
1,02
1,01
y = 2x + 1 
4
3,6
3,2
3,1
3,04
3,02
X
0,5
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99
y = 2x + 1 
2
2,4
2,8
2,9
2,96
2,98
lim (2x + 1) = 3
x 1
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Propriedades dos Limites
Exemplo:
= 1 + 3 = 4
O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites. 
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Propriedades dos Limites
Exemplo:
lim ( x . 3x ) =
x 1
lim x . lim 3x 
x 1
2
 3
2
 3
x 1
= 1 . 3 = 3
O limite do produto é o produto dos limites .
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 – Propriedades dos Limites
Exemplo:
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
f(x) 
x a
g(x)
=
lim f(x) 
x a
lim g(x)
x a
lim =
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 –Limites – Exercício 1
Como se comportam os valores da função 
y = 
quando x se aproxima do ponto p = 2 ?
O resultado é o quociente dos limites das funções.
Verificamos, ainda, que à medida que x se aproxima do ponto p = 2, (x-2) se aproxima de zero e (x+1) de 3;
Portanto, o limite da função será 0 (zero).
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 –Limites – Exercício 2
Como se comportam os valores da função 
y = (x + 4) . (x – 2x) quando x se aproxima do ponto 3? 
2
Pela propriedade do limite do produto de funções, o resultado é o produto dos limites das funções.
À medida que x se aproxima do ponto p = 3:
(x + 4) se aproxima de 7 e (x – 2x) se aproxima de 3;
Portanto, o limite da função y é igual a: 7 . 3 = 21
2
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 –Limites – Exercício 3
AULA 09
Pag *
Pag *
AULA 09 –Limites – Exercício 3
Para resolver essa questão, vamos construir duas tabelas de valores que se aproximam à esquerda e à direita do ponto p = 2, para verificar a que valor a expressão converge.
Concluímos que, à medida que x se aproxima de 2, os valores de y = 
se aproximam do valor L = 4
AULA 09
Pag *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*