Aula 2 - Limite_gabarito

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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Cálculo I 
Cálculo Diferencial e Integral 
 
 
 
Aula 2 
 
Limites 
 
Noções de Limites: Funções de várias sentenças e 
noções geométricas de limites 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
 
 
➢ Identificar e esboçar gráficos de funções elementares de uma variável 
real: funções constantes, potência, afim, quadrática, exponencial, 
logarítmicas e trigonométricas. 
➢ Construir gráficos de funções utilizando movimentação gráfica. 
➢ Identificar e construir gráfico de funções definidas por várias sentenças. 
➢ Analisar gráfico de funções definidas por várias sentenças e reconhecer os 
limites laterais, limites e continuidade no ponto, limites infinitos e no 
infinito. 
 
 
 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
INTRODUÇÃO 
O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo importante da matemática, 
desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria. Foi desenvolvido por Isaac 
Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) simultaneamente em 
trabalhos independentes. 
O Cálculo Diferencial e Integral é a base para o curso de computação e afins, 
muitas funções são implementadas com bases matemáticas, essas operações 
auxiliam a entende a variação de condições matemática de situações reais com 
relação as mudanças dessas próprias condições. 
Limites é uma teoria matemática que estuda o comportamento das funções para 
valores próximo de um número dado. 
Exemplo: Suponha que um físico deseja obter determina medida quando a pressão 
do ar é zero. Como, no laboratório, é extremamente difícil obter a pressão 
exatamente igual a zero, isto é, vácuo perfeito. O físico deverá obter medidas a 
pressões cada vez menores. Se, quando as pressões tendem para zero, as 
medidas correspondentes tendem para um número n, então ele concluirá, 
naturalmente, que se a pressão for zero, o valor da medida será n. 
 
NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE – LIMITES LATERAIS 
Seja a função 𝒇: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4. Vamos dar valores a x que se 
aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores 
menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: 
 
 
X y = x + 4 
1,5 5,5 
1,3 5,3 
1,1 5,1 
1,05 5,05 
1,02 5,02 
1,01 5,01 
 
 
X y = x + 4 
0,5 4,5 
0,7 4,7 
0,9 4,9 
0,95 4,95 
0,98 4,98 
0,99 4,99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
Notamos que: 
• o limite de 𝑓(𝑥), quando x tende para 1, pela esquerda, é igual a 5 ou, 
abreviadamente: 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 5 
• o limite de 𝑓(𝑥), quando x tende para 1, pela direta, é igual a 5 ou, 
abreviadamente: 
lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 5 
 
Estes dois limites são chamados de limites laterais. 
Quando existirem os limites laterais e forem iguais, dizemos que existe o 
limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 1 e escrevemos, simplesmente: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 5 
De forma geral, escrevemos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 
se, quando x se aproxima de a (𝑥 a), 𝑓(𝑥) se aproxima de b (𝑓(𝑥) b). 
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais. 
Simbolicamente: 
LxfxfLxf
axaxax
===
+− →→→
)(lim)(lim)(lim 
 
 
 Como x² + x - 2 = (x - 1) (x + 2), temos: 
 
 
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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, 
embora para x = 1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o 
comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. 
Escrevemos: 
 
 Se 𝒈: ℝ → ℝ, definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2, lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→1
(𝑥 + 2) = 3, embora 
g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
 
EXEMPLO 1 - Observando o gráfico da função presente na figura a seguir, podemos 
determinar os seus limites: 
 
 
𝑎) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 3 
𝑏) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 1 
𝑐) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 
𝑑) 𝑓(0) = 
 
 
 
 
 
 
5 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
EXEMPLO 2 - Seja 𝑓(𝑥) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
𝑎) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 0 𝑏) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 0 𝑐) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 0 
 
𝑑) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 1 𝑒) lim
𝑥→ 1−
𝑓(𝑥) = 1 𝑓) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
EXERCÍCIOS 
1) O gráfico a seguir representa uma função 𝒇 de [-𝟔, 𝟗] em ℝ. Determine: 
 
 
𝑎) 𝑓(2) = 3 
𝑏) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 2 
𝑐) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 5 
𝑑) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
= 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
𝑒) 𝑓(−2) = 0 
 
 
 
 
 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 3 
 
b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 3 
 
 
c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 3 
 
 
d) 𝑓(1) = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 
 
b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 0 
 
 
c) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
d) 𝑓(1) = 2 
 
 
 
 
Considere a função 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
4) Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
3, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
, determine: 
 
a) lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2 
 
b) lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = 2 
 
c)lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 
 
𝑑) 𝑓(1) = 3 
 
 
5) Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
, determine: 
 
a) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) =-2 
 
b) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = 0 
 
c)lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
6) Dada a função 𝑓(𝑥) = {
3𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
, determine: 
 
a) lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 3 
 
b) lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 3 
 
 
c)lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 3 
 
Propriedades Operatórias dos Limites 
Nesse capítulo, enunciaremos, sem demonstração, os teoremas sobre limites de funções e 
suas aplicações na resolução de problemas, teoremas estes que desempenharão um papel 
importante em todo o nosso curso. 
• (P0) Se 1)(lim Lxf
ax
=
→
 e 2)(lim Lxf
ax
=
→
, então .21 LL = (Teorema da Unicidade do limite) 
 
• (P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então cc
ax
=
→ 
lim isto é o limite de uma constante 
é a própria constante. 
 
 
• (P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmx
ax
+=+
→
)(lim 
 
 
Exemplo: 754.3)53(lim
4 
=−=−
→
x
x 
• (P3) Se ,)(lim e )(lim
 
MxgLxf
axax
==
→→
 então: 
• Sejam f e g funções tais que: 
2
px
1
px
L)x(flim e L)x(flim ==
→→
então: 
1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf
pxpxpx →→→
+=+=+ , ou seja, o limite da soma é igual a 
soma dos limites. 
 
2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfk
pxpx →→
== 
 
3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[lim
pxpx
21
px →→→
−=−=− 
 
4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxf
pxpxpx →→→
== 
 
5) 0L que desde ,
)x(glim
)x(flim
L
L
)x(g
)x(f
lim 2
px
px
2
1
px
==
→
→
→
 
 
6) Nn ,)x(flimL)]x(f[lim
n
px
n
1
n
px




==
→→
 
 
 
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7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1n
px
n
1
n
px
==
→→
 
 
8) =
→
k ,lim kk
px
, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante. 
 
9) pxlim
px
=
→
 
10) 
)x(glim
px
L
1
)x(g
px
px
2 )x(flimL)x(flim
→



==
→→
 
 
a) 93lim
22
3
==
→
x
x
 
 
b) ( ) 2774575lim
4
=+=+
→
x
x
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
(𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒)= -2 
 
Obs: Toda vez que se calcula um limite deve-se iniciar aplicando o valor na qual deseja-se 
saber o limite. Somente se der alguma indeterminação deve-se recorrer a outros métodos 
e técnicas. Ou seja, a ideia é literalmente substituir o valor para o qual 𝒙 está tendendo 
dentro do limite. Então, isso é possível porque temos um polinômio e um teorema que 
garante que 
𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝒂
𝒑(𝒙) = 𝒑(𝒂) 
 
onde 𝑝(𝑥)é um polinômio de ordem n. 
𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
(𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒) = 𝟐𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
𝒙𝟐 + 𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
(−7𝑥) + 𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
4 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟐
(𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟒) = 2.4 + (−14) + 4 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
Exemplo2 
𝐥𝐢𝐦
𝒙 →𝟏
𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐
−𝟑𝒙 + 𝟓
 
Da mesma forma, como no exemplo anterior, deve-se abrir em vários limites 
aplicando as propriedades: 
 
Exemplo 3 
 
Resolve-se este exemplo da mesma forma que os anteriores. 
 
 
Exercícios 
7) Dada a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2, determine: 
 
a) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = −2 
 
b) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4 
 
c) lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥) = −5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
8) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2, determine: 
 
a) lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 0 
 
b) lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 0 
 
c) lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 12 
 
 
9) Determine os limites 
 
 
a) lim
𝑥 →1
(4𝑥2 − 7𝑥 + 5) = 2 
𝑏) lim
𝑥 →−3
𝑥2 + 2𝑥 − 3
5 − 3𝑥
=
0
14
= 0 
 
c) lim 
𝑥 →2
(
3𝑥2 − 2𝑥 − 5
−𝑥2 + 3𝑥 + 4
)
3
= (
3
6
)
3
= (
1
2
)
3
= 
1
8
 
 
d) lim 
𝑥 →−1
√2𝑥
2 + 3𝑥 − 3
5𝑥 − 4
= √
−4
−9
= √
4
9
=
2
3
 
 
𝑒) lim
𝑥 →2
√2𝑥2 + 3𝑥 + 2
6 − 4𝑥
=
√16
−2
=
4
−2
= −2 
 
√2.22 + 3.2 + 2
6 − 4.2
=
√2.4 + 3.2 + 2
6 − 4.2
=
√8 + 6 + 2
6 − 8
 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
LIMITES INDETERMINADOS 
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao 
adotar tal procedimento nos deparamos com resultados do tipo 
0
0
 ou .


 
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜 
0
0
𝑜𝑢 
∞
∞
 
Exemplo 1 
 
Seja a função 
 ( )
2
443 2
−
−−
=
x
xx
xf , com 2→x , isto é, 
( )
0
0
2
443
lim
2
2
=
−
−−
=
→ x
xx
xf
x
 Indeterminação, 
 
estudando-se esta função, tem-se que o domínio de ( )xf abrange todos os números 
reais, com exceção de 2=x que anula o denominador e o numerador. O que significa 
que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Bhaskara” no numerador, 
ou seja, 
 =++ 0
2 cbxax
a
acbb
x
2
42−−
= . Assim, 
 



−=
=


=
+
=
32
2
6
84
6
48164
2
1
x
x
x 
 ( ) 23
2
)2)(23(
2
443 2
+=
−
−+
=
−
−−
= x
x
xx
x
xx
xf 
 
 
 
 
Desta forma, tem-se que 
( ) 823lim
2
)2)(23(
lim
2
443
lim
22
2
2
=+=
−
−+
=
−
−−
=
→→→
x
x
xx
x
xx
xf
xxx
, 
 
 
 
O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , ( )xf se aproxima de 8 , mas se 
substituir-se 2=x na 1a expressão, ( )xf não está definida naquele ponto. 
 
 
 
 
( ) 223 += xxxf Ponto ( )8,2 
deve ser excluído do gráfico, pois 
naquele ponto a função é indefinida. 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
Exemplo 2 
 
Aqui encontra-se um dos casos de indeterminação nos limites. Assim, para superar 
esta indeterminação, propõe-se utilizar o método de decompor a expressão do 
denominador como produto de suas raízes. Assim, caso uma das suas raízes seja 
igual ao numerador, então se simplifica. 
Para encontrar as raízes podemos utilizar a Formula de Bháskara ou Soma e 
Produto ou até mesmo o algoritmo de Briot-Ruffini. 
 
 
Simplificando os termos iguais encontramos facilmente o limite dado por: 
 
 
 
 
Produtos notáveis: 
 
 
http://www.dicasdecalculo.com.br/formula-de-bhaskara/
http://www.dicasdecalculo.com.br/soma-e-produto/
http://www.dicasdecalculo.com.br/soma-e-produto/
http://www.dicasdecalculo.com.br/briot-ruffini-divisao-euclidiana-exemplo/
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
. 
10) Determine os valores de: 
a) lim
𝑥→3
𝑥2 − 9
𝑥 + 3
=
0
6
= 0 
 
b) lim
𝑥→ −3
𝑥2 − 9
𝑥 + 3
= lim
𝑥→ −3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥 + 3
= lim
𝑥→ −3
𝑥 − 3 = −6 
 
 
c) lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥2 − 4
= lim
𝑥→2
𝑥 − 2
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
1
(𝑥 + 2)
=
1
4
 
 
d) lim
𝑥→1
1 − 𝑥2
1 − 4
= 0 
 
e) lim
𝑥→4
𝑥2 + 𝑥 − 20
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
(𝑥 − 4)(𝑥 + 5)
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
𝑥 + 5 = 9 
 
f) lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
== lim
𝑥→1
𝑥 + 1 = 2 
 
 
g) lim
𝑥→−2
4 − 𝑥2
2 + 𝑥
= lim
𝑥→−2
(2 + 𝑥). (2 − 𝑥)
2 + 𝑥
= lim
𝑥→−2
2 − 𝑥 = 4 
 
 
h) lim
𝑥→3
𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 − 3)
𝑥 − 3
= lim
𝑥→3
𝑥 − 3 = 0 
 
 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
LIMITES NO INFINITO 
 
Introdução: 
 
Consideremos a função f definida por 
x
xf
1
)( = e analisemos, mediante uma 
tabela, o seu comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente 
através de valores positivos. 
 
x 
4
1
 
3
1
 
2
1
 
1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000 
 
4 3 2 1 
2
1
 
3
1
 
4
1
 
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 
 
Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores 
positivos, os valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). 
Simbolicamente, representamos tal fato por: , que se lê: “limite de f 
de , quando tende a mais infinito, é igual a zero”. 
 
Observação: Quando uma variável independente está crescendo 
ilimitadamente através de valores positivos, escrevemos: “ ”. Devemos 
enfatizar que + não é um número real. O símbolo + indica, portanto, o 
comportamento da variável independente . 
 
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da 
variável decrescem ilimitadamente através de valores negativos. 
 
x -
4
1
 -
3
1
 -
2
1
 
-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
 
-4 -3 -2 -1 
-
2
1
 -
3
1
 -
4
1
 
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 
 
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de 
decrescem ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se 
aproximam cada vez mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar 
os valores de que estão decrescendo ilimitadamente, representamos 
simbolicamente o fato acima por um 0)(lim =
−→
xf
x
, que se lê: “limite de f de , 
quando tende a menos infinito, é igual a zero. 
 
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico 
(figura indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente 
através de valores negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se 
cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim =
−→
xf
x
ou 0
1
lim =
−→ xx
. 
x
)(xf
x
0)(lim =
+→
xf
x
x x
x
+→x
x
x
)(xf
x
−→x
x
x
x
−→x
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 Observe o gráfico da função x
xf
1
1)( −=
 apresentado na Figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, 
quando x tende para o infinito. Isto é, 1→y quando .x → Denotamos por 
1
1
1lim =





−
→ xx 
 
 
Limite de uma função Polinomial 
 
Consideremos a função polinomial 13764)(
23 +−+−= xxxxP , podemos escrevê-la na 
seguinte forma: 
 






+−+−=
32
3
4
13
4
7
4
6
14)(
xxx
xxP 
Portanto, 






+−+−=
→→→ 32
3
4
13
4
7
4
6
1lim)4(lim)(lim
xxx
xxP
xxx
 
Ora, é claro que: 
1
4
13
4
7
4
6
1lim
32
=





+−+
→ xxxx
 
Temos, então: 
)4(lim)(lim 3xxP
xx
−=
→→
 
Assim, temos dois casos: 
 
−=−=
+→+→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 e +=−=
−→−→
)4(lim)(lim 3xxP
xx
 
 
 
 
 
Generalizando, sendo 01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n +++++=
−
− , podemos sempre 
escrever: 
 
n
n
xx
xaxP
→→
= lim)(lim 
 
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Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
 
 
11) Calcule os limites indicados: 
 
a) lim 
𝑥→+∞
(2𝑥 + 1) = +∞ 
 
𝑥 2𝑥 + 1 
1 3 
2 5 
3 7 
10 21 
100 201 
 
b) lim 
𝑥→+∞
(−3𝑥 + 2) = −∞ 
 
 
 
𝑥 −3𝑥 + 2 
1 -1 
2 -4 
3 
4 
10 
 
c) lim 
𝑥→−∞
𝑥3 = −∞ 
 
d) lim 
𝑥→−∞
𝑥2 = ∞ 
 
e) lim
𝑥→−∞
5
𝑥
= 0 
 
 
 
f) lim
𝑥→−∞
1
𝑥2
= 0 
 
g) lim
𝑥→+∞
1 + 𝑥
5
= +∞ 
 
h) lim 
𝑥→−∞
(2 +
1
𝑥
) = lim 2 +
𝑥→−∞
 lim 
𝑥→−∞
1/x = 
i) lim 
𝑥→+∞
(
1
4
)
−𝑥
= +∞ 
𝑥 
(
1
4
)
−3
 
1 4 
2 16 
3 64 
4 
10 
 
 
19 
Profa. Me. Alessandra Azzolini 
 
 
j) lim 
𝑥→+∞
(
7
5
)
𝑥
= +∞ 
 
𝑘) lim 
𝑥→−∞
𝑥2 + 3𝑥 − 1 = +∞ 
 
l) lim
𝑥→0−
3
𝑥3
= −∞ 
 
m) lim
𝑥→0+
−2
𝑥2
= −∞ 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
GUIDORIZZI,Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora 
LTC, 2001. 
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora Mir, 1977. 
ROGAWSKI, Jon. Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.