aula 1 análise matemática - limites

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Disciplina: Análise Matemática para
Engenharia I
Aula 1: Limites de uma função e continuidade – Parte I
Apresentação
No sentido �gurado, limite é de�nido como “uma marca a partir da qual não se pode continuar” ou “o mais alto grau ou �nal
de alguma coisa”. Em matemática, o conceito de limite é fundamental para o Cálculo diferencial e integral. Na verdade,
constitui a pedra fundamental sobre a qual se apoia, por exemplo, as ideias de taxa de variação, integração e séries in�nitas.
Nesta aula, começaremos a desenvolver o conceito de limite em etapas, a partir de uma noção informal e intuitiva e,
posteriormente, veremos uma de�nição matemática precisa. Aqui desenvolveremos também os teoremas e os
procedimentos para se calcular limites.
Objetivos
De�nir o conceito de limite;
Reconhecer as propriedades dos limites;
Determinar os limites laterais e os limites no in�nito.
Ideia de limite
Muitas das ideias básicas do Cálculo tiveram sua origem em dois problemas geométricos:
Dada uma função f e um ponto P(x ,y )
em seu grá�co, encontre uma equação
da reta que é tangente ao grá�co em P.
(a) Reta tangente, em verde, ao
grá�co da função f, em vermelho,
em P.
o o Dada uma função f, encontre a área
entre o grá�co de f e um intervalo [a,b]
no eixo x.
(b) Área S compreendida entre o
grá�co de f(x) e um intervalo [a,b].
Assim como a noção geral da reta tangente leva ao conceito de limite, o mesmo acontece com a noção geral da área.
Tradicionalmente a parte do Cálculo que se originou do problema da reta tangente é denominada Cálculo Diferencial; enquanto
que a parte originada do problema da área é denominada Cálculo Integral.
Você verá mais tarde que a distinção é bastante arti�cial, pois o Cálculo Diferencial e o
Cálculo Integral estão estritamente relacionados.
A ideia de limite também ocorre no contexto familiar dos números decimais. Por exemplo, a expansão decimal da fração ¹⁄� é:
Nela, os pontos indicam que o dígito 3 se repete inde�nidamente. Embora você nunca tenha pensado em decimais dessa maneira,
podemos escrever ¹⁄� como:
Isso é a soma de “in�nitas” parcelas. Conforme será discutido com maiores detalhes mais adiante, pois, à medida que incluímos
mais e mais parcelas na soma, nos aproximamos mais e mais de um valor limite de ¹⁄�.
= 0, 33333 …1
3
= 0, 33333 …   = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + 0, 00003 …1
3
Noção intuitiva de limite
Agora que você já viu como a ideia de limite aparece em algumas situações, vamos nos concentrar no conceito.
O uso mais básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor.
Por exemplo, examine o comportamento da função:
Quando x está cada vez mais próximo de 3.
f(x) = − 3x + 2x2
 Gráfico da função f(x) = x - 3x + 2. Observe que à medida que x se aproxima de 3, por
qualquer um dos lados, esquerdo ou direito, o valor de f(x) se aproxima de 2 (ponto
indicado em azul no gráfico).
2
Podemos descrever isso dizendo que “o limite de x – 3x + 2 é 2 quando x tende a 3 por qualquer um dos lados”, e escrevemos:
A tabela a seguir torna a ideia mais clara.
Tabela 1: Valores para a função f(x) = x – 3x + 2 conforme a variável independente x se aproxima do valor 3.
2
( − 3x + 2) = 2lim
(x→3)
x2
2
x 2 2,5 2,9 2,99 2,9999 3 3,0001 3,01 3,05 3,1 3,5
f(x) 0 0,75 1,71 1,9701 1,9997001 2 2,00030001 2,0301 2,1525 2,31 3,75
 
A ideia geral é a seguinte: “os valores de f(x) podem se tornar tão próximos quanto queiramos de L, desde que tomemos valores
de x su�cientemente próximos de a (mas não iguais a a)”.
Podemos, então, escrever:
Que deve ser lido como “o limite de f(x) quando x tende a a é L” ou “f(x) tende a L quando x tende a a”.
Podemos também escrever: 
f(x) = Llim
x→a
f(x)  →  L quando x  →  a.  
Em resumo, limite é o ponto máximo a que uma função f(x) tende, dado um valor de x;
e, não importa se a função chega ou não a esse ponto máximo.
Exemplo 1
Use evidência numérica para conjecturar o valor de: 
Solução: Embora a função não esteja de�nida em x = 1, isso não tem relação alguma com o limite. A Tabela 2 apresenta valores
amostrais de x se aproximando de 1 de ambos os lados.
Nos dois casos, os correspondentes valores de f(x), calculados até a sexta casa decimal, parecem estar se aproximando mais e
mais de 2, e, portanto, você pode conjecturar que:
Isso é consistente com o grá�co de f(x) apresentado anteriormente.
Tabela 2: Valores da função 
à medida que x se aproxima de 1:
lim
x→1
x−1
√x−1
= 2lim
x→1
x−1
√x−1
f(x) = x−1
√x−1
x 0,99 0,999 0,99999 0,999999 1 1,00001 1,0001 1,001 1,01
f(x) 1,994987 1,99950 1,999950 1,999995 2,000005 2,000050 2,000500 2,004988
 
 Gráfico da função f(x) = x−1
√x−1
“A função f(x), não está de�nida quando x = 1 (ponto indicado por um círculo aberto em preto). No entanto, o limite pode ser
calculado, por ambos os lados, e quando ”.
Embora a evidência numérica seja útil, por vezes, ela pode levar a conclusões erradas sobre os limites, por causa dos erros de
arredondamento ou porque os valores amostrais não revelam o verdadeiro comportamento do limite.
x  →  1,  f(x)  →  2
Isso chama a atenção para o fato de que é necessário dispor de métodos alternativos
para corroborar limites conjecturados a partir de evidências numéricas.
Limites laterais
Os limites laterais podem ser entendidos da seguinte forma:
Os valores de f(x) podem se tornar tão próximos de L quanto quisermos, desde que tomemos os valores de x su�cientemente
próximos de a (mas maiores do que a); então, escrevemos:
Ou seja: “L é o limite de f(x) quando x tende a a pela direita” ou “f(x) tende a L quando x tende a a pela direita”.
Os valores de f(x) podem se tornar tão próximos de L quanto quisermos, desde que tomemos os valores de x su�cientemente
próximos de a (mas menores do que a); então, escrevemos:
f(x) = Llim
x→a+
f(x) = Llim
x→a−
Isto é: “L é o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda” ou “f(x) tende a L quando
x tende a a pela esquerda”.
Usando a notação adequada: .
De um modo geral, não há garantia de que uma função tenha um limite bilateral em um ponto dado; ou seja, os valores de f(x)
podem não se aproximar mais e mais de um único número real 
Nesse caso, dizemos que:
Consequentemente: “O limite bilateral de uma função f(x) existe em um ponto a se, e somente se, existirem os limites laterais
naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é:
Você pode assimilar a ideia da existência ou não de limite de uma função f(x) em um ponto x = a guardando os seguintes
postulados:
“Não existe um limite bilateral, se os limites esquerdo e direito forem diferentes”. Em outras palavras, se há uma “quebra” no
grá�co de uma função e as duas partes da função não se encontram em determinado ponto, não existe limite bilateral.
“Um limite bilateral não existe se uma função cresce ou decresce in�nitamente a um determinado valor de x”.
“Um limite bilateral não existe se uma função oscila in�nitamente, sem nunca se aproximar de alguma cota”. Isso é raro, mas, às
vezes, uma função pode oscilar continuamente para lá e para cá, sem nunca alcançar um valor numérico.
Quando esse é o caso, não existe limite.
Exemplo: 
f(x)  →  L com x  →    e f(x)  →  L com x  →  a+ a−
L quando x  →  a
f(x)   não existelim
x→a
f(x) = L  se, e  somente   se,   f(x) = L e  f(x) = Llim
x→a
lim
x→a−
lim
x→a+
f(x) =  1
sin  x
 Gráfico da função f(x) =  1
sin  x
Observe que não existe, uma vez que a função f(x) oscila continuamente entre -1 e 1, sem nunca alcançar um valor
numérico.
Exemplo 2
Considere as funções ilustradas nos grá�cos a seguir. Encontre os limites laterais e bilaterais em x = a se eles existirem.
 lim
x→0
1
sin  x
 Diferentes funções f(x) para a avaliação de limites laterais e bilaterais. Fonte: ANTON et al. (2007).
Solução: As funções f(x) nos grá�cos têm os mesmos limites laterais quando uma vez que as funções são idênticas,
exceto em . Esses limites são:
x  →  a 
x  =  a 
f(x) = 1 e  f(x) = 3lim
x→a−
lim
x→a+
Em todos os três casos,o limite bilateral não existe quando , pois os limites
laterais não são iguais.
x → a
Limites in�nitos
Às vezes, os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem sem cotas.
Por exemplo, considere o comportamento da função para valores de x perto de 0.f(x) =   1
x
Saiba mais
É evidente, a partir da Tabela 3 e do último grá�co, que à medida que tomamos os valores de x cada vez mais próximos de 0 pela
direita, os valores de são positivos e crescem sem cota; e, à medida que tomamos os valores de x cada vez mais
próximos de zero pela esquerda, os valores de negativos e decrescem sem cota.
f(x) =   1
x
f(x) =   1
x
Esses comportamentos �nais são descritos escrevendo:
= +∞ e  = −∞lim
x→0+
1
x
lim
x→0−
1
x
 Gráfico da função . Observe que quando 
; enquanto que quando 
.
f(x) =    1
x
x  →   ,  f(x)  →   −  ∞0−
x  →   ,  f(x)  →   +  ∞0+
Tabela 3: Diferentes valores para a função à medida que a variável independente x se aproxima de zero pela
esquerda e pela direita.
f(x) =    1
x
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1 1
f(x) -1 -10 -100 -1.000 -10.000 10.000 1.000 100 10 1
As expressões e signi�cam que f(x) cresce sem conta quando x tende a a pela
esquerda ou pela direita, respectivamente.
f(x) = +∞ e  f(x) = +∞lim
x→a−
lim
x→a+
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos: .f(x) = +∞lim
x→a
Analogamente, as expressões signi�cam que f(x) decresce sem conta quando x
tende a a pela esquerda ou pela direita, respectivamente.
f(x) = −∞ e  f(x) = −∞lim
x→a−
lim
x→a+
Se ambas são verdadeiras, então escrevemos: .f(x) = −∞lim
x→a
Exemplo 3
Para a função , descreva os limites em x = 3 na notação de limite apropriada.
Solução: Observe no grá�co abaixo que a função decresce sem cota quando x tende a 3 pela esquerda e pela
direita. Então:
f(x) = −1
(x−3)2
f(x) = −1
(x−3)2
= −∞ e  = −∞ .  Logo :   = −∞lim
x→3−
−1
(x−3)2
lim
x→3+
−1
(x−3)2
lim
x→3
−1
(x−3)2
 Gráfico da função .f(x) = −1
(x−3)
2
Observe que quando seja pela esquerda ou seja pela direita, a função f(x) decresce sem cota.
Nos próximos grá�cos há um resumo geral do comportamento de algumas funções f(x) típicas. Observe que:
x  →  3 
1 A função cresce sem cota quando x tende a a pela direita; e, decresce sem cota, quando x tende a a pela esquerda;
2 A função cresce sem cota quando x tende a a pela direita e pela esquerda;
3 A função decresce sem cota quando x tende a a pela direita; e, cresce sem cota quando x tende a a pela esquerda;
4 A função decresce sem cota quando x tende a a pela esquerda e pela direita.
 Diferentes funções f(x) para a avaliação de limites laterais quando . Fonte: ANTON et al. (2007).x  →  a
Assíntotas verticais
Os grá�cos a seguir ilustram geometricamente o que acontece quando ocorre uma das seguintes situações:
Em cada caso, o grá�co de y = f(x) ou sobe ou desce sem cota, ajustando-se mais e mais à reta vertical x = a à medida que x
tende a a pelo lado indicado no limite.
A reta x = a é denominada assíntota vertical da curva y = f(x). O termo assíntota deriva do grego asymptotos, que signi�ca “que
não pode coincidir”.
f(x) = +∞  f(x) = +∞  f(x) = −∞  f(x) = −∞lim
x→a−
lim
x→a+
lim
x→a−
lim
x→a+
 Assíntotas verticais para uma função f(x) quando Fonte: ANTON et al. (2007).x  →     ou  x  →  a− a+
Calculando limites
Vamos começar com algumas funções simples cujos limites podem ser facilmente determinados:
"Sejam a e k dois números reais:                               "k =  klim
x→a
x =  alim
x→a
= −∞lim
x→0−
1
x
= +∞lim
x→0+
1
x
 Representação de limites de algumas funções simples. Fonte: ANTON et al. (2007).
"Seja a um número real e suponha que: e "
Ou seja, os limites existem e têm valores L e L , respectivamente.
Então:
(a) O limite da soma é a soma dos limites.
(b) O limite da diferença é a diferença dos limites.
(c) O limite do produto é o produto dos limites.
(d) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero.
(e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite.
Além disso, essas a�rmações também são válidas para os limites laterais, ou seja, quando ou .
Para o caso especial em que a função f(x) é uma função constante, ou seja, f(x) = k, temos:
Ou seja, um fator constante pode ser movido para fora de um símbolo de limite.
(f) Para qualquer polinômio p(x)=c +c x+ ... +c x e qualquer número real a
f(x) =lim
x→a
L1 g(x) =lim
x→a
L2
1 2
[f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) = +lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
L1 L2
[f(x) − g(x)] = f(x) − g(x) = −lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
L1 L2
[f(x) ⋅ g(x)] = f(x) ⋅ g(x) = ⋅lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
L1 L2
= = ,   desde   que   ≠ 0lim
x→a
f(x)
g(x)
f(x)lim
x→a
g(x)lim
x→a
L1
L2
L2
= =    desde   que   > 0  se  n  for   parlim
x→a
f(x)− −−−√n f(x)lim
x→a
− −−−−−−−
√n L1−−√n L1
x → a− x → a+
[k ⋅ g(x)] = k ⋅ g(x) = k ⋅ g(x)lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
lim
x→a
o 1 n
n
p(x) = + a +   ⋯   + = p(a)lim
x→a
co c1 cna
n
Exemplo 4
Encontre 
Solução:
Ou:
( − 5x + 7)lim
x→2
x2
( − 5x + 7) = − 5x + 7 = − 5 ⋅ x + 7 = − 5 ⋅ 2 + 7 = 1lim
x→2
x2 lim
x→2
x2 lim
x→2
lim
x→2
lim
x→2
x2 lim
x→2
lim
x→2
22
( − 5x + 7) = ( − 5 ⋅ 2 + 7) = 1 = 1lim
x→2
x2 lim
x→2
22 lim
x→2
Exemplo 5
Encontre 
O método utilizado no exemplo 5 não funciona com funções racionais em que o limite do denominador é nulo.
Há dois casos a considerar: aquele em que o limite do denominador é zero e do numerador não é zero; e, aquele em que ambos os
limites, o do denominador e o do numerador são iguais a zero.
Se o limite do denominador é zero, mas o limite do numerador não é, podemos provar que o limite da função racional não existe e
que ocorre uma das seguintes situações:
O limite poderá ser 
O limite poderá ser 
O limite poderá ser de um lado e do outro
Os grá�cos a seguir ilustram essas três possibilidades gra�camente para funções racionais da forma: 
No caso em que é uma função racional para a qual p(a) = 0 e q(a) = 0, o numerador e o denominador necessariamente
possuem um ou mais fatores comuns de x – a.
Nesse caso, o limite de quando pode ser encontrado cancelando todos os fatores comuns de x – a e usando
um dos métodos considerados anteriormente para encontrar o limite da função simpli�cada.
lim
x→5
6 −5x4
x − 3
= = =lim
x→5
6 −5x4
x − 3
(6 −5)lim
x→5
x
4
(x−3)lim
x→5
6⋅ −554
5−3
3745
2
− ∞
+ ∞
− ∞ + ∞
 ,     ,   1
x − a
1
(x −a )2
−1
(x −a)2
 Limites de algumas funções racionais em que o limite do denominador é zero, mas o limite do numerador não é. Fonte: ANTON et al. (2007).
p(x)
q(x)/
p(x)
q(x)/ x  →  a 
Exemplo 6
Encontre 
Solução: O numerador e o denominador têm um zero em x = - 4. Logo, há um fator comum em x – (-4) = x + 4.
lim
x→−4
2x + 8
+ x − 12x2
= = = −lim
x→−4
2x + 8
+ x − 12x2
lim
x→−4
2⋅(x+4)
(x+4)⋅(x−3)
lim
x→−4
2
x−3
2
7
Exemplo 7
Encontre 
Solução: O numerador e o denominador têm um zero em x = 5. Logo, há um fator comum em x – 5.
Contudo: e .
Portanto: não existe.
Observando a análise de sinais:
Observe que o limite quando não existe.
Teorema: Sejam 
uma função racional e a um número real qualquer.
Se:
(a) , então .
(b) , mas , então, não existe.
lim
x→5
− 3x − 10x2
−10x + 25x2
= =lim
x→5
− 3x − 10x2
−10x + 25x2
lim
x→5
(x−5)⋅(x+2)
(x−5)⋅(x−5)
lim
x→5
(x+2)
(x−5)
(x + 2) = 7  ≠ 0lim
x→5
(x − 5) = 0lim
x→5
=  lim
x→5
− 3x − 10x2
−10x + 25x2
lim
x→5
(x+2)
(x−5)
= = −∞lim
x→5−
− 3x − 10x2
−10x + 25x2
lim
x→5−
(x+2)
(x−5)
= = +∞lim
x→5+
− 3x − 10x2
−10x + 25x2
lim
x→5+
(x+2)
(x−5)
 Gráfico da função ou .− 3x − 10x
2
−10x + 25x2
(x+2)
(x−5)
x  →  5 
f (x) =
p(x)
q(x)
(a)q(a)  ≠  0 f (x) = f(a)lim
x→a
(b)q(a)  =  0 p(a)  ≠  0 f (x)lim
x→a
Um quociente f(x)/g(x) em que o numerador e o denominador têm ambos um limite zero quando é denominado forma
indeterminada do tipo 0/0.
Às vezes, os limites de formas indeterminadas do tipo 0/0 podem ser encontrados por meiode simpli�cação algébrica, como nos
exemplos 6 e 7, mas frequentemente isso não funciona e precisamos usar outros métodos.
x  →  a
Exemplo 8: Limites envolvendo radicais
Como esse limite é uma forma indeterminada do tipo 0/0, você precisa construir uma estratégia para torná-lo evidente, caso
exista. Uma estratégia é racionalizar o denominador da fração. Assim, obtemos:
lim
x→1
x−1
−1x√
= = = ( + 1) = 2lim
x→1
x−1
−1x√
lim
x→1
(x−1)⋅( +1)x√
( −1)⋅( +1)x√ x√
lim
x→1
(x−1)⋅( +1)x√
x−1
lim
x→1
x√
Exemplo 9: Limites de funções de�nidas por partes
Para funções que são de�nidas por partes, é melhor obter o limite bilateral em um ponto no qual a fórmula muda, encontrando
primeiro os limites laterais no ponto.
Seja: 
Encontre: (a)     (b)     (c) 
Solução:
(a) e . Logo não existe.
(b) A parte aplicável da fórmula é em ambos os lados de 0, portanto não há necessidade de considerar limites
laterais.
(c) As partes aplicáveis da fórmula de f(x) são: e . Como os dois limites laterais são
iguais, .
f (x) =
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
,   x < −21 (x+2)/
− 5,    − 2 < x ≤ 3x2
,   x > 3x + 13− −−−−√
f(x)lim
x→−2
f(x)lim
x→0
f(x)lim
x→3
= −∞lim
x→−2−
1
x+2
( − 5) = −1lim
x→−2+
x2 f(x)lim
x→−2
f(x)  =    –  5x2
f (x) = ( − 5) = −5lim
x→0
lim
x→0
x2
( − 5) = 4lim
x→3−
x2 = 4lim
x→3+
x + 13− −−−−√
f (x) = 4lim
x→3
 Gráfico da função f(x) proposta no Exemplo 9. Observe que há consistência com os
limites calculados em (a), (b) e (c).
Limites no in�nito
Se os valores de uma variável x crescem sem parar, então escrevemos , e se os valores de x decrescem sem parar,
então escrevemos .
Algumas vezes, dizemos que o comportamento �nal de uma função f(x) é o comportamento da função quando x cresce ou
decresce sem parar.
Por exemplo:
x  →   +  ∞
x  →   −  ∞
= 0   e    = 0lim
x→−∞
1
x
lim
x→+∞
1
x
"Se os valores de f(x) �cam tão próximos quanto quisermos de um número L à medida que x cresce sem parar, então: 
".f(x) = L    ou  f(x) → L    quando    x  → +∞lim
x→+∞
"Se os valores de f(x) �cam tão próximos quanto quisermos de um número L à medida que x decresce sem parar, então: 
".f(x) = L    ou  f(x) → L    quando    x  → −∞lim
x→−∞
Se ocorrer um desses limites, dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do grá�co de f.
Exemplo 10
Grá�co da função 
Observe que y = e é uma assíntota horizontal para f tanto no sentido positivo quanto no sentido negativo.
f(x) = (1 + 1
x
)x
(1 + =  e  (1 + = elim
x→−∞
1
x
)
x
lim
x→+∞
1
x
)
x
 Assíntota horizontal presente no gráfico da função 
.f(x) = (1 +   quando  x → −∞ e x → +∞1
x
)x
Regras de limites para limites no in�nito:
Desde que existam os limites indicados de f(x).
Também segue que constantes podem ser tiradas fora do símbolo de limite para limites no in�nito:
Desde que existam os limites indicados de f(x).
Finalmente, se f(x)=k é uma função constante, então os valores de f não mudam quando , de modo
que:
(f(x) = ( f(x)  e  (f(x) = (f(x)lim
x→−∞
)
n
lim
x→−∞
)
n
lim
x→+∞
)
n
lim
x→+∞
)
n
kf(x) = k ⋅ f(x)  e   kf(x) = k ⋅ f(x)lim
x→−∞
lim
x→−∞
lim
x→+∞
lim
x→+∞
x → +∞   ou   x → −∞
k = k  e   k = k lim
x→−∞
lim
x→+∞
Limites in�nitos no in�nito
"Se os valores de f(x) crescem sem cota quando , então escrevemos:
, conforme o caso."
"Se os valores de f(x) decrescem sem cota quando , então escrevemos:
, conforme o caso."
x → −∞   ou   x → +∞ 
f(x) = +∞  e   f(x) = +∞lim
x→−∞
lim
x→+∞
x → −∞   ou   x → +∞ 
f(x) = −∞  e  f(x) = −∞lim
x→−∞
lim
x→+∞
Limites de x quando 
Nos grá�cos apresentados a seguir, ilustramos o comportamento no in�nito dos polinômios da forma x para n = 1, 2, 3 e 4, que
são casos especiais do seguinte resultado geral:
n
x → ±∞
n
= +∞,  n = 1, 2, 3 …lim
x→+∞
x
n
= {lim
x→−∞
x
n
−∞, n = 1, 3, 5 …
+∞, n = 2, 4, 6 …
 Limites de x quando para funções de n = 1, 2, 3 e 4. Fonte: ANTON et al. (2007).n x → ±∞
A multiplicação de x por um número real positivo não afeta os limites, mas a multiplicação por um número real negativo inverte
os sinais.
Exemplo 11
Considere a função f(x)=2x e g(x)=-2x , encontre os limites quando .
n
3 3
x → ±∞
2 = 2 ⋅ = −∞  e   2 = 2 ⋅ = +∞lim
x→−∞
x
3 lim
x→−∞
x
3 lim
x→+∞
x
3 lim
x→+∞
x
3
− 2 = −2 ⋅ = +∞  e   − 2 = −2 ⋅ = −∞lim
x→−∞
x
3 lim
x→−∞
x
3 lim
x→+∞
x
3 lim
x→+∞
x
3
 Gráficos das funções f(x)=2x (curva em vermelho) e g(x)=-2x (curva em azul).
Observe o comportamento de cada função quando .
3 3
x → ±∞
Limites de polinômios quando 
O comportamento �nal de um polinômio coincide com o comportamento �nal de seu termo de maior grau.
Exemplo 12
Encontre 
x → ±∞
( + x + ⋯ + ) =lim
x→−∞
co c1 cnx
n lim
x→−∞
cnx
n
( + x + ⋯ + ) =lim
x→+∞
co c1 cnx
n lim
x→+∞
cnx
n
(3 + − 2 − 9)lim
x→−∞
x
6
x
5
x
4
(3 + − 2 − 9) = (3 ) = 3 ⋅ = +∞lim
x→−∞
x
6
x
5
x
4 lim
x→−∞
x
6 lim
x→−∞
x
6
Limites de funções racionais quando 
Uma técnica para determinar o comportamento �nal de uma função racional consiste em dividir cada termo do numerador e do
denominador pela maior potência de x que ocorra no denominador, depois do que o comportamento �nal pode ser determinado
usando resultados que já foram discutidos.
Exemplo 13
Encontre 
Solução:
x → ±∞
lim
x→−∞
3x+5
6x−8
=   = = = =lim
x→−∞
3x+5
6x−8
(3+ )lim
x→−∞
5
x
(6−  )lim
x→−∞
8
x
3+5⋅lim
x→−∞
lim
x→−∞
1
x
6−8⋅lim
x→−∞
lim
x→−∞
1
x
3+5⋅0
6−8⋅0
3
6
1
2
 Gráfico da função . Observe a linha pontilhada em azul, que corresponde à
assíntota horizontal onde y=�⁄�. A linha tracejada em verde corresponde à assíntota vertical
onde x=�⁄�.
3x+5
6x−8
Exemplo 14
Encontre 
Solução
Divida cada termo no numerador e no denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador, a saber, x .
Nesse caso, não podemos argumentar que o limite do quociente é o quociente dos limites porque o limite do numerador não
existe.
Contudo, temos:
Assim, o numerador tende , enquanto o denominador tem um limite negativo �nito. Concluímos, portanto, que o quociente
tende . Logo:
lim
x→+∞
6 −3 −4x3 x2
1−3x2
2
=lim
x→+∞
6 −3 −4x3 x2
1−3x2
(6x−3− )lim
x→+∞
4
x
2
( −3)lim
x→+∞
1
x
2
(6x − 3) = +∞;     (− ) = 0;   ( − 3) = −3lim
x→+∞
lim
x→+∞
4
x2
lim
x→+∞
1
x2
a + ∞
a − ∞
= = −∞lim
x→+∞
6 −3 −4x3 x2
1−3x2
(6x−3− )lim
x→+∞
4
x
2
( −3)lim
x→+∞
1
x
2
Um método rápido para encontrar limites de funções racionais
quando ou 
Como o comportamento �nal de um polinômio coincide com o comportamento �nal de seu termo de maior grau, é razoável
concluir que:
“O comportamento �nal de uma função racional coincide com o comportamento �nal do quociente do termo de maior grau do
numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador”.
Exemplo 15
Encontre 
x → +∞ x → −∞
lim
x→+∞
6 −3 −4x3 x2
1−3x2
= = − 2x = −2 ⋅ x = −∞lim
x→+∞
6 −3 −4x3 x2
1−3x2
lim
x→+∞
6x3
−3x2
lim
x→+∞
lim
x→+∞
Limites envolvendo radicais
Encontre 
O limite de uma raiz enésima é a raiz enésima do limite.
Encontre 
Neste caso, é prático manipular a função de forma que as potências de x se tornem potências de 1/x. Isso pode ser obtido
dividindo-se o numerador e o denominador por |x| e usando o fato de que .
Quando , os valores de x tornam-se positivos; logo, podemos substituir |x| por x onde for conveniente. Obtemos:
Quando , os valores de x tornam-se negativos; logo, podemos substituir |x| por - x onde for conveniente. Obtemos:
Encontre 
Você precisa tratar a função como uma fração de denominador igual a 1 e, então, racionalizar o numerador.
Observação: 
lim
x→+∞
3x+8
6x−8
− −−−
√3
= = =lim
x→+∞
3x+8
6x−8
− −−−
√3 lim
x→+∞
3x+8
6x−8
− −−−−−−−−
√3 lim
x→+∞
3x
6x
− −−−−−−
√3 12√
3
lim
x→+∞
−2x2√
5x−7
= xx2
−−√ ∣∣ ∣∣
x → +∞
= = = = =lim
x→+∞
−2x2√
5x−7
lim
x→+∞
−2x2√
|x|
lim
x→+∞
5x−7
|x|
lim
x→+∞
−2x2√
x2√
lim
x→+∞
5x−7
x
lim
x→+∞
1−
2
x2
√
(5− )lim
x→+∞
7
x
(1− )lim
x→+∞
2
x2
√
5−7⋅ lim
x→+∞
1
x
1
5
x  → −∞
= = = = = −lim
x→−∞
−2x2√
5x−7
lim
x→−∞
−2x2√
|x|
lim
x→−∞
5x−7
|x|
limx→−∞
−2x2√
x2√
lim
x→−∞
5x−7
(−x)
lim
x→−∞
1−
2
x2
√
(−5+ )lim
x→−∞
7
x
(1− )lim
x→−∞
2
x2
√
−5+7⋅ lim
x→+∞
1
x
1
5
( − )lim
x→+∞
− 5x8
− −−−−√ x4
( − ) = ( − ) ⋅lim
x→+∞
− 5x8
− −−−−√ x4 lim
x→+∞
− 5x8
− −−−−√ x4
( + )−5x8√ x4
( + )−5x8√ x4
= = = = 0lim
x→+∞
( −5)−x8 x8
( + )−5x8√ x4
lim
x→+∞
−5
( + )−5x8√ x4
lim
x→+∞
−5
x4
( +1)1− 5
x8
√
lim
x→+∞
0
2
=x8
−−√ x4
Comportamento �nal de funções trigonométricas, exponenciais
e logarítmicas
Considere a função , cujo grá�co aparece no próximo grá�co. Para essa função, os limites quando e 
 deixam de existir, não porque f(x) cresça ou decresça sem cota, mas porque esses valores variam entre -1 e 1 sem se
aproximar de algum número real especí�co.
Em geral, as funções trigonométricas deixam de possuir limites quando e , por causa da periodicidade. Não
existe notação para denotar esse tipo especí�co de comportamento.
f(x) = sin(x) x → +∞
x → −∞
x → +∞ x → −∞
 Gráfico da função f(x)=sin (x). Fonte: ANTON et al.
(2007).
Para as funções exponenciais e logarítmicas:
ln x = +∞ e      = +∞lim
x→+∞
lim
x→+∞
e
x
ln x = −∞ e      = 0lim
x→∞
+
lim
x→−∞
e
x
= +∞ e      = 0lim
x→−∞
e
−x lim
x→+∞
e
−x
 Gráfico das funções f(x)=e (curva em vermelho), f(x)= e (curva em azul) e f(x)=ln(x)
(curva em verde).
x -x
Atividade
1. Considere . A resposta correta é:(1 + 2x − 3 )lim
x→+∞
x
5
a) 0
b) 1
c) +∞
d) −∞
e) – 1
2. Considere . A resposta correta é:lim
x→−∞
x−2
+2x+1x2
a) 0
b) +∞
c) −∞
d) �⁄�
e) -1
3. Considere . A resposta correta é:lim
t→−∞
5−2t3
+1t2
a) 0
b) +∞
c) -1
d) −∞
e) +1
4. Considere . A resposta correta é:( − x)lim
x→+∞
+ 3x2
− −−−−
√
a) +∞
b) −∞
c) 3
d) 3√
e) 0
5. Considere . A resposta correta é:ln( )lim
x→+∞
2
x
a) 0
b) -1
c) −∞
d) +∞
e) +1
Notas
Nota 1
Texto
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Volume 1. Porto Alegre: Artmed Editora S.A., 2007.
BROCHI, A. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de Janeiro: SESES, 2015.
FERNANDES, D. B. Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.
PANONCELI, D. M. Análise Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2017.
Próxima aula
Conceito formal de limite;
De�nição de continuidade;
Propriedades de funções contínuas;
Teorema do valor intermediário.
Explore mais
A �m de revisar tópicos importantes da matemática elementar; despertar o seu interesse no assunto aqui tratado; e, ao mesmo
tempo, demonstrar como limites são importantes no dia a dia do engenheiro, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
Expressões quadráticas e polinômios <https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-quadratics-and-
polynomials#alg-basics-adding-and-subtracting-polynomials> ;
Cálculo I – Limites – Exercícios Exemplos resolvidos indeterminação 0/0 (parte I) <https://youtu.be/OMH8AZgZIr4> ;
Cálculo I – Limites – Exercícios Exemplos resolvidos indeterminação 0/0 (parte II) <https://youtu.be/TVlgyDtg25U> ;
Cálculo I – Assíntotas verticais e horizontais <https://youtu.be/PLU6ZOgsXTQ> .
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-basics-quadratics-and-polynomials#alg-basics-adding-and-subtracting-polynomials
https://youtu.be/OMH8AZgZIr4
https://youtu.be/TVlgyDtg25U
https://youtu.be/PLU6ZOgsXTQ