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Prof. Claudio Maciel
BEM-VINDO À DISCIPLINA
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
AULA 10
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AULA 10 – Derivada de uma função 
Derivada de uma função
 
Em Física, é usada para o estudo dos movimentos. 
 
Em Economia, Administração e Logística, é usada na 
determinação de máximos e mínimos de gráficos e 
funções e no cálculo de taxas de variações.
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AULA 10 – Derivada de uma função 
Taxa Média de Variação de uma função (TMV)
Mede a variação de uma função f em relação à variação de x (de x0 a x1)
Ref: Professor Eduardo Matera
AULA 10
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AULA 10 – Derivada de uma função - Exemplo 
Exemplo 1:
Calcular e interpretar o valor da taxa média de variação da função 
y = x2 + 1 no intervalo [1, 3].
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AULA 10 – Derivada de uma função - Exemplo 
AULA 10
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AULA 10 – Derivada de uma função - Exemplo 
Exemplo 2:
Calcule a T.M.V. da função y = 2x + 5 
no intervalo [-3, 3]
Pela regra da TMV, temos:
2
Nesse caso, concluímos que não houve variação média, já que o valor da TMV foi zero.
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AULA 10 – Derivada de uma função 
Uma função y = f(x) tem como derivada, a representação y’.
As regras de derivação são bem simples:
 
- de constante: é sempre igual a zero: y = 5  y’ = 0
 
- de potência: a potência vira multiplicador e subtrai-se 1 da potência: 
	
 - de soma ou subtração: y = f + g  y’ = f’ + g’ 
 
- de produto: y = f . g  y’ = f’ . g + f . g’
 
 de quociente: y =  y’ = 
= 
g
f’ . g – f . g’
2
x = 2 x
2
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AULA 10 – Derivada de uma função 
y = 2x5  y’ = 5.2x4 = 10x4 
 
y = 7  y’ = 7 . (x1/2)’ = 7. (1/2) . (x -1/2) = 7/2
 
y = 3x 5 + 2x4  y’ = (5) . (3x4) + (4) . (2x3) = 15x4 + 8x3
 
y = 5x  y’ = 5
 
y = 5  y’ = 0
 
y = 8x4 – 7x3 + 2x2 – 2x + 11  y’ = 32x3 – 21x2 + 4x – 2
= 
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 1
Calcular o valor da derivada de y = 3x2 + 10x – 50 
no ponto x = 0,8 e interprete o resultado obtido.
 
Solução:
 Cálculo da função derivada: y’= 6x + 10
 
Cálculo do valor da função derivada no ponto x = 0,8:
y’ (0,8) = 6 (0,8) + 10 = 14,8
 
Interpretação: 
no ponto x = 0,8 a tendência da função y = 3x2 + 10x – 50 é crescer 14,8.
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 2
Se o custo de um produto em função da quantidade produzida é dado por: CT = q3 – 3q2 + 100q + 1000 , calcular a tendência à variação do custo para as 50 unidades, ou seja, q = 50.
 
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 2
 Solução:
 Cálculo da derivada. CT = q – 3q + 100q + 1000 
 CT’ = 3q2 – 6q + 100
 
A tendência para q = 50: CT’(50) = 3(50)2 –6(50) + 100 = 7.300
 O valor do custo para q = 50: 
CT(50) = (50)3 –3(50)2 + 100(50) + 1.000 = 123.500
 A tendência será: 
CT’ (50) / CT (50) = 7.300 / 123.500 = 5,91%
2
3
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 3
Derivada do Produto de duas funções: y = f(x) . g(x)
 
y = f . g  y’ = f’ . g + f . g’
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 3
Calcular a derivada da função y = (x + 1) . (x – 3x)
f(x) = x + 1 ; g(x) = x – 3x
f’(x) = 1 ; g’(x) = 2x – 3
y’ = (x+1)’ . (x –3x) + (x + 1) . (x – 3x)’ 
y’ = (x – 3x) + (x + 1) . (2x – 3)
y’ = x – 3x + 2x + 2x – 3x – 3 = 3x – 4x – 3
2
2
2
2
2
2
2
2
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AULA 10 – Derivada em um Ponto – Exemplo 4
Derivada do quociente de duas funções:
 
 Calcular a derivada da função y = ; –1
 
f(x) = x  f’(x) = 1 
g(x) = x + 1  g’(x) = 1
  
y’ = 
 g
f’ . g – f . g’
2
 
(x + 1) – x 
2
(x + 1)
=
 
1 
2
(x + 1)
x
(x + 1)
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AULA 10 – Derivada de uma função – Exemplo 6 
= 
Calcular a derivada da função
 
f(x) = 5x  f’(x) = 5 
g(x) = x2 + 4  g’(x) = 2x
 
y = f / g  y’ = (f’ . g – f . g’) / g2
 
(f/g)’ = [(5) (x2 + 4) – (5x) (2x)] / (x2 + 4)2 
= (5x2 + 20 – 10x2) / (x2 + 4)2
= (20 – 5x2) / (x2 + 4)2
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AULA 10 – Exercícios
= 
Calcular o valor da derivada da função 
y = –0,5x - 6x + 5, no ponto x= – 5 e interpretar o resultado obtido. 
Resposta: 
y’= -1 ; no ponto x = – 5 
a tendência da função é crescer 1 unidade.
 
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AULA 10 – Exercícios
= 
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AULA 10 – Exercícios
= 
 
Calcular o valor da derivada da função 
y = - 3x + x + 2 
no ponto x = 3 e interpretar o resultado obtido. 
Resp: y’ = -17 
no ponto x = 2 a tendência da função é decrescer 17 unidades.
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