IF67B C71 aula18

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IF71B-C71 - Inteligeˆncia Artificial
Aula 18 - Lo´gica Fuzzy
Profa. Dra. Priscila T iemi çaeda Saito
k psaito@utfpr.edu.br
2o Semestre 2016
13/10/16
Roteiro
1 Lo´gica Fuzzy
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Lo´gica Cla´ssica
Booleana, bina´ria
Utilizac¸a˜o de valores definidos
I verdadeiro, falso
I 0, 1
I sim, na˜o
I ...
Problemas
I imprecisa˜o do mundo real
I dificuldade de modelagem
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Lo´gica Fuzzy
Rompimento com a rigidez da lo´gica cla´ssica
I utilizac¸a˜o de valores intermedia´rios entre os dois extremos
F {0,1} → [0,1]
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Lo´gica Fuzzy
Caracter´ısticas
Intenso uso de palavras ao inve´s de nu´meros
I termos lingu´ısticos: frio, quente, morno, alto, longe, ligeiro, devagar,
lento, ...
Modificadores de predicado
I muito ra´pido, pouco elevado, mais ou menos, ...
Mapeamento em pertineˆncia entre 0 e 1
I ex.: x pertence ao conjunto A com um valor de pertineˆncia entre 0
(na˜o pertence) e 1 (pertence totalmente)
I na˜o e´ uma probabilidade, mas sim um grau de pertineˆncia
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Lo´gica Fuzzy
Lo´gica Fuzzy x Probabilidade
Lo´gica Fuzzy → lidar com eventos que tenham um grau de
pertineˆncia em (possivelmente mais de) um conjunto
Probabilidade → descobrir se um evento vai acontecer ou na˜o
Escolha entre duas garrafas:
1 ro´tulo diz que seu l´ıquido pertence com grau 90% ao conjunto das
a´guas pota´veis e 10% ao conjunto dos venenos
2 ro´tulo diz que tem 90% de chance de ser a´gua pota´vel e 10% de
chance de ser veneno
Primeira → a´gua da lagoa de Imboassica ou Coca Cola
Segunda → 10% de chance de morrer, pois e´ a chance do l´ıquido ser um
veneno puro
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Lo´gica Fuzzy
Vantagens
I poucas regras, valores e deciso˜es
I observac¸a˜o de um maior nu´mero de varia´veis
I sua utilizac¸a˜o simplifica a soluc¸a˜o de problemas
I fa´cil implementac¸a˜o
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Lo´gica Fuzzy
Conjuntos Fuzzy
Lo´gica cla´ssica: elemento pertence ou na˜o a um conjunto
I conjunto → “alto”
I ex.: Joa˜o e´ alto / Joa˜o e´ na˜o alto
Lo´gica fuzzy: elemento pertence, na˜o pertence ou esta´ parcialmente
presente em um conjunto
I ex.: Joa˜o e´ um pouco alto
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Lo´gica Fuzzy
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Lo´gica Fuzzy
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Lo´gica Fuzzy
Valores Crisp e Fuzzy
Valor Crisp → nu´mero preciso que representa o estado exato de um
fenoˆmeno associado
I ex.: leopardos podem acelerar de 0 a 110 kph em 3 segundos. Um carro
da marca Lamborghini pode acelerar de 0 a 100 kph em 4 segundos!
Valor Fuzzy → termo amb´ıguo que pode caracterizar um fenoˆmeno
impreciso ou na˜o completamente compreendido
I leopardos correm muito ra´pido
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Lo´gica Fuzzy
Pertineˆncia em conjuntos fuzzy
Conjuntos crisp → um elemento x no universo de discurso X ou e´
ou na˜o e´ um membro do conjunto A no universo
XA(x) =
{
0, /∈ A
1, ∈ A (1)
XA(x)→ indicac¸a˜o na˜o amb´ıgua da pertineˆncia do elemento x no
conjunto A
Conjuntos fuzzy → permitem diversos graus de pertineˆncia
I intervalo real (cont´ınuo) [0,1]
I pontos extremos correspondem respectivamente a “na˜o pertineˆncia” e
“pertineˆncia total”
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Lo´gica Fuzzy
Representac¸a˜o de conjuntos fuzzy
conjuntos fuzzy discretos
I representados por vetores contendo pares ordenados
I cada par consiste em um elemento do universo de discurso e um grau
de pertineˆncia
X = {1, 2, 3, 4} universo de discurso
A = (1/0,3; 2/0,8; 3/1,0; 4/0,3)
Outra representac¸a˜o: A=1/0,3 + 2/0,8 + 3/1 + 4/0,3
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Lo´gica Fuzzy
Representac¸a˜o de conjuntos fuzzy
conjuntos fuzzy cont´ınuos
I sa˜o representados por uma func¸a˜o cont´ınua de pertineˆncia
mA(x) =

1, para x ≤ 10
2− x/10, para 10 < x ≤ 20
0, para x > 20
(2)
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Lo´gica Fuzzy
Definic¸a˜o Formal
Um conjunto fuzzy A em X e´ expresso como um conjunto de pares
ordenados
A = {(x ,mA(x))|x ∈ X}
A → conjunto fuzzy
mA(x)→ func¸a˜o de pertineˆncia (MF)
X → universo ou universo de discurso
Um conjunto fuzzy e´ totalmente caracterizado por sua func¸a˜o de
pertineˆncia (MF)
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Lo´gica Fuzzy
Fuzificac¸a˜o
Valores crisp → fuzificac¸a˜o → valores fuzzy
Func¸a˜o de pertineˆncia mA
I caracteriza o conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X
I mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1]
mA → [0, 1]
I associa a cada elemento x pertencente a X um nu´mero real mA(x) no
intervalo [0,1]
F representa o grau de possibilidade de que o elemento x venha a
pertencer ao conjunto A, o quanto e´ poss´ıvel para o elemento x
pertencer ao conjunto A
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Lo´gica Fuzzy
Fuzificac¸a˜o
Valores crisp → fuzificac¸a˜o → valores fuzzy
Func¸a˜o de pertineˆncia
I ex.: temperatura, x=37 (valor crisp)
I conjunto fuzzy = frio, morno, quente
I mT(x) → func¸a˜o de pertineˆncia de x em T
I mT(37) = 0.2/frio, 0.4/morno, 0.8/quente
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Lo´gica Fuzzy
Func¸a˜o de Pertineˆncia
mt(23) a mt(27) = 1
I temperatura ambiente
mt(21) ou mt(29)
I temperatura quase ambiente
mt(0) ou mt(50)
I temperatura na˜o ambiente
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Lo´gica Fuzzy
Func¸a˜o de Pertineˆncia
T(velocidade) = {lenta, me´dia, ra´pida}
Varia´vel lingu´ıstica = velocidade
Termos (conj. fuzzy) = lenta, me´dia, ra´pida
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Lo´gica Fuzzy
Func¸a˜o de Pertineˆncia
Como definimos uma func¸a˜o de pertineˆncia?
I exemplo: um jo´quei de 1m60 e´ alto?
F para a maioria dos homens, 1m60 na˜o pode ser considerado alto, logo a
pertineˆncia da altura do jo´quei deveria ser 0
F para jo´queis, entretanto, 1m60 e´ bastante alto, logo a pertineˆncia desta
altura deveria ficar entre 0,75 e 1
Diferentes pessoas, ou grupos de pessoas, podem definir func¸o˜es de
pertineˆncia (para um mesmo conjunto) de forma diferente
Como estabelecer uma func¸a˜o de pertineˆncia consistente?
I podemos usar uma distribuic¸a˜o estat´ıstica: obter 100 pessoas e
considerar os 50% maiores como sendo altos
I outra opc¸a˜o: perguntar para 100 pessoas o que elas acham e calcular a
me´dia
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Lo´gica Fuzzy
Func¸a˜o de Pertineˆncia
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Lo´gica Fuzzy
Operac¸o˜es com Conjuntos Fuzzy
A e B → conjuntos fuzzy
mA(x) ∪ mB(x) = max{mA(x), mB(x)}
mA(x) ∩ mB(x) = min{mA(x), mB(x)}
mcA(x) = 1 - mA(x)
Varia´vel x = 1, 2, 3
Conjunto A = 0.3/1 + 0.5/2 + 0.8/3
Conjunto B = 0.1/1 + 0.7/2 + 0.6/3
A ∪ B = ?
A ∩ B = ?
cA = ?
A ∪ B = 0.3/1 + 0.7/2 + 0.8/3
A ∩ B = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3
cA = 0.7/1 + 0.5/2 + 0.2/3
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Lo´gica Fuzzy
Operac¸o˜es com Conjuntos Fuzzy
A e B → conjuntos fuzzy
mA(x) ∪ mB(x) = max{mA(x), mB(x)}
mA(x) ∩ mB(x) = min{mA(x), mB(x)}
mcA(x) = 1 - mA(x)
Varia´vel x = 1, 2, 3
Conjunto A = 0.3/1 + 0.5/2 + 0.8/3
Conjunto B = 0.1/1 + 0.7/2 + 0.6/3
A ∪ B = 0.3/1 + 0.7/2 + 0.8/3
A ∩ B = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3
cA = 0.7/1 + 0.5/2 + 0.2/3
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Lo´gica Fuzzy
Operac¸o˜es com Conjuntos Fuzzy
A e B → conjuntos fuzzy
mA(x) ∪ mB(x) = max{mA(x), mB(x)}
mA(x) ∩ mB(x) = min{mA(x), mB(x)}
mcA(x) = 1 - mA(x)
Varia´vel x = 1, 2, 3
Conjunto A = 0.3/1 + 0.5/2 + 0.8/3
Conjunto B = 0.1/1 + 0.7/2 + 0.6/3
A ∪ B = 0.3/1 + 0.7/2 + 0.8/3
A ∩ B = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3
cA = 0.7/1 + 0.5/2 + 0.2/3
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Lo´gica Fuzzy
Operac¸o˜es com Conjuntos Fuzzy
A e B → conjuntos fuzzy
mA(x) ∪ mB(x) = max{mA(x), mB(x)}
mA(x) ∩ mB(x) = min{mA(x), mB(x)}
mcA(x) = 1 - mA(x)
Varia´vel x = 1, 2, 3
Conjunto A = 0.3/1 + 0.5/2 + 0.8/3
Conjunto B = 0.1/1 + 0.7/2 + 0.6/3
A ∪ B = 0.3/1 + 0.7/2 + 0.8/3
A ∩ B = 0.1/1 + 0.5/2 + 0.6/3
cA = 0.7/1 + 0.5/2 + 0.2/3
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Lo´gica Fuzzy
Lo´gica Fuzzy → generalizac¸a˜o da lo´gica booleana
E´ razoa´vel e u´til que a lo´gica booleana esteja inclu´ıda na lo´gica fuzzy
Se x e y forem valores crisp (0 ou 1), enta˜o a lo´gica fuzzy se reduz a`
lo´gica booleana
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Lo´gica Fuzzy
Operac¸o˜es com Conjuntos Fuzzy
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Lo´gica Fuzzy
Relac¸o˜es Fuzzy
Dados os universos X e Y, a relac¸a˜o R definida em X x Y representa o
grau da associac¸a˜o entre elementos de dois (ou mais) conjuntos fuzzy
X = {x1, x2} = {Fortaleza, Floriano´polis}
Y = {y1, y2, y3} = {Porto Alegre, Criciu´ma, Curitiba}
R = “muito pro´xima”
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Lo´gica Fuzzy
Relac¸o˜es Fuzzy
y1 y2 y3
Porto Alegre Criciu´ma Curitiba
x1 Fortaleza 0 0 0
x2 Floriano´polis 1 1 1
y1 y2 y3
Porto Alegre Criciu´ma Curitiba
x1 Fortaleza 0.1 0.2 0.3
x2 Floriano´polis 0.8 1 0.8
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Lo´gica Fuzzy
Composic¸a˜o de Relac¸o˜es
Representa um papel muito importante em sistemas de infereˆncia
fuzzy
Caso na˜o-fuzzy: dadas as relac¸o˜es na˜o fuzzy P(X,Y) e Q(Y,Z) que
teˆm um conjunto (Y) em comum
Composic¸a˜o das duas relac¸o˜es e´ denotada por R(X,Z) = P(X,Y) ·
Q(Y,Z)
max-min
fR(x , z) = fP.Q(x , z) = {(x , z),max [min(fP(x , y), fQ(y , z))]}
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Lo´gica Fuzzy
Composic¸a˜o de Relac¸o˜es Fuzzy
Faz-se uma generalizac¸a˜o do caso na˜o-fuzzy
Estudantes:
I X = {Maria, Joa˜o, Pedro}
Caracter´ısticas de cursos
I Y = {teoria, aplicac¸a˜o, hardware, programac¸a˜o}
Cursos
I Z = {lo´gica fuzzy, controle fuzzy, redes neurais, sistemas especialistas}
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Lo´gica Fuzzy
Composic¸a˜o de Relac¸o˜es Fuzzy
Interesse dos estudantes, em termos das caracter´ısticas dos cursos
Caracter´ısticas dos cursos
Composic¸a˜o (max-min) pode servir de aux´ılio aos estudantes na
escolha dos cursos
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Sistemas Fuzzy
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Sistemas Fuzzy
Fuzificac¸a˜o
Valores nume´ricos sa˜o transformados em graus de pertineˆncia para
um valor lingu´ıstico
Cada valor de entrada tera´ um grau de pertineˆncia em cada um dos
conjuntos fuzzy
O tipo e a quantidade de func¸o˜es de pertineˆncia usados em um
sistema dependem de alguns fatores
I precisa˜o, estabilidade, facilidade de implementac¸a˜o, ...
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Lo´gica Fuzzy
Regras Fuzzy
Formam a base de conhecimento
IF x e´ A THEN y e´ B ou A =⇒ B
(antecedente) (consequente)
IF pressa˜o e´ alta THEN volume e´ pequeno
IF temperatura > 50 THEN velocidade de ventilador = ra´pida
IF altura = alta THEN comprimento da calc¸a = longo
IF tempo de estudo = curto THEN notas = baixas
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Lo´gica Fuzzy - Infereˆncia
Infereˆncia
I procedimento para se chegar a concluso˜es a partir de regras IF-THEN
(“racioc´ınio”fuzzy)
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Lo´gica Fuzzy - Infereˆncia - Exemplo
Controle fuzzy de frenagem
I Entradas ⇒ velocidade, distaˆncia
I Sa´ıda (controle) ⇒ intensidade da frenagem
Regra 1: IF a distaˆncia entre os dois carros e´ curta e a velocidade do
carro e´ alta, THEN a frenagem e´ forte
Regra 2: IF a distaˆncia entre os dois carros e´ moderadamente longa
e a velocidade do carro e´ alta, THEN a frenagem e´ moderadamente
forte
Regra 1: IF x1 = S e x2 = H, THEN Y = L
Regra 2: IF x1 = M e x2 = H, THEN Y = M
distaˆncia entre os carros: x1
intensidade da frenagem: Y
labels (pequeno, me´dio, grande): S, M, L
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Lo´gica Fuzzy - Infereˆncia - Exemplo
R1: IF a distaˆncia entre os dois carros e´ curta e a velocidade do carro e´ alta,
THEN a frenagem e´ forte
R2: IF a distaˆncia entre os dois carros e´ moderadamente longa e a velocidade
do carro e´ alta, THEN a frenagem e´ moderadamente forte
Grau de pertineˆncia das entradas
I mapeamento da distaˆncia e velocidade no intervalo de 0 a 1 para cada
conjunto fuzzy ⇒ uso das func¸o˜es de pertineˆncia
conjunto S (distaˆncia curta) = 0.4, para uma distaˆncia de 30m
conjunto H (velocidade alta) = 0.2, para uma velocidade de 40km/h
Grau de pertineˆncia da parte antecedente
I operac¸o˜es com as varia´veis
I ex.: determinac¸a˜o do m´ınimo (MIN)
distaˆncia curta (0.4) E velocidade alta (0.2) = 0.2 (MIN)
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Lo´gica Fuzzy
Ajuste da parte consequente
I operadores de implicac¸a˜o (Mandani, Larsen)
I concluso˜es de cada regra
Determinac¸a˜o da quantidade de controle (intensidade da frenagem)
I combinac¸a˜o das concluso˜es de todas as regras
F determinac¸a˜o do ma´ximo (MAX)
R1 = 0.2
R2 = 0.6
Conclusa˜o = 0.6
I “defuzificac¸a˜o” (sa´ıda em forma de valores crisp)
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Lo´gica Fuzzy
Defuzificac¸a˜o
me´todo do ma´ximo crite´rio (MAX)
me´todo da me´dia dos ma´ximos (MOM)
me´todo do centro de massa (COA)
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Lo´gica Fuzzy
Projeto de um sistema fuzzy
I selec¸a˜o das varia´veis de entrada e sa´ıda
I definic¸a˜o das regras e conjuntos fuzzy
I mecanismo de infereˆncia (MIN-MAX)
I escolha da estrate´gia de defuzificac¸a˜o
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Exemplo de Aplicac¸a˜o
Classificac¸a˜o
Classe pH L* CRA
PSE < 6 > 5 > 5
RSE < 6 42− 50 > 5
RFN < 6 42− 50 < 5
DFD ≥ 6 < 42 < 5
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Exemplo de Aplicac¸a˜o
Classificac¸a˜o
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Lo´gica Fuzzy
Softwares para aux´ılio ao projeto e implementac¸a˜o de sistemas
fuzzyFuzzy Toolbox do Matlab
NEFCON, NEFCLASS, NEFPROX
I fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/
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	Lógica Fuzzy