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1a Lista de Exercícios 1) Com base na figura, sobre os vetores 2) Com base na figura abaixo, escreva o vetor 3) Verdadeiro ou falso? Para as falsas dê um contraexemplo. a) Se vu então vu . b) Se v // u então vu . c) Se v u w então uw d) DCAB ABCD é paralelogramo. h) i) v3 4) Dados os vetores )1,3( u e v EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Curso: Engenharias Professores: Equipe de Matem 1 Lista de Exercícios – Vetores – 2017.1 vetores coloque Verdadeiro ou Falso: escreva o vetor x em função de u , v , w , t e Para as falsas dê um contraexemplo. . e) Se vu então vu . . f) Se vu então v // u . vu . g) Se vuw então e u, w é paralelogramo. h) u5u5u5 v e v4 são paralelos e de mesmo sentido. )2 ,1( , determine o vetor w tal que 3 2 u a) AB = GH = LJ b) LM, GH e FA são coplanares. c) LE, JI e IH são coplanares. d) (BC + CI + IB) e MF são coplanares. e) GM e 2AH são coplanares. f) FA, FE e FM não são coplanares. g) FA é oposto a JL. h) ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares i) F = E + LM j) H = I + LM ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear de Matemática e s : v e são paralelos. são paralelos e de mesmo sentido. 2 )(2 2 1 uvwvu LM, GH e FA são coplanares. LE, JI e IH são coplanares. e MF são coplanares. coplanares. FA, FE e FM não são coplanares. ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares. 5) (G1 - cftce 2007) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos B e B - A e desenhe-os nessa sequência 6) Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3, a) Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) representante do vetor v , com origem no ponto A b) Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. 7) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B( a) determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. 8) Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, d módulo e a representação da força algebricamente): a) O eloda figura está submetido as forças F Dados: considere 41,1273,13 e b) Dados: considere 2;7,13 *Elo (Designação de cada uma argola que faz conexão entre a peça e os cabos ou 9) Considere os vetores jiu 23 a) wvu 32 b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. d) O versor de b , onde b é paralelo a 10) Num paralelogramo ABCD sabe (−2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. 2 Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos A + B, A os nessa sequência. Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3,-2) e o vetor ABv . Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) , com origem no ponto A1 (-3,1), indicando o ponto B Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):Represente o triângulo determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, d módulo e a representação da força resultante do sistema abaixo em cada caso O eloda figura está submetido as forças F1 e F2. 41 . 70cos;3,020;9,020cos;4,1 000 sen que faz conexão entre a peça e os cabos ou com outras argolas) k2 ; kjiv 22 e jiw 52 . Determine: As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e u = AB coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. é paralelo a v . Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são Calcule as coordenadas dos outros três vértices. Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e deslocamentos A + B, A - Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) ABv e um 3,1), indicando o ponto B1 tal que 11BAv . Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um no plano cartesiano. b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, determine o em cada caso(Geometricamente e 9,0703,0 0 sene outras argolas) . Determine: coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. 2) e que as diagonais sãoܣܥሬሬሬሬሬԦ = (4,2, – 3) e ܤܦሬሬሬሬሬሬԦ = 3 11) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). 12) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles formam alguma figura. Em caso afirmativo, qual? b) o ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD . 13) Considere os vetores )2,0,1( v ; kiu 34 ; kjiw 32 e kjis 2 2 15 . Determine: 14) Sabendo que | u | = 3, | v | = 2 e 1 vu , calcule: a) uvu ).2( b) )u4v) . (vu( c) )2).(2( vuv d) )uv) . (vu( 15) Calcular: a) vu , b) vu , sabendo que 4u e 3v e o ângulo entre u e v é de 60º 16) Determinar o vetor u tal que 2u ,o ângulo entre u e v = (1, -1, 0) é 45º e u é ortogonala w = (1,1,0). 17) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores u = (1, -2, 1) e v = (-2, 1, m + 1). 18) Determine o que se pede: a) os ângulos diretores de v=(1,-1,0); b) os ângulos diretores de um vetor são α, 45° e 60°. Determine α; c) calcule o vetor u sendo ),(,0),cos(, 2 2),cos( kujuiu é obtuso e |u|=5. 19) Calcular o valor dempara que o vetor ሬܷሬԦ + ሬܸԦseja ortogonal ao vetor ሬܹሬሬԦ – ሬܷሬԦ, sendo ሬܷሬԦ= (2, 1, m), ሬܸԦ = (m+2, -5, 2) e ሬܹሬሬԦ = (2m, 8, m). 20) Dados os vetores jiu kj2iv , determine: a) vu ; b) um vetor unitário ortogonal a u e a v ; c) área do triângulo ABC, sendo u = AB e v = AC 4 21) De um triângulo ABC sabemos que | AB | = 2 , | AC | = 3 e AB . AC = 33 . Determine a área desse triângulo. 22) Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) a) mostre que AC AB . b) verifique se o triângulo ABC é isósceles. 23) Determinar o vetor v , sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)72.( kjiv . 24) Dados os vetores1v =(0,1,1), 2v =(2,0,0) e 3v =(0,2,3).Determine um vetor v , tal que 3// vv e 21 vvxv . 25) Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e osen ( AB , AD ). 26) Dados os vetores u =(1,1,1) e v =(2,3,4), calcular: a) a área do paralelogramo determinado por u e v ; b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u . 27) Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetorܯܪሬሬሬሬሬሬሬԦ, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. 28) De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e AC o = 2/2,0,2/2 . Determine a altura do triângulo ABC em relação à base AC. 29) Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. 30) Do cubo a abaixo, sabemos que: A (2,1,0), B(2,4,0) e ܣܦሬሬሬሬሬԦ = (0,0,3). Determine as coordenadas: a) Do vetor ACሬሬሬሬሬԦ; b) Do ponto E; c) Do vetor projeção ܧFሬሬሬሬሬԦ sobre ܧܩሬሬሬሬሬԦ. 31) Na figura ao lado, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P. 32) Do cubo ao lado, sabemos que A(2,1,0), B(2,4,0) e ܣܦሬሬሬሬሬԦ = (0,0,1) 5 33) Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 34) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que ABAM 2 1 e ABAN 3 2 . Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que ABAP 2 3 . Questões Fechadas 1) Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e 2) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. 3) (Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero são dados os vetores Ԧܽ, ݓሬሬԦ ݁ ݒԦ. 4) (Unifesp 2002) Na figura, a) zero b) 20 c) 1 d) 2 e) 52 6 Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor = Ԧܽ − ݓሬሬԦ + ݒԦtem módulo: a) 2uc, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2uc, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4uc, e sua orientação é horizontal, para a direita. d)√2uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário. e) √2uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário. 5) (PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de: a) 14700 m e 700 m b) 7350 m e 700 m c) 700 m e 14700 m d) 700 m e 7350 m e) 14700 m e 500 m 6) Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é uma grandeza definida pelo produto vetorial, representado , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é Fr , onde r é a distância do ponto de aplicação da força F ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo assim, se uma força vetorial dada por kF 3 newtons é aplicada em uma barra, onde ܣܤሬሬሬሬሬԦ = ݎԦ = (0,2,0), ao longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra no deslocamento d , é: a) (-6 k ) mN b) 6 mN c) (6 i ) mN d) 2 mN e) -(6 i ) mN 7) Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere sen530=0,8 e cos530=0,6 e |F1|=|F2|=10N. 8) Grandezas vetoriais são grandezas que precisam de módulo, direção e sentido para serem definidas, por exemplo força, velocidade e aceleração. Considere as afirmações e de acordo com a teoria de vetores analise as afirmativas dadas para os vetores ݑሬԦ ݁ ݒԦ: 7 I) Se u=v, então |u| =|v| II) Os vetores 2u e -4u são paralelos de mesmo sentido. III) u x v =0 então u é ortogonal a v IV) Se ݑሬԦ = ܣܤሬሬሬሬሬԦ então ܤ = ܣ + ݑሬԦ 9) Se u = (1,2), v = (-2, 5) e w = (x, y) são vetores de R2, então para que w = 3u – v, x + y deve ser igual a: a) 2 b) 6 c) 0 d) 12 e) 18 10) Considere os vetores u e v unitários, tais que o produto escalar u.v = -1, a soma u + v será o vetor: a) Unitário b) De módulo 2 c) Nulo d) - u e) Igual à diferença u - v Respostas: 1) 2) tvwsx 3 ) 4) 3 2,12w ; 5) |A+B| = m38 ; |A - B| = |B - A| = 8 m Observe a figura a seguir: 6) a) A1(-3, 1); b) D(3, -4); B1(-3, 3)7) a) Isósceles; b) |AM| = 2√2ݑܿ 8) a) NFr 630 b) NFr 1,707 9) a) (-6, 8, -2); b) (2,-3,-4); c) (3/2, -3/2, 1); d) ሬܾԦ = ቀଶ ଷ , ଵ ଷ , ିଶ ଷ ቁ ݑ ሬܾԦ = ቀିଶ ଷ , ିଵ ଷ , ଶ ଷ ቁ 10) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3); 11) -1 e 13/512) a) Paralelogramo b) 21 21arccos ; 13) a) u . v = -10 e u . w = 0b) | u | = 5uc e u o = (-4/5, 0, 3/5); c) (u , v) = arccos (ିଶ√ହ ହ ) e (u , w) = 900 d) ( -2, 0, 4); e) (-4/5, 0, 3/5);f) (-36/5, 0, 27/5); g) (4, -1, 2) ou (-4,1,-2)h) (-4/5, 0,3/5) i) ቀି ସ√ହ ଵହ , √ହ ଷ , ିଶ√ହ ଵହ ቁ ݑ ቀ ସ√ହ ଵହ , ି√ହ ଷ , ଶ√ହ ଵହ ቁj) 5/2 ua. 14) a) 11 b) -29 c) -18 d) 13; 15) a) √37ݑܿ b)√13ݑܿ16)ݑሬԦ = ൫1, −1, ∓√2൯ 17) m = 0 ou m = -18 18)ܽ) ߙ = 45, ߚ = 135 ݁ ߛ = 90; ܾ) 60 ݑ 120; ܿ) ݑሬԦ = ቀହ√ଶ ଶ , 0, ିହ√ଶ ଶ ቁ19) -6 ou 3 a b c d e f g h i j F V F V V V V V F V a b c d e f g h i V F F F F V V V F 8 20) a) (1, -1, -3); b) ቀ√ଵଵ ଵଵ , ି√ଵଵ ଵଵ , ଷ√ଵଵ ଵଵ ቁ; c) ܣ௧ = √ଵଵ ଶ ݑܽ; 21)ܣ௧ = ଷ ଶ ݑܽ 22) b) sim 23) ݒԦ = (7, 5, 1)24) ݒԦ = (0, 4, −6) 25) D = (0, 4, 2) 26) a) ܣ = √6ݑܽ b) √2ݑܿ27) (2,2,1); 28) √ଶଶ ଶ ݑܿ 29) ݒԦ = ቀଶ ଷ , ଵ ଷ , ଵ ଷ ቁ 30) a) (2, 4, 3); b) (5, 1, 0); c) (0, -6, -6) 31) a) (2, 4, 0); b) (2, 0, 3); c) (0, 4, 3); p) (2, 4, 3); o) (0, 0, 0) 32)a) (0, 3, 3); b) (5, 1, 0); c) (3, 2, 0) 33) y ± 234)ܯሬሬԦ = (1, 0); ሬܰሬԦ = ቀ ଷ , ିଶ ଷ ቁ Questões Fechadas ...Ainda que eu falasse A língua dos homens E falasse a língua dos anjos Sem amor eu nada seria... (I cor – 13,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e d b b e c b c b c
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