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LISTA DE EXERCI´CIOS MAT011
Livro-texto: Nathan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes - Uma
introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear. 4a edic¸a˜o . Editora Thomson. 2007.
Auxiliar: Boulos, P., Camargo, I. Geometria Anal´ıtica, um tratamento
vetorial. 3a Edic¸a˜o. Editora Pearson. 2005
1 7a Lista 2a Prova
Cap´ıtulo V - Nathan
1.1 Sec¸a˜o 5.3 - Matrizes
Questa˜o 1. (1 - Nathan) Sejam
A =
1 2 30 1 3
2 0 1
 , B =
0 −1 31 0 1
2 1 −2

(a) Calcule A + BT , AT + B, A + AT , B −BT .
(b) Explique porque a penu´ltima matriz da lista acima e´ sime´trica e porque a
u´ltima e´ anti-sime´trica. Ou, mais geralmente, mostre que se A e´ qualquer
matriz quadrada n × n, enta˜o a matriz A + AT e´ sime´trica e a matriz
A− AT e´ anti-sime´trica.
(c) Calcule A + B, A−B, 2A + 3B, 2A− 3B.
Questa˜o 2. (2 - Nathan) Se A,B,C sa˜o matrizes m× n e x e´ um escalar,
explique porque valem as seguintes identidades.
(a) (A + B)T = AT + BT
(b) (xA)T = xAT
(c) (AT )T = A
Questa˜o 3. (3 - Nathan) Demonstre que a u´nica matriz quadrada n×n que
e´ sime´trica e anti-sime´trica, ao mesmo tempo, e´ a matriz nula n× n.
1
1.2 Sec¸a˜o 5.4 - Produto de matrizes
Questa˜o 4. (1 - Nathan) Em cada um dos casos a seguir, calcule (AB)C e
A(BC).
(a)
A =
(
1 0
0 0
)
, B =
(
0 0
1 0
)
, C =
(
0 1
0 0
)
(b)
A =
(
1 0 1
0 −1 1
)
, B =
1 00 0
0 1
 , C = (0
1
)
(c)
A =
(
1 0 0
0 0 1
)
, B =
0 1 01 0 0
0 1 1
 , C =
0 0 00 1 0
1 0 0

Questa˜o 5. (4 - Nathan) Se
A =
(
1 2
3 −1
)
, B =
(
2 0
1 1
)
,
mostre que AB 6= BA
Questa˜o 6. (7 - Nathan) Sejam A,B,C matrizes m× n, n× p e p× q, res-
pectivamente. Usando os resultados expostos em aula, mostre que (ABC)T =
CTBTAT , e verifique que as ordens das matrizes nesta identidade sa˜o com-
pat´ıveis.
Questa˜o 7. (9 - Nathan) Seja
A =
0 1 10 0 1
0 0 0
 .
Calcule A2 e A3. O que pode-se dizer sobre este resultado quando A e´ uma
matriz tambe´m triangular superior 4× 4?
Questa˜o 8. (11 - Nathan) Sejam A e B matrizes invert´ıveis n × n. SEM
USAR AS COORDENADAS DAS MATRIZES, mostre os seguintes fatos.
(a) A−1 tambe´m e´ invert´ıvel, e (A−1)−1 = A.
2
(b) AB tambe´m e´ invert´ıvel, e (AB)−1 = B−1A−1.
(c) AT tambe´m e´ invert´ıvel, e (AT )−1 = (A−1)T .
Questa˜o 9. (13 - Nathan) Seja D uma matriz n × n diagonal, ou seja,
Dij = 0 sempre que i 6= j. Suponha que nenhum termo da diagonal seja
nulo, isto e´: Dii 6= 0, i = 1, · · · , n. Mostre que D e´ invert´ıvel e encontre sua
inversa (pense no caso 2× 2 primeiro).
Questa˜o 10. (15 - Nathan) Seja A uma matriz n×n tal que Ak = Idn, para
algum k > 0. Mostre que A e´ invert´ıvel e encontre sua inversa.
Questa˜o 11. (17 - Nathan) Sejam A e B matrizes n × n e x um escalar.
Mostre que
(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B).
(b) Tr (xA) = xTr (A).
(c) Tr (AB) = Tr (BA).
(d) Se B e´ invert´ıvel, enta˜o Tr (B−1AB) = Tr (A).
Questa˜o 12. (19 - Nathan) Considere a equac¸a˜o matricial
AB −BA = Idn,
onde A e B sa˜o matrizes n × n. Tomando o trac¸o desta equac¸a˜o e usando
o exerc´ıcio anterior, mostre que na˜o existem matrizes A e B que resolvem
esta equac¸a˜o.
Questa˜o 13. Mostre que a matriz
A =
(
a b
c d
)
e´ invert´ıvel, exatamente no caso em que det(A) = ad − bc 6= 0, sendo sua
inversa dada por
A−1 =
1
det(A)
(
d −b
−c a
)
Questa˜o 14. Se
A−1 =
(
3 2
1 3
)
, B−1 =
(
2 5
3 −2
)
,
encontre as matrizes (AB)−1, A e B.
Atualizado em: 31 de maio de 2018
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