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Mecânica dos Sólidos 3 Professor Maurício P. Ferreira Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc. Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 1: Para o elemento em estado plano de tensões indicado abaixo: (a) construir o Círculo de Mohr; (b) determinar os planos de tensão principal; (c) determinar a intensidade das tensões principais; (d) determinar as tensões máximas de cisalhamento e as tensões normais correspondentes. Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ponto C 50 10 abscissa: 20MPa 2 2 ordenada: 0 Cálculo do Raio do Círculo de Mohr 50 20 30MPa 40MPa 30 40 50MPa x y méd xy R CX CF FX CF FX R σ σ σ τ + + − = = = = = = + = − = = = + = (a) Construção do Circulo de Mohr 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − = Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 1: (b) Planos de Tensão Principal 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − = ( ) ( )2 1 40 tan 2 1,33 30 2 2 4 1,33 1,33 2 3,33 tan 2 1,33 2,67 26,6 p P P FX CF θ θ θ = = = − ± − ⋅ ⋅− − ± = = ⋅ = ° sabendo-se que: 30MPa 40MPa CF FX = = X Y Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − = (c) Tensões Principais max 20 50médOA OC CA Rσ σ= = + = + = + max 70MPaσ = min 20 50médOB OC BC Rσ σ= = − = − = − min 30MPaσ = − sabendo-se que: 30MPa 40MPa 50MPa CF FX R = = = Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 1: 50 MPa ; 10 MPa ; 40 MPax y xyσ σ τ= = − = 1 sabendo-se que: 26,6 50MPa P R θ = ° = 1 45 26,6 45S Pθ θ= + ° = °+ ° 71,6sθ = ° max Rτ = max 50 MPaτ = médσ σ′ = 20 MPaσ ′ = (d) Cisalhamento Máximo Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 2: Para o elemento em estado plano de tensões indicado abaixo, determine: (a) o plano e a intensidade das tensões principais; (b) as componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti- horário. Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 2: (a) Plano e intensidade das tensões principais 100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 Ponto C 100 60 abscissa: 80MPa 2 2 ordenada: 0 Cálculo do Raio do Círculo de Mohr 100 80 20MPa 48MPa 20 48 52MPa x y méd xy x méd R CX CF FX CF FX R σ σ σ τ σ σ + + = = = = = = + = − = − = = = + = X Y Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 2: (a) Plano e intensidade das tensões principais 100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = − ( ) ( )2 1 48 tan 2 2,4 20 2 2 4 2,4 2,4 2 5,2 tan 2 2,4 4,8 33,7 p P P FX CF θ θ θ = = = − ± − ⋅ ⋅− − ± = = ⋅ = ° sabendo-se que: 20MPa 48MPa CF FX = = max max 80 52méd OA OC CA R σ σ σ = = + = + = + max 132MPaσ = min min 80 52méd OB OC BC R σ σ σ = = − = − = − min 28MPaσ = Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 2: (b) as componentes de tensão do elemento se ele for girado 30º no sentido anti-horário 100 MPa ; 60 MPa ; 48 MPax y xyσ σ τ= = = − 1180 2 2 180 60 67.4 52.6 cos 80 52cos52.6 48,4 MPa cos 80 52cos52.6 111,6 MPa sin 52sin52.6 41,3 MPa P x x méd x y y méd y x y x y OK OC KC R OL OC CL R KX R φ θ θ φ φ σ σ σ φ σ σ σ σ φ σ τ φ τ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = °− ⋅ − ⋅ = °− °− ° ∴ = ° = = − = − ⋅ = − ° = = = + = + ⋅ = + ° = ′= = ⋅ = ° = Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 3: Uma força axial de 900 N e um torque de 2,50 N·m estão aplicados ao eixo mostrado na Figura abaixo. Supondo que o eixo tenha um diâmetro de 40 mm, determinar as tensões principais no ponto P de sua superfície. Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 3: (a) Componentes de Tensão ( ) ( ) ( ) 2 4 1 2 900 716,2 kPa 40 4 2500 20 198,9 kPa 20 y xy P A Tc J σ π τ π = + = + = + ⋅ ⋅ = + = + = ⋅ (b) Construção do círculo de Mohr 0 716,2 358,1 kPa 2 2 x y méd σ σ σ + + = = = ( ) ( ) 2 2 2 20 716,2 198,9 2 2 409,7 kPa x y xyR R σ σ τ − − = + = + = Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil • Exemplo 3: (c) Tensões Principais min min min 358,1 409,7 51,5 kPa méd DO OC DC R σ σ σ σ = = − = − = − = − A max max max 358,1 409,7 767,8 kPa méd OB OC CB R σ σ σ σ = = + = + = + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 198,9 tan 2 0,555 358,1 2 2 4 0,555 0,555 2 2,29 tan 2 0,555 1,11 14,5 P P P OA OC θ θ θ = = = − ± − ⋅ ⋅− − ± = = ⋅ = °
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