L2 (1)

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Piauí
Departamento de Matemática
Prof. José Francisco de Oliveira
Cálculo III
LISTA 2
1. Diga o que é uma função de n variáveis reais com valores reais. Dê exemplos de situações práticas nas
quais aparecem funções de várias variáveis.
2. Considere a relação dada por z = 1
x2+y2
.
(a) Determine maior conjunto D ⊂ R2 para o qual esta define uma função f .
(b) Considere f definida em D e desenhe as curvas de nível.
(c) Esboce o gráfico. (Use ajuda computacional se necessário)
3. Considere a função de três variáveis f(x, y, z) = x. Desenhe a superfície de nível de f correspondente
ao nível c = 1.
4. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x sen
1
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
xy
y − x3
5. Considere o seguinte fato: Suponha
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = a e lim
u→a g(u) = L,
onde g não é definida em a e Imf ⊂ Dg. Então
lim
(x,y)→(x0,y0)
g(f(x, y)) = lim
u→a g(u).
Use esse fato para calcular lim(x,y)→(0,0)
sen(x2+y2)
x2+y2
.
6. Determine os pontos de continuidade.
(a) f(x, y) = ln x−y
x2+y2
(b) f(x, y) =
{
sen(x2+y2)
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
7. A função f(x, y) =
{
xy2
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua em (0, 0)? Será que f é diferenciável em
R2?
8. Seja f : R → R uma função diferenciável e considere g(x, y, z) = f(r) onde r = ‖(x, y, z)‖. Verifique
que
x
∂g
∂x
+ y
∂g
∂y
+ z
∂g
∂z
= rf ′(r).
9. Determine a equação geral do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(a) z = 4x2 − y2 + 2y e P = (−1, 2, 4)
(b) z = y lnx e P = (1, 4, 0)
(c) z = y cos (x− y) e P = (2, 2, 2)
10. Determine um plano que seja paralelo ao plano z = 2x+3y e tangente ao gráfico de f(x, y) = x2+xy.
11. Determine a equação do plano tangente à superfície (elipsóide) de equação
x2
4
+
y2
9
+ z2 = 1
no ponto (0, 0, 1).
12. Considere f : R2 → R definida por f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(a) Verifique que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, mas f não é diferenciável em (0, 0).
(b) Explique porque fx e fy não são contínuas em (0, 0).
13. Determine a equação geral do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) =
√
1− x2 − y2 no ponto
( 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
). Podemos afirmar que essa função é diferenciável em ( 1√
3
, 1√
3
)? Justifique.
14. Considere f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{
xy+x−2y−2√
x2+y2−4x+2y+5 se (x, y) 6= (2,−1)
1 se (x, y) = (2,−1)
.
(a) Determine, caso exista, o valor do limite lim(x,y)→(2,−1) f(x, y).
(b) A função f(x, y) é contínua em (2,−1)?
(c) A função f(x, y) é diferenciável em (0, 0)? .
15. Determine ∂f∂x e
∂f
∂y sendo
f(x, y) =
{
x+y4
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
16. Determine o conjunto de todos os pontos nos quais a função dada é diferenciável.
(a) f(x, y) =
{ xy
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(b) f(x, y) =
{
x3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.
(c) f(x, y) =
{
xy3
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
.