Atividade semi presencial 1

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Atividade Semipresencial 1–Cálculo II 
Professores: Ana, Áureo, Janor, Ursula 
Esta Atividade Semipresencial versa sobre Integral Indefinida e suas aplicações. Ela vale quatro 
presenças no seu curso de Cálculo II. Você deve entregar as atividades propostas ao seu professor no dia 
combinado em sala de aula. 
Antiderivada e Primitiva Geral 
Questões motivadoras: 
Velocidade de um corpo é a variação da distância percorrida com relação ao tempo gasto para percorrê-la, 
isto é, a taxa de variação da distância com relação ao tempo. Logo a velocidade instantânea é dada pela 
derivada da função que descreve a distância percorrida, com relação ao tempo. Se conhecermos a 
velocidade de um corpo, como determinar sua posição num certo instante? 
Aceleração é a taxa de variação da velocidade com relação ao tempo. Em termos de derivada, a 
aceleração pode ser interpretada como a derivada segunda da distância com relação ao tempo ou a 
derivada primeira da velocidade com relação ao tempo. Se conhecermos a aceleração de um corpo, como 
determinar sua velocidade num certo instante? 
Pode-se medir a taxa de variação segundo a qual a água está escoando de um tanque. Como determinar 
a quantidade escoada num certo período? 
Conhecendo-se a taxa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo, como descobrir o 
tamanho da população em certo momento no futuro? 
Matematicamente, a função Custo Marginal, que representa o acréscimo do custo total pela produção de 
mais uma unidade, é expressa como a derivada da função Custo Total em termos da quantidade total 
produzida. Conhecida a função Custo Marginal, como determinar a função Custo Total? 
Modelando as situações: 
Sob o ponto de vista matemático em todas as situações procuramos uma função F cuja derivada f é 
conhecida. Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f. Então, F é denominada antiderivada de 
f num intervalo I quando F’(x) = f(x) para todo x em I. Se F é uma antiderivada de f em I, então a 
antiderivada mais geral é: G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. Mas, se forem dadas 
condições extras que vão determinar a(s) constante(s) podemos determinar univocamente a solução 
desejada. 
A partir da equação horária da velocidade de um corpo (v =: v(t)), por exemplo, podemos encontrar a 
equação horária da posição desde que se conheça a localização do corpo em algum instante t0. Basta 
integrar a função velocidade e determinar a constante de integração a partir da posição conhecida. Com 
procedimento análogo, a partir da equação horária da aceleração e do conhecimento da velocidade em um 
instante t0, é possível obter a equação horária da posição. Portanto, para obter a equação horária da 
posição de um corpo a partir da equação horária da sua aceleração é necessário o conhecimento de sua 
velocidade e de sua posição em algum instante. 
As outras situações apresentadas se resolvem de maneira análoga. Ou seja, conhecida a taxa de variação 
de um fenômeno é possível determinar a equação matemática desse fenômeno em alguns casos desde 
de que conhecidas condições iniciais. 
 
 
Atividades (para entregar) 
1. Encontre f: 
a) f '(x) = e3x, f(0) = 2 
b) f ’’(x) = 2 + sen (2x), f ’(π/2) = -1, f(π/2) = 1 
2. Os itens abaixo dão a aceleração num instante t segundos, a velocidade e a posição num instante 
específico que um objeto se desloca sobre uma reta coordenada. Encontre a função posição. 
a) ܽ(ݐ) = ଵ
ଶ
ݐଶ, ݒ(0) = 1 ݉/ݏ, ݏ(0) = 5݉ 
b) ܽ(ݐ) = ଵ
ଶ௧య
, ݒ(1) = 4݉/ݏ, ݏ(1) = 1݉ 
3. Um avião decola da superfície com uma aceleração constante de 100m/s2. Qual será a sua 
velocidade 1 minuto após a decolagem, sabendo que sua velocidade no instante inicial era 
de 500m/s? 
4. Considere a situação: 
Um carro andando a uma velocidade de 90 km/h avista um obstáculo à 100 m de distância. 
Começa a diminuir sua velocidade com aceleração a(t) = - 2t m/s2. 
Questão: O carro colide com o obstáculo? 
Para responder esta questão resolva cada item a seguir. 
a) Qual a velocidade no instante inicial do problema? 
b) Qual a posição inicial a ser considerada? 
c) Qual a equação horária da velocidade do movimento? 
d) Qual o tempo gasto para parar o carro? 
e) Qual a equação horária do deslocamento do movimento? 
f) Qual a distância percorrida até o carro parar? 
g) O carro colide no obstáculo? 
5. Uma partícula se desloca com velocidade dada por v(t) = sen (3t) + 5. As unidades estão no 
sistema internacional. 
a) Qual é a equação horária da aceleração desta partícula? 
b) Qual é a equação horária da posição desta partícula, se sua posição inicial for a origem? 
c) Qual a aceleração e a posição da partícula no instante t = π s? 
6. Estima-se que daqui a x meses, a população de certa cidade variará segundo a taxa de 
2 + 3√ݔ pessoas por mês. A população atual é de 5 000 pessoas. Qual a população daqui a 
9 meses? 
7. Uma fábrica está despejando poluentes num lago á taxa de ௧
మ
య
଺଴଴
 toneladas por semana, onde t 
é o tempo em meses, desde que a fábrica iniciou suas operações. Após 10 anos de operação, 
qual a quantidade de poluentes despejados pela fábrica no lago? 
8. Suponha que a taxa à qual o petróleo do mundo está sendo consumido possa ser 
modelada r(t) = 32e0,05t, onde r é dado em bilhões de barris por ano, t é dado em anos e t=0 é 
1º de janeiro de 1990. Determine a quantidade total de petróleo consumida entre o início de 1990 
e o início de 1995. 
9. Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades são de 3q2 – 
60q+ 400 reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de 900 reais. 
Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades? (Observação: O custo 
marginal é a derivada do custo total). 
10. Uma indústria de alimentos para crianças tem que seu custo de produção varia, 
aproximadamente, à taxa ܥ’(ݔ) = 30ݔି
మ
య (reais por milhares de lata). Sabendo que para produzir 
8 000 latas alimento infantil seu custo é $ 600,00, determine o custo para produzir 125 000 latas 
de alimento infantil.